第四章 極值相依模型下兩階段重要性取樣演算法
第三節 兩階段重要性取樣法
國
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此演算流程與常態關聯結構下的重要性取樣估計流程非常相似，並且同樣可保證 所有模擬路徑均可導致信用事件發生；又其概似比 L 甽 甈 B(n−k+1) ≤ 由，由
V ar∗畛βν畝 甽 E∗βν2 − 用E∗畛βν畝甩2 甽 E∗α2νL2 − 用E∗畛βν畝甩2 甽 Eαν2L − 用E 畛αν畝甩2
≤ Eα2ν − 用E 畛αν畝甩2
≤ V ar 畛αν畝 , 可證明
V ar∗β甖ν ≤ V ar 畛甖αν畝 , 意謂著此重要性演算流程必可達變異數縮減。
第三節 兩階段重要性取樣法
回顧上一章最末的數值範例，畃畨畩畡畮畧 略畴 畡畬甮 用甲田田男甩 的重要性取樣法在共同因子之 權重 ρi 值愈大的時候有愈佳的估計效率，這是因為在一因子關聯結構模型中 ρi 的大 小代表共同因子對該信用資產的影響力大小，而當 ρi 趨近於 由 時，表示資產是否違約 幾乎完全取決於共同因子，資產特性風險因子的影響力微乎其微，因此對違約給付金 額進行估計時，估計量變異主要來自於共同因子。若以數學的型式描述上面的論述，
根據雙重期望值原理，
V ar 畛α畝 甽 E畛V arZ畛α | 1, . . . , n畝畝 甫 V ar畛EZ畛α | 1, . . . , n畝畝 , 用甴甮甶甩
故當 ρi 趨近於 由 時，估計量主要變異來自於 用甴甮甶甩 式中的 V arZ畛α | 1, . . . , n畝，而 畃畨畩畡畮畧 略畴 畡畬甮 用甲田田男甩 的重要性取樣法正是在給定 1, . . . , n 下將 Z 測度轉換至 f∗用z甩 藉以達到變異數縮減的效果，因此若 E畛V arZ畛α | 1, . . . , n畝畝 佔估計量總變異比例 愈高，其變異數縮減比愈大。反觀，在極值相依模型之下，即使共同因子的權重 ρi
再高，共同因子也無法主宰資產是否違約，共同震盪 W 的值將會左右違約事件的發 生。這樣的論述促使我們嘗試找出 W 的重要性取樣機率密度函數。
甲男
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在此機率測度之下，已可確保 W | τ(k) ≤ T 是非空集合，於是可由第二階段的重要 性取樣使得蒙地卡羅模擬的所有路徑均能發生信用事件。在第二階段，取 W 之重要 性取樣機率密度函數為
fW∗ 用w甩 甽
φ(w) FW
w(n−k+1)∗ , w ≤ w∗(n−k+1) 田, elsewhere
其中 FW用·甩 是 W 的累積分配函數。在這個階段的重要性取樣，概似比為
LW用w甩 甽 fw用w甩
fW∗ 用w甩 甽 FW w(n−k+1)∗ , ∀w ≤ w∗(n−k+1). 此兩階段重要性取樣法完整的演算流程如下：
由甮 生成獨立標準常態隨機變數 1, . . . , n。
甲甮 對於所有的 i 甽 由, . . . , n，令
zi∗ 甽 −p由 − ρ2ii
ρi , i 甽 由, . . . , n,
同 時 令 z(n−k+1)∗ 為 用z1∗, . . . , zn∗甩 之 第 n − k 甫 由 秩 序 統 計 量 ， 且 LZ 甽 甈
z∗(n−k+1)
。
申甮 令 Z 甽 甈−1用LZU 甩，其中 U 為 uniform用田, 由甩 隨機變數。
甴甮 對於所有的 i 甽 由, . . . , n，令
wi∗ 甽 ρiZ 甫p由 − ρ2ii
甉−1ν 用Fi用T 甩甩 , i 甽 由, . . . , n, 同時令 LW 甽 FW
w∗(n−k+1)，其中 w∗(n−k+1) 為 用w∗1, . . . , wn∗甩之第 n − k 甫 由 秩序統計量。
电甮 令 W 甽 FW−1用LWV 甩，其中 V 為 uniform用田, 由甩 隨機變數。
甶甮 對於所有的 i 甽 由, . . . , n，令 Xi 甽 ρiZ+
√
1−ρ2ii
W 。
男甮 對於所有的 i 甽 由, . . . , n，令 Ui 甽 甉ν用Xi甩。
申田
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甸甮 對於所有的 i 甽 由, . . . , n，令 τi 甽 Fi−1用Ui甩。
甹甮 令 τ(k) 為 用τ1, . . . , τn甩之第 k 秩序統計量。
由田甮 令 γν(j)甽 α(j)ν LZLW 甽 用由 − δ甩P 田, τ(k) Iτ(k)≤ T LZLW。
重複上述流程 m 次並計算違約給付金額之點估計量
甖 γν 甽 由
m
m
X
j=1
γ(j)ν . 用甴甮男甩
在這個兩階段的重要性取樣法中，概似比為 L 甽 LZLW ≤ 由，因此 V ar∗畛甖γν畝 甽 E∗α2νL2 甫 用E∗畛ανL畝甩2
甽 Eα2νL 甫 用E 畛αν畝甩2
≤ Eα2ν 甫 用E 畛αν畝甩2 甽 V ar 畛 甖αν畝 ,
表示此兩階段重要性取樣法必定可達到變異數縮減。演算流程的步驟 甴 與步驟 电 分別 涉及 W 的累積分配函數與其反函數的運算，雖然在大部分的統計或數學軟體中沒有 直接可用來計算 FW 與 FW−1 的函式可用，但可間接利用 W 與 χ2ν 之間的關係計算 之。分配函數 FW用·甩 計算方式如下：
FW用w甩 甽 P r 用W ≤ w甩 甽 P rp
ν−1χ2ν ≤ w 甽 P r χ2ν ≤ νw2 甽 Hν νw2 , w > 田.
申由
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其中 Hν用·甩 是自由度為 ν 的卡方分配函數。又反函數 FW−1用u甩 的計算方式為 FW−1用u甩 甽 畩畮畦 {w | FW用w甩 ≥ u}
甽 畩畮畦 {w | P r 用W ≤ w甩 ≥ u}
甽 畩畮畦n
w | P rp
ν−1χ2ν ≤ w
≥ uo 甽 畩畮畦w | P r χ2ν ≤ νw2 ≥ u 甽 畩畮畦w | Hν νw2 ≥ u 甽p
ν−1H−1ν 用u甩, 其中 H−1ν 用·甩 是分配函數 Hν用·甩 之反函數。