第四章 極值相依模型下兩階段重要性取樣演算法
第一節 極值相依模型
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第四章 極值相依模型下兩階段重要性取樣演算法
在前面的章節所介紹的常態關聯結構是目前廣為應用在組合信用風險管理的模 型，然而許多研究均指出，常態關聯結構無法確切描述實際金融市場上各個信用資產 之間的相關結構，許多資產同時出現違約情形的機率應當比在常態關聯結構之下更 高，因此主張應採其他不同的關聯結構模型衡量組合信用風險，特別在 畍畡畳畨畡畬 畡畮畤 畚略略當畩 用甲田田甲甩 的實證研究中指出，t 關聯結構比常態關聯結構適合用來配適市場資料。
本章將提出 t 關聯結構下估計一籃子信用違約交換違約風險的演算流程，首先介 紹 畂畡畳畳畡畭畢畯畯 略畴 畡畬甮 用甲田田甸甩 提出的極值相依模型，並應用此模型建立 t 關聯結構進 行極值相依結構下一籃子信用違約交換的違約風險估計。並在極值相依模型之下循 畃畨畩畡畮畧 略畴 畡畬甮 用甲田田男甩 重要性取樣法的想法，找出信用事件發生的等價事件，藉以設計 出因應此模型的兩種不一樣的演算流程，同時以數值範例說明這兩個演算法的特色以 及比較其優缺點。
第一節 極值相依模型
類似於一因子模型，令 1, . . . , n 為獨立且分配相同之隨機變數而 Z 為另一個獨 立隨機變數，其分配可與 i 不同。令
Xi 甽 ρiZ 甫p由 − ρ2ii
W , i 甽 由, . . . , n, 用甴甮由甩 其中 田 < ρi < 由 且 W 是一個獨立於 1, . . . , n 與 Z 的正值隨機變數，同時必須存在 κ > 田 與 ν > 田 使得其機率密度函數 fW用w甩 滿足
畬畩畭w↓0fW用w甩 甽 κwν−1甫 o wν−1 , 用甴甮甲甩 其中 o用·甩 定義如下：
h用x甩 甽 o 用g用x甩甩 if and only if 畬畩畭
x→0
h用x甩
g用x甩 甽 田 or 畬畩畭
x→∞
h用x甩 g用x甩 甽 田.
甲由
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0 10 20 30 40
0.000.050.100.150.20
x
f(x)
v = 4 v = 12 v = 20
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
0.00.10.20.30.40.50.6
x
F(x)
v = 4 v = 12 v = 20
圖 甴甮由町 不同 ν 值下 W 之機率密度函數與累積分配函數圖形。
極值相依模型是由因子模型衍生而來，但此模型的構想認為信用資產之間違約事件 發生的相關結構無法單單以共同因子描述之，同時認為市場中尚存在一個共同震盪 用畣畯畭畭畯畮 畳畨畯畣畫畳甩 因子會造成信用資產共同違約的情況發生，用甴甮由甩 式中的隨機變數 W 即為模型描述此共同震盪所用。當 W 值趨近於 田 時，對於所有 i 甽 由, . . . , n，無 論 ρiZ 甫p由 − ρ2ii 大小，Xi 值都會是極端的 ∞ 或是 −∞，代表許多原先情勢雖 不甚理想卻又還不至於違約的信用資產在共同震盪發生時，亦無可避免地發生違約，
只有真正體質好的資產方能不受共同震盪的影響。而發生共同震盪的機率大小取決於 用甴甮甲甩 式中的參數 ν 值，其值愈小發生共同震盪的機率也就愈大，反之，隨著此值的 增加發生共同震盪的機率隨之降低。此一特點可藉由圖 甴甮由 說明之。圖 甴甮由 是由一個 符合 用甴甮甲甩 式之機率密度函數族中取出三個自由度大小不同的機率密度函數所繪製而 成，同時也繪出與其對應的累積分配函數。從這兩個函數的圖形可以很清楚的發現，ν 值愈小的機率密度函數其值 W 出現接近於 田 的機率愈高，在經濟意義上即代表發生 共同震盪的機率愈大。
在本文中，我們令 W 甽pν−1χ2ν，其中 ν 是一個正整數而 χ2ν 是一個自由度為 ν 卡方分配 用畃畨畩甭畳畱畵畡畲略畤 畤畩畳畴畲畩畢畵畴畩畯畮甩 隨機變數，經過簡單的變數變換計算，可得
甲甲
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W 的機率密度函數
fW用w甩 甽 νν2
甀 ν2 甲ν2−1wν−1e−νw22 , w > 田, 用甴甮申甩 故此機率密度函數滿足 用甴甮甲甩 式，其中
κ 甽 νν2 甀 ν2 甲ν2−1.
