以鎖模光纖雷射在光纖上同時傳遞微波和光波頻率標準之研究

國 立 交 通 大 學

光 電 工 程 研 究 所

碩 士 論 文

以鎖模光纖雷射在光纖上同時傳遞微波和

光波頻率標準之研究

Study on Simultaneously Transferring Microwave and

Optical Frequency Standard Through

Optical Fiber Using a Mode-locked Fiber Laser

研究生 : 康峻維

指導教授 : 潘犀靈 教授

彭錦龍 博士

以鎖模光纖雷射在光纖上同時傳遞微波和

光波頻率標準之研究

Study on Simultaneously Transferring Microwave and

Optical Frequency Standard Through

Optical Fiber Using a Mode-locked Fiber Laser

研 究 生 : 康峻維

Student : Chun-Wei Kang

指導教授 : 潘犀靈 Advisor : Prof. Ci-Ling Pan

彭錦龍 Dr. Jin-Long Peng

國 立 交 通 大 學

光 電 工 程 研 究 所

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Institute of Electro-Optical Engineering College of

Electrical Engineering and Computer Science

National Chiao Tung University in Partial Fulfillment of the

Requirements for the Degree of

Master

In Electro-Optical Engineering

July 2008

Hsin-chu, Taiwan, Republic of China

以鎖模光纖雷射在光纖上同時傳遞微波和

光波頻率標準之研究

研究生 : 康峻維 指導教授 : 潘犀靈 教授

彭錦龍 博士

國立交通大學光電研究所

摘要

鎖模雷射已經廣泛的應用在光頻率計量上，此論文即是研究利用鎖模光纖雷 射在光纖上同時傳遞微波和光波頻率標準。論文中，實驗架構最主要分成兩個部 分，第一部份是在光纖上利用鎖模光纖雷射傳遞微波頻率標準，鎖模光纖雷射輸 出的微波頻率標準，頻率穩定度在積分時間為 1 秒時可以達到 1.9x10-13 ，經過連 接工研院及清華大學間的 1.5 km光纜傳遞微波頻率導致頻率不穩定度約為 10-14 (積分時間為 1 秒時)；第二部分即是在光纖上利用鎖模光纖雷射傳遞光波頻 率標準，頻率穩定度在積分時間為 1 秒時可以達到 7.5x10-15 。

Study on Simultaneously Transferring

Microwave and Optical Frequency Standard

Through Optical Fiber Using a Mode-locked

Fiber Laser

Student：Chun-Wei Kang

Advisor：Prof. Ci-Ling Pan

Dr. Jin-Long Peng

Institute of Electro-Optical Engineering College of Electrical

Engineering and Computer Science Nation Chiao Tung University

ABSTRACT

Mode-locked lasers have large applications to optical frequency metrology. In this thesis, I study on simultaneously transferring microwave and optical frequency standard through optical fiber using a mode-locked fiber laser. The experiment is divided into two parts. The first part describes the transferring microwave frequency standard through optical fiber using a mode-locked fiber laser, the instability at 1 s for the output of the microwave frequency standard with the comb itself is about 1.9x10-13. The instability for transfer of microwave frequency standard with the comb through CMS-NTHU 1.5km-long fiber cable causes about 10-14 for a 1 s averaging time；The second part describes the transferring optical frequency standard through optical fiber using a mode-locked fiber laser, this provides an instability at 1 s of 7.5x10-15.

誌謝

終於完成這本論文了，回想起這兩年研究生生涯學習到的所有事情，實在是 讓我成長許多。首先我要感謝指導教授潘犀靈老師在這兩年的指導提攜，感謝您 在實驗及課業上教導我正確的觀念；以及工研院彭錦龍博士這一年的細心教誨， 感謝您總是不厭其煩的指導我，讓我在理論和實作上都獲益良多。此外，劉子安 學長在實驗過程中的幫助和意見，安惠榮老師在meeting 時給予的寶貴意見也都 惠我良多。也要特別感謝工研院光復分院量測中心提供了我寶貴的實驗儀器及環 境，讓我可以順利完成實驗。當然很慶幸我身邊有許多好朋友陪我度過這兩年的 研究生生涯，挑男友眼光很獨特又講英文很做作的綿姐，還好有你一直卡在我前 面，讓我不致於做這一屆最老的碩士生；畢業生最閒代表又很敢來給我媽請的新 聞，還好有你陪我臉也爛掉，讓我美容資訊可以不斷更新，順利拿到美容博士學 位；很喜歡羊卻又超愛吃羊肉的咩咩娜，還好有你提供竹北避風港，不然還真不 知道不逛街不唱歌看電影還能去哪裡；msn 暱稱永遠很無趣的冬山河，還好有你 的粉紅色襯衫，讓我在口試時可以帥氣登場，迷倒眾生；跟神經病沒兩樣的好姐 姐靖純，還好有你提供小道消息讓我沒有錯失太多好康；髮量超級多的翁，還好 跑跑卡丁車有你在後面墊底，讓我不致於被罵太慘，會提到你我也很驚訝，可見 我真的快沒朋友了；還有我的超級好朋友寶貝，有你的支持讓我有動力快把事情 做完去陪你，希望我們寶貴的情誼可以一直維持下去。也要感謝我家外面的兩隻 野喵小黃跟小黑，雖然你們真的很會吃又很愛磨蹭，但你們讓遠在新竹的我不致 於擔心媽媽平常太無聊。 最後，我也感謝我最親愛的媽媽、爸爸、哥哥，在我求學過程中一直給我關 心及金錢援助，讓我沒有後顧之憂，順利完成碩士學位，我永遠愛你們。在天上 的甜甜、嘟嘟、大寶、小寶、來旺，哥哥也永遠愛你們。

目錄

中文摘要 英文摘要 誌謝 目錄 圖表目錄 第一章 緒論 1 1-1 研究背景 1 1-2 研究構想及動機 3 1-3 論文架構 4 第二章 光梳頻基本原理及頻率穩定度量測方法 6 2-1 飛秒光梳頻的基本原理及應用 6 2-1.1 被動鎖模摻鉺光纖雷射的鎖模原理 6 2-1.2 鎖模雷射的頻譜 10 2-1.3 飛秒雷射和光纖展頻 11 2-2 頻域上量測時序紊亂度(相位雜訊) 14 2-2.1 鎖模雷射時序紊亂度(相位雜訊)的分析 15 2-2.2 被動鎖模雷射時序紊亂度(相位雜訊)的量測方法 19 2-3 時域上量測頻率穩定度:Allan deviation 21 2-4 鎖模光纖雷射的實際製作 22 第三章 在光纖上利用鎖模光纖雷射傳遞微波頻率標準 24 3-1 鎖相迴路基本原理及其架構 24

3-2 低雜訊微波頻率源的基本原理與製作 33

3-3 實驗方法與結果討論 37

3-3.1 脈衝重複頻率f_rep(repetition frequency)的穩頻 37

3-3.2 頻域上量測相位雜訊 38 3-3.3 時域上量測頻率穩定度:Allan deviation 45 3-3.4 相位雜訊與Allan deviation 的換算 52 第四章 在光纖上利用鎖模光纖雷射傳遞光波頻率標準 55 4-1 迴授電路 56 4-2 拍頻訊號 60 4-3 實驗方法與結果討論 63 4-3.1 偏差頻率 f (offset frequency)的穩頻 63 _o 4-3.2 量測飛秒光梳頻系統傳遞光波頻率的基本理論 63 4-3.3 拍頻量測 64 4-3.4 外腔式二極體雷射穩頻實驗方法與架構 66 4-3.5 頻域上量測相位雜訊 68 4-3.6 時域上量測頻率穩定度:Allan deviation 72 4-3.7 相位雜訊與Allan deviation 的換算 75 第五章 總結與未來展望 77 參考資料

圖表目錄

【圖 2-1】疊加波鎖模機制 8 【圖 2-2】非線性偏振旋轉示意圖 9 【圖 2-3】鎖模雷射輸出在時域和頻域的關係 11 【圖 2-4】“f-2f self-referencing＂實驗原理 12 【圖 2-5】鈦藍寶石雷射利用之“f-2f self-referencing＂實驗架構 13 【圖 2-6】飛秒光纖雷射利用之“Single-Beam f-2f ＂實驗架構 13 【圖 2-7】飛秒光纖雷射以及光纖展頻後的頻譜 14 【圖 2-8】時序紊亂度示意圖 18 【圖 2-9】Allan deviation 斜率對應雜訊類型示意圖 22 【圖 2-10】鎖模光纖雷射實驗系統圖 23

【圖 3-1】脈衝重複頻率 frep(repetition frequency)穩頻區塊示意圖 24

【圖 3-2】鎖相迴路(PLL)的基本區塊 25 【圖 3-3】鎖相迴路線性模型圖 26 【圖 3-4】類比式相位偵測器工作原理示意圖 28 【圖 3-5(a)】被動式的迴路濾波器 31 【圖 3-5(b)】主動式的迴路濾波器 31 【圖 3-6】恆溫控制式晶體振盪器的工作原理區塊圖 34 【圖 3-7】低雜訊微波頻率源工作原理區塊圖 35 【圖 3-8】五倍頻電路圖 35 【圖 3-9】各種穩定輸出頻率源的相位雜訊比較圖 36 【圖 3-10】100 MHz OCXO 鎖相 10 MHz OCXO 後系統相位雜訊走向示意圖 36 【圖 3-11】clock stability 36

