第二章 文獻回顧
2.7 其它相關極限承載力文獻
26
限元素程式，直接獲得節點接觸應力，於界面上可獲得更多應力分佈 的高精確結果，並以條形基腳試驗例子及其他計算結果來做比較，證 明界面是有效且可靠的。
27
分析出岩體節理面摩擦角不同造成破壞發生所需之極限承載力（如表 2.3 所示），更可由界面之滑動破壞趨勢觀察其漸進式破壞行為。
Merifield、Lyamin & Sloan(2006)應用數值極限分析評估岩體上 面基腳的極限承載力，其強度可以經由一般的Hoek-Brown 破壞準則 來分析。運用有限元素結合傳統上塑性的上限與下限定理，得到岩體 的極限承載力，並且針對材料性質範圍提出合適的承載力係數，用現 有的數值分析、經驗和半經驗方法來作比較。
Anastasopoulos 等人(2009)發展出兩階段非線性有限元素的一套
方法來研究破裂擴展行為與條形基礎的互制，並且在條形基礎與正斷 層破裂之間的互制行為，進行了一項參數研究。結果顯示出重型荷載 基礎實質上可以轉移破裂路徑。
28
表 2.1 各分析方法之基本滿足條件（Potts and Fourie , 1986）
Method of
analysis Equilibrium Compatibility Material
behavior Boundary
conditions Limit
equilibrium
Satisfied in a limited
sence
Not satisfied Rigid with a Mohr-Coulomb failure criterion
Load b.c.s satisfied.
Displacement b.c.s not considered Stress field
solutions Satisfied Not satisfied Rigid with a Mohr-Coulomb failure criterion
Load b.c.s satisfied.
Displacement b.c.s not considered
Lower
bound Satisfied Not satisfied
Load b.c.s satisfied.
Displacement b.c.s not considered Limit
analysis
Upper bound
Not
satisfied Satisfied
Elastic-perfactly plastic with an associated flow
rule.
Mohr-Coulomb failure surface used as the yield
surface Satisfied
29
表2.2 淺基礎極限承載力理論比較
承載力理論 Prandtl(1920) Terzaghi(1943) Meyerhof(1951) Hansen(1952) Vesic(1973) 基底破壞面 與水平之夾角45+φ/2 與水平之夾角φ 與水平之夾角45+φ/2 與水平之夾角45+φ/2 與水平之夾角45+φ/2
Nγ 無 1 2
2 tan
cos 1 Kp
Nγ ⎛⎜ ⎞⎟
φ
⎝ ⎠
= −
N
γ= ( N
q− 1 tan 1.4 ) ( φ ) N
γ= 1.5 ( N
q− 1 tan ) φ
Nγ =2(
Nq +1 tan) φ
Nq
tan
tan 45
2 q2
N = e
π φ⎛ ⎜
°+ φ ⎞ ⎟
⎝ ⎠
2(3 / 4 / 2) tan
2cos2
4 2 Nq
e
π φ φ π φ−
⎛ − ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
tan tan2 45q 2
N =eπ φ ⎛⎜⎝ +φ⎞⎟⎠
D tan
tan
2 452 N
qe
π φ ⎛φ
⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠
=
D+
tan 2tan 45
2 Nq eπ φ ⎛
φ
⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠
= D +
Nc Nc =
(
Nq −1 cot) φ N
c= ( N
q− 1 cot ) φ
Nc =(