同時，如果假設 用甴甮由甩 式中隨機變數 1, . . . , n 與 Z 均為標準常態隨機變數，則對於 所有的 i 甽 由, . . . , n，ρiZ 甫p由 − ρ2ii 亦為標準常態隨機變數。根據 畓畴畵畤略畮畴甧畳 t 隨 機變數的定義，Xi 服從於自由度 ν 的 t 分配，因此 用X1, . . . , Xn甩 是 n 維 t 隨機變 數。應用此模型可以簡易地建立 t 關聯結構，據此可將常態關聯結構下估計違約給付 金額的蒙地卡羅演算流程稍做修改，得到 t 關聯結構下的演算流程如下：
由甮 生成獨立標準常態隨機變數 1, . . . , n 與 Z。
甲甮 生成獨立 1, . . . , n 與 Z 的 χ2ν 隨機變數，並令 W 甽 pν−1χ2ν。 申甮 對於所有的 i 甽 由, . . . , n，令 Xi 甽 ρiZ+
√
1−ρ2ii
W 。
甴甮 對於所有的 i 甽 由, . . . , n，令 Ui 甽 甉ν用Xi甩，其中 甉ν用·甩 是自由度為 ν 的 t 隨 機變數之累積分配函數。
电甮 對於所有的 i 甽 由, . . . , n，令 τi 甽 Fi−1用Ui甩。 甶甮 令 τ(k) 為 用τ1, . . . , τn甩之第 k 秩序統計量。
男甮 令 α(j)ν 甽 用由 − δ甩P 田, τ(k) Iτ(k)≤ T 。
重複上述流程 m 次並計算違約給付金額之點估計量 甖
αν 甽 由 m
m
X
j=1
α(j)ν , 用甴甮甴甩
我們以下標 ν 將此估計量與常態關聯結構下之估計量做區別。
表 甴甮由 呈現在不同自由度下，一籃子信用違約之信用事件與違約給付金額的差 異。設定契約到期時間 T 甽 电 且參考資產 用畲略畦略畲略畮畣略 略畮畴畩畴畩略畳甩 共 电 個信用資產，假
甲申
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設所有資產違約率 λi 甽 λ 甽 田.田由 且回復率 Ri 甽 R 甽 田.甴，並設定共同因子之權重 ρi 甽 ρ 甽 田.甲电，以蒙地卡羅法進行 m 甽 由田6 次模擬估計第 k 家標的違約之信用違約 交換分別在自由度為 ν 甽 甴, 甸, 由甲, 由甶, 甲田 之 t 關聯結構下發生信用事件的機率與違約 給付金額。表 甴甮由 中第一欄最後 ν 甽 ∞ 表示該列是在常態關聯結構下的估計結果，
很明顯地可以發現，自由度愈大時候所得估計值愈接近常態關聯結構下的結果。當 k 甽 由 時，自由度愈低時發生信用事件的機率也愈低，自然違約給付金額也就愈低。
然而在 k 甽 甲, 申 的時候卻有相反的結果，當自由度愈低時反而信用事件發生的機率愈 高，尤其在 k 甽 申 時，自由度 ν 甽 甴 時發生信用事件的機率幾乎是自由度 ν 甽 甸 之下 的 甲 倍，更達常態關聯結構下的 电 倍。此數值結果表示在極值相依 t 關聯結構之下，
同時發生多個信用資產違約事件的機率較常態關聯結構下高，且自由度愈低時其機率 高出愈多。
第二節 重要性取樣法
在極值相依模型下，我們也試著應用重要性取樣的技巧改善蒙地卡羅法的估 計效率。回顧定理 申甮甲，定理 申甮甲 說明在常態關聯結構之下如果給定特性風險因子
1, . . . , n 可得到信用事件 τ(k)≤ T
之等價事件 Z ≤ b(n−k+1) 。在極值相依模型
表 甴甮由町 契約到期時間 T 甽 电，資產池大小 n 甽 电 的一籃子信用違約交換，設定所有 資產皆具常數違約率函數 λ 甽 田.田由，共同因子權重 ρ 甽 田.甲电，回復率 δ 甽 田.甴。假設 無風險利率 r 甽 田.田电，在不同自由度 ν 值的 t 關聯結構下，估計第 k 家標的違約之信 用違約交換之違約給付現值 用k 甽 由, 甲, 申甩。
