第四章 研究結果與討論
第一節 具象化教學前學生表現與具象化教材設計
本研究開始前，針對十名原住民學生進行康軒版四年級上學期數學課程內容 之前測卷，施測時間大約為40分鐘，以及國小數學態度量表之前測，施測時間大 約為40分鐘。其中紙筆測驗就學生答題情形整理出學生的答題狀況，依雙向細目 表以及五年級上學期課程內容將其分成「數與量」、「幾何」、「代數」三向度 分析學生的困難點。以國小數學態度量分成「學習數學的信心」、「數學有用性」、
「數學探究動機」、「對數學成功的態度」、「重要他人的數學態度」、「數學 焦慮」六個向度分析學生的數學學習態度。
透過根據康軒版四年級上學期數學課程內容所編制之前測卷答對率，檢視學 生在「數與量」、「幾何」、「代數」三向度的起始點。
一、 學生在紙筆測驗的答題表現
透過根據康軒版四年級上學期數學課程內容所編制之前測卷答對率，檢視學 生在「數與量」、「幾何」、「代數」三向度的起始點，如表4-1-1。
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4-n-09 「能認識等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與 小數的互換。」、4-n-12 「能用直式處理二位小數加、減與整數倍的計算，並 解決生活中的問題。」、4-n-17 「能認識面積單位「平方公尺」，及「平方公 分」、「平方公尺」」部分，學生的答對率低於50％。其錯誤分析如下圖4-1-1、
圖4-1-2、圖4-1-3、圖4-1-4、圖4-1-5
分年細目：4-n-01
錯誤原因：在此細則當中，錯誤的學生選項皆為「4」，其錯誤為無法做位值單 位的換算。
圖4-1-1 前測卷 4-n-01解題表現
分年細目：4-n-06
錯誤原因：在此細則當中，選擇選項「1」的有2位，其選項誘答力為假設學生在 選擇取概數的方法為「無條件捨去法」。選擇選項「3」的有4位，其選項誘答力 為假設學生在選擇取概數的方法為「無條件進位法」。但在檢視S2這位學生試卷 時發現，該生在計算時除並沒有先取概數再計算，因此與學生進行以下的晤談：
T：題目說要先用四捨五入再計算，你怎麼把所有的數字都加起來了？
S2：我不知道什麼是四捨五入啊。
由晤談中發現，學生錯誤的原因也有可能為根本不了解題意，對於「概數」
的概念十分的薄弱。
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圖4-1-2 前測卷 4-n-06解題表現
分年細目：4-n-09
錯誤原因：在此細則當中，選擇選項「1」的有1位，選擇選項「4」的有5位，學 生無法進行分數與小數的互換。
圖4-1-3 前測卷 4-n-09解題表現
分年細目：4-n-12
錯誤原因：在此細則當中，選擇選項「1」的有3位，其錯誤原因為只算了第一天 喝的瓶數，選擇選項「2」的有3位，其錯誤原因為只算了第二天喝的瓶數。兩個 錯誤原因皆為無法完全釐清題意。
圖4-1-4 前測卷 4-n-12解題表現
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分年細目：4-n-17
錯誤原因：在此細則當中，選擇選項「1」的有3位，其錯誤原因為將1平方公尺 換算成100平方公分，選擇選項「3」的有5位，其錯誤原因為將1平方公尺換算成 1000平方公分。兩個錯誤原因皆為對於單位換算不熟悉。
圖4-1-5 前測卷 4-n-17解題表現
由上述學生對四年級下學期課程中的「數與量」解題的表現來看，在位值、
長度及面積單位換算的部分表現較差，其錯誤主要為對於單位間的換算數值不熟 悉。其次為「概數」，錯誤原因為對概數的概念不熟悉。最後是「解決生活中的 問題」則是無法釐清題意。
在五年級的課程中，對於學生在四年級錯誤較多的單位換算及概數部分並沒 有相關的銜接課程，因此研究者針對「解決生活中的問題」這部分，在編製具象 化教材時以動畫輔助列式及運算，以期能加深學生的映象，編制方式如4-1-2表：
表4-1-2 數與量具象化教材編製範例
透過思考，使學生了解題 目給予之資訊條件與訊 息。
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用圖形讓學生了解每隔 20秒放一枚煙火的意義。
經過6分鐘，從第一枚放 到最後一枚。
將6分鐘除以20秒可得到 18個20秒
使學生一個20秒所代表 是意思為有2枚煙火。
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利用圖形與文字敘述讓 學生找到規律。
讓學生了解，如這6分鐘 的頭尾都要施放煙火，煙 火的數量必須是間隔數 再加1。
將最後的答案算出，求得 答案為19枚。
資料來源：研究者自行整理
三、
學生在幾何的答題表現與具象化教材設計
幾何的部分，在四年級分年細目4-s-01「能運用「角」與「邊」等構成要素，
辨認簡單平面圖形。」、4-s-02 「能透過操作，認識基本三角形與四邊形的簡 單性質。」部分，學生的答對率低於50％。其錯誤分析如圖4-1-6、圖4-1-7：
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分年細目：4-s-01
錯誤原因：在此細則當中，選擇選項「1」的有3位，選擇選項「2、4」的各2位，
其錯誤原因為對平面圖形性質不熟悉。
圖4-1-6 前測卷 4-s-01解題表現
分年細目：4-s-02
錯誤原因：在此細則當中，選擇選項「3」的有3位，選擇選項「4」的有3位，其 錯誤原因為對三角形性質不熟悉。
圖4-1-7 前測卷 4-s-02解題表現
由上述學生對四年級下學期課程中的「幾何」解題的表現來看，學生錯誤原 因為對各圖形的性質不熟悉。
五年級的幾何課程中，為加深學生對幾何圖形的性質的熟悉度，具象化教材