【圖 3-12】脈衝重複頻率 f_rep(repetition frequency)穩頻架構圖 37

【圖 3-14】鎖模光纖雷射相位雜訊及累積相位紊亂度圖 39 【圖 3-15】連接工研院 16 館 229 室及國立清華大學物理館 307 室間的光纜路線 圖 40 【圖 3-16】鎖模光纖雷射經光纜傳回工研院後相位雜訊以及累積相位紊亂度圖 41 【圖 3-17】鎖模光纖雷射經 4.5 km fiber 及光纜傳回工研院後相位雜訊以及累 積相位紊亂度圖 42 【圖 3-18】鎖模光纖雷射經 4.5 km + 2.5 km fiber 及光纜傳回工研院後相位雜 訊以及累積相位紊亂度圖 43 【圖 3-19】各種情形的相位雜訊比較圖(0.1 Hz ~ 50 Hz) 43 【圖 3-20】各種情形的相位雜訊比較圖(0.1 Hz ~ 104 KHz) 44 【圖 3-21】手動外加一振動後相位雜訊比較圖 45 【圖 3-22】時域量測穩頻後的脈衝重複頻率變化架構圖 46 【圖 3-23】測量系統量測極限架構圖 47 【圖 3-24】頻率穩定度系統量測極限 47 【表 3-1】調整光偵測器角度來改變入射光強度所量得的重複頻率穩定度變化 48 【圖 3-25】穩頻後的脈衝重複頻率變化以及其Allan deviation 49 【圖 3-26】同時量測穩頻後的脈衝重複頻率變化架構圖 50 【圖 3-27】穩頻後經光纜傳回後的脈衝重複頻率變化及其Allan deviation 50 【圖 3-28】穩頻後經 4.5 km fiber 及光纜傳回後的脈衝重複頻率變化及其 Allan deviation 50 【圖 3-29】穩頻後經 4.5 km + 2.5 km fiber 及光纜傳回後的脈衝重複頻率變化 及其Allan deviation 51 【圖 3-30】穩頻後各種情形的脈衝重複頻率Allan deviation 比較圖 51 【圖 3-31】各種情形的相位雜訊經公式換算後得到的Allan deviation 圖 54

【圖 4-2】AD9901 結構圖 56 【圖 4-3】鎖相狀況圖 57 【圖 4-4】鎖相狀況圖震盪源領先參考源時 57 【圖 4-5】鎖相狀況圖震盪源落後參考源時 58 【圖 4-6】震盪頻率遠小於參考頻率時的輸出 58 【圖 4-7】震盪頻率遠大於參考頻率時的輸出 59 【圖 4-8】震盪頻率與參考頻率相同時的輸出 59 【圖 4-9】拍頻現象 61 【圖 4-10】拍頻訊號示意圖 62 【圖 4-11】偏差頻率 f (offset frequency) 穩頻架構圖 63 _o 【圖 4-12】脈衝示意圖(上圖為經過光纜後傳回的雷射脈衝；下圖為未經過光纜 的雷射脈衝) 64 【圖 4-13】外腔式二極體雷射與飛秒光梳拍頻訊號圖 65 【圖 4-14】外腔式二極體雷射與經過光纜傳回後的飛秒光梳拍頻訊號圖 66 【圖 4-15】外腔式二極體雷射穩頻實驗架構圖 67 【圖 4-16】參考訊號 67 【圖 4-17】外腔式二極體雷射穩頻時與飛秒光梳拍頻訊號圖 68 【圖 4-18】傳遞光波頻率標準架構圖 68 【圖 4-19】頻域上量測傳遞光波頻率之相位雜訊示意圖(方法一) 69 【圖 4-20】經過光纜傳遞光波頻率所產生的相位雜訊圖(方法一) 70 【圖 4-21】頻域上量測傳遞光波頻率之相位雜訊示意圖(方法二) 71 【圖 4-22】經過光纜傳遞光波頻率所產生的相位雜訊圖(方法二) 71 【圖 4-23】系統量測穩頻光纖雷射傳遞光波頻率之頻率穩定度的極限架構圖 72 【圖 4-24】系統量測穩頻光纖雷射傳遞光波頻率之頻率穩定度的極限 73 【圖 4-25】時域上量測傳遞光波頻率之Allan deviation 架構圖 74 【圖 4-26】300 點量測的光波頻率變化及Allan deviation 74

【圖 4-27】2700 點量測的光波頻率變化及Allan deviation 74 【圖 4-28】經過光纜傳遞光波頻率所產生的相位雜訊(方法一)經公式換算後得 到的Allan deviation 圖 75 【圖 4-29】經過光纜傳遞光波頻率所產生的相位雜訊(方法二)經公式換算後得 到的Allan deviation 圖 76

第一章 緒論

1-1 研究背景

1970年，初期皮秒級超短脈衝雷射的研究成功後，脈衝雷射就不斷的在創 新。1991年，鈦藍寶石(Ti:sapphire)Kerr-lens鎖模脈衝雷射(Mode-locked laser)[1] 被 Wilson Sibbett 研發出來後，鎖模雷射在產生超短脈衝的應用上扮演著相當重要 的角色。1999年，美國Lucent公司研發了一種光子晶體光纖(photonic crystal fiber)，可使鎖模雷射的頻譜變寬。2005年諾貝爾物理獎得主霍爾(J. L. Hall)在 2000年時利用光子晶體光纖將短脈衝的頻譜大幅展開，利用self-reference[2] 干涉 法量測鎖模雷射之偏差頻率，使得鎖模雷射得以穩頻，做為量測頻率的工具，也 使得微波頻率以及光波頻率的連結透過一套飛秒鎖模雷射就可以完成。 由於銫原子鐘的研究，使得微波頻率標準可以比以往更穩定也更精準[3][4] ， 目前為止，最好的微波頻率標準是由銫噴泉原子鐘所提供[5] 。1993到1999年美國 的國家標準與技術署(National Institute of Standards and Technology；NIST)是利用 銫原子束原子鐘來作為美國的時間標準，但從2000年開始，NIST改為採用以雷

射冷卻技術(laser cooling)，現在的噴泉銫原子鐘,已經可以做到 2x10-15

的精準

度，換句話說，大約二千萬年才有一秒的誤差[5]

。然而，現在根據單一冷卻捕捉 (single cold trapped)離子及原子發展的光波頻率標準，精準度預估可以到達 10-18 ，短期的穩定度也可達10-17[6] ，大約是比微波頻率標準好了1000倍。飛秒光 頻梳雷射的光波頻率標準長期穩定度已可到達10-18[7] 。現今在實驗室之間或到其 它用戶之間微波頻率標準的比對，經常是使用全球性定位系統GPS(Global

Positioning Satellite system)[8]

。因為GPS衛星載有與控制中心完全相同的最精確 原子鐘，這個微波頻率標準隨同定位信號傳送至地球，這個頻率的校正，保證了 距離測量的準確性。衛星雙向法時間頻率比對（Two-Way Satellite Time and

這些都是目前國際上建構國際原子鍾的比對技術，可以讓微波頻率傳輸穩定度經 過一天可以達到10-15[9] 。 然而，光頻率標準無法透過全球性定位系統GPS比對，若要進行光波頻率標 準的比對，總是必須把光波頻率標準攜帶到其他國家再進行比對，如此是一件很 麻煩的事，如果可以透過光纖傳遞頻率標準而不失真，那麼遠距光頻校正或比對 就簡便多了，光纖是可用來傳遞光波頻率一個很好的介質，並且透過光纖也可以 傳遞微波頻率。在過去幾年的研究中提出，透過光纖傳送頻率標準主要有三種方 式 。 第 一 種 方 式 最 廣 泛 的 技 術 為 ， 藉 由 一 台 振 幅 調 變 的 連 續 波 雷 射 (amplitude-modulated continuous wave laser)透過光纖來傳遞微波頻率標準。2006 年F. Narbonneau等人利用連續波雷射來傳遞微波頻率標準，傳輸距離為 86 Km， 在沒有主動消除雜訊 (active noise cancellation)情形下，在積分時間為 1 秒時之

頻率穩定度為 3x10-14 ；藉由主動消除雜訊，在積分時間為 1 秒時之頻率穩定度可 以達到 1x10-14[10] 。此種方式可以應用在天文望遠鏡，在不同的地點要同時接收從 外太空來的微波信號，想要達到同步接收就必須統一把ㄧ個時間標準傳到各個天 文台做比對，也就是時間的校正(calibration）及同步(synchronization)[11] 。 第二種方式更適用於遠方使用者比對光波頻率標準的是藉由一台連續波雷 射透過光纖直接傳遞光波頻率標準。此種方式相較於利用振幅調變的連續波雷射 傳送微波頻率標準，其提供了更佳的短期穩定度，但此種方式有一個缺點，它不 能直接傳送微波頻率標準的訊號讓遠方使用者做校正。由於調變的信號是載體本 身，通常在幾百個THz 以上，所以還是需要一台光頻梳雷射才能來獲得微波頻 率標準。2003 年J. Ye等人利用連續波雷射透過光纖傳遞光波頻率標準，從JILA

