評估極值相依組合信用風險之有效演算法 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學統. 學. 計. 系. 碩士學位論文. 評估極值相依組合信用風險之有效演算法治政 Efficient Algorithms for Evaluating 大 Portfolio Credit Risk立with Extremal Dependence ‧. ‧ 國. 學 er. io. sit. y. Nat. n. al v 指導教授： ni C h 劉惠美U博士 engchi. 陳麗霞博士. 研究生：施明儒. 中華民國九十九年六月由.

(2) 要. 摘. 蒙地卡羅模擬是在組合信用風險的管理上相當實用的計算工具。衡量組合信用風險時，必須以適當的模型描述資產間的相依性。常態關聯結構是目前最廣為使用的模型，但實證研究認為 t 關聯結構更適合用於配適金融市場的資料。在本文中，我們採用畂畡畳畳畡畭畢畯畯略畴畡畬甮用甲田田甸甩提出的極值相依模型建立 t 關聯結構用以捕捉資產之間的相關性。同時，為增進蒙地卡羅法之收斂速度，我們以畃畨畩畡畮畧略畴畡畬甮用甲田田男甩的重. 政治大保使用此方法估計一籃子信用違約時，所有模擬路徑均會發生信用事件。數值結果顯立. 要性取樣法為基礎，將其拓展到極值相依模型下，並提出兩階段的重要性取樣技巧確. ‧ 國. 學. 示，所提出的演算法皆達變異數縮減。而在模型自由度較低或是資產池較大的情況下，兩階段的重要性取樣法將會有更佳的估計效率。我們也以同樣的思路，提出用以. ‧. 估計投資組合損失機率的演算法。雖然所提出的演算法經過重要性取樣的技巧後仍無. sit. y. Nat. 法使得欲估計的事件在所有模擬路徑下都會發生，但數值結果仍顯示所提出的方法估. io. n. al. er. 計效率遠遠優於傳統蒙地卡羅法。. v. 關鍵詞：蒙地卡羅法、組合信用風險、t 關聯結構、極值相依、一籃子信用違約交換、重要性取樣、變異數縮減。. Ch. engchi. 畩. i n U.

(3) Abstract 畍畯畮畴略畃畡畲畬畯畳畩畭畵畬畡畴畩畯畮畩畳畡畵畳略畦畵畬畴畯畯畬畯畮異畯畲畴畦畯畬畩畯畣畲略畤畩畴畲畩畳畫畭畡畮畡畧略畭略畮畴甮畗畨略畮畭略畡畳畵畲畩畮畧異畯畲畴畦畯畬畩畯畣畲略畤畩畴畲畩畳畫甬畯畮略畳畨畯畵畬畤畣畨畯畯畳略畡畮畡異異畲畯異畲畩畡畴略畭畯畤略畬畴畯畣畨畡畲畡畣畴略畲畩畺略畴畨略畤略異略畮畤略畮畣略畡畭畯畮畧畡畬畬畡畳畳略畴畳甮畎畯畲畭畡畬畣畯異畵畬畡畩畳畴畨略畭畯畳畴畷畩畤略畬畹畵畳略畤畭略畣畨畡畮畩畳畭畴畯畣畡異畴畵畲略畴畨畩畳畤略異略畮畤略畮畣略畳畴畲畵畣畴畵畲略甬畨畯畷略當略畲甬畳畯畭略略畭異略畲畩畣畡畬畳畴畵畤畩略畳畳畵畧畧略畳畴畴畨畡畴 t甭畣畯異畵畬畡異畲畯當畩畤略畳畡畢略畴畴略畲甌畴畴畯畭畡畲畫略畴畤畡畴畡畴畨畡畮畮畯畲畭畡畬. 政治大畢畯畯略畴畡畬甮用甲田田甸甩畴畯畣畯畮畳畴畲畵畣畴 t甭畣畯異畵畬畡甮畗略畡畬畳畯略畸畴略畮畤畴畨略畩畭異畯畲畴畡畮畣略畳畡畭異畬畩畮畧立. 畣畯異畵畬畡畤畯略畳甮畉畮畴畨畩畳畡畲畴畩畣畬略甬畷略畵畳略略畸畴畲略畭畡畬畤略異略畮畣略畭畯畤略畬異畲畯異畯畳略畤畢畹畂畡畳畳畡畭甭. ‧ 國. 學. 用畉畓甩異畲畯畣略畤畵畲略異畲畯異畯畳略畤畢畹畃畨畩畡畮畧略畴畡畬甮用甲田田男甩畴畯略當畡畬畵畡畴略畢畡畳畫略畴畣畲略畤畩畴畤略畦畡畵畬畴畳畷畡異畳用畂畄畓甩畷畩畴畨略畸畴畲略畭畡畬畤略異略畮畤略畮畣略畡畮畤畩畮畴畲畯畤畵畣略畡畴畷畯甭畳畴略異畉畓畡畬畧畯畲畩畴畨畭. ‧. 畷畨畩畣畨略畮畳畵畲略畳畣畲略畤畩畴略當略畮畴畳畡畬畷畡畹畳畴畡畫略異畬畡畣略畦畯畲略當略畲畹畳畩畭畵畬畡畴畩畯畮異畡畴畨甮畎畵畭略畲甭. sit. y. Nat. 畩畣畡畬畲略畳畵畬畴畳畳畨畯畷畴畨畡畴畴畨略異畲畯異畯畳略畤畭略畴畨畯畤畳畡畣畨畩略當略當畡畲畩畡畮畣略畲略畤畵畣畴畩畯畮甮畉畦畴畨略. io. er. 畭畯畤略畬畨畡畳畬畯畷略畲畤略畧畲略略畯畦畦畲略略畤畯畭甬畯畲畴畨略異畯畲畴畦畯畬畩畯畳畩畺略畩畳畬畡畲畧略畲甬畴畨略畴畷畯甭畳畴略異畉畓畭略畴畨畯畤畩畳畭畯畲略略甎畣畩略畮畴甮畆畯畬畬畯畷畩畮畧畴畨略畳畡畭略畩畤略畡甬畷略畡畬畳畯異畲畯異畯畳略畡畬畧畯畲畩畴畨畭畳畴畯. n. al. Ch. i n U. v. 略畳畴畩畭畡畴略畴畨略異畲畯畢畡畢畩畬畩畴畹畯畦異畯畲畴畦畯畬畩畯畬畯畳畳略畳甮畁畬畴畨畯畵畧畨畴畴畨略畤略畳畩畲略畤略當略畮畴畳畭畡畹畮畯畴. engchi. 畯畣畣畵畲畦畯畲畳畯畭略畳畩畭畵畬畡畴畩畯畮畳甬略當略畮畩畦畴畨略畉畓畴略畣畨畮畩畱畵略畩畳畡異異畬畩略畤甬畮畵畭略畲畩畣畡畬畲略畳畵畬畴畳畳畴畩畬畬畳畨畯畷畴畨畡畴畴畨略異畲畯異畯畳略畤畭略畴畨畯畤畩畳畭畵畣畨畢略畴畴略畲畴畨畡畮畣畲畵畤略畍畯畮畴略畃畡畲畬畯甮 Keywords: 畍畯畮畴略畃畡畲畬畯畭略畴畨畯畤画畐畯畲畴畦畯畬畩畯畣畲略畤畩畴畲畩畳畫画 t甭畣畯異畵畬畡画畅畸畴畲略畭畡畬畤略異略畮甭畤略畮畣略画畂畡畳畫略畴畣畲略畤畩畴畤略畦畡畵畬畴畳畷畡異畳画畉畭異畯畲畴畡畮畣略畳畡畭異畬畩畮畧画畖畡畲畩畡畮畣略畲略畤畵畣畴畩畯畮甮. 畩畩.

(4) 謝. 誌. 碩士班兩年的生涯隨著本篇論文而劃上休止符，而這兩年也是我一路崎嶇波折的求學過程中最為順遂的階段，首要感謝的是論文指導教授劉惠美老師、陳麗霞老師在論文寫作過程中的指引，同時也給了我相當多的機會讓我自由地發揮，並適時給予指正。感謝口試委員洪明欽老師、劉家頤老師於口試時提供的寶貴意見以及鼓勵，讓本篇論文能夠更為完整並且有更多的發展空間。. 政治大. 班上所有同學們在同窗的這兩年間也帶給我許多啟發，尤其是時常一同討論課業. 立. 的延新、書廷、福文、雅薇、昭儀，以及每天一同在研究室裡作伴的志叡、政勳、舜. ‧ 國. 學. 壕、依庭。此外，感謝雨農、涵茵、伊萱、宜臻、亮妤等所有同窗們讓我在這碩士班的兩年內有充實且美好的回憶。最後，除了要感謝父母及姊姊亦倫對我的支持，也特. ‧. Nat. n. al. er. io. sit. 我可將過去的數學基礎與資訊工程的知識有更好的應用領域。. y. 別要感謝淇惠，是淇惠促使我轉換跑道，讓我有這個機會來到政治大學統計學系，讓. Ch. engchi. 畩畩畩. i n U. v.

(5) 目. 錄. 中文摘要甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮. 畩. 英文摘要甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮. 畩畩. 誌謝甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮畩畩畩目錄甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮. 政治大表目錄甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮立. 畩當當畩. ‧ 國. 學. 圖目錄甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮當畩畩畩緒論甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮. 由. 第二章. 聯合違約模型甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮. 电. 第三章. 一籃子信用違約交換與重要性取樣法甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮. ‧. 第一章. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. i n U. 甹. v. 第一節. 評價第 k 家標的違約之信用違約交換甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮由田. 第二節. 重要性取樣法甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮由甲. 第三節. 數值範例甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮由甸. 第四章. engchi. 極值相依模型下兩階段重要性取樣演算法甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甲由. 第一節. 極值相依模型甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甲由. 第二節. 重要性取樣法甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甲甴. 第三節. 兩階段重要性取樣法甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甲男. 畩當.

(6) 第四節第五章. 數值結果甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮申甲. 投資組合損失機率甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甴申. 第一節. 極值相依下之投資組合損失甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甴申. 第二節. 條件風險機率與重要性取樣法甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甴甴. 第三節. 數值結果甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮电田. 第六章. 結論與建議甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮电甴. 參考文獻甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮电电. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 當. i n U. v.

