結果比較

本章乃以有限元素分析並考量多段式無厚度界面元素，數值模擬 不同參數條件下之幾何破壞機制，其界面元素均採用莫爾－庫倫摩擦 界面，且假設土體與基礎均為彈性體。在假設不同幾何土體破壞機制 條件下，探討多位學者提出之極限承載力上限值分別為(一)Donald 與 Chen(1997)邊坡淺基礎極限承載力上限值，探討在不同坡角下對 淺基礎承載力上限值之影響、(二)Chang(2008)邊坡淺基礎極限承載 力上限值，探討淺基礎位於邊坡坡緣處，對極限承載力上限值之影響 及(三)由 Soubra 淺基礎數列解理論，推導邊坡淺基礎極限承載力之 數列解理論。經由計算結果可得到下列結論:

(一) 經由數值分析計算結果、數列解、Donald 與 Chen(1997)邊坡淺

98

基礎極限承載力上限值及Chang(2008)邊坡淺基礎極限承載力 上限值之比較，可以看出Donald 與 Chen(1997)邊坡淺基礎極 限承載力上限值為上界，Chang(2008)邊坡淺基礎極限承載力上 限值為下界，而數值分析計算結果位於中間值。而數列解之計 算結果因轉折區塊體數考慮為2 之關係，因此數值與解析解不 能完全吻合。

(二) 經由數值分析計算結果、數列解、Donald 與 Chen(1997)邊坡淺 基礎極限承載力上限值及 Chang(2008)邊坡淺基礎極限承載力 上限值之比較，可以看出當邊坡坡角(β)愈大時，以上四種分析 法之趨勢愈接近，反之差異卻變大。

(三) 以淺基礎位於半無限空間(b/B=∞，φ=30°)，轉折區塊體數為 2、

3 及 5 之滑動破壞機制 N_c數值比較，數值分析計算結果分別為 35.75、34.92 及 34.26 kPa，而經由 Soubra 淺基礎之數列解方程 求得之解分別為38.38、37.76 及 37.39 kPa，其誤差為 7.36、8.13 及9.14 %。

(四) 以淺基礎位於邊坡坡緣處(b/B=0，φ=30°)，在不同邊坡坡角條 件下（β 為 10°、20°、30°、40°、50°、60°、70°、80°及 90°），

極限承載力之數值分析比較，當邊坡坡角 β 為 80°時，因轉折 區塊體數(n=2)之夾角細分為 5°，因此計算所得之數列解與 Donald 與 Chen(1997)之極限承載力上限值最為吻合，而其它坡 角條件下，因轉折區塊體數(n=2)之夾角不夠細分之關係，因此 數列解與解析解不能完全吻合。

99

表 5.1 淺基礎承載力因子 N_c與轉折區塊體數之關係(φ=0°,c=1kPa)

Block number(n) Numerical calculation

N_c ReRedduuctctiioonn(%(%) )

SUN BLADE 100 CPU

(time)

1 6.51 2626.6.65 5 39.18 sec 2 55.7.74 4 1111..6677 37.88 sec

3 55.5.50 0 77.0.0 53.52 sec 5 55.3.33 3 33.7.700 1 min 15.77 sec 6 55.2.29 9 22.9.922 2 min 0.04 sec 8 55.2.25 5 2.2.1144 1 min 28.61 sec 9 55.2.23 3 11.7.755 2 min 57.73 sec 10 55.2.22 2 11.5.566 4 min 37.85 sec 15 55.1.18 8 00.7.788 15 min 43.50 sec 18 55.1.15 5 00.1.199 19 min 52.12 sec 30 55.1.14 4 0 0 52 min 44.78 sec

Vesic(1973):Nc =

(

²+

π )

,φ=0°and c=1kPa , Nc=5.14

( ) ( )

( )

. . . ,1973

(%) 100%

,1973

F E M Numerical calculation Vesic Analytical solution Reduction

Vesic Analytical solution

= − ×

100

表5.2 淺基礎承載力因子 N_c與轉折區塊體數之關係(φ=30°,c=1kPa)

Block number(n)