到NIST傳輸距離為 6.9 Km (round-trip)，在沒有主動消除雜訊(active noise

cancellation)情形下，在積分時間為 1 秒時之頻率穩定度為 2x10-14

；藉由主動消

除雜訊，在積分時間為 1 秒時之頻率穩定度可以達到 3x10-15[12]

。2007 年G. Grosche 等人利用連續波光纖雷射透過光纖傳遞光波頻率標準，傳輸距離為 86 Km下，穩

分時間為 8000 秒)[13] 。 第三種方式是藉由一台光頻梳雷射透過光纖傳遞微波頻率標準[14][15] 以及光 波頻率標準，期望利用鎖模雷射傳遞光波頻率標準的穩定度可以達到和直接利用 連續波雷射傳遞光波頻率標準的穩定度一樣佳。2005 年K. W. Holman等人利用 鎖 模 光 纖 雷 射 傳 遞 微 波 頻 率 標 準 ， 從JILA 到 NIST 傳 輸 距 離 為 6.9 Km

(round-trip)，在沒有主動消除雜訊(active noise cancellation)情形下，穩定度為 3x10-14 ；藉由主動消除雜訊，穩定度可以達到 7x10-15[16] 。

1-2 研究構想及動機

到目前為止，還沒有任何文獻發表以鎖模雷射在光纖上同時傳遞微波頻率標 準以及光波頻率標準的結果。所以如果能做到利用鎖模光纖雷射在光纖上同時傳 遞微波頻率以及光波頻率，而且透過光纖傳遞頻率標準不會失真的話，那麼遠距 微波頻率以及光波頻率校正或比對只靠一台光梳頻系統就可以達到。 要 利 用 鎖 模 光 纖 雷 射 傳 遞 微 波 頻 率 標 準 ， 必 須 把 脈 衝 重 複 頻 率 f_rep

(repetition frequency)鎖定在微波頻率標準上。當脈衝重複頻率 frep穩頻時，表示

每個脈衝的間隔是固定的，即可視為一個穩定的微波頻率源。實驗中利用了鎖相

迴路(phase-locked loop；PLL)回授控制鎖模光纖雷射，將其脈衝重複頻率 f_rep鎖

定在低雜訊微波頻率源(low-noise RF source)輸出的特定頻率。經過光纖傳遞， 利用光偵測器偵測信號，達到微波頻率標準的傳遞。

要 利 用 鎖 模 光 纖 雷 射 傳 遞 光 波 頻 率 標 準 ， 必 須 同 時 把 脈 衝 重 複 頻 率

rep

f (repetition frequency)和偏差頻率 f (offset frequency)鎖定在其特定頻率。當_o

脈衝重複頻率 f_rep和偏差頻率 f 穩頻時，表示每個光梳頻率是固定的，此時傳遞_o

纖雷射的 f ，和脈衝重複頻率_o frep穩頻不同的是，迴授電路中用的是數位式相位 偵 測 器 以 及 使 用 了 除 頻 器 (prescaler)，將其偏差頻率 f 鎖 定 在 頻 率 合 成 器o (synthesizer)輸出的特定頻率。經過光纖傳遞，我們引進一台連續波雷射當作媒 介，讓穩頻後的鎖模光纖雷射和連續波雷射產生拍頻，利用光偵測器偵測拍頻， 用來測量傳遞前後光頻率的穩定度。此法可以不用為了讓光纖傳遞前後的兩個脈 衝重疊(overlap)而必須在時域上不斷去調整時間延遲(time delay)，這也是本論文 不同於 2006 年Yi-Fei Chen等人發表文獻[17] 中去調整兩個脈衝時間延遲的作法， 我們利用鎖模光纖雷射和連續波雷射產生拍頻，在實驗量測傳遞前後穩定度上會 更為方便。 若能在台灣建立一套可以傳遞微波頻率標準及光波頻率標準的光梳頻系統 (femtosecond comb system)，如此一來，透過光纜使用遠端頻率校正系統，可以 讓遠端使用者很方便的使用這個頻率標準，以達到高精準度的量測。這也是研究 此一主題的主要動機。

1-3 論文架構

本論文的主要目的在探討微波頻率標準及光波頻率標準經過光纖傳遞後，是 否還能維持原先的頻率穩定度。 首先會在第二章的內容介紹有關飛秒光梳頻的基本原理以及其應用，主要是介紹 鎖模雷射(mode-locked laser)的頻譜特性，它包含了兩個重要的參數，週期性脈

衝的重複頻率 f_rep(repetition frequency) 和偏差頻率 f (offset frequency)。以及介_o

紹實驗中所使用的鎖模光纖雷射系統。同時我們會討論在頻域(frequency domain) 上去量測雷射光脈衝時序紊亂度(相位雜訊)的原理，以及在時域(time domain) 上去量測雷射光脈衝頻率穩定度(Allan deviation)的原理。在第三章主要是介紹 傳遞微波頻率標準的實驗架構及量測結果，對於飛秒光梳頻系統(femtosecond

comb system)傳遞微波頻率標準來說，必須將脈衝重複頻率 frep鎖定在其特定頻 率。所以我們將會簡介鎖相迴路的基本理論以及 f_rep穩頻方法。在第四章主要是 介紹傳遞光波頻率標準的實驗架構及量測結果，此時必須也把偏差頻率 f 鎖定_o 在其特定頻率，達到飛秒光梳頻系統的穩頻。此外，實驗中引進了外腔式二導體 雷射作為媒介，與飛秒光梳頻系統產生拍頻，用來量測傳遞後光波頻率標準的穩 定度，同時也將介紹外腔式二導體雷射的穩頻方法。最後在第五章的內容將述敘 有關本實驗的未來展望。

第二章 光梳頻基本原理及頻率穩定度量測方法

2-1 飛秒光梳頻的基本原理及應用

鎖模雷射(mode-locked laser)在超短脈衝的應用上扮演相當重要的角色，鎖 模雷射在頻域上具有許多等距同調的光梳(optical frequency comb)可以做為光頻

率的標準源。我們所使用的飛秒鎖模雷射是由工業研究院量測中心所提供[18] ，他 藉由光纖的非線性效應將鎖模光纖雷射的光梳展開到涵蓋可見光及近紅外光，擴 大了可應用範圍。並且利用“f-2f self-referencing＂技術穩定了光梳頻的頻率，成 為良好的標準源。

2-1.1 被動鎖模摻鉺光纖雷射的鎖模原理

一般鎖模雷射可分為主動鎖模與被動鎖模兩大類。主動鎖模雷射是指利用電 光、聲光調變等主動元件來做相位或振幅調變來產生脈衝輸出的方式[19] ，被動鎖 模雷射則是利用共振腔中的非線性效應來達到鎖模狀態並得到脈衝輸出。一般來 說，被動鎖模雷射能達到比主動鎖模雷射更短的脈衝輸出。製作被動鎖模光纖雷 射的方式有許多，包括有半導體飽和吸收體被動鎖模、疊加波鎖模、非線性光纖 環被動鎖模、非線性偏振旋轉鎖模、展波鎖模……等等。以下我們簡介半導體飽 和吸收體被動鎖模雷射、疊加波鎖模雷射以及偏振加波鎖模雷射。

半導體飽和吸收體被動鎖模雷射

半導體飽和吸收體被動鎖模雷射所使用之半導體飽和吸收體主要可分為快 速飽和吸收體與慢速飽和吸收體兩大類。快速或慢速是以飽和吸收體的回復時間 相較於脈衝寬度的關係而定的，若飽和吸收體回復時間大於脈衝寬度則為慢速飽 和吸收體，反之為快速飽和吸收體。半導體飽和吸收體被動鎖模雷射是利用半導

體飽和吸收體的非線性來達成鎖模機制的，當光脈衝通過飽和吸收體時，因脈衝 中心的功率大於吸收體的飽和功率，所以脈衝中心看到較小的損耗。相反地，脈 衝兩翼則會有較大的損耗，因此可以使脈衝變短進而達到鎖模，在飛秒級的鎖模 雷射中，鎖模作用可以由快速飽和吸收體單獨達成，若是利用慢速飽和吸收體則 需配合適當的雷射增益介質回復時間才能達成。

疊加波鎖模雷射

一般而言，除了以實際的飽和吸收體達到被動鎖模外，也能夠利用所謂的 KLM(Kerr lens mode locking)[20]