(7) 表目錄. 申甮由. 畃畨畩畡畮畧略畴畡畬甮用甲田田男甩重要性取樣法估計效率用λ 甽田.田申甩甮甮甮甮甮甮甮. 由甹. 申甮甲. 畃畨畩畡畮畧略畴畡畬甮用甲田田男甩重要性取樣法估計效率用λ 甽田.田由甩甮甮甮甮甮甮甮. 甲田. 甴甮由. t 關聯結構下之第 k 家標的違約之信用違約交換甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮. 甲甴. 甴甮甲. 重要性取樣法在不同 ν 下的估計效率用n 甽电甬 k 甽由, 甲, 申甩甮甮甮甮甮甮甮. 甴甮申. 重要性取樣法在不同 ν 下的估計效率用n 甽由田甬 k 甽由, 甲, 申, 甴, 电甩. 甴甮甴. 重要性取樣法在不同 ν 下的估計效率用n 甽甲田甬 k 甽由, 甲, 申, 甴, 电甩. 申甴. 甮甮甮. 申电. 甴甮电. 重要性取樣法在不同 ν 下的估計效率用n 甽甲田甬 k 甽甶, 男, 甸, 甹, 由田甩甮甮甮. 申甶. 甴甮甶. 重要性取樣法在不同 ρ 下的估計效率用n 甽电甬 k 甽由, 甲, 申甩甮甮甮甮甮甮甮. 申男. 甴甮男. 重要性取樣法在不同 ρ 下的估計效率用n 甽由田甬 k 甽由, 甲, 申甩甮甮甮甮甮甮. 甴甮甸. 重要性取樣法在不同 ρ 下的估計效率用n 甽由田甬 k 甽甴, 电甩甮甮甮甮甮甮甮. 申甹. 甴甮甹. 重要性取樣法在不同 ρ 下的估計效率用n 甽甲田甬 k 甽由, 甲, 申, 甴甩甮甮甮甮甮. 甴田. 甴甮由田重要性取樣法在不同 ρ 下的估計效率用n 甽甲田甬 k 甽电, 甶, 男, 甸甩甮甮甮甮甮. 甴由. 甴甮由由重要性取樣法在不同 ρ 下的估計效率用n 甽甲田甬 k 甽甹, 由田甩甮甮甮甮甮甮甮. 甴甲. 电甮由. 演算法在不同 ν 下估計 P r 用Ln > nl甩之效率甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮. 电田. 电甮甲. 演算法在不同 ρ 下估計 P r 用Ln > nl甩之效率甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮. 电甲. 电甮申. 演算法在不同 n 下估計 P r 用Ln > nl甩之效率甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮. 电甲. ‧ 國. 學. 甮甮甮. y. 申申. ‧. 立. 政治大. n. er. io. sit. Nat. al. Ch. n engchi U. 當畩. iv. 申甸.

(8) 演算法在不同 l 下估計 P r 用Ln > nl甩之效率甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮甮. 立. 政治大. 學 ‧. ‧ 國 io. sit. y. Nat. n. al. er. 电甮甴. Ch. engchi. 當畩畩. i n U. v. 电申.

(9) 圖目錄不同 ν 值下 W 之機率密度函數與累積分配函數圖形。甮甮甮甮甮甮甮甮. 立. 政治大. 學 ‧. ‧ 國 io. sit. y. Nat. n. al. er. 甴甮由. Ch. engchi. 當畩畩畩. i n U. v. 甲甲.

(10) 第一章緒論信用衍生性商品是以信用資產為標的物之金融衍生性商品，可提供金融機構作為規避信用風險之用。自由甹甹甲年第一個信用風險衍生性商品問世後，其市場規模急遽成長，至甲田田男年底，全球信用衍生性商品總值已達甶甲兆美元，足見其在金融市場中的重要性。在眾多信用衍生性商品中，信用違約交換用畃畲略畤畩畴畄略畦畡畵畬畴畓畷畡異畳甬畃畄畓甩仍是最受歡迎的商品，是一種類似於保險的信用衍生性金融商品。契約的買方又稱為. 政治大資產，希望將此風險轉嫁給保護賣方用異畲畯畴略畣畴畩畯畮畳略畬畬略畲甩，故在契約期間內以定期定額立. 保護買方用異畲畯畴略畣畴畩畯畮畢畵畹略畲甩，通常為銀行或其他金融機構，因其持有具違約風險的. ‧ 國. 學. 的方式支付信用利差用畣畲略畤畩畴畳異畲略畡畤甩給保護賣方，而當信用事件發生，亦即該標的物違約時，契約隨即中止，同時保護賣方須賠償保護買方此一信用事件所造成的損失。. ‧. 雖然信用違約交換提供了金融機構規避信用風險的工具，但它只提供對單一信用. Nat. sit. y. 資產的保護。然而多數金融機構面臨的信用風險並不僅僅是單一來源，對於信用風險. n. al. er. io. 的管理應以組合信用風險的角度著眼；另一方面，若對所有信用風險均以信用違約. v. 交換一一規避之，則會耗費太多的成本在避險上。在組合信用風險的管理日益受到. Ch. engchi. i n U. 重視的背景下，組合信用衍生性商品如一籃子信用違約交換用畂畡畳畫略畴畃畲略畤畩畴畄略畦畡畵畬畴畓畷畡異畳甩、抵押債務債券用畃畯畬畬畡畴略畲畡畬畩畺略畤畄略畢畴畏畢畬畩畧畡畴畩畯畮畳甬畃畄畏畳甩、合成型債務憑證用畓畹畮畴畨略畴畩畣畃畄畏畳甩、甮甮甮等商品的市場也隨之蓬勃發展。國際結算銀行（畂畡畮畫畦畯畲畉畮畴略畲畮畡畴畩畯畮畡畬畓略畴畴畬略畭略畮畴畳，畂畉畓）的統計資料顯示，甲田田甴年由甲月組合信用衍生性商品總值僅由甮申兆美元，直至甲田田甶年由甲月，總值成長至由田兆美元。在需求提升的情況下，商品的定價與估計組合信用風險遂成金融市場中重要的議題。欲對組合信用風險進行估計，必須給予適當的數學模型描述各個信用資產的邊際違約情形。界畩用甲田田田甩假設違約時間服從非同質用畩畮畨畯畭畯畧略畮略畯畵畳甩卜瓦松過程用畐畯畩畳畳畯畮異畲畯畣略畳畳甩，以違約率函數用畨畡畺畡畲畤畲畡畴略畦畵畮畣畴畩畯畮甩建立畴畩畭略甭畵畮畴畩畬甭畤略畦畡畵畬畴隨. 由.

(11) 機變數。利用此隨機變數描述信用資產違約時間的分配情形，並可計算出契約期間之內該信用資產的違約機率。數學模型的另一個主軸，同時也是估計組合信用風險最關鍵之處在於建立資產之間的相關結構，其中最廣為使用的方法為畃畲略畤畩畴畍略畴畲畩畣畳系統用畇畵異畴畯畮略畴畡畬甮甬由甹甹男甩所用的常態關聯結構用畮畯畲畭畡畬畣畯異畵畬畡甩模型。近年來的實證研究認為常態關聯結構無法正確描述市場中資產間的相關性，造成組合信用風險的錯估，以及組合信用衍生性商品的價格出現套利的可能性。許多不同於常態關聯結構的方式相繼被提出，如畁畲畣畨畩畭略畤略畡畮關聯結構、畃畬畡畹畴畯畮關聯結構、畍畡畲畳畨畡畬畬甭畏畬畫畩畮關聯結構、t 關聯結構用界畩畮畤畳畫畯畧畡畮畤畒畩畳畫界畡畢甬甲田田田甩與畤畯畵畢畬略 − t 關聯結構用畈畵畬畬畡畮畤畗畨畩畴略甬甲田田甴甩等等。又如畋畡畬略畭畡畮畯當畡略畴畡畬甮用甲田田男甩提出在一因子模型用界畡畵畲略畮畴畡畮畤畇畲略畧畯畲畹甬甲田田电甩下改以常態逆高斯分配用畮畯畲畭畡畬畩畮當略畲畳略畇畡畵畳畳畩畡畮畤畩畳畴畲畩畢畵畴畩畯畮甩. 政治大. 建立關聯結構模型。在某些情形下，這些方法比常態關聯結構更適合用於配適金融市. 立. 場上的實際資料。. ‧ 國. 學. 為正確描述資產間的相關性而採用複雜數學模型的同時，也增加了估計組合信用. ‧. 風險的困難。蒙地卡羅法用畍畯畮畴略畃畡畲畬畯畭略畴畨畯畤甩是目前廣為應用於組合風險管理的. y. Nat. 計算工具，具有相當彈性且容易實行的特色，然而卻有估計值收斂速度緩慢的缺點，. er. io. sit. 甚至在處理稀有事件問題的時候會發生估計值不穩定的情形。這些缺點促使許多研究著墨於如何增進蒙地卡羅法的估計效率。例如畚畨略畮畧用甲田田甶甩在一因子關聯結構模型. n. al. Ch. i n U. v. 下同時採用解析解與數值方法的複合演算法估計組合信用風險。應用畅畳畳略略畮甧畳不等. engchi. 式可證明出，在給定共同因子下，投資組合損失的累積機率值可利用常態分配累積函數近似，餘下共同因子的部份，則透過數值積分或是蒙地卡羅法完成投資組合風險的估計。近似法雖可成功縮減問題的維度，大幅減少計算所需時間，但在充份條件不成立的情況下，使用近似法進行估計會與真實值有相當大的偏誤，使得此法在實務上的應用範圍有所限制。另一種常用來改善蒙地卡羅法收斂速度的方式是以統計的變異數縮減用當畡畲畩畡畮畣略畲略畤畵畣畴畩畯畮甩技巧增進估計效率。常用的變異數縮減技巧有對立變數法用畡畮畴畩畴畨略畴畩畣當畡畲畩畡畴略畭略畴畨畯畤甩、控制變數法用畣畯畮畴畲畯畬當畡畲畩畡畴略畭略畴畨畯畤甩、動差擬合法用畭畯畭略畮畴畭畡畴畣畨畩畮畧畭略畴畨畯畤甩與重要性取樣法用畩畭異畯畲畴畡畮畣略畳畡畭異畬畩畮畧畭略畴畨畯畤甩。若重要性取樣法應用得當，其估計效率是在眾多方法中最佳的。猶以對組合信用風險進. 甲.

