APOS教學對七年級學生學習線型函數概念之影響

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(1)國立臺灣師範大學數學系教學碩士班碩士論文. 指導教授：張幼賢博士. APOS 教學對七年級學生學習線型函數概念之影響. 研究生：張耀文. 中華民國一百零二年六月.

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(3) 摘. 要. 本研究主要目的是以「線型函數」單元為主題，探討「APOS 教學方式」與「傳統教學方式」兩種教學，對學生學習線型函數概念的影響。研究設計是採準實驗研究法。研究對象為台北市某國中七年級學生，分兩組為實驗組與對照組。實驗組進行 APOS 教學課程，對照組則進行傳統教學課程。兩組的教學教材，皆為翰林版國民中學數學課本第二冊與習作為主。但 APOS 教學活動是以 Asiala 等人(1996)所建立的「概念層次」為架構，將課本與習作重新依概念層次編排而成；傳統教學是依照翰林版國民中學數學課本第二冊所呈現的內容順序進行。研究依據 Dubinsky(1991)所提出的概念發展層次：「動作」、「過程」、「物件」及「基模」，進行上述重組教材實驗教學，並設計線型函數測驗卷（後測及延後測），來安置學生在教學後與經過一段時間後（約莫一個月）的線型函數概念層次，以分析學生概念改變及保留情形。本研究主要發現如下： 1．經過教學後，實驗組與對照組學生在後測的概念層次上以「百分比同質性檢定」未達顯著水準，但兩組在延後測時則得到 𝑝∗∗ ＝. 041 < .05，達到顯著水準。顯示接受 APOS 教學方式的學生概念保留的程度較傳統教學方式的學生高。 2．實驗組在三次測驗中，學生進階至「物件」層次且維持的人數較對照組多，而退階至「動作」的人數亦較對照組少，顯示 APOS 教學方式對學生概念提升與理解有所助益。 3．在三次測驗中，兩組在代數表徵與圖像表徵的延後測上，以「百分比同質性檢定」皆達到顯著水準；而表列表徵則在三次測驗中無顯著差異。顯示 APOS 教學在函數的「代數表徵」與「圖像表徵」的概念保留上，有明顯助益。. 關鍵字：函數、線型函數、APOS、表徵.

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(5) APOS 教學對七年級學生學習線型函數概念之影響目. 錄. 第一章緒論第一節. 研究背景與研究動機……………………………………………. 1. 第二節. 研究目的與研究問題……………………………………………. 9. 第三節. 理論架構…………………………………………………………. 10. 第四節. 名詞界定…………………………………………………………. 19. 第二章文獻探討第一節. 表徵之相關文獻探討……………………………………………. 20. 第二節. 概念形成的相關理論……………………………………………. 26. 第三節. 函數與線型函數之探討…………………………………………. 42. 第三章研究方法第一節. 研究設計…………………………………………………………. 52. 第二節. 研究對象的介紹與分析…………………………………………. 55. 第三節. 研究資源與工具…………………………………………………. 56. 第四節. 研究步驟與過程…………………………………………………. 72. 第五節. 研究限制…………………………………………………………. 73. 第四章研究結果之分析與討論第一節. APOS 教學對學生概念學習之影響…………………………... .. 74. 第二節. APOS 教學後各表徵答題情形分析………………………….…. 110. 第五章結論與建議第一節. 結論...……………………………………….…….……….….. 136. 第二節. 檢討與建議…………………………………………………….... 140. i.

(6) 參考文獻中文部份………………………………………………………………. 145. 西文部份…………………………………………………………………. 147. 附錄附錄一. 重編線型函數教材…………………………………………….. 154. 附錄二. 三次測驗試題內容…………………………………………….. 186. 附錄三. 實驗組與對照組三次測驗安置情形一覽表………………….. 206. 附錄四. 實驗組與對照組三次測驗進退階情形一覽表……………….. 211. 附錄五. 實驗組與對照組三次測驗各表徵安置情形一覽表………….. 213. 附錄六. 實驗組與對照組三次測驗各表徵進退階一覽表…………….. 225. ii.