Numerical calculation

N_c

ReRedduuctctiioonn(%(%)) Series solution

SUN BLADE 100 CPU

(time) 1 3636.5.533 2211.2.200 1 hr 23 min 2

2 3535.7.755 1818.6.611 38.38 1 hr 17 min 3 3 3434.9.922 1515.8.866 37.76 1 hr 20 min 5 5 3434.2.266 1313.6.677 37.39 1 hr 15 min 6 6 3333.3.355 1010.6.655 1 hr 25 min 8 8 3131.8.844 5.5.6644 1 hr 14 min 9 9 3030.5.500 1.1.1199 1 hr 18 min 110 0 3030.2.277 0.0.4433 1 hr 27 min 115 5 3030.2.211 0.0.2233 2 hr 25 min 118 8 3030.1.177 00.1.1 2 hr 39 min 330 0 3030.1.155 0.0.0033 6 hr 17 min Vesic(1973): ( 1) cot , tan (² ) ^tan

4 2

c q q

N = N − φ N = π φ+ e^{π φ},φ=30°and c=1kPa , Nc=30.14

( ) ( )

( )

. . . ,1973

(%) 100%

,1973

F E M Numerical calculation Vesic Analytical solution Reduction

Vesic Analytical solution

= − ×

101

表5.3 淺基礎承載力因子 N_q與轉折區塊體數之關係(φ=30°,c=1kPa) Block number(n) Numerical calculation

N_q ReRedduuctctiioonn(%(%) ) 1 2222.1.133 2200.2.277 2

2 2121.6.644 1717.6.611 3 3 2121.1.166 1515 5 5 2020.6.644 1212.1.177 6 6 2020.2.233 9.9.9955 8 8 1919.3.355 5.5.1166 9 9 1818.5.566 0.0.8877 1010 1818.4.488 0.0.4433 1515 1818.4.444 0.0.2222 1818 1818.4.422 00.1.111 3030 1818.4.411 0.0.0055 Vesic(1973): tan (² ) ^tan

4 2

Nq ₌ π φ₊ e^{π φ},φ=30°and c=1kPa , Nq=18.40

( ) ( )

( )

. . . ,1973

(%) 100%

,1973

F E M Numerical calculation Vesic Analytical solution Reduction

Vesic Analytical solution

= − ×

102

表 5.4 在不同邊坡坡角 β 條件下，各邊坡淺基礎承載力分析方法之 比較(b/B=0，φ=30°)

slope angle β (degree)

Donald &

Chen (1997)

Chang (2008)

numerical calculation

Series solution (2 blocks)

α

Δ (degree)

SUN BLADE 100 CPU

(time) 0 30.14 11.49 30.17 38.19 45 2 hr 39 min 5 27.08 10.47 18.66 36.50 42.5 1 hr 48 min 10 24.32 9.55 15.84 34.22 40 2 hr 10 min 20 19.57 7.97 14.3 30.41 35

30 15.68 6.18 12.52 26.14 30

40 12.5 5.21 11.02 22.25 25 57 min 40 sec 50 9.9 4.42 8.72 17.79 20 44 min 4 sec 60 7.78 3.77 7.41 13.72 15 31 min 28 sec 70 6.04 3.24 5.12 9.85 10 26 min 9 sec

80 4.62 2.81 3.76 4.68 5 18 min 47 sec 90 3.46 2.45 2.52 4.77 15

103

4.5 4.7 4.9 5.1 5.3 5.5 5.7 5.9 6.1 6.3 6.5 6.7

1 2 3 5 6 8 9 10 15 18 30

Block number

N

c

numerical calculation Nc=5.14 (Vesic , 1973)

圖5.1 淺基礎承載力因子 N_c與轉折區塊體數之關係圖(φ=0°,c=1kPa) N_c=(2+π)

φ=0°

104

27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38

1 2 3 5 6 8 9 10 15 18 30

Block number

N

c

numerical calculation Nc=30.14 (Vesic , 1973)

圖5.2 淺基礎承載力因子 Nc與轉折區塊體數之關係圖 (φ=30°,c=1kPa)

(

⁻¹

)