(12) 行估計時，信用事件通常屬於稀有事件，使得重要性取樣法較其他變異數縮減技巧更具優勢。重要性取樣法是將隨機變數經過測度轉換，利用轉換後的測度空間得到較有效率的點估計。但重要性取樣法並不一定能達到變異數縮減的目的，其估計效率取決於轉換後的測度空間。若所取測度不當，對組合信用風險的估計效率甚至可能出現比傳統蒙地卡羅法用畣畲畵畤略畍畯畮畴略畃畡畲畬畯畭略畴畨畯畤甩差的情況。畊畯畳畨畩畡畮畤畋畡畩畮畴畨用甲田田甴甩提出用以評價一籃子信用違約交換的重要性取樣演算法就存在點估計變異數可能不減反增的問題，畃畨略畮畡畮畤畇畬畡畳畳略畲畭畡畮用甲田田甸甩調整了此方法的演算流程，方使此方法不會出現估計效率降低的情形，但若資產池中的信用資產違約機率大時，經過調整. 政治大出在因子模型常態關聯結構下的條件機率法用畃畯畮畤畩畴畩畯畮畡畬畐畲畯畢畡畢畩畬畩畴畹畭略畴畨畯畤甬畃畐立. 後的方法事實上與傳統蒙地卡羅法是一樣的。畃畨略畮畡畮畤畇畬畡畳畳略畲畭畡畮用甲田田甸甩進而提. ‧ 國. 學. 畭略畴畨畯畤甩，同樣以循序抽樣的想法設計重要性取樣法估計流程。雖然畃畐法估計效率必定優於傳統蒙地卡羅法，但複雜的循序抽樣流程增加了將其應用在較大投資組合上. ‧. 的困難度。在估計投資組合損失尾端機率的問題上，畇畬畡畳畳略畲畭畡畮畡畮畤界畩用甲田田电甩結. sit. y. Nat. 合略畸異畯畮略畮畴畩畡畬畴畷畩畳畴與畴畡畩畬畢畯畵畮畤畡異異畲畯畸畩畭畡畴畩畯畮兩種技巧的兩階段重要性取樣法. io. er. 是漸進最佳的演算流程。在投資組合大且損失門檻用畬畯畳畳畴畨畲略畳畨畯畬畤甩值高時，抑或是信用資產信用評等極佳、違約機率極低的情形下，兩階段重要性取樣法都是相當有效. n. al. Ch. i n U. v. 的估計方法。然而此方法在選擇重要性取樣密度函數用畉畭異畯畲畴畡畮畣略畓畡畭異畬畩畮畧畤略畮畳畩畴畹. engchi. 畦畵畮畣畴畩畯畮甬畉畓畤略畮畳畩畴畹畦畵畮畣畴畩畯畮甩時必須經過求根問題與最佳化問題的計算，均需耗費大量電腦運算時間用畃畐畕畴畩畭略甩，雖然其點估計有較低的變異數，但計算過程相當費時。不同於上述各種方法，畃畨畩畡畮畧略畴畡畬甮用甲田田男甩用以估計一籃子信用違約交換公平利差的重要性取樣法不採用繁複的技巧進行測度轉換，而用相當直觀的想法找到足以保證稀有事件一定發生的測度空間。在一因子模型下，若給定各個信用資產的特性風險因子用畩畤畩畯畳畹畮畣畲畡畴畩畣畲畩畳畫畦畡畣畴畯畲甩，可得到共同因子造成信用事件發生的臨界值，一旦共同因子低於此臨界值，即發生信用事件。以此方法可以很容易地找到適當的重要性取樣密度函數，並可保證此方法可得到有效的點估計。同時此方法不受因子模型的分配限制，在各種不同的關聯結構下均容易實行。. 申.

(13) 上述文獻均以常態關聯結構進行組合信用風險的估計，然而在畍畡畳畨畡畬畡畮畤畚略略當畩用甲田田甲甩的實證研究中指出，應以 t 關聯結構取代常態關聯結構配適金融市場上的資料。本文旨在找出 t 關聯結構下可有效估計組合信用風險的重要性取樣演算法。畂畡畳畳畡畭畢畯畯略畴畡畬甮用甲田田甸甩提出的極值相依用略畸畴畲略畭畡畬畤略異略畮畤略畮畣略甩模型是一種容易生成多變量 t 分配隨機變數並建立 t 關聯結構的方法。在此模型下，仍可依據畃畨畩畡畮畧略畴畡畬甮用甲田田男甩重要性取樣法的構想提出評價一籃子信用違約交換的演算法，但是在某些情況之下，這樣的作法還是無法找到保證信用事件必然發生的機率測度。因此我們也提出了改進的方法，使得所有模擬路徑均能導致信用事件發生，同時可證明所提出的方法確實達到變異數縮減，估計效率優於傳統蒙地卡羅法。延續上述的想法，我們也提出估計投資組合損失機率的演算法，同樣以數學證明所得到的估計量優於傳統蒙地卡羅法。. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 本文第二章將介紹目前最廣為使用的信用資產違約時間的聯合分配模型，此模型是由界畩用甲田田田甩所提出，因此又稱為界畩模型。第三章將介紹組合信用衍生性商品中的. ‧. 一籃子違約交換，以數學式子描述商品現金流以及其定價公式，在寫下蒙地卡羅法的. y. Nat. 估計流程後，開始進入本文核心，由重要性取樣法的介紹到回顧畃畨畩畡畮畧略畴畡畬甮用甲田田男甩. er. io. sit. 的重要性取樣法，銜接第四章的內容。第四章旨在評價在極值相依模型 t 關聯結構之下的一籃子信用違約交換，以畃畨畩畡畮畧略畴畡畬甮用甲田田男甩重要性取樣法的構思找出適用於. n. al. Ch. i n U. v. 此模型下的重要性取樣法，進而衍生出兩階段的重要性取樣流程。在第四章的最末，. engchi. 將以具體的數值範例說明各演算法的特色所在。第五章將焦點轉移至另一個組合信用風險的問題上，討論在極值相依模型下如何估計投資組合損失的分配，同樣以畃畨畩畡畮畧略畴畡畬甮用甲田田男甩的方法為出發點，首先透過縮減估計問題的維度增進估計效率，接著應用重要性取樣法，再一次地縮減估計量之變異數。第五章的最末同樣以數值範例呈現並比較各演算法的估計效率。第六章的結論與建議，總結說明文中所提及的各種估計組合信用風險的演算法，以作為日後選取估計方法時的參考。. 甴.

(14) 第二章聯合違約模型現行廣為用來處理組合信用風險問題的標準模型是建構在違約時間的聯合分配函數用番畯畩畮畴畤畩畳畴畲畩畢畵畴畩畯畮畦畵畮畣畴畩畯畮甩上。考慮一個資產池用畡畳畳略畴異畯畯畬甩大小為 n 的投資組合，並假設 τi 為一隨機變數，定義為資產池中第 i 個資產從合約開始至發生違約所經時間，界畩用甲田田田甩將此隨機變數命名為畴畩畭略甭畵畮畴畩畬甭畤略畦畡畵畬畴。令 Fi 用t甩為 τi 之累積分配函數用畣畵畭畭畵畬畡畴畩當略畤畩畳畴畲畩畢畵畴畩畯畮畦畵畮畣畴畩畯畮甩，. 政治 t >大田,. Fi 用t甩甽 P r 用τi ≤ t甩 ,. Si 用t甩甽 P r 用τi > t甩甽由 − Fi 用t甩,. 學. 同時可定義. ‧ 國. 立. 用甲甮由甩. t > 田.. 用甲甮甲甩. ‧. 函數 Si 用·甩稱為存活函數用畳畵畲當畩當畡畬畦畵畮畣畴畩畯畮甩，可表示第 i 個資產在時間 u 時仍未違約. y. sit. io. n. al. er. 畤略畮畳畩畴畹畦畵畮畣畴畩畯畮甩. Nat. 的機率。無論是利用用甲甮由甩式或是用甲甮甲甩式均可得到 τi 之機率密度函數用異畲畯畢畡畢畩畬畩畴畹. i n C h∆t→0 engchi U. fi 用t甩甽 F 0 用t甩甽 −Si0 用t甩甽畬畩畭+. v. P r 用t ≤ τi < t 甫甁t甩 , 甁t. t > 田,. 用甲甮申甩. 其中 F 0 用t甩與 S 0 用t甩分別為 F 用t甩與 S用t甩之一次導函數。綜合用甲甮由甩式與用甲甮申甩式，給定違約時間 τi > u 之下，該資產瞬間違約機率為 P r 用u < τi ≤ u 甫甁u甩 P r 用τi > u甩 fi 用u甩甁u ≈ 由 − Fi 用u甩. P r 用τi ≤ u 甫甁u | τi > u甩甽. 甽 λi 用u甩甁u 其中甁u 為趨近於田的正值常數，而 λi 用u甩甽. fi 用u甩由 − Fi 用u甩. 电. 用甲甮甴甩.

(15) 稱為第 i 個資產之違約率函數用畨畡畺畡畲畤畲畡畴略畦畵畮畣畴畩畯畮甩。違約率函數可解釋為在給定該資產至時間 u 仍未違約的情況下，τi 在時間 u 時瞬間違約的風險。亦可利用用甲甮甲甩式與用甲甮申甩式重新表示違約率函數 λi 用u甩甽. fi 用u甩 S 0 用u甩甽− , 由 − Fi 用u甩 S用u甩. 用甲甮电甩. 則第 i 個資產之存活函數可表示為 Si 用t甩甽 e−. Rt 0. λi (u)du. ,. t > 田,. 用甲甮甶甩. 此外，其累積分配函數為 Fi 用t甩甽由 − Si 用t甩甽由 − e−. 立. Rt. λi (u)du. , t > 田. 治政大 0. 用甲甮男甩. 任一資產 i 之違約率函數 λi 用u甩均可由其公司債券或信用違約交換之市場價值萃. ‧ 國. 學. 取出，即可得到 τi 之邊際分配函數 Fi 用t甩。然而管理組合信用風險時，必須同時考慮各資產的違約與否是否造成信用事件的發生，因此必須知道用τ1 , . . . , τn 甩的聯合分配. ‧. 函數方能衡量組合信用風險。在界畩模型中，他以常態關聯結構建立違約時間之聯合分. al. n. Definition 2.1 用關聯結構畣畯異畵畬畡甩. 若函數 C町. n Y. Ch. engchi. er. io. sit. y. Nat. 配函數。. i n U. v. 畛田, 由畝甽畛田, 由畝 × 畛田, 由畝 × · · · × 畛田, 由畝 → 畛田, 由畝. i=1. 滿足下列性質：由甮 C用u1 , . . . , un 甩甽田若用u1 , . . . , un 甩至少存在一個元素 ui 甽田。甲甮 C用由, . . . , 由, ui , 由, . . . , 由甩甽 ui ，對於所有 i 甽由, . . . , n。申甮 C 為遞增函數。則 C 為一個關聯結構用畣畯異畵畬畡甩函數。令用U1 , . . . , Un 甩服從 n 維 unif orm用田, 由甩分配，定義 C用u1 , . . . , un 甩甽 P r 用U1 ≤ u1 , . . . , Un ≤ un 甩 , 甶.