(7) 表次表 1-1-1. 九年一貫 97 年課綱中函數概念與相關的能力指標………... 4. 表 1-1-2. 高中課程綱要與函數關係……………………………………. 5. 表 1-3-1. APOS 概念發展層次教學及 ACE 方式…………………….... 14. 表 2-1-1. Hitt 的函數學習問題與表徵………………………………….. 24. 表 2-2-1. Tall 整理的各學者與概念學習關係表………………………. 32. 表 2-2-2. Collis 和 Biggs 的 SOLO 模式………………………………... 33. 表 2-2-3. Sfard 的概念理解分類表……………………………………... 37. 表 2-2-4. Piaget 的反思抽象分類表…………………………………….. 39. 表 2-2-5. APOS 概念發展階段分類表………………………………...... 40. 表 2-3-1. Sierpinska 的函數理解與障礙分類表………………………... 46. 表 3-1-1. 實驗模式表……………………………………………………. 52. 表 3-1-2. 實驗變項關係表………………………………………………. 53. 表 3-2-1. 兩組校外補習調查表………………………………………..... 55. 表 3-2-2. 兩組五次段考成就分析表……………………………………. 55. 表 3-3-1. 能力指標與 APOS 教學目標對照一覽表……………………. 56. 表 3-3-2. APOS 教學內容及原課本題號對應表………………………. 58. 表 3-3-3. 二元一次方程式概念測驗卷之雙向細目表…………………. 62. 表 3-3-4. 前測之能力指標與評量試題分析表…………………………. 63. 表 3-3-5. 線型函數概念測驗卷之雙向細目表…………………………. 64. 表 3-3-6. 後測之能力指標與評量試題分析表…………………………. 65. 表 3-3-7. 線型函數概念延後測驗卷之雙向細目表……………………. 66. 表 3-3-8. 延後測之能力指標與評量試題分析表………………………. 67. 表 4-1-1. 兩組前測層次分佈表…………………………………………. 75. 表 4-1-2. 兩組後測層次分佈表…………………………………………. 76. iii.

(8) 表 4-1-3. 兩組延後測層次分佈表………………………………………. 77. 表 4-1-4. 兩組三次測驗層次分佈表…………………………………... 78. 表 4-1-5. 實驗組前後測通過層次人數變化分佈表…………………... 78. 表 4-1-6. 對照組前、後測通過層次人數變化分佈表………………... 80. 表 4-1-7. 實驗組後測、延後測通過層次人數變化分佈表…………... 82. 表 4-1-8. 對照組後測、延後測通過層次人數變化分佈表…………... 83. 表 4-1-9. 兩組前測、後測通過層次人數表…………………………... 85. 表 4-1-10 兩組前測、後測進退階人數分佈表………………………... 85. 表 4-1-11 兩組後測、延後測進退階人數分佈表……………………... 102. 表 4-1-12 兩組後測、延後測通過「動作」層次變化表……………... 105. 表 4-1-13 兩組後測、延後測通過「過程」層次變化表……………... 107. 表 4-1-14 兩組後測、延後測通過「物件」層次變化表……………... 108. 表 4-2-1. 兩組表列前測各層次分佈表………………………………... 111. 表 4-2-2. 兩組表列後測各層次分佈表………………………………... 112. 表 4-2-3. 兩組表列延後測各層次分佈表……………………………... 112. 表 4-2-4. 實驗組表列前、後測通過層次人數變化分佈表…………... 113. 表 4-2-5. 對照組表列前、後測通過層次人數變化分佈表…………... 114. 表 4-2-6. 兩組表列前測、後測通過過層次人數表……………….….. 114. 表 4-2-7. 兩組表列前測、後測進退階層次人數表…………………... 114. 表 4-2-8. 表列表徵「動作」階層答對百分率………………………... 115. 表 4-2-9. 表列表徵「過程」階層答對百分率………………………... 116. 表 4-2-10 表列表徵「物件」階層答對百分率………………………... 117. 表 4-2-11 代數表徵前測各層次分佈表………………………………... 119. 表 4-2-12 代數表徵後測各層次分佈表………………………………... 120. 表 4-2-13 代數表徵延後測各層次分佈表……………………………... 121. iv.

