第一章 緒論
第一節 研究背景與研究動機
從 1940 年代開始，概念理解就逐漸成為了教育心理學中的一門主要研究課題，
Duffin 和 Simpson(1994)寫過對概念理解的一段話：
當我理解了，我就感到愉快；我就有自信；我可以忘掉所有細節，而在需要 的時候重新建構；我覺得它已經屬於我；我可以把它解釋給別人聽。
這段小品文雖然看似簡單，卻傳遞了理解的意涵。如果我們學習一個概念，
但對於該件事情的發展過程不熟悉、或是不了解形成原因，只著重在結果的運用，
就會落入工具性理解(Skemp, 1986)，不會對其感到愉悅，成了一部算數機器而已。
現今的教學現場，大部份是教師將已經歸納好的結論傳授給學生，卻忘了學 科知識最初的發展，是從日常生活中所形成的，而函數就是一個鮮明的例子。Sfard (1992)曾指出：函數概念早在定義與有系統的表徵建構以前，就先在人們心中發展 了。然而直到萊布尼茨於 1694 年時，才最先從拉丁文中引進函數，用以作為表示 與曲線相聯繫的任何量的術語，它指的是：曲線上點的坐標、曲線的斜率、曲線 的曲率半徑，諸如此類的量。約翰．伯努利於 1718 年把函數歸結為由一個變量和 一些常數構成的任何總表示；之後，歐拉把函數看作包含變量和常數的任何方程 式或公式，而後者是大部份學過初等數學的學生所具備的概念。歐拉的概念，直 到傅立葉在其關於熱流的研究中，考慮三角函數級數時，才有所改變。這些級數 涉及變量之間更為一般的關係，而這關係從未研究過；為了能提供一個能包括這 樣的關係的過程中，狄利克雷將函數定義為：變量是表示一組數中任何一個數的 符號；如果𝑥和𝑦兩個變量如此相關連：只要給𝑥一個值，則依某種規定的規則或對 應，自動地產生一個值𝑦，則我們稱𝑦是𝑥 的函數。變量𝑥稱做獨立變量；變量𝑦稱 做應變量。 𝑥可以假定的允許值構成函數的定義域，被應對的 𝑦 值構成函數的值域。
（Howard 著，歐陽絳譯，1997）
由上述可知，函數是從生活中的經驗累積形成的結論，為了解釋生活中各種
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現象，並找出其變量之間的對應關係。因此，函數的表徵方式十分多元，在各種 不同的學科中有不同的意涵。例如在物理中的速度和距離關係，或是施力的多寡 與拋體的軌跡路徑；在化學上亦有化學反應式與莫耳數的關係，反應濃度與平衡、
分子生物學中的各項實驗所獲得的資料圖表…等。函數是一直在成長的數學思考，
隨著生活所需而用不同的形式表徵，因此函數於各個國家數學教育中佔據了一席 重要的地位。以美國為例，美國 NCTM (National Council Teachers of Mathematics, 2000)的 2000 年課程標準中，有關「模式、函數和代數」的標準主要有三個方面的 要求：1、理解各種類型的模式和函數關係。2、使用符號形式表示和分析數學情 形和結構應用。3、數學模型以及分析在實際和抽象的背景下數學模型的變化。
現行我國的國中七年級教材，則是著重在線型函數，雖然以生活例子引入，
但對大多數的學生而言，函數並不是一個容易理解的概念(Dubinsky & Harel, 1992;
Sfard, 1991)。教師通常在教學時，並未讓學生了解整個函數的發展脈絡，造成學 生在學習時，被動地接受「變數與函數」這個想法。Norman(1992)曾指出，在他的 研究中，有關於教師對函數的理解，發現許多教師對函數的概念並未有太多深入 的了解，也因此更加增學生對學習函數的困難，而這困難也延伸至學生學習線型 函數。因此，Sierpinska(1992)曾依他的教學經驗，提出學生學習函數的理解與障礙 的相關建議，並認為除非將教學建立在與外部的連結上，才有辦法提升學生對函 數的理解。Herscovics(1989)的研究亦發現，有 98%的學生能計算當𝑎 = 5時表達式 𝑎 + 7的值，但是卻只有 65%的學生會計算當𝑥 = 5時𝑓(𝑥) = 𝑥 + 7之值，顯示學生 對於函數符號運用的困難。
研究者認為，在生活例子引入課堂教學，到最後拿線型函數的概念進行應用 時，並未依概念的發展教學，又因時間過於倉促，導致學生在函數概念的運用，
變成只侷限在代數式的運算，或者在對於線型函數的理解上，排除了關聯性的理 解，只剩下工具性理解。Sfard(1992)曾就他的觀察發現，現今學生有幾種狀況發生：
(1)學生對函數的概念形成，都是以操作性為主，而非建構形成，所以導致容易產 生概念迷失，論及函數時，大多都能說出定義，卻說不出概念為何，且認定函數
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一定要有規律，不能隨意變動。(2)多數學生發展出偽概念建構，他們無法將函數 定義與概念結合，並為了降低語意的理解，認定函數即是公式，且不能接受用例 子來定義函數。Dreyfus(1990)亦指出，學生在將函數的表徵用圖形直觀表示，或是 用解釋圖形的方式表示函數的訊息常感到十分困難。而且，大多數的學生只是將 函數看作一種程序規則，很少有學生能夠將它看成一個可操作的數學對象來處理。
研究者亦曾問九年級的學生：請說明一下你認為的函數是什麼？結果發現學生的 回答，只將函數的概念侷限在代數式。
函數的學習為何如此困難？除了其應用十分廣泛，學生對於抽象的想法難以 捉摸外，函數和其它數學概念最大的不同之處，在於表徵的多元及概念的複雜性。
Tall(2000)曾對函數概念有深入研究，認為函數是一個典型的「認知根源」，不僅包 含了許多概念，其表現方式包括作為形式概念的函數符號、通俗概念的函數機器、
代數的特徵(函數解析式)、數的特徵(函數的列表表示)，也有幾何的特徵(函數圖像)。
丁斌悅(民 90)曾對函數的表徵做探討，發現以高中課程出現的表徵，有表列、代數 式、函數機器、文字敘述、數對、圖形、文氏圖等，高達七種之多。
其次，從概念發展上的認知水平來看，Tall(2000)認為函數概念還涉及前程序、
程序、過程、物件(object)和過程性概念(procept)五個層次。Daniel(1992)等人則把 學生對函數的認知分成三類：函數前、動作、過程。Sfard(1992)則是用概念的三種 發展層次：內化、壓縮、物件來對函數的概念形成進行探討。Sajka(2003)透過一個 深入研究的案例，得知學生對函數的理解困難，在於函數本身具備過程和結果的 雙重性質。而 Pierce(2010)亦指出，學生在面對線型函數時，必需要了解𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 中，「𝑦和𝑥的關係」與「𝑎和𝑏的關係」，這兩種關係各有不同的意涵。由上述可知，
函數概念的形成十分複雜。但是許多學者研究也表明，能夠處理函數的多元表徵，
對函數概念的形成有全面性的幫助(Leinhardt, Zaslavsky & Stein, 1990)。因此，對於 函數學習的研究亦開始盛行。吳佳起(民 91)在學生學習函數的概念成長進行研究，
發現學習函數單元能有助於學生將概念發展層次提升。吳依芳(民 91)則是對線型函 數的建模教學進行研究，發現建模教學有助於學生對函數的學習成就與信心。
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