(16) 其中田 ≤ u1 , . . . , un ≤ 由。若用u1 , . . . , un 甩至少存在一個元素 ui 甽田，則 C用u1 , . . . , ui−1 , 田, ui+1 , . . . , un 甩用甲甮甸甩甽 P r 用U1 ≤ u1 , . . . , Ui ≤ 田, . . . , Un ≤ un 甩甽田. 用甲甮甸甩式說明此定義下的 C 滿足關聯結構第一個性質，接下來我們可依序驗證 C 是一個關聯結構。假設田 ≤ ui ≤ 由，則 C用由, . . . , 由, ui , 由, . . . , 由甩甽 P r 用U1 ≤ 由, . . . , Ui ≤ ui , . . . , Un ≤ 由甩甽 ui .. 用甲甮甹甩. 最後由多變量聯合分配函數性質，C 是遞增函數，因此 C 是一個關聯結構。又違約時間 τi 為連續隨機變數，故 Fi 用τi 甩服從於 unif orm用田, 由甩分配，意指. 治政 C用u , . . . , u 甩甽 P r 用F 用τ 甩 ≤ u , . . . ,大 F 用τ 甩 ≤ u 甩 , 立 1. n. 1. 1. 1. n. n. 用甲甮由田甩. ‧ 國. 學. 亦為關聯結構。又. n. 用甲甮由由甩. ‧. P r 用F1 用τ1 甩 ≤ u1 , . . . , Fn 用τn 甩 ≤ un 甩甽 F F1−1 用u1 甩, . . . , Fn−1 用u2 甩 ,. y. Nat. 其中 F 為用τ1 , . . . , τn 甩之聯合分配函數。用甲甮由田甩式與用甲甮由由甩式說明用τ1 , . . . , τn 甩之聯. n. al. er. io. sit. 合分配函數等於某一特定的關聯結構，此為畓畫畬畡畲甧畳定理的重要結果。. v. Theorem 2.1 用畓畫畬畡畲甧畳畔畨略畯畲略畭甩. 令 F 是一個 n 維聯合分配函數，F1 , . . . , Fn 為. Ch. engchi. 其邊際分配函數，則存在關聯結構 C 使得. i n U. F 用x1 , . . . , xn 甩甽 C 用F1 用x1 甩, . . . , Fn 用xn 甩甩 , 且若 F1 , . . . , Fn 連續，則關聯結構 C 唯一存在。. 根據畓畫畬畡畲甧畳定理，違約時間之聯合分配函數 F 可用關聯結構表示如下： F 用t1 , . . . , tn 甩甽 P r 用τ1 ≤ t1 , . . . , τn ≤ tn 甩甽 P r 用F1 用τ1 甩 ≤ F1 用t1 甩, . . . , Fn 用τn 甩 ≤ Fn 用tn 甩甩甽 C 用F1 用t1 甩, . . . , Fn 用tn 甩甩 .. 男. 用甲甮由甲甩.

(17) 令用X1 , X2 , . . . , Xn 甩為 n 維標準常態隨機變數，甈n 為其聯合分配函數且甈為 Xi 之邊際分配函數。再次引用畓畫畬畡畲甧畳定理， C 用F1 用t1 甩, . . . , Fn 用tn 甩甩甽 P r 用甈用X1 甩 ≤ F1 用t1 甩, . . . , 甈用Xn 甩 ≤ Fn 用tn 甩甩甽 P r X1 ≤ 甈−1 用F1 用t1 甩甩 , . . . , Xn ≤ 甈−1 用Fn 用tn 甩甩用甲甮由申甩甽甈n 甈−1 用F1 用t1 甩甩 , . . . , 甈−1 用Fn 用tn 甩甩画甆 , 其中甆為用X1 , X2 , . . . , Xn 甩之相關矩陣。用甲甮由申甩式亦稱為常態關聯結構，而用甲甮由甲甩式與用甲甮由申甩式說明違約時間用τ1 , τ2 , . . . , τn 甩的聯合分配函數 F 可藉由常態關聯結構表示。組合信用風險是違約時間用τ1 , . . . , τn 甩的函數，為了說明關聯結構在管理組合應. 治政用風險上的應用，我們以一個實函數 g 為例。令大立Y. R+ 甽 R+ × · · · × R+ → R. g町. 學. ‧ 國. n. i=1. ‧. 則函數 g用τ1 , . . . , τn 甩之期望值. n. al. er. io. sit. y. Nat. E 用g用τ1 , . . . , τn 甩甩 Z ∞ Z ∞ 甽 ... g用τ1 , . . . , τn 甩dF 用τ1 , . . . , τn 甩 0 0 Z 1 Z 1 甽 ... g F1−1 用u1 甩, . . . , Fn−1 用un 甩 dC 用u1 , . . . , un 甩 Z0 ∞ Z0 ∞ 甽 ... g F1−1 用甈用x1 甩甩 , . . . , Fn−1 用甈用xn 甩甩 dΦn 用x1 , . . . , xn 画甆甩 −∞. Ch. engchi U. v ni. 用甲甮由甴甩. −∞. 甽 EX g F1−1 用甈用X1 甩甩 , . . . , Fn−1 用甈用Xn 甩甩 . 用甲甮由甴甩式說明欲計算 g用τ1 , . . . , τn 甩之期望值，可改以 n 維常態分配的期望值計算取代之。這個性質提供了接下來本文將介紹的蒙地卡羅法很重要的理論基礎。. 甸.

(18) 第三章一籃子信用違約交換與重要性取樣法一籃子信用違約交換是小型的信用組合衍生性商品，依據契約內容又可細分為首家標的違約之信用違約交換用甌畲畳畴甭畴畯甭畤略畦畡畵畬畴畳畷畡異畳甩與第二家標的違約之信用違約交換用畳略畣畯畮畤甭畴畯甭畤略畦畡畵畬畴畳畷畡異畳甩，以及更一般化的第 k 家標的違約之信用違約交換用k畴畨甭畴畯甭畤略畦畡畵畬畴畳畷畡異畳甩。無論是何種類型的一籃子信用違約交換，契約內容皆類似於信用違約交換，但契約保護的對象擴展至整個資產池。以第 k 家標的違約之信用違約. 政治大第 k 個信用資產違約時，保護賣方必須依據此次違約事件對保護買方造成的損失給予立. 交換為例，契約期間內保護買方以定期定額的方式支付信用利差於保護賣方，然而當. ‧ 國. 學. 賠償，同時契約提前中止，保護買方無須繼續支付信用利差，保護賣方亦無須繼續為其他信用資產的違約事件負責。. ‧. 市場上一籃子信用違約交換的交易幾乎均以首家標的違約之信用違約交換的型式. Nat. sit. y. 進行，其最主要的應用是提供一種交易資產相關風險的工具。評價首家標的違約之信. n. al. er. io. 用違約交換不僅要考慮資產的邊際違約情形，同時也必須考慮資產之間的相關性。資. v. 產之間的相關程度愈高，則愈有可能發生所有資產同時違約的情形，此時首家標的違. Ch. engchi. i n U. 約之信用違約交換近乎於對資產池中風險最高的資產進行保護。因此隨著資產相關程度上升，合約價值愈接近於信用違約交換。反之，若資產之間的相關程度降低，所面臨的信用風險便不僅只有資產池中風險最高的資產，而是所有資產的違約風險，商品價值自然隨之提高。首家標的違約之信用違約交換除了可作為交易信用風險的工具，其商品價值亦可作為資產相關程度的參考基準。接下來本章將繼續介紹第 k 家標的違約之信用違約交換公平利差之定價公式，並介紹以蒙地卡羅法評價第 k 家標的違約之信用違約交換的演算法，以及畃畨畩畡畮畧略畴畡畬甮用甲田田男甩所提出的重要性取樣法。. 甹.

(19) 第一節評價第 k 家標的違約之信用違約交換考慮資產池大小為 n 契約到期時間為 T 之第 k 家標的違約之信用違約交換契約，保護買方必須於時間 t1 , . . . , tN 用田甽 t0 < t1 < · · · < tN 甽 T 甩支付每單位 s 之信用利差給予保護賣方。對於所有 i 甽由, . . . , n甬令 τi 為第 i 個信用資產之違約時間，Mi 為其名目暴險而 δi 為其回復率用畲略畣畯當略畲畹畲畡畴略甩。通常假設 Mi 與 δi 為固定常數，即 M1 甽 · · · 甽 Mn 甽 M 以及 δ1 甽 · · · 甽 δn 甽 δ。若 P 用田, t甩表示起始時間田到期時間 t 之折現因子，則違約給付金額用畄略畦畡畵畬畴界略畧甬畄界甩為 DL 甽 E 用由 − δ甩M P 田, τ(k) I τ(k) ≤ T ,. 政治大為用τ , . . . , τ 甩之第 k 秩序統計量；而保護收入用畐畲略畭畩畵畭界略畧甬畐界甩為立 " # 1. N X j=1. 學. PL 甽 E. n. ‧ 國. 其中 τ(k). 用申甮由甩. sM 用tj − tj−1 甩 P 用田, tj 甩 IA 甫 sM 用τ(k) − tj 甩P 田, τ(k) IB ,. 用申甮甲甩. ‧. . . 其中 A 甽 τ(k) | τ(k) > tj ，B 甽 τ(k) | τj−1 < τ(k) ≤ tj 。利差的公平定價必須滿. y. sit. 下：. Nat. 足違約給付金額與保護收入等值，因此由用申甮由甩式與用申甮甲甩式，公平利差定價公式如. n. al. er. io. E 用由 − δ甩P 田, τ(k) I τ(k) ≤ T s 甽 hP i. N 用t − t 甩 P 用田, t 甩 I 甫 τ − t E P 田, τ IB j j−1 j A j (k) (k) j=1. Ch. n engchi U. iv. 用申甮申甩. 定價公式用申甮申甩中，分子與分母均為違約時間用τ1 , . . . , τn 甩函數期望值的計算，我們可利用蒙地卡羅法估計其期望值，同時應用用甲甮由甴甩的結果，得到蒙地卡羅法演算流程：. 由甮生成服從 n 維常態分配 Nn 用0, 甆甩之隨機向量用X1 , . . . , Xn 甩。甲甮對於所有的 i 甽由, . . . , n，令 Ui 甽甈用Xi 甩。申甮對於所有的 i 甽由, . . . , n，令 τi 甽 Fi−1 用Ui 甩。甴甮令 τ(k) 為用τ1 , . . . , τn 甩之第 k 秩序統計量。 . 电甮令 α(j) 甽用由 − δ甩P 田, τ(k) I τ(k) ≤ T 。. 由田.

