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立 政 治 大 學
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畃畨畯畬略畳畫畹 分解與因子模型同樣可以用來建立常態關聯結構，但因子模型卻更富經濟涵 意；用申甮甶甩 式的模型中，Xi 可視為第 i 個信用資產之經濟狀況，所有資產均有共同的 因子 Z，一般將此共同因子解釋為總體經濟情勢，其權重 ρi 表示共同因子影響此信用 資產程度，而 i 為該資產的特性風險因子。本文接下來介紹的演算法均以因子關聯結 構為基礎，為便於比較各演算流程的差異，在此我們將蒙地卡羅法的演算流程重新改 寫如下：
由甮 生成獨立標準常態隨機變數 1, . . . , n 與 Z。
甲甮 對於所有的 i 甽 由, . . . , n，令 Xi 甽 ρiZ 甫p由 − ρ2ii。 申甮 對於所有的 i 甽 由, . . . , n，令 Ui 甽 甈用Xi甩。
甴甮 對於所有的 i 甽 由, . . . , n，令 τi 甽 Fi−1用Ui甩。 电甮 令 τ(k) 為 用τ1, . . . , τn甩之第 k 秩序統計量。
甶甮 令 α(j)甽 用由 − δ甩P 田, τ(k) Iτ(k)≤ T 。
重複上述流程 m 次並計算違約給付金額之點估計量
甖 α 甽 由
m
m
X
j=1
α(j).
第二節 重要性取樣法
蒙地卡羅法是非常彈性且易於實行的計算工具，同時由 用申甮电甩 式可知，其估計量 變異數與模擬重複次數成反比，因此增加模擬重複次數即可得到更精確的估計結果，
給定任意的誤差容忍程度，均可透過增加重複次數來達成。然而，用申甮电甩 式也說明蒙地 卡羅法的收斂速度相當緩慢，欲提高精確度 K 倍，即為使估計量標準差降為原先的 K−1，必須將模擬重複次數提高至 K2 倍。若採無止盡地增加重複次數的方式以期估 計結果達到給定的精確度將使估計過程變得相當耗時。有許多變異數縮減的技巧可用 以提升蒙地卡羅法的估計效率，其中重要性取樣法在理論上可以達到最佳估計效率。
由甲
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其中，L 甽 甈 b(n−k+1)
，因此 L ≤ 由 恆成立，這意謂著
V ar∗畛β畝 ≤ Eα2 − 用E 畛α畝甩2 甽 V ar 畛α畝 .
用申甮由申甩
由 用申甮电甩 式及 用申甮由甲甩 式可知 用申甮由申甩 式已證明了 畃畨畩畡畮畧 略畴 畡畬甮 用甲田田男甩 的重要性取樣法 估計量必然較傳統蒙地卡羅法估計量更為精確。
畃畨畩畡畮畧 略畴 畡畬甮 用甲田田男甩 的重要性取樣法可確保以蒙地卡羅法評價第 k 家標的違約 之信用違約交換時，所有模擬路徑均可使信用事件發生，也證明了此演算流程必定達 到變異數縮減。此外，即使因子關聯模型中的共同因子、抑或是特性風險因子之分配 改以其他不同的分配取代標準常態分配，僅須調整演算流程中些許步驟即可。舉例來 說，若共同因子 Z 改以偏斜常態分配 用畳畫略畷略畤 畮畯畲畭畡畬 畤畩畳畴畲畩畢畵畴畩畯畮甩 而特性風險因 子仍維持標準常態分配，則 Xi 會服從於偏斜常態分配，此模型將是一個偏斜常態關 聯結構。分別以 甉Z 與 甉X 表示 Z 與 X 之累積分配函數。將演算流程步驟 申 中的 甈−1 改為 甉−1Z ，而步驟 甲 中的 甈−1 與步驟 电 中的 甈 分別改為 甉−1X 與 甉X，此演算 流程便可用來評價偏斜常態關聯結構下第 k 家標的違約之信用違約交換。