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的編製加入更多的動畫和各種圖形的比較，並且利用實體物讓學生親手操作。其 編製方式如表4-1-3。
表4-1-3 幾何具象化教材編製範例
使學生了解題目給予之資訊條件與訊 息。
用動畫讓學生比較15公分、12公分與8 公分三個線段的長短關係。
經過動畫將15公分、12公分與8公分的 線段經過旋轉後可圍成三角形。
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用動畫讓學生比較15公分、12公分與6 公分三個線段的長短關係。
經過動畫將15公分、12公分與6公分的 線段經過旋轉後可圍成三角形。
用動畫讓學生比較15公分、8公分與6 公分三個線段的長短關係。
經過動畫將 8公分與 6公分的線段移 動。
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經過動畫將15公分、8公分與6公分的 線段經過旋轉後不可圍成三角形。
用動畫讓學生比較15公分、8公分與4 公分三個線段的長短關係。
經過動畫將15公分、8公分與4公分的 線段經過旋轉後不可圍成三角形。依 照同樣的方法將這五個線段用不同的 組合作動畫讓學生做比較，可加深學 生的印象。
整理上述所有的組合，將可組成三角 形與不可組成三角形的組合分類。
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即可發現，可組成三角形的線段組合 中 ， 任意兩 線段和會 大於第三個線 段，因此可推論，三角形中，任意兩 邊長的和大於第三邊。
資料來源：研究者自行整理
四、 學生在代數的答題表現與具象化教材設計
代數的部分，在四年級分年細目4-a-02「能在四則混合計算中，應用數的運 算性質。」，學生的答對率低於50％。其錯誤分析如圖4-1-8：
分年細目：4-a-02
錯誤原因：在此細則當中，選擇選項「1」的有7位，其錯誤原因為未選擇快速可 解題的算式，選擇選項「4」的有1位，其錯誤原因為不了解題意，將題目中出現 的數字進行拼湊。
圖4-1-8 前測卷4-a-02 解題表現
由上述學生對四年級下學期課程中的「代數」解題的表現來看，學生無法善 用運算規則使作答更容易。
在五年級的代數課程中，用圖像表徵配合不同的列式方式，讓學生能夠理解 可用不同的思維列式，並從中了解如何運用運算規則使解題更加容易。其編製方 式如表4-1-4。
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表4-1-4 代數具象化教材編製範例
使學生了解題目給予之 資訊條件與訊息。
用動畫與色彩讓學生理 解解題策略為，將200元 減去鉛筆盒的123元再減 去筆記本的70元。
經過計算可得剩餘7元。
用動畫與色彩讓學生理 解解題策略為，要將鉛筆 盒和筆記本先放進購物 籃中計算所有花費的金 額。
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再將200元減去購物金額 的總和。
經過計算可得剩餘7元。
利用動畫移動兩種解題 策略，讓學生了解可利用 不同的運算規律解題。
資料來源：研究者自行整理
因此研究者依照康軒版五年級上學期課程編製具象化教材，將其課程內容 的抽象化概念，予以視覺化、多樣化呈現，以利於原住民學生數學的學習。
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第二節、 具象化教學實踐歷程的思考、反思與修正
研究者透過具象化教材教學前的思考與設計、具象化教材教學的實施與修 正，來探討研究者所設計之具象化教材對於原住民學生在數學學習上之影響，並 從學生反應與教師反思中來分析使用具象化的教學成效。
一、 使用具象化教材教學前的思考與設計
原住民的學生在數學的學習上處於弱勢，在原住民本位化教材尚未到位的情 況下，研究者認為以現行的教材配搭原住民學生的學習式態，如原住民學生偏好 具體的影像學習方式、原住民學生喜歡自己去操作實際的物品，如能利用動畫將 抽象的概念具體化，將課程活潑化、趣味化，使學生更有興趣學習數學，藉由看 的到的物品去了解文字所代表的意義，再經由自己的雙手操作，找出答案。
因此研究者透過教學前的思考，依照康軒版五年級上學期的課程內容設計了 一套具象化教材。並經過具象化教材教學的實施與修正，來探討研究者所設計之 具象化教材對於原住民學生在數學學習上之影響，並從學生反應與教師反思中來 分析使用具象化的教學成效。
二、 具象化教材教學的實施與修正
研究者的具象化教材教學活動，是依照康軒版五年級上學期的數學課程所設 計，將其十個單元的抽象化概念，予以視覺化、多樣化呈現，編製一套具象化教 學活動，並依照學校段考將其分成一到三單元、四到六單元及七到十單元編製段 考卷，作為研究著檢視教學的依據。
研究者的教學時間於每周一到四的五堂數學課，透過段考答題內容、教師反 省日誌、訪談、學生學習反應…等，於下一階段課程前進行省思與修正。
（一） 第一到第三單元具象化教學歷程探討
第一單元乘法與除法包含的細目為5-n-01能熟練整數乘、除的直式計算，第 二單元因數與倍數包含的細目為5-n-04能理解因數和倍數、5-n-05能認識兩數的
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公因數、公倍數、最大公因數與最小公倍數，第三單元多邊形與扇形包含的細目 為5-s-01能透過操作，理解三角形三內角和為180度、5-s-02能透過操作，理解
公因數、公倍數、最大公因數與最小公倍數，第三單元多邊形與扇形包含的細目 為5-s-01能透過操作，理解三角形三內角和為180度、5-s-02能透過操作，理解