與疊加波鎖模(Additive Pulse Mode-locking； APM)[20] 的方式實現被動鎖模，不過在光纖中無法利用KLM的效應，僅能使用疊 加波鎖模。 疊加波鎖模的原理是利用由脈衝的同調相加而產生的脈衝壓縮的效果，在功 能上我們可以將疊加波鎖模視為一種快速飽和吸收體被動鎖模機制，如【圖 2-1】 所示。詳細言之，疊加波鎖模是利用克爾效應(Kerr Effect)使共振腔中的脈衝產 生非線性的干涉，從而可使共振腔內的損耗與脈衝強度成反比，因為 gain 的不 對稱，逆時針旋轉光先被放大，產生的克爾效應的量跟順時針的不一樣，所以高 脈衝強度的會通過，而低脈衝強度的會衰減掉，因此可達到脈衝壓縮。因為不是 利用實際的飽和吸收體，疊加波鎖模可以應用於很大的波長範圍。 疊加波鎖模架構可以是線性共振腔或環形共振腔，兩種架構可能是具有主、 副兩共振腔的架構或是單一共振腔的架構。前者在副共振腔中存在具克爾非線性 效應的介質，能夠產生自相位調變而達到上述的非線性干涉形成鎖模，後者則是 利用單一共振腔內的非線性干涉效應來達成鎖模。所謂的八字形(Figure 8)架構 非線性光纖環鎖模機制以及本論文中使用的鎖模光纖雷射---單一環形共振腔結 構的非線性偏振旋轉鎖模機制是最常見的兩種疊加波鎖模方式[21] 。一般疊加波鎖 模雷射可達到百飛秒級脈衝。

【圖 2-1】疊加波鎖模機制

偏振加波鎖模雷射

因為光纖中的Kerr效應，橢圓偏振光在光纖中傳播時會產生偏振旋轉的現

象，此即“非線性偏振旋轉＂(Nonlinear Polarization Rotation；NPR) [22]

。此現象 乃因在isotropic Kerr介質中CW圓形偏振光分量的傳播方程式為： L

(

2 2 2

)

L R E iK E E E z ∂ = − + ∂ L R

(

2 2 2

)

L R E iK E E E z ∂ = − + ∂ R 其解為：

(

)

2 2 (0) 2 (0) ( ) iK EL ER z (0) L L E z =e− + E

(

)

2 2 2 (0) (0) ( ) iK EL ER z (0) R R E z =e− + E 其中 E_L為左旋圓偏振光強度， E_R為右旋圓偏振光強度， 橢圓偏振光可分解成兩個強度不同的左旋及右旋圓偏振光，這兩個強度不同

的圓偏振光會因為非線性Kerr 效應造成自相位調變(Self Phase Modulation)及交

Phase Shift)，因此橢圓偏振光( E_L(0)2 ≠ E_R(0)2）之偏振態軸向會旋轉，如【圖 2-2】所示。此一偏振旋轉角度的大小與光強度及傳播距離成正比。

利用非線性偏振旋轉加上偏振控制器(polarization controller)與線偏振片 (Linear Polarizer)，我們能夠得到與在共振腔中加入快速飽和吸收體相同的效果 [20]

。偏振加波鎖模(Polarization Additive Pulse Mode-locking；P-APM)可以看成是 由二自相位調變光干涉而產生的非線性的振幅調變，如【圖 2-2】所示，使用適 當調整後的偏振控制器將通過第一個線偏振片的脈衝轉為橢圓偏振[22] ，此橢圓偏 振光在光纖中傳播後將產生非線性偏振旋轉，且旋轉角度與光強度成正比。因此 我們可以控制偏振控制器使旋轉後的脈衝中心大部分通過第二個線偏振片，脈衝 兩側與連續波的部分因振幅較小，產生的偏振旋轉亦較小，因此大部分不能通過 第二個線偏振片，這可使得脈衝被壓縮而達到鎖模的效果，此現象可以看成是由 第二個線偏振片將偏振方向的旋轉轉化為振幅上的調變。 【圖 2-2】非線性偏振旋轉示意圖

2-1.2 鎖模雷射的頻譜

要瞭解鎖模雷射如何應用在光頻計量，我們必須先對鎖模雷射的頻譜有所瞭 解，飛秒脈衝雷射是藉由鎖定所有起振的雷射縱向模的相位而產生週期性的脈 衝，由雷射腔輸出的脈衝雷射的電場強度可表為： _{E t}( )= _{A t e}( ) −i2πf tc +_{c c}. (2.1) 其中A t 為週期性的波封方程式，( ) f 為載波頻率。 _c 而週期性的波封方程式用富立葉級數可展開成：

( )

i2 nf tr n

A t

=

∑

A e

− π (2.2) 其中 frep =Vg / 2L 為脈衝的重複頻率，V 為群速度，g L 為雷射腔長。因此該 脈衝雷射的電場可以寫成： 2 ( )

( )

i fc nfrep t

. .

n n

E t

A e

π ∞ − + = −∞

=

∑

+

c c

_(2.3) 在頻譜上來看，這個電場是由相等頻率間距 f 的光梳所構成，而第 n 根光梳_r 的頻率為脈衝重複頻率的整數倍，亦即 f_n = ⋅n f_rep。以上的敘述並沒有考慮到載 波相位和波封相位的問題，但是在雷射腔內的介質都有色散現象，因此會是造成 波封以群速度而載波以相速度前進，由於這兩個速度不一樣，雷射脈衝每繞行雷 射腔一週，載波相位和波封相位就會有Δ 的相位差 (ϕ

2

π

≥ Δ ≥

ϕ

0

)，如【圖 2-3】所示，由於雷射在共振腔每繞一次，就要重複原來的狀態，因此雷射載波 相位必須滿足2

π

f T_c + Δ = ⋅

ϕ

n 2

π

o ，其中 T 為脈衝繞雷射腔一次所需時間、n 為 正整數，所以實際上滿足這樣條件的載波頻率為 f_n = ⋅n f_rep+ ，其中f ( / 2 ) / o f = Δϕ π T，也可以表為 f_o = Δ( ϕ π/ 2 )f_rep，這個載波波封相位差使得各梳子 的頻率並不等於雷射脈衝頻率的整數倍，而是有一個偏差頻率 f ，其中脈衝重_o 複頻率 f 和偏差頻率 f 都是在微波範圍，因此利用一個鎖模雷射就可以將微波

頻率和光波頻率連結起來。如果 f_rep和 f 都是穩定的，那麼每一支光梳的頻率就_o 穩定，一般飛秒雷射的頻譜寬度約在幾個 THz 以上，如果脈衝重複頻率是 1 GHz，那麼一個穩頻的飛秒雷射就含有數千個穩頻的雷射，這是傳統建議輻射所 無法比擬的。 Τ.= 1/frep t E(t) Δϕ I(f) f frep 0 fn= nfre p+ fo f_o Time domain Frequency domain 【圖 2-3】鎖模雷射輸出在時域和頻域的關係

2-1.3 飛秒雷射和光纖展頻

要讓飛秒雷射能夠成為傳遞頻率標準的工具，必須要先穩定其脈衝重複頻率 rep

f (repetition frequency)和偏差頻率 f (offset frequency)。脈衝重複頻率用快速_o

的光二極體可以很容易偵測，藉由控制雷射的腔長即可控制重複頻率，至於 f 的_o 量測方法，可以利用“f-2f self-referencing＂的技術得知，其原理如【圖 2-4】所 示。將光頻展開後，將較低頻的部分為 f_n =nf_rep+ ，將其利用倍頻晶體產生倍f_o 頻後為2fn =2(nfrep+ fo)，再與原本的高頻部分 f2n =2nfrep+ 產生拍頻以量取fo o f ，即為2fn − f₂n =2(nfrep+ fo) (2− nfrep+ fo)= f ，因此必須要脈衝雷射的頻譜o 寬度夠寬，以致於涵蓋 f 及 2_n f 的頻率範圍。在鈦藍寶石雷射延展頻譜的技術_n

上，目前僅有少數研究群可以直接由脈衝雷射產生兩倍頻寬，較為普及的方法是 利用特殊的微結構光纖（microstructure fiber）或者稱為光子晶體光纖（photonic crystal fiber）來延展飛秒雷射的頻譜。這種光纖的波導色散（waveguide dispersion） 比傳統光纖容易操控，因此可用來平衡物質色散使得零色散的波長不同於一般的 通訊光纖，零色散已經可以移轉到可見光範圍，雷射光在這種光纖中可以傳遞較 長的距離而其脈衝寬度不至於迅速變寬，因此非線性效應的作用距離較一般通訊 光纖長，藉由光纖的非線性效應可以把飛秒雷射的頻譜寬度擴展到兩倍頻寬以 上。參與的非線性效應機制包括自相位調制（self phase modulation）、四波混合

(four wave mixing)、拉曼效應、孤粒子分裂 (soliton fission)等等[23][24]

。其“f-2f self-referencing＂的實驗架構如圖【圖 2-5】所示，由於 2f 及_n f 產生的時間不_2n 一定相同，所以必須將低頻部分跟高頻部分分開，靠著調時間延遲(time delay) 使2f 及_n f 在時域上可以產生重疊(overlap)，才能測得_2n f 。 _o Frequency domain I(f) f 0 f_n = n f_rep + δ f_rep x2 f_2n = 2n f_rep + δ I(f) f 0 f_n = n f_rep + f_rep x2 f_2n = 2n f_rep + fo fo fo fo 【圖 2-4】“f-2f self-referencing＂實驗原理

Microstructure fiber IR filter polarizer PBS _LBO λ/2@1100 λ/2@550 Filter @550 2f_n=2n f_rep+2f₀ f_2n=2n f_rep+f₀ Broad band λ/2