^cot

^φ

= _q

c N

N

φ

φ π

π _tan

2

2

tan 4 e

N_q ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

φ=30°

105

16 17 18 19 20 21 22 23

1 2 3 5 6 8 9 10 15 18 30

Block number

N

q

numerical calculation Nq=18.40 (Vesic , 1973)

圖 5.3 淺基礎承載力因子 Nq與轉折區塊體數之關係圖 (φ=30°,c=1kPa)

φ

φ

π

π

_tan

2

2 tan 4 e

N_q ⎟

⎠

⎜ ⎞

⎝⎛ +

=

φ=30°

106

0 5 10 15 20 25 30 35 40

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 slope angle β (degree)

qu / c

numerical calculation series solution (n=2) Donald & Chen (1997) Chang (2008)

圖5.4 邊坡淺基礎極限承載力與開挖坡角之關係圖(b/B=0，φ=30°)

107

(a)

(b)

圖 5.5 無破壞機制假設之彈塑性分析之(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖

q

u

108

圖 5.6 無破壞機制假設之彈塑性分析之塑性點分佈圖(φ=0°)

圖5.7 無破壞機制假設之彈塑性分析之位移變形圖(φ=0°)

109

圖 5.8 無破壞機制假設之彈塑性分析之位移場圖(φ=0°)

圖5.9 無破壞機制假設之彈塑性分析之等值位移圖(φ=0°)

110

圖5.10 無破壞機制假設之彈塑性分析與 Atkinson(1981)極限分析理 論中之破壞機制相符合(φ=0°)

111

圖5.11 無破壞機制假設之彈塑性分析之塑性點分佈圖(φ=30°)

圖 5.12 無破壞機制假設之彈塑性分析之位移變形圖(φ=30°)

112

圖5.13 無破壞機制假設之彈塑性分析之位移場圖(φ=30°)

圖 5.14 無破壞機制假設之彈塑性分析之等值位移圖(φ=30°)

113

圖5.15 無破壞機制假設之彈塑性分析與 Atkinson(1981)極限分析理 論中之破壞機制相符合(φ=30°)

114

圖5.16 淺基礎位於半無限空間轉折區塊體數各種破壞機制之幾何分 類圖(φ=0°)

凝聚性土壤 淺基礎位於半

無限空間轉折 區塊體數之破

壞機制(Nc)

n=2

n=3

n=5

n=6

n=8

n=9

n=10

n=15

n=18

n=30 n=1

115

(a)

(b)

圖5.17 扇形塊體數為 1 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素網格圖(N_c ,φ=0°)

B

q

u

45° 45°

I

II

III

多段式界面元素分佈位置

116

(λ=0.1) (λ=0.6)

(λ=0.2) (λ=0.7)

(λ=0.3) (λ=0.8)

(λ=0.4) (λ=0.9)

(λ=0.5) (λ=1.0)

圖 5.18 扇形塊體數為 1 之滑動破壞各增量階段滑動面漸進破壞圖 (N_c ,φ=0°)

117

(λ=0.1) (λ=0.6)

(λ=0.2) (λ=0.7)

(λ=0.3) (λ=0.8)

(λ=0.4) (λ=0.9)

(λ=0.5) (λ=1.0)

圖5.19 扇形塊體數為 1 之滑動破壞各增量階段位移變形圖 (N_c ,φ=0°)

118

(λ=0.1) (λ=0.6)

(λ=0.2) (λ=0.7)

(λ=0.3) (λ=0.8)

(λ=0.4) (λ=0.9)

(λ=0.5) (λ=1.0)

圖5.20 扇形塊體數為 1 之滑動破壞各增量階段位移場圖(N_c ,φ=0°)

119

(λ=0.1) (λ=0.6)

(λ=0.2) (λ=0.7)

(λ=0.3) (λ=0.8)

(λ=0.4) (λ=0.9)

(λ=0.5) (λ=1.0)

圖5.21 扇形塊體數為 1 之滑動破壞各增量階段等值位移圖 (N_c ,φ=0°)

120

(a)

(b)

圖5.22 扇形塊體數為 18 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素網格圖(N_c ,φ=0°)

