函數與線型函數之探討

一、函數的發展過程

Sierpinska(1992)認為教師在教授函數課程時，必需考慮動機、考慮介紹背景、

考慮發展背景。Sfard(1992)認為一個概念必需要在日常生活中一再使用，才可能發 展。Even(1990)亦曾認為教師應該要對函數發展背景要有所了解，才能有助於教學。

因此參考 Howards(1993，歐陽絳譯)、Kline(2004，張祖貴譯)、謝豐瑞與陳材河(民 86)，丁斌悅(民 91) 詳列如下：

(一)、古希臘至中世紀時期

希臘科學家們於古時候，就主要致力於解釋現象為什麼發生的原因。例如亞里 斯多德花費了大量時日，試圖解釋為什麼扔向空中的物體會落到地球上。希臘數 學家和工程師海倫，利用自然界壓縮真空的原理解釋其他現象。同樣地，希臘物 理學家對沒有明顯的力卻能引起天體作圓周運動這一問題所作的說明是：圓周運 動是自然的運動，因此就不必需要產生或保持這種運動的力，但是這樣的解釋似 乎並不能清楚地闡釋他們所研究的現象。中世紀歐洲同樣也關心起事情發生的原 因，只不過總是按照現象的目的作解釋罷了。例如：為什麼會下雨？是為了澆灌 人類的莊稼。然而在科學史上，著名的幾位學者開始為現象找到可以思考的原因，

茲列如下：

1、伽利略

從十七世紀開始，關於落體和拋體運動等研究裡，數學從靜態開始進入動態 研究，伽利略在思考落體時，發現從球的起點下落的距離，隨著從它落下的那一 瞬間開始所經歷的時間而增加，這二者都是變化的，用數學語言來說，即是變量。

他當時所得到的公式為 𝑠 = 𝑘𝑡²。我們必需注意的是：這個公式是嚴密的、精確的，

而且可以針對不同的時間進行計算，所有所產生的結果有無窮多種可能。公式是 表示變量間某種關係的一種方法，物理現象中常存在某種關係式，在今天這種關 係即是函數的雛形。

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然而伽利略所用的函數觀念是計對不同的問題去描述變數之間的關係，並沒 有將變數間的關係抽象出來形成一個數學概念；直到 1665 年牛頓開始研究微積分 後，牛頓才將任何變數之間所存在的關係，統一用 Fluent 這個字來表示。

2、牛頓

牛頓在青年時期的三項偉大的發現，分別是分解自然太陽光，揭開了光的顏 色祕密，第二項是創立了微積分。第三項則是發現了萬有引力，並提供了證明及 定律。而後來在哈雷的勸說下出版的「自然哲學的數學原理」，更是將許多現象提 供了數學證明，透過精確的數學推理，推導出新的定律。而從牛頓所提供的許多 公式，更是增加了人們對於變量的認識，從此在科學上進入了用測量並尋找規律 或數學解釋以求得答案。

3、萊布尼茲

Function 這個詞最早是由萊布尼茲引進數學中。而其出現的年代則有幾種不同 的說法。不論為何，都肯定是於十七世紀後半，由萊布尼茲所引用。他當時以拉 丁文 functio 表示曲線上各點之間任何量的變化，如曲線上點的坐標、曲線的斜率、

曲半徑、切線、法線的長；其中曲線本身是由方程式提供，他也介紹了 constant 常數、variable 變數及 parameter 參數等術語。西元 1714 年在 Historia 中，萊布尼 茲以 function 表示由自變數所得到的量。

4、白努力

白努力從解析的角度，將函數擴充定義為：變數的函數，就是變數和常數以 任何方式所構成的式子。這種定義，涵蓋了代數函數和超越函數。白努力並使用 變數 X 或 ȿ 來代表一般函數。這個改變，又使函數的發展跨進一步，進入了用符 號表示的方式。

5、尤拉

尤拉在 1734 年用 𝑓(𝑥)為符號來表示函數，並在 1748 年於其著作「無窮分析 論」中，正式定義函數為：包含量的函數是一個解析表達式，它是由這個變量和 一些常量以任何方式組合的。他定義的解析表方式如冪、對數、三角函數等組成

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的每一個表達式為 𝑥 的函數 y。這時的函數定義不僅比最初的要廣，而且更明確。

但對於變量之間的對應關係不能以解析式表達出來時，即不能稱之為具有函數關 係，但並沒有明確指出允許什麼樣的組合。

6、狄利克雷

1829 年，狄利克雷於「關於三角函數的斂散性」書中，將尤拉的第二定義改 成分析語言表達：如果對於給定區間上每個 𝑥 值有唯一確定的 y 值相對應，則𝑦 稱 為 𝑥 的函數；他同時還指出：在整個區間上，𝑦 是否按一種或多種規律依賴於 𝑥，

是否可以用運算式表達，這都是無關緊要的。在狄利克雷的函數定義中，對應關 係即可以是解析表達式、圖像、表格、亦可以是口頭約定等。這就將函數概念從 解析式的束縛中解脫出來。

直到集合論的出現，函數的定義才改用集合的語句。1887 年，R.Dedekind 將 函數定義為：如果對於集合 𝑀 中每一個元素 𝑥，依某一種確定的對應規律 𝑓 ，集 合 𝑁 都有一個 𝑦 元素與之對應，則稱 𝑦 為 𝑥 的函數。這一定義中集合未必是數集，