(9) 表 4-2-14 實驗組代數表徵前、後測通過層次人數變化分佈表…….. 122. 表 4-2-15 對照組代數表徵前、後測通過層次人數變化分佈表…….. 122. 表 4-2-16 兩組代數表徵前測、後測通過層次人數表……………….. 122. 表 4-2-17 兩組代數前測、後測進退階層次人數表………………….. 122. 表 4-2-18 代數表徵「動作」階層答對百分率……………………….. 123. 表 4-2-19 代數表徵「過程」階層答對百分率…………………….…. 123. 表 4-2-20 代數表徵「物件」階層答對百分率……………………….. 125. 表 4-2-21 兩組圖像前測層次分佈表………………………………….. 128. 表 4-2-22 兩組圖像後測層次分佈表……………………………….…. 129. 表 4-2-23 兩組圖像延後測層次分佈表…………………………….…. 130. 表 4-2-24 實驗組圖像表徵前、後測通過層次人數變化分佈表…….. 130. 表 4-2-25 對照組圖像表徵前、後測通過層次人數變化分佈表…….. 131. 表 4-2-26 兩組圖像表徵前測、後測通過層次人數表……………….. 131. 表 4-2-27 兩組圖像前測、後測進退階層次人數表……………….…. 131. 表 4-2-28 圖像表徵「動作」階層答對百分率……………………….. 132. 表 4-2-29 圖像表徵「過程」階層答對百分率……………………….. 132. 表 4-2-30 圖像表徵「物件」階層答對百分率……………………….. 134. v.

(10) 圖次圖 1-3-1. 基模(Schema)和其建構圖……………………………………..... 10. 圖 1-3-3. 本研究教學方式的流程圖…………………………………….... 16. 圖 2-2-1. 概念定義和概念心像的互動關係…………………………….... 29. 圖 2-2-2. 純粹形式的演繹關係………………………………………….... 30. 圖 2-2-3. 直觀思考下的演繹關係……………………………………........ 30. 圖 2-2-4 Pirie & Kieren 的數學理解模型……………………………....... 35. 圖 2-2-5. Sfard 的概念理解模型………………………………………….. 38. 圖 2-2-6. APOS 概念發展關係圖…………………………………………. 41. 圖 2-3-1. 國中課程的函數概念發展流程圖…………………………........ 44. 圖 2-3-2. 國中課程的函數教學過程流程圖…………………………........ 45. 圖 4-1-1. 兩組前測通過層次分佈長條圖……………………………….... 75. 圖 4-1-2. 兩組後測通過層次分佈長條圖……………………………….... 76. 圖 4-1-3. 兩組延後測通過層次分佈長條圖…………………………….... 77. 圖 4-1-4. 實驗組前後測通過層次分佈長條圖………………………….... 79. 圖 4-1-5. 對照組前後測通過層次分佈長條圖………………………….... 80. 圖 4-1-6. 實驗組後測與延後測通過層次分佈長條圖………………….... 83. 圖 4-1-7. 對照組後測與延後測通過層次分佈長條圖………………….... 84. 圖 4-2-1. 兩組表列前測層次分佈長條圖………………………………. .. 111. 圖 4-2-2. 兩組表列後測層次分佈長條圖……………………………….... 112. 圖 4-2-3. 兩組表列延後測層次分佈長條圖…………………………….... 113. 圖 4-2-4. 兩組代數表徵前測層次分佈長條圖………………………….... 119. 圖 4-2-5. 兩組代數表徵後測層次分佈長條圖………………………….... 120. 圖 4-2-6. 兩組代數表徵延後測層次分佈長條圖……………………….... 121. 圖 4-2-7. 兩組圖像表徵前測層次分佈長條圖………………………….... 128. vi.