Metal film mirror

Dichroic BS 【圖 2-5】鈦藍寶石雷射利用之“f-2f self-referencing＂實驗架構 而本實驗中，鎖模光纖雷射的延展頻譜則是利用高非線性光纖(Highly Nonlinear Fiber；HNLF)，再接上單模光纖(SMF)，將鎖模光纖雷射輸出光的頻 譜展寬，其“f-2f self-referencing＂的實驗架構如圖【圖 2-6】所示，我們稱之為 “Single-Beam f-2f ＂[18] ，頻譜展寬後其光梳頻的分布從 1050 nm到 2100 nm， 如【圖 2-7】所示[25] 。 SMF MgO:PPLN filter f_o HNLF PC 4 λ 2 λ SMF Single-Beam f-2f Amplified laser pulse 【圖 2-6】飛秒光纖雷射利用之“Single-Beam f-2f ＂實驗架構

8 9 0.1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Powe r (Arb. uni ts ) 2600 2400 2200 2000 1800 1600 1400 1200 1000 Wavelength (nm)

fs fiber laser oscillator After Er:amplifier After HNLF 【圖 2-7】飛秒光纖雷射以及光纖展頻後的頻譜 將飛秒鎖模雷射光頻梳穩定後，它的每個光頻梳 f_n =nf_rep+ 就形同是在頻f_o 域上的一把尺。鎖模雷射的頻譜相當的穩定，可視為良好的頻率標準，經展寬後 的光譜頻譜可用來應用的範圍更增加了。

2-2 頻域上量測時序紊亂度(相位雜訊)

時序紊亂度簡單的說，就是脈衝在時序上的不一致，也就是說相位是時間的 隨機變化函數。如果我們將一個完美的沒有任何雜訊的脈衝假想成週期性的方 波，脈衝的強度、週期及寬度都是固定的，而且我們可以預測它每次的行為。但 真實的脈衝可能每一次來到的時間都不一定，而且脈衝寬度也不是固定的，此時 脈衝的相位是時間的隨機變化函數，我們稱這是時序紊亂度(timing jitter)，或者 是雷射的相位雜訊(phase noise)。 形成時序紊亂度的原因主要可以分為三項[26] ，第一是鎖模雷射激發光源 (pumping source)本身的雜訊，第二是雷射增益介質的自發性輻射(spontaneous emission)，第三是雷射共振腔(laser cavity)的擾動，這些都會造成光脈衝的時序 紊亂度。通常如果鎖模雷射的激發光源雜訊低，則時序紊亂度的主要成因為自發

性輻射的雜訊所造成，很多鎖模雷射中，自發性輻射的雜訊相對於腔長的調變是 很敏感的，所以適當的微調腔長使其輸出的頻率穩定，或是增益介質做溫度的控 制，都可以將時序紊亂度降低；至於造成共振腔的擾動的原因很多，例如環境溫 度的變化導致腔長熱漲冷縮，及周邊一些聲波對腔體造成的調變等等，這些都直 接影響了輸出光脈衝的品質，所以雷射共振腔需使用對溫度變化不敏感，而且機 械穩定度要高的鏡架，以減少機械上的變動對光脈衝時序的影響。

2-2.1 鎖模雷射時序紊亂度(相位雜訊)的分析

時序紊亂度理論是基於光強度的自相關函數(autocorrelation function)傅立 葉 轉 換 (Fourier transform)，所以從雷射光脈衝串列的能量頻譜密度(power spectral density)我們可以精確的得到一些有關雷射雜訊的訊息，如脈衝能量的變 動、脈衝重複時間的變動以及脈衝雷射寬度的變動。 一個良好的鎖模雷射(mode-locked laser)輸出，也就是沒有任何擾動的光脈 衝串列，我們可以將其輸出光強度表示成： ₀( ) ( ) n P t =

∑

p t+nT (2.4)

其中 為每個脈衝時間上的光強度形狀(temporal intensity profile)，T 為光

脈衝的重複週期，n 為- 到+ 的整數。換言之，一個不完美的鎖模雷射，光脈 衝輸出則可能產生些微的擾動，我們將其輸出強度表示為： ( ) P t ∞ ∞ P t( )=P t₀( )+δP t( ) (2.5) 其中δP t( )為光輸出強度的擾動量，相對於 而言是極小的，而 的能 量頻譜密度可由輸出強度的自相關函數的傅利葉轉換得到： 0( ) P t P t( ) ( ) 1 ( ) 2 i t p P S ω G t ω π +∞ −∞ =

∫

e dt t dt (2.6) 其中G t_p( )光脈衝強度的自相關函數，可以表示成： Gp( )τ P t( τ) ( )P (2.7) +∞ −∞ =

_∫

+

一般而言我們喜歡用方均根誤差(root-mean-square deviation) ，來表示實 際輸出光脈衝串列強度 相對於完美脈衝串列強度 的雜訊，即： P Δ ( ) P t P t₀( ) (ΔP)2 =<( ( )P t −P t₀( ))2 >=<δ2P t( )> (2.8) d 利用Parsevals theorem，可以得到： ( P)2 SδP( )ω ω +∞ −∞ Δ =

_∫

(2.9) 根據上式理論分析，若我們將輸出光脈衝串列簡化，只討論其振幅和重複時 上所具有的隨機擾動量，而忽略光脈衝形狀的變化，則可將光脈衝輸出強度 表示成： ( ) P t P t( )=P t₀( )+P t₀( )⋅A t( )+P t TJ t₀'( )⋅ ( ) (2.10) 其中A t 為光脈衝振幅雜訊的隨機變化函數，( ) 為光脈衝相位雜訊的隨機 變化函數，T 為光脈衝時間重複週期。光脈衝的時序紊亂度： ( ) J t δT =TJ t( ) (2.11) 由P t( )=P t₀( )+P t₀( )⋅A t( )+P t TJ t₀'( )⋅ ( )中求得光強度的自相關函數為： ' 0 ₀ 2 ( ) ( ) [1 ( )] ( ) ( ) P P A _P J G τ =G τ ⋅ +G τ +T ⋅G τ ⋅G τ (2.12) 其中G_A( )τ 為A t 的自相關函數，( ) G_J( )τ 為J t( )的自相關函數，而 (2.13) 0( ) 0( ) 0( ) P G τ +∞P t τ P −∞ =

∫

+ ⋅ t dt 光強度的能量頻譜密度Sp( )ω ，可表示成摺合積分(convolution integrals)的 形式： ' 0 ₀ 2 ( ) [ ( ) [1 ( )]] [ ( ) ( )] P P A _P J S ω = ℑG τ ⋅ +G τ + ℑT G τ ⋅G τ J ' 0 ₀ 2 [ _P ( )] [1 _A( )] [ ( )] [ ( )] P G τ G τ T G τ G = ℑ ∗ℑ + + ℑ ∗ℑ τ 0 0 SJ 2 0 ( ) [ ( ) ( )] [( ) ( )] ( ) P A P S ω δ ω S ω ωT S ω ω = ∗ + + ∗ (2.14) 其中ω₀ =2 / Tπ 為光脈衝重複頻率，S_A( )ω 為A t 的能量頻譜密度，( ) S_J( )ω 為

( ) J t 的能量頻譜密度， 0( ) P S ω 為良好的光脈衝的能量頻譜密度： 0 0 1 ( ) ( ) 2 i t P P S ω G t ω π +∞ −∞ e dt =

∫

⋅ ⋅ (2.15) 將(2.4)式代入(2.13)和(2.15)式可得： 0 2 2 ( ) ( ) ( 2 / ) P n S P n T T π ω = ⋅ % ω ⋅

∑

δ ω− π (2.16) 其中 P%( )ω 為光脈衝強度形狀 的傅立葉轉換函數。將(2.16)式代入 (2.14)式即可得： ( ) P t 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 ( ) t [(1 )2 ( ) (1 ) ( ) ( n P J n J A n n S ω P e ω σ n ω σ πδ ω n ω σ S ω nω₀ S_J ω_n)] =+∞ − =−∞ ≅

∑

− + − + 2 2 2 ( ) ( ) ( ) [ ( ) ( ) (2 ) ( )] P n A n J n n S P S n S T π ω = % ω

∑

δ ω + ω + π ω (2.17) 其中 _n ( 2n ) T π ω = ω− 以上是我們在推導光脈衝能量頻譜密度時，都是以函數 表示每個脈衝時 間上的光強度形狀。我們知道脈衝可用 ( ) P t δ 函數表示，可是δ 函數並不是一個真函 數，必須具有類似條件(函數的高度趨近於無限大，寬度趨近於零，而現在面積 為 1)的函數來近似，所以可用高斯函數來近似δ 函數。將鎖模雷射的光脈衝強 度表示成由高斯函數所組成的級數，並加入振幅擾動量與時間擾動量，所以我們 將光脈衝強度的數學式[27] 表示成： ( ) [1 ( )] 1 exp[ ( ₀ ( )) / 22 ] 2 n t n _t P t PT A t t T nT J t σ 2 πσ =+∞ =−∞ = + ⋅