(20) 重複上述流程 m 次並計算 m. α 甖甽. 由 X (j) α , m j=1. 用申甮甴甩. 其中 α(j) 表示第 j 次模擬所得估計值。用申甮甴甩式中 α 甖為用申甮申甩式中的分子，亦即單位名目暴險下違約給付金額的不偏估計量，且估計量變異數為 " # m 由 X (j) 由 V ar 畛甖 α畝甽 V ar 甽 V ar 畛α畝 . α m j=1 m. 用申甮电甩. 若各個資產回復率 δi 均不相同，可將演算流程步驟电的 δ 值修改為第 k 個違約資產的回復率，如果其回復率是隨機的，則 δ 可由其母體分配中抽出，同樣計算估計量 δ 即可。此外，以類似的流程亦可估計用申甮申甩式的分母部份，僅須將步驟电中的估計量 α 改為 αP L 甽. N X. 政治大. 用tj − tj−1 甩 P 用田, tj 甩 IA 甫 τ(k) − tj P 田, τ(k) IB ,. 立. j=1. 學. ‧ 國. 同樣重複步驟由至电共 m 次，即可得到分母的不偏估計量 m. α 甖P L 甽. ‧. 由 X (j) α . m j=1 P L. 以下的討論都將以違約給付金額的估計為主，不再贅述分母的估計流程。. y. Nat. io. sit. 蒙地卡羅法演算流程中，步驟由必須產生相關矩陣為甆之 n 維標準常態分. n. al. er. 配隨機變數用X1 , . . . , Xn 甩。欲完成此步驟，可應用畃畨畯畬略畳畫畹分解的技巧將相關矩. Ch. i n U. v. 陣甆分解為甆甽 B B，先生成 n 維獨立常態隨機變數 Z 甽用Z1 , . . . , Zn 甩T ，再令 T. engchi. X 甽用X1 , . . . , Xn 甩T 甽 B T Z，則 X 之共變異數矩陣為. V ar 用X甩甽 V ar B T Z 甽 B T V ar 用Z甩 B 甽 B T B 甽甆. 界畡畵畲略畮畴畡畮畤畇畲略畧畯畲畹用甲田田电甩的因子模型法亦可用來生成 n 維相關的隨機變數。一因子模型如下： X i 甽 ρi Z 甫. q 由 − ρ2i i ,. i 甽由, . . . , n,. 用申甮甶甩. 其中田 < ρi < 由，1 , . . . , n 與 Z 為獨立之隨機變數，且 1 , . . . , n 分配相同。若 1 , . . . , n 與 Z 均為標準常態分配，則 X1 , . . . , Xn 亦服從於標準常態分配，且 Xi 與 Xj 之共變數數為 Cov 用Xi , Xj 甩甽 ρi ρj , 由由. i 6甽 j..

(21) 畃畨畯畬略畳畫畹分解與因子模型同樣可以用來建立常態關聯結構，但因子模型卻更富經濟涵意；用申甮甶甩式的模型中，Xi 可視為第 i 個信用資產之經濟狀況，所有資產均有共同的因子 Z，一般將此共同因子解釋為總體經濟情勢，其權重 ρi 表示共同因子影響此信用資產程度，而 i 為該資產的特性風險因子。本文接下來介紹的演算法均以因子關聯結構為基礎，為便於比較各演算流程的差異，在此我們將蒙地卡羅法的演算流程重新改寫如下：由甮生成獨立標準常態隨機變數 1 , . . . , n 與 Z。甲甮對於所有的 i 甽由, . . . , n，令 Xi 甽 ρi Z 甫. p. 由 − ρ2i i 。. 政治大. 申甮對於所有的 i 甽由, . . . , n，令 Ui 甽甈用Xi 甩。. 立. 甴甮對於所有的 i 甽由, . . . , n，令 τi 甽 Fi−1 用Ui 甩。. ‧ 國. 學. 电甮令 τ(k) 為用τ1 , . . . , τn 甩之第 k 秩序統計量。. ‧. . 甶甮令 α(j) 甽用由 − δ甩P 田, τ(k) I τ(k) ≤ T 。. y. Nat. n. Ch. engchi. er. io. al. m. 由 X (j) α 甖甽 α . m j=1. sit. 重複上述流程 m 次並計算違約給付金額之點估計量. i n U. v. 第二節重要性取樣法蒙地卡羅法是非常彈性且易於實行的計算工具，同時由用申甮电甩式可知，其估計量變異數與模擬重複次數成反比，因此增加模擬重複次數即可得到更精確的估計結果，給定任意的誤差容忍程度，均可透過增加重複次數來達成。然而，用申甮电甩式也說明蒙地卡羅法的收斂速度相當緩慢，欲提高精確度 K 倍，即為使估計量標準差降為原先的 K −1 ，必須將模擬重複次數提高至 K 2 倍。若採無止盡地增加重複次數的方式以期估計結果達到給定的精確度將使估計過程變得相當耗時。有許多變異數縮減的技巧可用以提升蒙地卡羅法的估計效率，其中重要性取樣法在理論上可以達到最佳估計效率。由甲.

(22) 假設 X 是一個隨機變數具機率密度函數 f 用x甩且 g 為 X 的函數，且對於所有 x ∈ Dc ⊆ R 均滿足 g用x甩甽田。則 Z. ∞. g用x甩f 用x甩dx. E畛g用X甩畝甽 −∞. Z 甽. g用x甩f 用x甩dx D. 用申甮男甩. Z. f 用x甩甽 g用x甩 ∗ f ∗ 用x甩dx f 用x甩 D 甽 E ∗ 畛g用X甩L用X甩畝 , 其中 L用x甩甽. f (x) f ∗ (x). 稱為概似比用畬畩畫略畬畩畨畯畯畤畲畡畴畩畯甩，f ∗ 用x甩稱為重要性取樣密度函數. 用畩畭異畯畲畴畡畮畣略畳畡畭異畬畩畮畧畤略畮畳畩畴畹畦畵畮畣畴畩畯畮甩，它是一個機率密度函數，並且必須滿足對. 政治大數 f 用x甩之隨機樣本用畲畡畮畤畯畭立畳畡畭異畬略甩，則. ∗ 是一組具機率密度函於所有的 x ∈ D，f ∗ 用x甩 > 田。由用申甮男甩式可知，若 X1∗ , . . . , Xm. T. m. ∗. ∗ 用X1∗ , . . . , Xm 甩. 由 X 甽 g用Xi∗ 甩L用Xi∗ 甩 m i=1. 學. ‧ 國. ∗. ‧. 是 E ∗ 畛g用X甩L用X甩畝的不偏估計量，同時也是 E用g用X甩甩的不偏估計量，且變異數為. y. 由 V ar∗ 畛g用X ∗ 甩L用X ∗ 甩畝 , m. io. sit. Nat. ∗ V ar∗ 畛T ∗ 用X1∗ , . . . , Xm 甩畝甽. n. al. er. 其中 X ∗ 亦為具機率密度函數 f ∗ 用x甩之隨機變數，這表示此不偏估計量的變異數大小. Ch. i n U. v. 決定於抽樣的母體分配，意即與用申甮男甩式中所選取的重要性取樣密度函數有關。. engchi. Theorem 3.1 用畺略畲畯當畡畲畩畡畮畣略畉畓畤略畮畳畩畴畹甩. 令 X 是一個隨機變數具機率密度函數 f 用x甩且 g用x甩是一個實函數並滿足對於所有 x ∈ Dc ⊆ R，g用x甩甽田。若重要性取樣密度函數 f ∗ 用x甩在 x ∈ D 時定義如下： f ∗ 用x甩甽. g用x甩f 用x甩 , E 畛g用X甩畝. 則 V ar∗ 畛g用X甩L用X甩畝甽田，其中 L用x甩甽. f (x) 。 f ∗ (x). 由申. ∀x ∈ D,. 用申甮甸甩.

(23) Proof. 2 f 用x甩 ∗ g用x甩 ∗ − E 畛g用X甩L用X甩畝 f ∗ 用x甩dx V ar 畛g用X甩L用X甩畝甽 f 用x甩 −∞ Z ∞ 用E 畛g用X甩畝 − E ∗ 畛g用X甩L用X甩畝甩2 f ∗ 用x甩dx 甽 −∞ Z ∞ 用E 畛g用X甩畝 − E 畛g用X甩畝甩2 f ∗ 用x甩dx 甽 Z. ∗. ∞. −∞. 甽田.. 定理申甮由說明若重要性取樣密度函數選取得當，重要性取樣法可將變異數縮減至最小。然而在評價第 k 家標的違約之信用違約交換時，用申甮申甩式中無論是分子或是分. 政治大. 母的期望值都我們欲估計而未知的，使得滿足用申甮甸甩式的重要性取樣密度函數實際上. 立. 是不可得的。因此，如何選取適當的重要性取樣密度函數使得蒙地卡羅法得以用來有. ‧ 國. 學. 效估計第 k 家標的違約之信用違約交換成為近年來相當熱門的研究議題。. ‧. 蒙地卡羅法的演算流程中，用申甮甴甩式違約給付金額之估計量中包含了一個判斷信用事件是否發生的指標函數，然而違約給付金額必為正值，直覺上，如果某一次的模擬. y. Nat. io. sit. 路徑用異畡畴畨甩使得此指標函數值為田，則該次的估計值必然不是正確的估計量，等同於. n. al. er. 虛耗了一次模擬的計算時間。不幸地，通常信用事件均為稀有事件，使得應用蒙地卡. i n U. v. 羅法估計違約給付金額時可能會有許多次的模擬是徒勞無功的。因此若能找到能保證. Ch. engchi. 模擬的所有路徑均會發生信用事件的重要性取樣分配，似乎便能有效增進蒙地卡羅法的估計效率，畊畯畳畨畩畡畮畤畋畡畩畮畴畨用甲田田甴甩與畃畨略畮畡畮畤畇畬畡畳畳略畲畭畡畮用甲田田甸甩均以此為構想提出用以評價第 k 家標的違約之信用違約交換的重要性取樣演算法。然而，畃畨畩畡畮畧略畴畡畬甮用甲田田男甩與畃畨略畮畡畮畤畇畬畡畳畳略畲畭畡畮用甲田田甸甩均提到，畊畯畳畨畩畡畮畤畋畡畩畮畴畨用甲田田甴甩的重要性取樣演算流程雖可保證信用事件的發生，但亦有可能導致估計量之變異數不減反增的情形。畃畨略畮畡畮畤畇畬畡畳畳略畲畭畡畮用甲田田甸甩更以數值模擬的結果說明之，同時也介紹可簡單地修正此一缺失的方式，進而提出畃畐法。畃畐法選取給定信用事件下資產的違約時間分配為其重要性取樣分配，因此演算流程可保證所有路徑均可導致信用事件的發生，同時他們也證明了此演算流程可達變異數縮減的目的。然而，畃畐法的演算流程採用了畊畯畳畨畩畡畮畤畋畡畩畮畴畨用甲田田甴甩的循序抽樣方法，欲生成第 i 個資產之違約由甴.