Nq−1 cot)
φN
c= ( N
q− 1 cot ) φ
Nc =(
Nq −1 cot) φ
基礎形狀 長條形 長條形、圓形、方形 矩形、圓形、方形 矩形、圓形、方形 長條形
基礎深度 淺 淺 淺、深 淺、深 淺
載重 垂直 垂直 垂直或傾斜 垂直或傾斜 垂直
30
表
2.3
不同節理面摩擦角破壞機制下之數值計算結果與極限分析值 之比較（Ψ
1=45°+1/2φ
、Ψ
2=45°-1/2φ
）（劉晏喬，2003
）分析案例 極限分析解 數值計算結果 誤差百分比(%)
φ1=φ2=20° 1.089 1.090 0.003
φ1=20° φ2=10° 0.749 0.750 0.013
φ1=20° φ2=30° 1.798 1.800 0.106
φ1=10° φ2=20° 0.760 0.760 0
不連續岩體
淺基礎
φ1=30° φ2=20° 1.418 1.420 0.128
3 1 1 1 1
(σ A ( / tan )( 1)
u
N c N
q F
φ + φ φ −
=
( )
2
3 1 2 2
2
σ γ tan ψ 1
2 tan
A
c
q B Nφ Nφ
φ
⎛ ⎞
⎛ ⎞
=⎜⎝ + ⎟⎠ +⎜⎝ ⎟⎠ −
31
圖
2.1
極限分析理論之上下限值示意圖圖
2.2
淺基礎極限承載力破壞機制（Soubra , 1999
）Upper bound
Lower bound
Limit equilibrium F.S.=1
32
(
a
)(
b
)圖
2.3
方型基礎極限承載破壞型式 (a
) 傳統極限分析 (b
) 加入新 速度場分析 (Puzrin & Randolph , 2003
)33
(
a
)(
b
)圖
2.4
擋土牆破壞機制 (a
)傳統型式(b
)對數螺旋型式 (Yang , 2007
)34
圖
2.5
半圓弧旋轉滑動破壞機制示意圖(李煜舲,2008
)圖
2.6 Prandtl
（1920
）之破壞機制35
圖
2.7 Terzaghi
､Meyerhof
及Hansen
淺基礎破壞機制（
Bowles
，1996
）36
圖
2.8
(a
)連續變形與不連續變形剛性塊體之破壞機制 (Michalowski , 1997
)圖
2.8
(b
)速矢端線示意圖(Michalowski , 1997
)37
圖
2.9
基礎位於邊坡坡面上之破壞機制圖(Meyerhof , 1957
）圖
2.10
邊坡上基礎位置之分佈狀況（Meyerhof , 1957
）38
圖
2.11
緊鄰坡頂（b = 0
）之承載因子Nr、Nq及N 與 ψ 之關係c（
Meyerhof , 1957
）圖
2.12
埋入土體內之基礎承載破壞機制（Meyerhof , 1957
）39
圖
2.13
邊坡坡面上承載因子Ncq與β之關係(Meyerhof , 1957
)圖
2.14
邊坡坡面上承載因子N 與β之關係(cqMeyerhof , 1957
)40
圖
2.15
邊坡坡面上承載因子Nrq與β之關係(Meyerhof , 1957
)圖
2.16
邊坡基礎承載破壞機制(Kusakabe
等人，1981
)41
圖
2.17
邊坡基礎承載機制 滑動線(1)
為最初估計值(2)
為隨機運算值
(3)
為最佳化程序結果(Donald & Chen , 1997)
圖
2.18
膠結不良砂岩淺基礎假設破壞機制(Chang
,2008
)42
圖
2.19
兩物體接觸面之示意圖圖
2.20
無厚度六節點等參數界面元素之局部座標示意圖Sc S2
S1 S0
43
圖
2.21
物體受外力影響時之接觸面示意圖圖
2.22
節理元素示意圖（Goodman , Taylor & Brekke , 1968
） ab M
44
圖
2.23
有厚度元素示意圖（Desai , et.al. , 1984
）圖
2.24 Schematic of Modes of Deformation at Interface
：（a
）Stick or No
Slip
；（b
）Slip or Sliding
；（c
）Debonding
；（d
）Rebonding
； 不同條件之界面變形圖（Desai , et al. , 1984
）45
圖
2.25
正向應力－應變圖（Desai
＆Nagaraj , 1988
）46