∑

⋅ − − − − (2.18) 其中 P 為雷射光平均輸出強度，σ_t為光脈衝寬度的方均根值，A t 為歸一( ) 化的光脈衝強度擾動量函數， 為光脈衝串列的時間擾動量， 為光脈衝串列 固定的時間偏移量(timing offset)，T 為光脈衝的重複週期。 ( ) J t T₀ 我們可將光脈衝強度相應的能量頻譜密度函數近似至nω σ_{0 J}的二階項 2 2 1 ( ) ( ) H ( ) J J t J _L SJ d ω ω σ ω ω π = < > = < > =

_∫

ω 2 2 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 ( ) t [(1 )2 ( ) (1 ) ( ) ( n P J n J A n n S ω P e ω σ n ω σ πδ ω n ω σ S ω nω₀ S_J ω_n)] =+∞ − =−∞ ≅

∑

− + − +

(2.19) 其中σ_J為方均根時序紊亂度(r.m.s. timing jitter)，如果σ_J很小，則上式可再 近似成： 2 2 0 2 0 ( ) t [2 ( ) ( ) ( ) n P n A n n S ω P e σ ω πδ ω S ω n2ω 2S_J ω_n ] =+∞ − =−∞ ≅

∑

+ + (2.20) 由(2.8)式和(2.9)式可得 _{( )}2 _{( )}2 1 H _{( )} J J t J _L SJ d ω ω σ ω π = < > = < > =

∫

ω ω (2.21) 我們發現(2.20)是具有和(2.21)式相同的形式，將其表示成如【圖 2-8】， 圖中為一連串以ω_n為中心頻率，間隔為Δ =ω 2 / Tπ 的諧波頻帶所組成，每個頻 帶又分成三個部份，第一部份是δ 函數所對應完全沒有雜訊的光脈衝頻譜；第二 部份SA( )ωn 所代表的是振幅雜訊的能量頻譜密度；第三部份 2 2 0 J( )n nω S ω 包含了 相位雜訊的能量頻譜密度。值得注意的是，第一部份與第二部份其大小對於各個 頻譜是相同的，而第三部份其大小是呈現 的關係，因此在比較高次諧頻時相 對於較低次的諧頻的相位雜訊是比較高的，而且在較高諧頻時相位雜訊與振幅雜 訊的相對值也較高。 2 n 【圖 2-8】時序紊亂度示意圖

2-2.2 被動鎖模雷射時序紊亂度的量測方法

時序紊亂度有分時域跟頻域的兩種量測方式[28] 。

頻域上量測時序紊亂度

根據 2.2.2 節我們知道利用光脈衝的能量頻譜密度可以得到光脈衝的振幅 雜訊與相位雜訊。 從(2.20)式，如果我們只看雜訊旁帶(noise sideband)的部份，則我們可以將 第n階諧頻的能量頻譜密度寫成以下形式[29] P f_n( )≅P S_C[ ( )_A f +n2ω₀2S_J( )]f (2.22) 此處的f 為相對於第n階諧頻中心頻率的偏移量(frequency offset)，而 為 中心頻率處的功率(carrier power)。由於在較低階諧頻時，主要的訊來自振幅雜 訊；在較高階諧頻時，雜訊是由相位雜訊所主導的，而且呈現 的關係，所以 我們可以利用第n階諧頻的能量頻譜密度，以及基頻的能量頻譜密度計算出振幅 雜訊的能量頻譜密度，以及相位雜訊的能量頻譜密度。根據(2.22)式，我們可以

定義第n階諧頻的雜訊能量頻譜密度(noise power spectral density) 為

C P 2 n ( ) n L f ( ) 10 log[ n( )] n c P f L f BP ≡ ⋅ (2.23) 其中 B 為頻譜分析儀的解析度，若是頻譜分析儀的解析度不是 1 Hz 時，我 們必須要加入此項影響。從頻譜分析儀在基頻及第 倍諧頻取得頻譜，我們可以 得到 及 ，藉由這兩個頻譜我們可以得到光脈衝的相位雜頻譜密度 ，及振幅雜訊頻譜密度 ，其數學式為 n 1( ) L f L_n( )f ( ) J L f L_A( )f 2 0 (2 ) ( ) ( ) 10 log[ J ] J f S f L f B π ≡ ⋅ 1 ( ) ( ) 2 10 10 10 log{[10 n 10 ]/( 1)} L f L f n = ⋅ − − (2.24) ( ) 10 log[ A( )] A S f L f B ≡ ⋅

1( ) ( ) 10 10 10 log[10 10 J ] L f L f = ⋅ − (2.25) 其中 f₀ =1/T 為光脈衝的重複頻率。從(2.24)式根據(2.21)式，我們可推導 出均方根時序紊亂度(r.m.s. timing jitter) ( ) 1 1 10 2 0 ( ) 1 ( ) [2 ] = [2 10 ] 2 J H H L L L f f f f f S f ₂ f df df B f σ π ≡ ⋅

_∫

_∫

(2.26) 其中L f₁( )、L_n( )f 、L_J( )f 的單位為dB_C/Hz

時域上量測時序紊亂度

對ㄧ個微波振盪器(microwave oscillator)而言，考慮ㄧ個正弦輸出電壓 [30] ( ) V t V t( )=Vo[1+ε( )]sin[2t π f tr +ϕ( )]t (2.27) 其中V_o和 f 為主要的振幅和頻率， ( )_r ε t 和ϕ( )t 代表振幅雜訊和頻率雜訊。而

相位雜訊主要的量測是ϕ( )t 的能量頻譜密度 S_ϕ (power spectral density；PSD)。

而 Shoaf et al.提出單旁帶能量雜訊頻譜L f( )(SSB PSD)來取代S_ϕ，並且指出 rms 相位誤差在遠小於 1 徑度角： 2 1 1 2 _<< ϕ rad (2.28) ( ) L f 與S_ϕ( )f 間有一個好的近似關係： L f( )≈S_ϕ( ) / 2f (2.29) 由於 比 不易取得，所以 幾乎成為傳統上標準的量測。但是

在定義上是忽略了振幅上的貢獻，從von der Linde 的方法中 是由脈衝

強度的第n倍諧頻 的計算得到。在時域上的表示為： ( ) S_ϕ f L f( ) L f( ) ( ) L f L f( ) ( ) n V t V t_n( )=V_n0[1+ε( )]sin{ [2t n πf t_r +ϕ( )]}t (2.30) 不等式(2.28)的相位誤差在相位雜訊的量測上加入了ㄧ些限制。首先，它限

射系統。第二，ㄧ般而言隨著頻率的降低相位雜訊也跟著上升，所以在 10 Hz 以 下的量測是有困難的。進一步來說，一台RF 頻譜分析儀的解析度頻寬為 1-10 Hz 也不是適用於低頻的量測。 為了克服以上的困難，我們以一解調技術直接量測相位雜訊的能量頻譜密度 ，由(2.27)得知： ( ) S_ϕ f

V t( )=Vo[1+ε( )]cos ( )sin(2t ϕ t πf tr )+Vo[1+ε( )]sin ( ) cos(2t ϕ t π f tr ) (2.31) 而振幅分量分別為： V₁ =Vo[1+ε( )]cos ( )t ϕ t (2.32) V₂ =V_o[1+ε( )]sin ( )t ϕ t (2.33) 所以時域上的相位雜訊： ϕ( ) tan ( / )t = −1 V₂ V₁ (2.34) 我們可以將ϕ( )t 經過快速傅立葉轉換(FFT)得到相位雜訊的能量頻譜 S_ϕ ， 再代入(2.23)(2.26)，可計算出相位雜訊。

2-3 時域上量測頻率穩定度:Allan deviation

時域上我們以Allan deviation(亞倫偏差)來估算頻率漂移量。Allan deviation 在統計上常被用來表示頻率的穩定度(frequency stability)。Allan deviation可被定 義[31] 為: 1 2 1 1 1 ( ) ( ) 2( 1) M y i y y M σ τ − ₊ = = −

∑

i − i (2.35) 其中 y :每次量得的頻率比值，_i 0 2 i i y v ϕ π = & ， τ =積分時間；每次量取數據的間隔時間， i 0,1,2,3,...,M， =

亦可定義為： 2 2 2 1 2 1 1 ( ) ( 2 ) 2( 2) N y i i i i x x x N σ τ τ − + + = = − −

∑

+ (2.36) 其中 x :每次量得的相位，_i 0 2 i i x v ϕ π = ， τ =積分時間；每次量取數據的間隔時間， i 0,1,2,3,...,N， =

Allan deviation 也 可 被 用 來 辨 認 系 統 量 測 到 的 雜 訊 (noise) 類 型 。 Allan deviation圖的斜率提供了何種雜訊為主要雜訊的資訊，如【圖 2-9】所示。舉例 來說，若σ τy( ) τ 1

−

∝ ，則代表white phase noise為主要的雜訊； 1/ 2

( ) y

σ τ _∝τ− _，則

代表white frequency noise為主要的雜訊[32]

