第二章 文獻回顧
2.3 淺基礎承載力之極限平衡法
極限平衡法(limit equilibrium method)需先假設其可能發生破壞 之滑動面在滿足破壞準則下，假設沿滑動面上之每一點均同時達到破 壞，由滑動面上之靜力平衡法及其邊界條件可求出滑動面上之安全係 數及其極限承載力，以下為不同學者之土壤承載力分析方法。
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Prandtl（1920）研究剛性物體貫入軟弱且均質無重量（weightless , γ=0）的介質中。其破壞機制如圖 2.6 所示，土壤受條形基礎荷重作 用下達到破壞，且產生全面剪力破壞。滑動區域包括：Rankine 主動 土壓力區Ⅰ，對數螺旋線區Ⅱ及Rankine 被動土壓力區Ⅲ，其主動土 壓力區邊界與水平面夾角為45°+ φ2 ，被動土壓力區之破壞面與水平
面夾角為45° −φ2
。
Prandtl 根據塑性理論推導出極限承載力公式，其結果如下：
qu
=
cNc+ γ
DfNq （2-4）式中 ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ °+
=eπtanφ tan2 45
φ
2Nq （2-5）
Nc =
(
Nq −1)
cotφ （2-6）式中 Nc與 Nq為承載因子，均為土壤內摩擦角
φ
的函數。若為飽和黏 土φ
= 0 且 c=cu時(Nc=5.14,Nq=1)，對數螺旋線區成為圓弧，則qu
=
5.14cu+ γ
Df （2-7）Terzaghi（1943）對淺基礎之定義為基礎埋置深度小於或等於基 礎寬度（Df / B≦1）。延伸 Prandtl（1920）之塑性理論並考慮土壤自 重與超載重，當土壤受條形淺基礎之荷重作用下達到破壞，產生全面 剪力破壞，其滑動區如圖 2.7 所示，Rankine 主動土壓力區Ⅰ，對數 螺旋線區Ⅱ及Rankine 被動土壓力區Ⅲ，其中主動土壓力區之破壞面 與水平面夾角為
φ
，被動土壓力區之破壞面與水平面夾角為45 φ2
° − 。
Terzaghi(1943)承載理論之假設包括：基礎深度以上土壤之抗剪 力、覆土與基礎間之附著力及覆土與支承土壤間之摩擦力不計算，覆 土由一均佈載重q=
γ
Df 代替。並利用靜力平衡與疊加觀念，並考慮凝12
聚力c、超額載重 q 與土壤單位重 γ 提供之承載效應，得到破壞之承 載力：
qu cNc qNq γBNr 2 + 1 +
= （2-8）
式中：c 為土壤凝聚力，q 為覆土均佈載重（q=γDf ，Df為基礎埋入 深度），γ 為土壤單位重，Nc、Nq、Nr 為無因次化之承載因子（為土 壤摩擦角
φ
之函數）。Meyerhof（1951）與 Hansen（1952）之承載力理論均由 Terzaghi
（1943）理論加以延伸，此兩種理論考慮基礎底部以上土壤沿著破壞 面之剪力阻抗、基礎之形狀、埋入深度與傾斜載重之情形，但兩者理 論對破壞面之假設略有不同（如圖 2.7 所示）。且提出之ㄧ般承載力 公式，將形狀、深度與傾斜載重等修正因子納入：
qu cNC
λ
csλ
ciλ
cd qNqλ
qsλ
qiλ
qdγ
BNrλ
rsλ
riλ
rd 2+ 1 +
= （2-9）
綜合上述之承載力理論，Terzaghi 法在
φ
角較大時，其承載力之 預測量會過於保守，且僅能考慮垂直載重以及基礎形狀為條形、方形 與圓形三者，因此逐漸有被Meyerhof 與 Hansen 取代之趨勢，其中，Meyerhof 法適用於求基礎埋入時之承載力；而 Hansen 法適用於求黏 性土壤之承載力，並將 Terzaghi、Meyerhof 與 Hansen 三者方法之異 處列表於2-2 做比較。
Michalowski (2001) 探討在凝聚性材料之土壤性質，當處於極限 狀態下，應用極限平衡法則求得其應力解。其中利用簡單之極限承載 基礎，配合極限平衡法可求得安全係數，並不需計算速度不連續或變 形面積，即可計算能量消散比，減少在求解之複雜性。
陳 榮 河 （2001 ） 介 紹 四 種 極 限 平 衡 狀 態 之 土 壓 力 理 論 ， 即 Rankine、Boussinesq、Coulomb 及 Prandtl，並區別加以釐清，此四法
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之差異在於：Rankine 理論忽略擋土牆之作用、Boussinesq 理論可考 慮擋土牆與土壤間之摩擦力、Coulomb 從合力之觀點考慮土壓力，而 Prandtl 理論主要針對地表載重對於擋土牆所造成之影響，且土壓力理 論亦可延伸處理基礎承載力問題。
Fox (2004) 研究以極限平衡理論應用於連續壁溝槽之穩定分 析，透過解析解可決定安全係數和臨界破壞面之角度，適用於排水情 況之有效應力及不排水之總應力條件，經由平面破壞分析，所獲得之 連續壁相關設計，可提供相當重要之設計準備。