(24) 時間 τi ，必須考慮過去第由個至第 i − 由個資產的違約情形，方能決定 τi 的重要性取樣密度函數。如此繁複的演算流程，使得評價過程必須付出更高的時間成本。畃畨畩畡畮畧略畴畡畬甮用甲田田男甩捨棄了繁複的演算流程，以接下來的定理設計出簡潔卻又能達到變異數縮減的重要性取樣法。 Theorem 3.2. 在一因子常態關聯結構模型中，第 k 家標的違約之信用違約交換之 . . 信用事件 τ(k) ≤ T 等價於事件 Z ≤ b(n−k+1) ，其中 b(n−k+1) 為用b1 , . . . , bn 甩之第 n − k 甫由秩序統計量，且甈−1 用Fi 用T 甩甩 − bi 甽 ρi. p 由 − ρ2i i. ,. 意指在給定資產的特性風險因子 1 , . . . , n 下，信用事件的發生與否決定於共同因子 Z 之大小。. 立. 政治大. ‧ 國. 學. Proof. 對於所有的 i 甽由, . . . , n，在給定該資產的特性風險因子下，. ‧. {τi ≤ T } ≡ {Fi 用τi 甩 ≤ Fi 用T 甩}. io. sit. ≡ {甈用Xi 甩 ≤ Fi 用T 甩}. . ≡ Xi ≤ 甈−1 用Fi 用T 甩甩 q −1 2 ≡ ρi Z 甫由 − ρi i ≤ 甈用Fi 用T 甩甩 q −1 2 ≡ ρi Z ≤ 甈用Fi 用T 甩甩 − 由 − ρi i ( ) p 甈−1 用Fi 用T 甩甩 − 由 − ρ2i i ≡ Z≤ ρi. n. al. er. Nat. y. ≡ {Ui ≤ Fi 用T 甩}. Ch. engchi. i n U. v. ≡ {Z ≤ bi } , 故第 i 個信用資產的違約事件 {τi ≤ T } 等價於事件 {Z ≤ bi }。又 n X . I τ(k) ≤ T 甽由 ⇔ I {τi ≤ T } ≥ k i=1. ⇔. n X. I {Z ≤ bi } ≥ k. i=1. . ⇔ I Z ≤ b(n−k+1) 甽由, 由电.

(25) . . 因此信用事件 τ(k) ≤ T 之等價事件為 Z ≤ b(n−k+1) 。若給定資產的特性風險因子 1 , . . . , n ，定義 f ∗ 用z甩如下：   φ(z)  , z ≤ b(n−k+1) Φ用b(n−k+1) 甩 ∗ f 用z甩甽   田, elsewhere. 用申甮甹甩. 其中 φ用·甩為標準常態分配之機率密度函數。對於所有的 z ∈ R，f ∗ 用z甩 ≥ 田且 Z b(n−k+1) Z ∞ ∗ f 用z甩dz 甽 f ∗ 用z甩dz −∞. −∞ b(n−k+1). Z 甽. −∞. 甽. 立. 由. φ用z甩 dz 甈 b(n−k+1) Z b(n−k+1) φ用z甩dz. 政治大. ‧ 國. 學. 甈 b(n−k+1) −∞ 由 P r Z ≤ b(n−k+1) 甽甈 b(n−k+1) 由甈 b(n−k+1) 甽甈 b(n−k+1). ‧. 甽由,. n. al. er. io. sit. y. Nat. . 故 f ∗ 用·甩是一個機率密度函數。令 D 甽 z | τ(k) ≤ T ， Z ∞ E 用由 − R甩P 田, τ(k) ID | 1 , . . . , n 甽用由 − R甩P 田, τ(k) ID φ用z甩dz −∞ Z 甽用由 − R甩P 田, τ(k) φ用z甩dz,. Ch. e n g c Dh i. i n U. v. 因此 Z 的重要性取樣密度函數 f ∗ 用z甩必須滿足對於所有的 z ∈ D，f ∗ 用z甩 > 田。根據定理用申甮甲甩， . D 甽 z | τ(k) ≤ T 甽 z | z ≤ b(n−k+1) , 故用申甮甹甩式是 Z 的一個重要性取樣密度函數，且其概似比 L甽. φ用z甩甽甈 b , (n−k+1) f ∗ 用z甩. ∀z ≤ b(n−k+1) .. 用申甮由田甩. 畃畨畩畡畮畧略畴畡畬甮用甲田田男甩取用申甮甹甩式為 Z 之重要性取樣密度函數，設計評價第 k 家標的違約之信用違約交換之演算流程如下：. 由甮生成獨立標準常態隨機變數 1 , . . . , n 。由甶.

(26) 甲甮對於所有的 i 甽由, . . . , n，令甈−1 用Fi 用T 甩甩 − bi 甽 ρi. p 由 − ρ2i i. ,. i 甽由, . . . , n,. 同時令 b(n−k+1) 為用b1 , . . . , bn 甩之第 n − k 甫由秩序統計量，L 甽甈 b(n−k+1) 。申甮令 Z 甽甈−1 用LU 甩，其中 U 為 unif orm用田, 由甩隨機變數。甴甮對於所有的 i 甽由, . . . , n，令 Xi 甽 ρi Z 甫. p. 由 − ρ2i i 。. 电甮對於所有的 i 甽由, . . . , n，令 Ui 甽甈用Xi 甩。甶甮對於所有的 i 甽由, . . . , n，令 τi 甽 Fi−1 用Ui 甩。. 政治大. 男甮令 τ(k) 為用τ1 , . . . , τn 甩之第 k 秩序統計量。. 立. 學. ‧ 國. . 甸甮令 β (j) 甽 α(j) L 甽用由 − δ甩P 田, τ(k) I τ(k) ≤ T L。重複上述流程 m 次並計算違約給付金額之點估計量. ‧. m. y. 用申甮由由甩. sit. Nat. 由 X (j) β , β甖甽 m j=1. n. al. er. io. 其中 β (j) 表示第 j 次模擬所得估計值。且估計量變異數為 " # m X 由由 V ar∗ β甖甽 V ar∗ β (j) 甽 V ar∗ 畛β畝 , m j=1 m. Ch. engchi. i n U. v. 用申甮由甲甩. 其中，V ar∗ 畛·畝表示共同因子 Z 之機率密度函數為 f ∗ 時的變異數計算。演算流程中值得注意的一點是，由於此重樣性取樣法保證了在所有模擬路徑下信用事件均會發生， . 因此在估計算估計量 β 時，指標函數 I τ(k) ≤ T 事實上是可以省略的。為探討此方法是否可達變異數縮減的目的，繼續對估計量 β 之變異數進行分析： V ar∗ 畛β畝甽 E ∗ β 2 − 用E ∗ 畛β畝甩2 , 其中 E ∗ 畛·畝表示共同因子 Z 之機率密度函數為 f ∗ 時的期望值計算。又因 β 甽 αL，上式可改寫為 V ar∗ 畛β畝甽 E ∗ α2 L2 − 用E 畛α畝甩2 甽 E α2 L − 用E 畛α畝甩2 由男.

(27) 其中，L 甽甈 b(n−k+1) ，因此 L ≤ 由恆成立，這意謂著 V ar∗ 畛β畝 ≤ E α2 − 用E 畛α畝甩2 用申甮由申甩甽 V ar 畛α畝 . 由用申甮电甩式及用申甮由甲甩式可知用申甮由申甩式已證明了畃畨畩畡畮畧略畴畡畬甮用甲田田男甩的重要性取樣法估計量必然較傳統蒙地卡羅法估計量更為精確。畃畨畩畡畮畧略畴畡畬甮用甲田田男甩的重要性取樣法可確保以蒙地卡羅法評價第 k 家標的違約之信用違約交換時，所有模擬路徑均可使信用事件發生，也證明了此演算流程必定達到變異數縮減。此外，即使因子關聯模型中的共同因子、抑或是特性風險因子之分配改以其他不同的分配取代標準常態分配，僅須調整演算流程中些許步驟即可。舉例來. 治政說，若共同因子 Z 改以偏斜常態分配用畳畫略畷略畤畮畯畲畭畡畬大畤畩畳畴畲畩畢畵畴畩畯畮甩而特性風險因立子仍維持標準常態分配，則 X 會服從於偏斜常態分配，此模型將是一個偏斜常態關 i. ‧ 國. 學. 聯結構。分別以甉Z 與甉X 表示 Z 與 X 之累積分配函數。將演算流程步驟申中的. ‧. −1 甈−1 改為甉−1 與步驟电中的甈分別改為甉−1 Z ，而步驟甲中的甈 X 與甉X ，此演算. 流程便可用來評價偏斜常態關聯結構下第 k 家標的違約之信用違約交換。. n. al. er. io. sit. y. Nat. 第三節數值範例. Ch. engchi. i n U. v. 在本章的最後，我們以兩個數值範例呈現此重要性演算流程的估計效率。考慮一個投資組合大小 n 甽电為期 T 甽电年的一籃子信用違約交換，假設折現因子 P 用田, t甩甽 e−rt ，其中 r 為無風險利率，此例中我們設定 r 甽田.田电。設定所有的信用資產均有相同的常數回復率 δi 甽 δ 甽田.甴以及常數違約率函數 λi 甽 λ，且對於所有的 i 甽由, . . . , 电，ρi 甽 ρ。分別以蒙地卡羅法取模擬重複次數 m1 甽由田6 ，以及畃畨畩畡畮畧略畴畡畬甮用甲田田男甩的重要性取樣法設定模擬重複次數 m2 甽由田5 估計首家標的違約之信用違約交換、第二家標的違約之信用違約交換與第三家標的違約之信用違約交換之違約給付現值。甖表申甮由列出在違約率 λ 甽田.田申時兩種方法所得估計值 α 甖與 β，以及其標準差. 由甸.