。

【圖 2-9】Allan deviation 斜率對應雜訊類型示意圖

2-4 鎖模光纖雷射的實際製作

鎖模光纖雷射的架構如【圖 2-10】所示。摻鉺光纖鎖模雷射是一個使用偏 振加波鎖模(Polarization Additive Pulse Mode-locking；P-APM)的環形雷射。雷射

mW。壓電致動器(Piezoelectric transducer；PZT)鑲嵌在光纖上用來控制雷射的腔 長。壓電致動器共振頻率為 68 KHz，當加到最大驅動電壓達 150 伏特時，可以 調整脈衝的重複頻率達 3.5 KHz。

雷射的輸出使用掺鉺光纖放大器來放大能量，可達 180 mW。經過掺鉺光纖

放大器後所變寬的脈衝列。可藉由使用單模光纖(Single Mode Fiber；SMF)使脈 衝的半峰寬度(Full Width at Half Maximum；FWHM)壓縮到 50 fs。振盪器及放

大器均是固定在 5mm厚，25x25 cm2的鋁板上，藉由電流致冷器(TE-cooler)來控

制其對溫度的不穩定度。

利用一段 18 公分長的高非線性光纖(Highly Nonlinear Fiber；HNLF)，再接 上單模光纖，使飛秒雷射的頻譜拉寬，為涵蓋一個八度音(octave)的超連續光 譜。高非線性光纖在 1500 nm頻段的非線性係數為 10.6 W-1km-1，色散(dispersion) 係數為 1.74 ps/nm/km，色散斜率為 0.01 ps/nm2/km。其中超連續光譜涵蓋的範 圍為從 1050 nm到 2100 nm[18] 。 isolator PZT Er:fiber SMF HNLF SMF f_rep f_o fiber transmission PC 2 λ 4 λ 4 λ 4 λ 4 λ 2 λ P-APM Ring fiber laser 980 nm pump MgO:PPLN filter 980 nm pump 980 nm pump Er:Amplifier Er:Amplifier 【圖 2-10】鎖模光纖雷射實驗系統圖

第三章 在光纖上利用鎖模光纖雷射傳遞微波頻率標準

要 利 用 鎖 模 光 纖 雷 射 傳 遞 微 波 頻 率 標 準 ， 必 須 把 脈 衝 重 複 頻 率 f_rep

(repetition frequency)鎖定在微波頻率標準上。當脈衝重複頻率 f_rep穩頻時，表示

每個脈衝的間隔是固定的，即可視為一個穩定的微波頻率源。【圖 3-1】即為鎖

模光纖雷射其脈衝重複頻率 f_rep(repetition frequency)穩頻區塊示意圖，實驗中利

用了鎖相迴路(phase-locked loop；PLL)回授控制鎖模光纖雷射，將其脈衝重複頻

率 f_rep鎖定在低雜訊微波頻率源(low-noise RF source)輸出的特定頻率。經過光纖

傳遞，利用光偵測器偵測信號，達到微波頻率標準的傳遞。 Photo-detector Amp Band pass filter phase-locked loop mode-locked fiber laser frequency mixer low-noise RF source rep

f

【圖 3-1】脈衝重複頻率f_rep(repetition frequency)穩頻區塊示意圖

3-1 鎖相迴路基本原理及其架構

鎖相迴路[33]

(phase-locked loop；PLL)是一個迴授控制系統，它使得振盪器的 輸出訊號與迴路的輸入訊號在頻率及相位上達到同步。

波器(Loop Filter；LF)、壓控振盪器(Voltage Controlled Oscillator；VCO)，如【圖 3-2】所示。 Phase Detector Loop Filter VCO ( ) d v t v tc( ) ( ) i t θ ( ) o t θ ( ) o t θ 【圖 3-2】鎖相迴路(PLL)的基本區塊 相位偵測器比較輸入訊號和壓控振盪器的相位，並輸出一個訊號 ， 這個訊號是兩個輸入訊號相位差的函數。相位偵測器的輸出經過迴路濾波器，留 下誤差雜訊的直流成份，用來驅動壓控振盪器。VCO 的控制電壓 驅動VCO 改變振盪頻率，使得VCO 的振盪頻率與輸入訊號頻率的差值逐漸變小，當這兩 個頻率一樣，相位差為定值時(即輸出訊號與輸入訊號同步)，我們稱此狀態為 “鎖定＂(locked)，此時 VCO 的振盪頻率 ( ) d v t v t_d( ) ( ) c v t 0 f 等於輸入訊號頻率 f 。鎖定以後，_i PLL 就會去追蹤(tracking)輸入訊號頻率，也就是說 VCO 的頻率會隨著輸入訊號 頻率的改變而改變。 鎖相迴路基本上是一個伺服控制系統，使壓控振盪器訊號與輸入訊號保持同 步(synchronization)，所謂同步在鎖相迴路中稱為“鎖住＂(locked)，及兩訊號的 頻 率 相 同 ， 而 相 位 差 為 定 值 當 鎖 相 迴 路 開 始 工 作 時 ， 首 先 要 求 一 個 獲 得 (acquisition)過程的時間，先達到頻率的一致再達到相位的鎖定(locked)。一但鎖 住後，需要鎖相迴路努力保持，使輸出得以隨時追蹤輸入訊號或是不被雜訊干 擾，而這些性能均與迴路元件有密切關係。

鎖相迴路的線性模型

接下來要對鎖相迴路系統討論的是進一步的分析，鎖相迴路是一個非線性系 統，但是在鎖定的情形下，若是相位誤差訊號(phase error signal)很小時，系統 就可以簡化成為線性系統。如【圖 3-3】所示，我們可以利用線性控制系統原理， 以拉氏轉換(Laplace transform)得到迴路中三個基本功能區塊的轉換函數。

+

-( ) i s

θ

θ_e( )s v s_d( ) v s_c( )

θ

_o( )s

( )

d

K s

_{F s}

( )

K s

_o

_{( ) /}

s

( ) o s

θ

Phase Detector Loop Filter VCO 【圖 3-3】鎖相迴路線性模型圖 鎖相迴路的基本功能是控制訊號相位，所以我們以相位為對象，進行系統的 分析。假設輸入訊號相位為θ_i，VCO 的輸出訊號相位為θ_o，則相位偵測器的輸 出為 v t_d( )=K_d(θ θ_i− _o) (3.1) 其Laplace transform 為 V s_d( )=K_dθ_e( )s (3.2) 其中K_d是相位偵測器的增益(單位V rad/ )，θe = − 為相位誤差函數。這個θ θi o 訊號中含有直流與交流的成份，利用迴路濾波器將交流的訊號成份給濾 掉。迴路濾波器的轉換函數用 表示，則 ( ) d v t ( ) F s V s_c( )=F s V s( ) ( )_d (3.3) VCO 的輸出頻率

ω₀ =ωc+K v t₀ c( ) (3.4)

其中ω_c是VCO 的中心頻率， 是VCO 的增益(gain factor)或是稱之為靈敏度

(sensitivity)(單位 0 K / Hz V)。因為相位是角頻率對時間的積分，所以 θ₀ =K_{0 0}

∫

tv t dt_c( ) (3.5) 由Laplace transform 可得 0 0 ( ) ( ) K V sc s s θ = (3.6) 由於鎖相迴路各部分的Laplace transform 為 相位偵測器(PD) ( ) ( ) d d e V s K s θ = (3.7) 迴路濾波器(LF) ( ) ( ) ( ) c d V s F s V s = (3.8) 壓控振盪器(VCO) ( ) ( ) o c s K V s s o θ ₌ (3.9) 由(3.7)、(3.8)、(3.9)三式可計算出系統的相位及相位誤差轉換函數為： 相位轉換函數 ( ) ( ) ( ) ( ) o o d i o d s K K F s s s K K F s θ θ = + (3.10) 相位誤差轉換函數 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) e i o d s s s s s K K F s s o i θ θ θ = + = −θ (3.11) 這是在 PLL 接近鎖住附近的情形下所推導出來的結果。如果是在失鎖 (unlocked)的情形下，則 PLL 模型就會變得很複雜，而且無法用線性模型去推演 之。

相位偵測器

相位偵測器是ㄧ個相位比較裝置，用來檢測輸入訊號θ₁( )t 與回饋訊號θ₂( )t 之間的相位差θ_e( )t 。輸出誤差訊號V t_d( )是相位差θ_e( )t 的函數，即 V td( )= f[ ( )]θe t (3.12) 我們就實驗中鎖相迴路內使用的類比式相位偵測器作介紹。 常用的正弦相位乘法器可用類比相位乘法器與低通濾波器的串聯做為模

型，如【圖 3-4】所示。 為相乘係數，輸入訊號 與回饋訊號 經相乘 作用： m K V t_i( ) V t_o( ) 1 0 1 2 0 2 ( ) ( ) sin[ ( )] cos[ ( )] m i o m K V t V t =K V ω t+θ t V ω t+θ t =0.5K V V_{m 1 2}sin[2ω₀t+θ₁( )t +θ₂( )]t 1 2 1 2 0.5K V Vm sin[ ( )θ t θ ( )]t + − (3.13) LPF 1 0 1 ( ) sin( ( )) i V t =V ω θt+ t 2 0 2 ( ) sin( ( )) o V t =V