多段式界面元素分佈位置

45° 45°

B

q

u

I

II

III

121

(λ=0.1) (λ=0.6)

(λ=0.2) (λ=0.7)

(λ=0.3) (λ=0.8)

(λ=0.4) (λ=0.9)

(λ=0.5) (λ=1.0)

圖5.23 扇形塊體數為 18 之滑動破壞各增量階段滑動面漸進破壞圖 (N_c ,φ=0°)

122

(λ=0.1) (λ=0.6)

(λ=0.2) (λ=0.7)

(λ=0.3) (λ=0.8)

(λ=0.4) (λ=0.9)

(λ=0.5) (λ=1.0)

圖5.24 扇形塊體數為 18 之滑動破壞各增量階段位移變形圖 (N_c ,φ=0°)

123

(λ=0.1) (λ=0.6)

(λ=0.2) (λ=0.7)

(λ=0.3) (λ=0.8)

(λ=0.4) (λ=0.9)

(λ=0.5) (λ=1.0)

圖5.25 扇形塊體數為 18 之滑動破壞各增量階段位移場圖(N_c ,φ=0°)

124

(λ=0.1) (λ=0.6)

(λ=0.2) (λ=0.7)

(λ=0.3) (λ=0.8)

(λ=0.4) (λ=0.9)

(λ=0.5) (λ=1.0)

圖5.26 扇形塊體數為 18 之滑動破壞各增量階段等值位移圖 (N_c ,φ=0°)

125

圖5.27 淺基礎位於半無限空間轉折區塊體數各種破壞機制之幾何分 類圖(φ=30°)

c-φ

土 壤

淺基礎位於半 無限空間轉折 區塊體數之破

壞機制(Nc)

淺基礎位於半 無限空間轉折 區塊體數之破

壞機制(Nq)

n=1

n=3

n=5

n=6

n=8

n=9

n=10

n=15

n=18

n=30 n=2

126

(a)

(b)

圖5.28 螺旋形塊體數為 1 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖(N_c，φ=30°)

B

q

_u

I

II III

45°+φ/2 45°-φ/2

多段式界面元素分佈位置

127

(λ=0.1) (λ=0.6)

(λ=0.2) (λ=0.7)

(λ=0.3) (λ=0.8)

(λ=0.4) (λ=0.9)

(λ=0.5) (λ=1.0)

圖5.29 螺旋形塊體數為 1 之滑動破壞各增量階段滑動面漸進破壞圖 (N_c , φ=30°)

128

(λ=0.1) (λ=0.6)

(λ=0.2) (λ=0.7)

(λ=0.3) (λ=0.8)

(λ=0.4) (λ=0.9)

(λ=0.5) (λ=1.0)

圖 5.30 螺旋形塊體數為 1 之滑動破壞各增量階段位移變形圖 (N_c , φ=30°)

129

(λ=0.1) (λ=0.6)

(λ=0.2) (λ=0.7)

(λ=0.3) (λ=0.8)

(λ=0.4) (λ=0.9)

(λ=0.5) (λ=1.0)

圖5.31 螺旋形塊體數為 1 之滑動破壞各增量階段位移場圖 (N_c , φ=30°)

130

(λ=0.1) (λ=0.6)

(λ=0.2) (λ=0.7)

(λ=0.3) (λ=0.8)

(λ=0.4) (λ=0.9)

(λ=0.5) (λ=1.0)

圖 5.32 螺旋形塊體數為 1 之滑動破壞各增量階段等值位移圖 (N_c , φ=30°)

131

(a)

(b)

圖5.33 螺旋形塊體數為 1 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖(N_q，φ=30°)

B

q

u

I

II

III

45°+φ/2 45°-φ/2

多段式界面元素分佈位置

q q

q q q

u

132

(λ=0.1) (λ=0.6)

(λ=0.2) (λ=0.7)

(λ=0.3) (λ=0.8)

(λ=0.4) (λ=0.9)

(λ=0.5) (λ=1.0)

圖5.34 螺旋形塊體數為 1 之滑動破壞各增量階段滑動面漸進破壞圖 (N_q , φ=30°)

133

(λ=0.1) (λ=0.6)