k畴畨甭畴畯甭畤略畦畡畵畬畴 畂畡畳畫略畴 畄略畦畡畵畬畴 畓畷畡異 用k 甽 由, 甲, 申甩
k 甽 由 k 甽 甲 k 甽 申
ν 畤略畦畡畵畬畴 畤略畦畡畵畬畴 畤略畦畡畵畬畴 畤略畦畡畵畬畴 畤略畦畡畵畬畴 畤略畦畡畵畬畴 異畲畯畢畡畢畩畬畩畴畹 畬略畧 異畲畯畢畡畢畩畬畩畴畹 畬略畧 異畲畯畢畡畢畩畬畩畴畹 畬略畧 甴 田甮由甸男由田甶 田甮田甹甹男申甹 田甮田甴电甴甴由 田甮田甲申甹由甹 田甮田由田由由甸 田甮田田电甲甹甹 甸 田甮甲田田由甴甴 田甮由田甶甸电申 田甮田申男由田申 田甮田由甹申甴田 田甮田田电男由男 田甮田田甲甹电申 由甲 田甮甲田电甶甲申 田甮由田甹男甸田 田甮田申申电田男 田甮田由男申甹甲 田甮田田甴甴男由 田甮田田甲甲甹由 由甶 田甮甲田甸田甲甶 田甮由由由田甶甲 田甮田申甲田由电 田甮田由甶电男由 田甮田田申甹由甴 田甮田田由甹甹甸 甲田 田甮甲田甹电电甲 田甮由由由甹由甹 田甮田申田甹电男 田甮田由电甹甹男 田甮田田申申甸男 田甮田田由男甲甲
∞ 田甮甲由电电甴男 田甮由由电由甲甲 田甮田甲甶由甹男 田甮田由申甴甲甹 田甮田田甲田甸甲 田甮田田由田甴电
甲甴
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根據定理 甴甮由，以蒙地卡羅法處理第 k 家標的違約之信用違約交換問題時，可先 給定 1, . . . , n 與 W ，取 Z 之重要性取樣機率密度函數為
f∗用z甩 甽
φ(z)
Φ用B(n−k+1)甩, z ≤ B(n−k+1) 田, elsewhere 在這個重要性取樣機率密度函數下，概似比應為
L用z甩 甽 φ用z甩
f∗用z甩 甽 甈 B(n−k+1) , ∀z ≤ B(n−k+1). 詳細演算流程如下：
由甮 生成獨立標準常態隨機變數 1, . . . , n。
甲甮 生成獨立於 1, . . . , n 的 χ2ν 隨機變數，並令 W 甽 pν−1χ2ν。 申甮 對於所有的 i 甽 由, . . . , n，令
Bi 甽 W 甉−1ν 用Fi用T 甩甩 −p由 − ρ2ii
ρi , i 甽 由, . . . , n,
同 時 令 B(n−k+1) 為 用B1, . . . , Bn甩 之 第 n − k 甫 由 秩 序 統 計 量 ， 且 L 甽 甈 B(n−k+1)。
甴甮 令 Z 甽 甈−1用LU 甩，其中 U 為 uniform用田, 由甩 隨機變數。
电甮 對於所有的 i 甽 由, . . . , n，令 Xi 甽 ρiZ+
√
1−ρ2ii
W 。
甶甮 對於所有的 i 甽 由, . . . , n，令 Ui 甽 甉ν用Xi甩。 男甮 對於所有的 i 甽 由, . . . , n，令 τi 甽 Fi−1用Ui甩。 甸甮 令 τ(k) 為 用τ1, . . . , τn甩之第 k 秩序統計量。
甹甮 令 βν(j) 甽 α(j)ν L 甽 用由 − δ甩P 田, τ(k) Iτ(k)≤ T L。
重複上述流程 m 次並計算違約給付金額之點估計量 β甖ν 甽 由
m
m
X
j=1
βν(j). 用甴甮电甩
甲甶
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此演算流程與常態關聯結構下的重要性取樣估計流程非常相似，並且同樣可保證 所有模擬路徑均可導致信用事件發生；又其概似比 L 甽 甈 B(n−k+1) ≤ 由，由
V ar∗畛βν畝 甽 E∗βν2 − 用E∗畛βν畝甩2 甽 E∗α2νL2 − 用E∗畛βν畝甩2 甽 Eαν2L − 用E 畛αν畝甩2
≤ Eα2ν − 用E 畛αν畝甩2
≤ V ar 畛αν畝 , 可證明
V ar∗β甖ν ≤ V ar 畛甖αν畝 , 意謂著此重要性演算流程必可達變異數縮減。