第五章 投資組合損失機率
第二節 條件風險機率與重要性取樣法
國
立 政 治 大 學
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N a tio na
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意即 資 產 i 的 違 約門 檻 畾xi 甽 −aif 用n甩， 其 中 ai > 田 且 g用n甩 是 一 個 非 負 遞 增 函 數 滿 足 畬畩畭n→∞g用n甩 甽 ∞。 在 這 樣 的 設 定 下 ， 資 產 i 的 邊 際 違 約 機 率 為 甉ν用−aig用n甩甩 ≤ 田.电。因此，極端相依模型下以傳統的蒙地卡羅法估計 P r 用Ln> nl甩 的演算流程如下：
由甮 生成獨立標準常態隨機變數 1, . . . , n 與 Z。
甲甮 生成獨立於 1, . . . , n 與 Z 的 χ2ν 隨機變數，並令 W 甽 pν−1χ2ν。
申甮 對於所有的 i 甽 由, . . . , n，令 Xi 甽 ρiZ+
√
1−ρ2ii
W 。
甴甮 令
Ln甽
n
X
i=1
eiI{Xi ≤ −aig用n甩}.
电甮 令 畞Pnaive(j) 甽 I{Ln > nl}。
重複上述流程 m 次並計算 P r 用Ln> nl甩 之點估計量 P畞naive 甽 由
m
m
X
j=1
P畞naive(j) , 用电甮申甩
其中 Pnaive(j) 表示第 j 次模擬路徑所得估計值。
步驟 由 中的 1, . . . , n 與 Z 若改為平均數為 田 標準差為 σ 的常態分配，雖然 ρiZ 甫p由 − ρ2ii 不再服從於標準常態分配，但因為此時 Xi 與 t 分配隨機變數僅差 一個常數乘積的調整，所以模型仍是一個 t 關聯結構。
第二節 條件風險機率與重要性取樣法
與估計一籃子信用違約時遭遇的問題一樣，蒙地卡羅法仍有收斂速度緩慢的問 題。此外，在估計投資組合損失總額時，時常會遇到 P r 用Ln> nl甩 的真實機率太小，
致使欲應用傳統的蒙地卡羅法進行估計必須極大的模擬重複次數，也因而使得處理這 樣的組合信用風險管理問題時，更需要能夠改進蒙地卡羅法估計效率的方法。
甴甴
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表 电甮甴町 假設資產池大小 n 甽 甲电田，設定 f用n甩 甽 √
n，且對於所有資產 ai 甽 田.电，共 同因子權重 ρi 甽 田.甲电。固定自由度 ν 甽 由甲，在不同共同因子權重 ρ 下以所提出的演 算法估計 P r 用Ln> nl甩。表中 用∗甩 表示該演算法估計失敗的模擬情境。
畡畬畧畯畲畩畴畨畭 由 畡畬畧畯畲畩畴畨畭 甲 l P畞 s.e. 畞P
R1 P畞is s.e. 畞Pis
R2 田甮由田 田甮田田申男男甴 甴甮甸甴畅甭田电 由甮甶 田甮田田申男男甶 甴甮甴甹畅甭田甶 由甸甶甮申 田甮甲田 甸甮男男畅甭田电 甶甮甲甲畅甭田甶 甲甮申 甸甮男甹畅甭田电 由甮甹田畅甭田男 甲甴申甹甮甶 田甮申田 由甮电申畅甭田甶 电甮甸甶畅甭田男 甴甮由 由甮甴田畅甭田甶 甶甮申电畅甭田甹 申甴甶电甶甮甲 田甮甴田 用∗甩 用∗甩 用∗甩 由甮电甶畅甭田甸 由甮甹男畅甭由田 甴甮田由畅甫田电 田甮电田 用∗甩 用∗甩 用∗甩 甴甮由电畅甭由由 甲甮田甲畅甭由甲 由甮田甲畅甫田男 田甮甶田 用∗甩 用∗甩 用∗甩 由甮甴田畅甭由甴 由甮甸甲畅甭由电 甴甮甲甲畅甫田甹
時，估計結果也沒有明顯的變異數縮減。而無論 n 為何，畡畬畧畯畲畩畴畨畭 甲 皆能成功估計 且變異數縮減比均高出 畡畬畧畯畲畩畴畨畭 由，同時隨著 n 愈大，估計效率愈佳。
表 电甮甴 是一個資產池大小 n 甽 甲电田 的投資組合，設定模型自由度 ν 甽 由甲 以及 共同因子權重 ρ 甽 田.甲电，在給定不同 l 下分別以兩個演算法進行估計。兩個方法的 估計效率均隨著 l 增加 {Ln > nl} 事件逐漸稀有而有較高的變異數縮減比，然而當 l ≥ 田.甴田 時，畡畬畧畯畲畩畴畨畭 由 無法成功估計事件發生機率。事實上 畡畬畧畯畲畩畴畨畭 由 即使在能 成功估計的情境下，也沒有理想的變異數縮減比，反觀 畡畬畧畯畲畩畴畨畭 甲 不但在所有情況 均可成功估計，其變異數縮減比也都非常理想。
綜合各種情境下的模擬結果可發現，當 P r 用Ln > nl甩 < 由田−6 時 畡畬畧畯畲畩畴畨畭 由 便 無法成功估計，此外，其變異數縮減比也大大不如 畡畬畧畯畲畩畴畨畭 甲，因此我們建議，無論 在何種情況下，均應選擇 畡畬畧畯畲畩畴畨畭 甲 做為估計此組合信用風險的方法，特別是在事 件發生機率極低的時候，更應採用 畡畬畯畲畩畴畨畭 甲 進行估計。
电申