(λ=0.2) (λ=0.7)

(λ=0.3) (λ=0.8)

(λ=0.4) (λ=0.9)

(λ=0.5) (λ=1.0)

圖 5.35 螺旋形塊體數為 1 之滑動破壞各增量階段位移變形圖 (N_q , φ=30°)

134

(λ=0.1) (λ=0.6)

(λ=0.2) (λ=0.7)

(λ=0.3) (λ=0.8)

(λ=0.4) (λ=0.9)

(λ=0.5) (λ=1.0)

圖5.36 螺旋形塊體數為 1 之滑動破壞各增量階段位移場圖 (N_q , φ=30°)

135

(λ=0.1) (λ=0.6)

(λ=0.2) (λ=0.7)

(λ=0.3) (λ=0.8)

(λ=0.4) (λ=0.9)

(λ=0.5) (λ=1.0)

圖 5.37 螺旋形塊體數為 1 之滑動破壞各增量階段等值位移圖 (N_q , φ=30°)

136

(a)

(b)

圖5.38 螺旋形塊體數為 18 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖(N_c，φ=30°)

多段式界面元素分佈位置 B

q

u

I

II

III

45°+φ/2 45°-φ/2

137

(λ=0.1) (λ=0.6)

(λ=0.2) (λ=0.7)

(λ=0.3) (λ=0.8)

(λ=0.4) (λ=0.9)

(λ=0.5) (λ=1.0)

圖5.39 螺旋形塊體數為 18 之滑動破壞各增量階段滑動面漸進破壞圖 (N_c , φ=30°)

138

(λ=0.1) (λ=0.6)

(λ=0.2) (λ=0.7)

(λ=0.3) (λ=0.8)

(λ=0.4) (λ=0.9)

(λ=0.5) (λ=1.0)

圖5.40 螺旋形塊體數為 18 之滑動破壞各增量階段位移變形圖 (N_c , φ=30°)

139

(λ=0.1) (λ=0.6)

(λ=0.2) (λ=0.7)

(λ=0.3) (λ=0.8)

(λ=0.4) (λ=0.9)

(λ=0.5) (λ=1.0)

圖5.41 螺旋形塊體數為 18 之滑動破壞各增量階段位移場圖 (N_c , φ=30°)

140

(λ=0.1) (λ=0.6)

(λ=0.2) (λ=0.7)

(λ=0.3) (λ=0.8)

(λ=0.4) (λ=0.9)

(λ=0.5) (λ=1.0)

圖5.42 螺旋形塊體數為 18 之滑動破壞各增量階段等值位移圖 (N_c , φ=30°)

141

(a)

(b)

圖 5.43 螺旋形塊體數為 18 之滑動破壞機制(a)界面元素分析示意圖 (b)有限元素分析網格圖(N_q，φ=30°)

多段式界面元素分佈位置 B

q

u

I

II

III

q

u

q q

q q

45°+φ/2 45°-φ/2

142

(λ=0.1) (λ=0.6)

(λ=0.2) (λ=0.7)

(λ=0.3) (λ=0.8)

(λ=0.4) (λ=0.9)

(λ=0.5) (λ=1.0)

圖5.44 螺旋形塊體數為 18 之滑動破壞各增量階段滑動面漸進破壞圖 (N_q , φ=30°)

143

(λ=0.1) (λ=0.6)

(λ=0.2) (λ=0.7)

(λ=0.3) (λ=0.8)

(λ=0.4) (λ=0.9)

(λ=0.5) (λ=1.0)

圖5.45 螺旋形塊體數為 18 之滑動破壞各增量階段位移變形圖 (N_q , φ=30°)

144

(λ=0.1) (λ=0.6)

(λ=0.2) (λ=0.7)

(λ=0.3) (λ=0.8)

(λ=0.4) (λ=0.9)

(λ=0.5) (λ=1.0)

圖5.46 螺旋形塊體數為 18 之滑動破壞各增量階段位移場圖 (N_q , φ=30°)

145

(λ=0.1) (λ=0.6)

(λ=0.2) (λ=0.7)

(λ=0.3) (λ=0.8)