(28) 表申甮由町資產池大小 n 甽电的一籃子信用違約交換，設定所有資產皆具常數違約率函數 λ 甽田.田申，回復率 δ 甽田.甴。假設無風險利率 r 甽田.田电，在不同的共同因子權重 ρ 下，估計第 k 家標的違約之信用違約交換之違約給付現值用k 甽由, 甲, 申甩。. ρ. io. sit. y. Nat. al. n. 田甮电田田甮男田田甮甹田田甮甹甹. 畔畨畩畲畤甭畴畯甭畤略畦畡畵畬畴畂畡畳畫略畴畄略畦畡畵畬畴畓畷畡異用k 甽申甩畮畡畩當略畳畩畭畵畬畡畴畩畯畮畩畭異畯畲畴畡畮畣略畳畡畭異畬畩畮畧當畡畲畩畡畮畣略畤略畦畡畵畬畴畤略畦畡畵畬畴畬略畧畳甮略甮畤略畦畡畵畬畴畬略畧畳甮略甮畲略畤畵畣畴畩畯畮異畲畯畢畡畢畩畬畩畴畹用畷畩畴畨由田6 畲畵畮畳甩 s.e. 用甖 α甩用畷畩畴畨由田5 畲畵畮畳甩 s.e. β甖 R 田甮田电甶甲由田田甮田甲甸男甹申田甮田田田由由甸田甮田甲甸甴甲申田甮田田田由甶电电甮由田甮田甸男甲甹甶田甮田甴电甴申由田甮田田田由甴男田甮田甴电申甴甲田甮田田田由甴由由由甮田田甮由甲甲田男甴田甮田甶甴电由甸田甮田田田由男甴田甮田甶甴甴甲电甸甮甹男畅甭田电申男甮电田甮由申男甶电男田甮田男申甲甴申田甮田田田由甸甴田甮田男申甲甲甲申甮申甴畅甭田电申田申甮电. ‧. ρ. 立. 學. 田甮电田田甮男田田甮甹田田甮甹甹. 政治大. er. ρ. 畓略畣畯畮畤甭畴畯甭畤略畦畡畵畬畴畂畡畳畫略畴畄略畦畡畵畬畴畓畷畡異用k 甽甲甩畮畡畩當略畳畩畭畵畬畡畴畩畯畮畩畭異畯畲畴畡畮畣略畳畡畭異畬畩畮畧當畡畲畩畡畮畣略畤略畦畡畵畬畴畤略畦畡畵畬畴畬略畧畳甮略甮畤略畦畡畵畬畴畬略畧畳甮略甮畲略畤畵畣畴畩畯畮異畲畯畢畡畢畩畬畩畴畹用畷畩畴畨由田6 畲畵畮畳甩 s.e. 用甖 α甩用畷畩畴畨由田5 畲畵畮畳甩 s.e. β甖 R 田甮由男甲由田电田甮田甸甹男甹甴田甮田田田由甹男田甮田甸甹甸由电田甮田田田申甴甲申甮申田甮由甸甲田由甶田甮田甹甶田甲甹田甮田田田甲田甴田甮田甹电电甸甲田甮田田田甲甴田男甮甲田甮由男电电申由田甮田甹申甴甴甶田甮田田田甲田申田甮田甹申电甲甴田甮田田田由甲由甲甸甮田田甮由电甴甴男甹田甮田甸甲申甶甸田甮田田田由甹申田甮田甸由甹由甸申甮男申畅甭田电甲甶甸甮甸. ‧ 國. 田甮电田田甮男田田甮甹田田甮甹甹. 畤略畦畡畵畬畴異畲畯畢畡畢畩畬畩畴畹田甮甴电由甲甴田田甮申男甹甶甲电田甮甲男田由申甹田甮由男男电甲甶. 畆畩畲畳畴甭畴畯甭畤略畦畡畵畬畴畂畡畳畫略畴畄略畦畡畵畬畴畓畷畡異用k 甽由甩畮畡畩當略畳畩畭畵畬畡畴畩畯畮畩畭異畯畲畴畡畮畣略畳畡畭異畬畩畮畧當畡畲畩畡畮畣略畤略畦畡畵畬畴畬略畧畳甮略甮畤略畦畡畵畬畴畬略畧畳甮略甮畲略畤畵畣畴畩畯畮用畷畩畴畨由田6 畲畵畮畳甩 s.e. 用甖 α甩用畷畩畴畨由田5 畲畵畮畳甩 s.e. β甖 R 田甮甲甴申男甴电田甮田田田甲男田田甮甲甴申由申田田甮田田田电电甴甲甮甴田甮甲田电田甶甹田甮田田田甲甶申田甮甲田甴男甴甴田甮田田田申甹电甴甮甴田甮由甴电甴甲申田甮田田田甲甴田田甮由甴甶田由申田甮田田田由甸甹由甶甮由田甮田甹甴甹电申田甮田田田甲田电田甮田甹电田申甹甴甮甸甶畅甭田电由男男甮男. Ch. engchi. i n U. v. s.e. 用甖 α甩與 s.e. β甖，計算方式如下： r s.e. 用甖 α甩甽. 由 2 S , m1 α. s.e. β甖甽. r. 由 2 S , m2 β. 其中 m. Sα2 甽. 1 X 2 由 α(j) − α 甖 , m1 − 由 j=1. Sβ2 甽. m2 X 2 由 β (j) − β甖 . m2 − 由 j=1. 並在表中最後一欄列出樣本變異數縮減比值用畳畡畭異畬略當畡畲畩畡畮畣略畲略畤畵畣畴畩畯畮畲畡畴畩畯甩 Sα2 R 甽 2. Sβ 若此比值大於由，代表此重要性取樣法確實達到變異數縮減，比值愈大則代表縮減的由甹.

(29) 表申甮甲町資產池大小 n 甽电的一籃子信用違約交換，設定所有資產皆具常數違約率函數 λ 甽田.田由，回復率 δ 甽田.甴。假設無風險利率 r 甽田.田电，在不同的共同因子權重 ρ 下，估計第 k 家標的違約之信用違約交換之違約給付現值用k 甽由, 甲, 申甩。. ρ. io. sit. y. Nat. al. n. 田甮电田田甮男田田甮甹田田甮甹甹. 畔畨畩畲畤甭畴畯甭畤略畦畡畵畬畴畂畡畳畫略畴畄略畦畡畵畬畴畓畷畡異用k 甽申甩畮畡畩當略畳畩畭畵畬畡畴畩畯畮畩畭異畯畲畴畡畮畣略畳畡畭異畬畩畮畧當畡畲畩畡畮畣略畤略畦畡畵畬畴畤略畦畡畵畬畴畬略畧畳甮略甮畤略畦畡畵畬畴畬略畧畳甮略甮畲略畤畵畣畴畩畯畮異畲畯畢畡畢畩畬畩畴畹用畷畩畴畨由田6 畲畵畮畳甩 s.e. 用甖 α甩用畷畩畴畨由田5 畲畵畮畳甩 s.e. β甖 R 田甮田田男男田电田甮田田申甹甲男甴甮甴甶畅甭田电田甮田田申甹申电甴甮甴申畅甭田电由田甮甲田甮田由甸甸男电田甮田田甹男男甶男甮田甶畅甭田电田甮田田甹甸甲田甴甮男田畅甭田电甲甲甮甶田甮田申男电甶申田甮田由甹男甹男田甮田田田由田田田甮田由甹甶甹甹申甮甶甶畅甭田电男电甮甴田甮田甴男甴由甶田甮田甲电由甸甶田甮田田田由由申田甮田甲电甲电由由甮甴由畅甭田电甶甴申甮甴. ‧. ρ. 立. 學. 田甮电田田甮男田田甮甹田田甮甹甹. 政治大. er. ρ. 畓略畣畯畮畤甭畴畯甭畤略畦畡畵畬畴畂畡畳畫略畴畄略畦畡畵畬畴畓畷畡異用k 甽甲甩畮畡畩當略畳畩畭畵畬畡畴畩畯畮畩畭異畯畲畴畡畮畣略畳畡畭異畬畩畮畧當畡畲畩畡畮畣略畤略畦畡畵畬畴畤略畦畡畵畬畴畬略畧畳甮略甮畤略畦畡畵畬畴畬略畧畳甮略甮畲略畤畵畣畴畩畯畮異畲畯畢畡畢畩畬畩畴畹用畷畩畴畨由田6 畲畵畮畳甩 s.e. 用甖 α甩用畷畩畴畨由田5 畲畵畮畳甩 s.e. β甖 R 田甮田申甹甹甶甴田甮田甲田甶甹男田甮田田田由田甲田甮田甲田甶甸甶田甮田田田由甴男甴甮甸田甮田电申田甸男田甮田甲男甸甴田田甮田田田由由甸田甮田甲男甸甴甲田甮田田田由田甹由由甮甶田甮田甶由田甸申田甮田申甲甴田甲田甮田田田由甲男田甮田申甲甴申甴电甮甸田畅甭田电甴甸甮甲田甮田电甴甸甶申田甮田甲甹由甸由田甮田田田由甲由田甮田甲甹甲甶申由甮甶男畅甭田电电甲甸甮甴. ‧ 國. 田甮电田田甮男田田甮甹田田甮甹甹. 畤略畦畡畵畬畴異畲畯畢畡畢畩畬畩畴畹田甮由甹电电甶男田甮由甶申甹甸田田甮由由甲甲甹男田甮田甶甶男申甸. 畆畩畲畳畴甭畴畯甭畤略畦畡畵畬畴畂畡畳畫略畴畄略畦畡畵畬畴畓畷畡異用k 甽由甩畮畡畩當略畳畩畭畵畬畡畴畩畯畮畩畭異畯畲畴畡畮畣略畳畡畭異畬畩畮畧當畡畲畩畡畮畣略畤略畦畡畵畬畴畬略畧畳甮略甮畤略畦畡畵畬畴畬略畧畳甮略甮畲略畤畵畣畴畩畯畮用畷畩畴畨由田6 畲畵畮畳甩 s.e. 用甖 α甩用畷畩畴畨由田5 畲畵畮畳甩 s.e. β甖 R 田甮由田甴甶甹申田甮田田田甲由申田甮由田甴甴甶申田甮田田田甴甲甶甲甮电田甮田甸男甸男甶田甮田田田由甹甹田甮田甸甸申甶甲田甮田田田甲男甹电甮由田甮田甶田由电甶田甮田田田由男田田甮田甶田田男由田甮田田田由由甲甲甲甮甹田甮田申电甶田男田甮田田田由申甴田甮田申电电甹甲甲甮申由畅甭田电申申申甮电. Ch. engchi. i n U. v. 幅度愈大。因此我們可發現在所有情況下，此方法均達變異數縮減，且很明顯地，縮減幅度隨共同因子之權重 ρ 值增加而增加。將違約率改為 λ 甽田.田由且其他條件不變，同樣進行估計，並估計結果列於表申甮甲。一樣地，變異數縮減幅度隨共同因子之權重 ρ 值增加而增加。比較表申甮由的結果，可發現當 λ 值較低的時候，此方法估計效率較佳；另外，無論 k 值大小，在共同因子權重一樣時，信用事件發生機率 P r τ(k) ≤ T 愈小的時候，幾乎都可有較佳的變異數縮減比值，顯示此方法在信用事件為稀有事件時，更能凸顯其變異數縮減之成效。. 甲田.