突破變數是數的限制。而這個定義也是目前大家所使用的定義。

(二)中學課程的函數概念發展過程

美國 NCTM 的 2000 年課程標準中，有關模式、函數、和代數的標準中主要有 三個方面的要求：理解各種類型的模式和函數關係，其後包括：識別規律性，認 識不同形式的相同模式，應用模式去推測數值，以及熟悉函數的解析表示、數值 表示、以及圖像表示等。我們引用吳玫瑤(民 90)分析國中課程的函數概念發展流程 圖如下表示：

圖 2-3-1

國中課程的函數概念發展流程圖

資料來源：吳玫瑤（民 90）。教學對高中生學習函數概念的影響。國立臺灣師範大 學。數學研究所碩士論文。

(續下頁)

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而關於國中對於函數的教學過程流程圖，如下圖表示：

圖 2-3-2

國中課程的函數教學過程流程圖 資料來源：同圖 2-3-1。

46 型態之一。因此不乏國內外學者對函數與線型函數的研究文獻，例如 Sierpinska (1992)曾針對學生學習函數所產生的了解與障礙做整理。茲就其整理列表如下：

表 2-3-1

Sierpinska 的函數理解與障礙分類表

理解(Understanding) 障礙(Obstacle) 從日常生活中解決實際問題，去觀察

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資料來源：Sierpinska, A. (1992).On understanding the Notion of Fuction. In G. Harel and E. Dubinsky (Eds.) , The concept of function: Aspects of epistemology and

pedagogy, MAA notes 25, pp.25-58. Mathematical Association of America, Washington.

Sfard(1992)透過研究發現，觀察的第一個現象是：學生的概念形成，比較接近 操作性的形成，而非建構形成。我們總是去教他們怎麼用，而沒教他們去認識。

而學生會產生所謂的失焦現象，即無法正確將函數概念擺放在正確位置，內心的 心智活動出現困惑或迷失。Sfard(1992)認為論及函數，很少人會將其概念說出，反 而用制式化的講法，卻又不確定。而且大家都認為函數一定有要規律，不能任意

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變動。第二個現象是很多學生發展出偽建構概念，雖然數學上的定義是肯定的，

但概念卻無法和定義聯結，且大部份學生幾乎認定函數就是公式。

函數教學包括了表示各種水平的過程性或結構的表徵。Markovits(1986)等曾對 9 年級的學生的函數學習作了分組對比研究，目的是了解不同情境對函數的影響。

Markovits(1988)的另一項研究比較全面地指出了函數學習中常見的問題。學生在遇 到各種性質的問題中，有三類函數較難掌握：常數函數、分段函數和由離散點來 表示函數。

許多研究都表明，能夠處理函數的多元表徵的學生可以對函數概念形成一個 更全面的理解(Leinhardt, Zaslavsky & Stein, 1990)。但問題在學生對函數的上述層 面的理解，並不是一件容易的事。例如，Hersocovics(1989)發現 98%的學生能計算 當 𝑎 = 5 時表達式 𝑎 + 7 的值，但卻只有 65%的學生會計算𝑓(5) 的值，其中 𝑓(𝑎) = 𝑎 + 7。Drefus (1990)指出，學生在將函數的特徵用圖形直觀表示以及解釋 由圖形表示的函數信息方面常常感到困難，而且大多數學生只是將函數看作是一 種程序規則，很少有學生能夠將它作為一個數學對象來處理。

由於大多數初等函數都具有現實的模型，因此，背景的豐富也是導致學生函 數學習困難的原因。Dreyfus 和 Eisenberg(1982)一項研究調查了 440 名 6 至 9 年級 學生的函數概念的直觀基礎，問卷涉及函數的具體和抽象情境下的問題，研究表 明，數學概念理解較好的學生喜歡從圖像來分析問題，而在概念學習上較弱的學 生則喜歡從表格數據來分析。原因可能是，學生能比較容易地從表格中找到信息，

而從圖像中找信息對他們來說可能更難一些，顯得不那麼直觀。

此外，對中學生的研究結果顯示，函數學習的困難還包括：未抓住函數的基 本概念，在簡單的例子中無法分辨是否為函數的正例；視函數為定義成一對一和 多對一的關係時，經常對函數關係是多對一還是一對多感到困惑；無法解釋函數 圖形的相關問題；困擾於具體、熟悉的生活情境的問題；有關合成函數的問題，

僅有少數高年級的學生可處理等。章建躍(2001)認為，造成函數概念學習困難的原 因主要有函數概念本身的原因和學生思維發展水平方面的問題，前者包括：變量

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概念的複雜性和辨證性；函數概念表示方式的多樣性；函數符號的抽象性。後者 則主要是由於學生的辨證邏輯思維處於發展的初級階段，與函數概念的運動、變 化、聯繫的特點非常不適應，這是構成函數概念學習困難的主要根源。不過，正 因為函數概念所具有的這種特性，才使得它在促進學生思維發展中有別的數學內 容所無法替代的作用，成為從形式邏輯思維向辨證邏輯思維轉化轉折點。

除了 Tall 將函數概念區分成前程序、程序、過程、對象、過程性概念外，Daniel (1992)把學生的函數知識分成三類：函數前、動作、過程。這樣做的一個主要意圖

除了 Tall 將函數概念區分成前程序、程序、過程、對象、過程性概念外，Daniel (1992)把學生的函數知識分成三類：函數前、動作、過程。這樣做的一個主要意圖