(λ=0.4) (λ=0.9)

(λ=0.5) (λ=1.0)

圖5.47 螺旋形塊體數為 18 之滑動破壞各增量階段等值位移圖 (N_q , φ=30°)

146

圖 5.48 邊坡淺基礎各種破壞機制之幾何分類圖(φ=30°)

邊坡淺基礎之極限承載力分析

c-φ 土 壤

淺 基 礎 位 於 邊 坡 坡 緣 處 之 滑 動 破 壞 機制（b/B＝

0 且 β≠0）

β=10°

β=20°

β=30°

β=40°

β=50°

β=60°

β=80°

β=70°

β=90°

147

(a)

(b)

圖5.49 淺基礎位於邊坡坡緣處之滑動破壞機制(b/B=0 且 β=30°) (a)界面元素分析示意圖(b)有限元素分析網格圖

多段式界面元素分佈位置

I

II III q

u

60° 60°

30°

30°

148

(λ=0.1)

(λ=0.2)

(λ=0.3)

(λ=0.4)

(λ=0.5)

(λ=0.6)

(λ=0.7)

(λ=0.8)

(λ=0.9)

(λ=1.0)

圖5.50 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制（b / B＝0 且 β＝30°）之各增量階段滑動面漸進破壞圖

149

(λ=0.1)

(λ=0.2)

(λ=0.3)

(λ=0.4)

(λ=0.5)

(λ=0.6)

(λ=0.7)

(λ=0.8)

(λ=0.9)

（λ=1.0）

圖5.51 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制（b / B＝0 且 β＝30°）之各增量階段位移變形圖

150

(λ=0.1)

(λ=0.2)

(λ=0.3)

(λ=0.4)

(λ=0.5)

(λ=0.6)

(λ=0.7)

(λ=0.8)

(λ=0.9)

(λ=1.0）

圖 5.52 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制（b / B＝0 且 β＝30°）之各增量階段位移場圖

151

.

(λ=0.1)

(λ=0.2)

(λ=0.3)

(λ=0.4)

(λ=0.5)

(λ=0.6)

(λ=0.7)

(λ=0.8)

(λ=0.9)

(λ=1.0)

圖5.53 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制（b / B＝0 且 β＝30°）之各增量階段等值位移圖

152

(a)

(b)

圖5.54 淺基礎位於邊坡坡緣處之滑動破壞機制(b/B=0 且 β=60°) (a)界面元素分析示意圖(b)有限元素分析網格圖

I II

III q

u

多段式界面元素分佈位置

60° 60°

30°

60°

153

(λ=0.1)

(λ=0.2)

(λ=0.3)

(λ=0.4)

(λ=0.5)

(λ=0.6)

(λ=0.7)

(λ=0.8)

(λ=0.9)

(λ=1.0)

圖5.55 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制（b / B＝0 且 β＝60°）之各增量階段滑動面漸進破壞圖

154

(λ=0.1)

(λ=0.2)

(λ=0.3)

(λ=0.4)

(λ=0.5)

(λ=0.6)

(λ=0.7)

(λ=0.8)

(λ=0.9)

（λ=1.0）

圖5.56 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制（b / B＝0 且 β＝60°）之各增量階段位移變形圖

155

(λ=0.1)

(λ=0.2)

(λ=0.3)

(λ=0.4)

(λ=0.5)

(λ=0.6)

(λ=0.7)

(λ=0.8)

(λ=0.9)

(λ=1.0）

圖5.57 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制（b / B＝0 且 β＝60°）之各增量階段位移場圖

156

(λ=0.1)

(λ=0.2)

(λ=0.3)

(λ=0.4)

(λ=0.5)

(λ=0.6)

(λ=0.7)

(λ=0.8)

(λ=0.9)

(λ=1.0)

圖 5.58 淺基礎位於邊坡坡緣處滑動破壞機制（b / B＝0 且 β＝60°）之各增量階段等值位移圖

157

圖5.59 邊坡穩定之邊坡坡角變化與安全係數關係(

φ

^'=30°)

158

第六章 結論與建議

在文檔中 中 華 大 學 (頁 124-185)