(30) 第四章極值相依模型下兩階段重要性取樣演算法在前面的章節所介紹的常態關聯結構是目前廣為應用在組合信用風險管理的模型，然而許多研究均指出，常態關聯結構無法確切描述實際金融市場上各個信用資產之間的相關結構，許多資產同時出現違約情形的機率應當比在常態關聯結構之下更高，因此主張應採其他不同的關聯結構模型衡量組合信用風險，特別在畍畡畳畨畡畬畡畮畤畚略略當畩用甲田田甲甩的實證研究中指出，t 關聯結構比常態關聯結構適合用來配適市場資料。. 政治大. 本章將提出 t 關聯結構下估計一籃子信用違約交換違約風險的演算流程，首先介. 立. 紹畂畡畳畳畡畭畢畯畯略畴畡畬甮用甲田田甸甩提出的極值相依模型，並應用此模型建立 t 關聯結構進. ‧ 國. 學. 行極值相依結構下一籃子信用違約交換的違約風險估計。並在極值相依模型之下循畃畨畩畡畮畧略畴畡畬甮用甲田田男甩重要性取樣法的想法，找出信用事件發生的等價事件，藉以設計. ‧. 出因應此模型的兩種不一樣的演算流程，同時以數值範例說明這兩個演算法的特色以. n. 第一節極值相依模型 a l. er. io. sit. y. Nat. 及比較其優缺點。. Ch. engchi. i n U. v. 類似於一因子模型，令 1 , . . . , n 為獨立且分配相同之隨機變數而 Z 為另一個獨立隨機變數，其分配可與 i 不同。令 p ρi Z 甫由 − ρ2i i Xi 甽 , W. i 甽由, . . . , n,. 用甴甮由甩. 其中田 < ρi < 由且 W 是一個獨立於 1 , . . . , n 與 Z 的正值隨機變數，同時必須存在 κ > 田與 ν > 田使得其機率密度函數 fW 用w甩滿足畬畩畭 fW 用w甩甽 κwν−1 甫 o wν−1 ,. 用甴甮甲甩. w↓0. 其中 o用·甩定義如下： h用x甩甽 o 用g用x甩甩. if and only if. h用x甩甽田 or x→0 g用x甩畬畩畭. 甲由. h用x甩甽田. x→∞ g用x甩畬畩畭.

(31) 0.6 0.5 F(x). 0.4. v=4 v = 12 v = 20. 0.2. 0.3. 0.20 0.10. 0.0. 0.00. 0.1. 0.05. f(x). 0.15. v=4 v = 12 v = 20. 0. 10. 20. 30. 40. 0.0. 0.2. 0.4. x. 0.6. 0.8. 1.0. x. 政治大圖甴甮由町不同 ν 值下 W 之機率密度函數與累積分配函數圖形。立. ‧ 國. 學. 極值相依模型是由因子模型衍生而來，但此模型的構想認為信用資產之間違約事件發生的相關結構無法單單以共同因子描述之，同時認為市場中尚存在一個共同震盪. ‧. 用畣畯畭畭畯畮畳畨畯畣畫畳甩因子會造成信用資產共同違約的情況發生，用甴甮由甩式中的隨機變數. y. Nat. sit. n. al. er. io. W 即為模型描述此共同震盪所用。當 W 值趨近於田時，對於所有 i 甽由, . . . , n，無 p 論 ρi Z 甫由 − ρ2i i 大小，Xi 值都會是極端的 ∞ 或是 −∞，代表許多原先情勢雖. i n U. v. 不甚理想卻又還不至於違約的信用資產在共同震盪發生時，亦無可避免地發生違約，. Ch. engchi. 只有真正體質好的資產方能不受共同震盪的影響。而發生共同震盪的機率大小取決於用甴甮甲甩式中的參數 ν 值，其值愈小發生共同震盪的機率也就愈大，反之，隨著此值的增加發生共同震盪的機率隨之降低。此一特點可藉由圖甴甮由說明之。圖甴甮由是由一個符合用甴甮甲甩式之機率密度函數族中取出三個自由度大小不同的機率密度函數所繪製而成，同時也繪出與其對應的累積分配函數。從這兩個函數的圖形可以很清楚的發現，ν 值愈小的機率密度函數其值 W 出現接近於田的機率愈高，在經濟意義上即代表發生共同震盪的機率愈大。在本文中，我們令 W 甽. p ν −1 χ2ν ，其中 ν 是一個正整數而 χ2ν 是一個自由度為. ν 卡方分配用畃畨畩甭畳畱畵畡畲略畤畤畩畳畴畲畩畢畵畴畩畯畮甩隨機變數，經過簡單的變數變換計算，可得. 甲甲.

(32) W 的機率密度函數 ν. 2 ν2 ν−1 − νw 2 , w e fW 用w甩甽 ν 甀 ν2 甲 2 −1. w > 田,. 用甴甮申甩. 故此機率密度函數滿足用甴甮甲甩式，其中 ν. ν2 ν . κ甽甀 ν2 甲 2 −1 同時，如果假設用甴甮由甩式中隨機變數 1 , . . . , n 與 Z 均為標準常態隨機變數，則對於 p 所有的 i 甽由, . . . , n，ρi Z 甫由 − ρ2i i 亦為標準常態隨機變數。根據畓畴畵畤略畮畴甧畳 t 隨機變數的定義，Xi 服從於自由度 ν 的 t 分配，因此用X1 , . . . , Xn 甩是 n 維 t 隨機變數。應用此模型可以簡易地建立 t 關聯結構，據此可將常態關聯結構下估計違約給付. 政治大. 金額的蒙地卡羅演算流程稍做修改，得到 t 關聯結構下的演算流程如下：. 立. 由甮生成獨立標準常態隨機變數 1 , . . . , n 與 Z。. ‧ 國. 學. 甲甮生成獨立 1 , . . . , n 與 Z 的 χ2ν 隨機變數，並令 W 甽. p ν −1 χ2ν 。. ρi Z+. ‧. √. 申甮對於所有的 i 甽由, . . . , n，令 Xi 甽. 1−ρ2i i 。 W. y. Nat. io. sit. 甴甮對於所有的 i 甽由, . . . , n，令 Ui 甽甉ν 用Xi 甩，其中甉ν 用·甩是自由度為 ν 的 t 隨. er. 機變數之累積分配函數。. n. al. C hτi 甽 Fi−1 用Ui甩。 U n i 电甮對於所有的 i 甽由, . . . , n，令 engchi. v. 甶甮令 τ(k) 為用τ1 , . . . , τn 甩之第 k 秩序統計量。 . (j) 男甮令 αν 甽用由 − δ甩P 田, τ(k) I τ(k) ≤ T 。重複上述流程 m 次並計算違約給付金額之點估計量 m. α 甖ν 甽. 由 X (j) α , m j=1 ν. 用甴甮甴甩. 我們以下標 ν 將此估計量與常態關聯結構下之估計量做區別。表甴甮由呈現在不同自由度下，一籃子信用違約之信用事件與違約給付金額的差異。設定契約到期時間 T 甽电且參考資產用畲略畦略畲略畮畣略略畮畴畩畴畩略畳甩共电個信用資產，假甲申.

(33) 設所有資產違約率 λi 甽 λ 甽田.田由且回復率 Ri 甽 R 甽田.甴，並設定共同因子之權重 ρi 甽 ρ 甽田.甲电，以蒙地卡羅法進行 m 甽由田6 次模擬估計第 k 家標的違約之信用違約交換分別在自由度為 ν 甽甴, 甸, 由甲, 由甶, 甲田之 t 關聯結構下發生信用事件的機率與違約給付金額。表甴甮由中第一欄最後 ν 甽 ∞ 表示該列是在常態關聯結構下的估計結果，很明顯地可以發現，自由度愈大時候所得估計值愈接近常態關聯結構下的結果。當 k 甽由時，自由度愈低時發生信用事件的機率也愈低，自然違約給付金額也就愈低。然而在 k 甽甲, 申的時候卻有相反的結果，當自由度愈低時反而信用事件發生的機率愈高，尤其在 k 甽申時，自由度 ν 甽甴時發生信用事件的機率幾乎是自由度 ν 甽甸之下的甲倍，更達常態關聯結構下的电倍。此數值結果表示在極值相依 t 關聯結構之下，同時發生多個信用資產違約事件的機率較常態關聯結構下高，且自由度愈低時其機率高出愈多。. 立. 政治大. ‧ 國. 學. 第二節重要性取樣法. ‧. 在極值相依模型下，我們也試著應用重要性取樣的技巧改善蒙地卡羅法的估. y. Nat. sit. er. io. 計效率。回顧定理申甮甲，定理申甮甲說明在常態關聯結構之下如果給定特性風險因子 . . 1 , . . . , n 可得到信用事件 τ(k) ≤ T 之等價事件 Z ≤ b(n−k+1) 。在極值相依模型. al. n. iv n C 表甴甮由町契約到期時間 T 甽电，資產池大小 h e n gn c甽 h电的一籃子信用違約交換，設定所有 iρ U 資產皆具常數違約率函數 λ 甽田.田由，共同因子權重甽田.甲电，回復率 δ 甽田.甴。假設無風險利率 r 甽田.田电，在不同自由度 ν 值的 t 關聯結構下，估計第 k 家標的違約之信用違約交換之違約給付現值用k 甽由, 甲, 申甩。 k畴畨甭畴畯甭畤略畦畡畵畬畴畂畡畳畫略畴畄略畦畡畵畬畴畓畷畡異用k k甽由 k甽甲 ν 畤略畦畡畵畬畴畤略畦畡畵畬畴畤略畦畡畵畬畴畤略畦畡畵畬畴異畲畯畢畡畢畩畬畩畴畹畬略畧異畲畯畢畡畢畩畬畩畴畹畬略畧甴田甮由甸男由田甶田甮田甹甹男申甹田甮田甴电甴甴由田甮田甲申甹由甹甸田甮甲田田由甴甴田甮由田甶甸电申田甮田申男由田申田甮田由甹申甴田由甲田甮甲田电甶甲申田甮由田甹男甸田田甮田申申电田男田甮田由男申甹甲由甶田甮甲田甸田甲甶田甮由由由田甶甲田甮田申甲田由电田甮田由甶电男由甲田田甮甲田甹电电甲田甮由由由甹由甹田甮田申田甹电男田甮田由电甹甹男 ∞ 田甮甲由电电甴男田甮由由电由甲甲田甮田甲甶由甹男田甮田由申甴甲甹. 甲甴. 甽由, 甲, 申甩 k甽申畤略畦畡畵畬畴畤略畦畡畵畬畴異畲畯畢畡畢畩畬畩畴畹畬略畧田甮田由田由由甸田甮田田电甲甹甹田甮田田电男由男田甮田田甲甹电申田甮田田甴甴男由田甮田田甲甲甹由田甮田田申甹由甴田甮田田由甹甹甸田甮田田申申甸男田甮田田由男甲甲田甮田田甲田甸甲田甮田田由田甴电.