ω

t+

θ

t ( ) d V t m K ( ) ( ) m i o K V t V t 【圖 3-4】類比式相位偵測器工作原理示意圖 在經過低通濾波器濾除2ω₀成份後，得到誤差電壓： V td( ) 0.5= K V Vm _{1 2}sin[ ( )θ₁ t −θ₂( )]t t =Vsin[ ( )]θ_e (3.14) 這就是正弦相位偵測的特性。因為迴路應用了正弦相位偵測，所以模型跟方 程式都是非線性的。但是在迴路的同步狀態下，瞬間相位差總是很小的，且相位 偵測器工作在相位偵測特性的零點附近，零點附近的特性曲線可以用一條斜率等 於正弦特性零點處的直線來進行分析： 0 ( ) ( ) e d d e dV t K dθ t _θ= = = (3.15) V d K 為相位偵測器增益，單位是(V/rad)，這就是正弦相位偵測特性，也就是 相位偵測的數學模型。以Laplace 函數表示： V s( )=K θ ( )s (3.16)

但只有在相位差極小的情況下，且相位偵測器工作在相位偵測特性的零點附 近，才能符合前述線性的關係式。 另外，由式(3.14)得知相位偵測器增益為 ，正比於輸入電壓的大 小，另外由式(3.10)亦可發現相位偵測器增益也是迴路增益的ㄧ個乘項，因此不 同的訊號大小亦會造成整個迴路增益的不固定。在封閉迴路中，過大的增益容易 引起振盪，所以必須調整後選定某個參數，之後固定這個參數來達到鎖住。 1 2 0.5K V Vm

迴路濾波器

由迴路的轉換函數(3.10)、(3.11)得知迴路濾波器對系統性能的優劣有很大 的影響。迴路濾波器必須要相位誤差訊號從非線性元件的相位偵測器的輸出取出 來，濾除不必要的高頻訊號和雜訊，而且迴路濾波器也決定了系統的頻寬 (bandwidth)和動態特性。如果鎖相迴路中不使用迴路濾波器，那麼(3.8)式中的 就用 1 代入，使得(3.10)變成 ( ) F s ( ) ( ) o o i o s K K s s K K d d θ θ = + (3.17) 很明顯的，我們可以發現對輸入相位訊號θ_i而言，PLL 系統是一個一階的低 通濾波器，我們稱這個PLL 為一階的鎖相迴路。通常使用的 PLL 階數都大於 1， 因為越高階數的 PLL 有越好的雜訊抑制能力。從數學模型上看來，鎖相迴路是 個低通濾波器。但實際上，鎖相迴路是一個以輸入訊號頻率為中心頻率的帶通濾 波器。 迴路濾波器有被動式的迴路濾波器和主動式的迴路濾波器之分，因為主動式 的迴路濾波器具有較大的鎖住範圍較大的直流增益以及穩態誤差為零等等優 點，所以PLL 系統大都是採用主動式的迴路濾波器。 1.被動式的迴路濾波器 被動式的迴路濾波器如【圖 3-5(a)】所示,其轉換函數為

2 2 1 1 1 ( ) 1 1 2 R Cs s F s R Cs s τ τ + + = = + + (3.18) 1 (R1 R C2) τ = + (3.19) 2 R C2 τ = (3.20) 此種濾波器共有τ₁、τ₂兩個參數，其頻率響應為 2 1 1 ( ) 1 j F j j ωτ ω ωτ + = + (3.21) 很明顯可以發現這是ㄧ個低通濾波器，當頻率很高的時候(ω→ ∞)，上式近 似成 ω_n 2 1 2 ( ) R F j R R ω ω _→∞ = + (3.22) 等於電阻的分壓比，這就是濾波器的比例作用。將此濾波器應用在鎖相迴路 時，整個迴路的相位轉換函數(3.10)式可寫成 2 2 2 / ( ) 2 n n o n n K K H s s s ζω ω ζω ω + = + + 2 d _(3.23) 1 2 1 o d n K K ω τ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎝ ⎠⎟ 為 PLL 的自然頻率(natural frequency) 2 1 ( 2 n o d K K ω ) ζ = ⎡_⎢ +τ ⎤ ⎣ ⎦⎥ d 為PLL 的阻尼常數(damping factor) 由(3.23)式可看出，使用此種迴路濾波器的系統為一個二階迴路，其頻率響 應具有低通的特性。式子中分子具有 項，事實上迴路增益 總 是遠大於迴路的自然頻率 2_/ n o sω K K K =K K_{o d} n ω 的，因此此項近似於零[34] 。

i n

V

o u t

V

2 R C 1

R

【圖 3-5(a)】被動式的迴路濾波器 2.主動式的迴路濾波器 一般常用的主動式的迴路濾波器電路為主動式比例積分電路(PI circuit)，如 【圖 3-5(b)】所示，其轉換函數為 2 2 1 1 1 1 ( ) I P R Cs s K F s K R Cs s s τ τ + + = = = + (3.24) τ₁ =R C₁ ； 2 1 P R K R = τ₂ =R C₂ ； 1 1 I K R C = + -in

V

out

V

2 R 1

R

C OUT 【圖 3-5(b)】主動式的迴路濾波器

此電路也是個低通濾波器，以主動式比例積分微分電路作為迴路濾波器，則 整個鎖住迴路的相位轉換函數(3.10)式可寫成 2 2 2 2 ( ) 2 o d p o d I n n o d p o d I n n K K K s K K K s H s s K K K s K K K s s ξω ω 2 ξω ω + + = = + + + + (3.25) 其中 1/ 2 1 o d n K K ω τ ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 為PLL 的自然頻率(natural frequency) 1/ 2 2 2 1 2 2 o d n K K τ ω τ ξ τ ⎛ ⎞ = _{⎜ ⎟} ⎝ ⎠ = 為PLL 的阻尼常數(damping constant) PI 電路是ㄧ個低通濾波器，因為積分控制的原因，使得系統的時域響應的 上升時間和安定時間較長，但是具有良好的穩態誤差，而系統加入 PI 後會使得 系統的頻寬變小，如果PI 的增益參數K 給的不合適，較容易引起系統振盪。實P 驗中，靠著改變【圖 3-5(b)】中的電容值，調整PI corner frequency 及調整增益 (gain)選擇適當的K 使其不會震盪。 P

壓控振盪器

壓控振盪器是一個電壓-頻率轉換裝置，在迴路中作為被控振盪器，其振盪 頻率是一個隨輸入控制電壓θ_o( )t v t 線性的變化，即應有轉變關係： _c( ) ωo( )t =ωc+K v to c( ) (3.26) 式中ω_c( )t 是壓控振盪器的瞬間角頻率， 為控制靈敏度或是稱之為壓控振 盪器的增益係數，單位是 。在實際的應用上壓控振盪器的控制特性 只有在有限的線性範圍內，超過這個範圍靈敏度會下降。 o K 1 (rad s V/ ) − ⎡⎣ ⎤⎦ t 由於壓控振盪器的輸出回饋到相位偵測器上，對相位偵測器輸出誤差電壓 起作用的不是頻率，而是其相位: ( ) d v t ₀ (3.27) 0 ( ) 0 ( ) ( ) t t o d ot Ko vc d ot ω τ τ ω= + τ τ ω= +θ

∫

∫

( ) c( ) o o V s s K s θ = (3.28) 這個函數具有一個積分因子1/ 是相位與角頻率之間的積分關係所造成 的。鎖相迴路是不斷的利用回饋控制作補償，使得VCO 的頻率與相位鎖住參考 訊號。 s 如上所述，壓控振盪器應是一個具有線性控制特性的調頻振盪器，在本實驗

中的脈衝重複頻率 f_rep(repetition frequency)的穩頻，我們利用的是壓電致動器

(PZT)，可調範圍為每 100 MHz 可微調 3.5 KHz，經由回授的電壓變化而改變

其壓電致動器的電壓，達到改變雷射脈衝重複頻率，在此 PZT 控制的雷射就是

扮演VCO 的角色；而對於偏差頻率 f (offset frequency)的穩頻，我們利用的是o

控制電流源驅動器(current driver)，藉由控制幫浦雷射的功率，由於幫浦雷射的 功率影響脈衝雷射的功率，透過 Kerr 效應而改變折射率，來達到改變雷射偏差 頻率。

3-2 低雜訊微波頻率源的基本原理與製作

為了提供鎖模光纖雷射的脈衝重複頻率 f_rep 鎖頻有一個低雜訊的參考頻 率，並且省去使用商用的頻率合成器，所以自組一個低雜訊的微波頻率源。

首先介紹一下恆溫控制式晶體振盪器(Oven Controlled Crystal Oscillators；

OCXO)，這類型晶體振盪器對溫度穩定性的解決方案採用了恆溫槽技術，將晶 體置於恆溫槽內，通過設置恆溫工作點，使槽體保持恆溫狀態，在一定範圍內不 受外界溫度影響，達到穩定輸出頻率的效果。這類晶體振盪器主要用於各種類型 的通信設備，包括交換機、SDH傳輸設備、移動通信直放機、GPS接收機、電台、 數字電視及軍工設備等領域。恆溫控制式晶體振盪器的工作原理如【圖 3-6】所 示：