(11) 圖 4-2-8. 兩組圖像表徵後測層次分佈長條圖………………………….. 129. 圖 4-2-9. 兩組圖像表徵延後測層次分佈長條圖……………….……... 130. vii.

(12) 第一章. 緒論. 第一節研究背景與研究動機從 1940 年代開始，概念理解就逐漸成為了教育心理學中的一門主要研究課題， Duffin 和 Simpson(1994)寫過對概念理解的一段話：當我理解了，我就感到愉快；我就有自信；我可以忘掉所有細節，而在需要的時候重新建構；我覺得它已經屬於我；我可以把它解釋給別人聽。這段小品文雖然看似簡單，卻傳遞了理解的意涵。如果我們學習一個概念，但對於該件事情的發展過程不熟悉、或是不了解形成原因，只著重在結果的運用，就會落入工具性理解(Skemp, 1986)，不會對其感到愉悅，成了一部算數機器而已。現今的教學現場，大部份是教師將已經歸納好的結論傳授給學生，卻忘了學科知識最初的發展，是從日常生活中所形成的，而函數就是一個鮮明的例子。Sfard (1992)曾指出：函數概念早在定義與有系統的表徵建構以前，就先在人們心中發展了。然而直到萊布尼茨於 1694 年時，才最先從拉丁文中引進函數，用以作為表示與曲線相聯繫的任何量的術語，它指的是：曲線上點的坐標、曲線的斜率、曲線的曲率半徑，諸如此類的量。約翰．伯努利於 1718 年把函數歸結為由一個變量和一些常數構成的任何總表示；之後，歐拉把函數看作包含變量和常數的任何方程式或公式，而後者是大部份學過初等數學的學生所具備的概念。歐拉的概念，直到傅立葉在其關於熱流的研究中，考慮三角函數級數時，才有所改變。這些級數涉及變量之間更為一般的關係，而這關係從未研究過；為了能提供一個能包括這樣的關係的過程中，狄利克雷將函數定義為：變量是表示一組數中任何一個數的符號；如果𝑥和𝑦兩個變量如此相關連：只要給𝑥一個值，則依某種規定的規則或對應，自動地產生一個值𝑦，則我們稱𝑦是𝑥 的函數。變量𝑥稱做獨立變量；變量𝑦稱做應變量。𝑥可以假定的允許值構成函數的定義域，被應對的 𝑦 值構成函數的值域。（Howard 著，歐陽絳譯，1997）由上述可知，函數是從生活中的經驗累積形成的結論，為了解釋生活中各種 1.

(13) 現象，並找出其變量之間的對應關係。因此，函數的表徵方式十分多元，在各種不同的學科中有不同的意涵。例如在物理中的速度和距離關係，或是施力的多寡與拋體的軌跡路徑；在化學上亦有化學反應式與莫耳數的關係，反應濃度與平衡、分子生物學中的各項實驗所獲得的資料圖表…等。函數是一直在成長的數學思考，隨著生活所需而用不同的形式表徵，因此函數於各個國家數學教育中佔據了一席重要的地位。以美國為例，美國 NCTM (National Council Teachers of Mathematics, 2000)的 2000 年課程標準中，有關「模式、函數和代數」的標準主要有三個方面的要求：1、理解各種類型的模式和函數關係。2、使用符號形式表示和分析數學情形和結構應用。3、數學模型以及分析在實際和抽象的背景下數學模型的變化。現行我國的國中七年級教材，則是著重在線型函數，雖然以生活例子引入，但對大多數的學生而言，函數並不是一個容易理解的概念(Dubinsky & Harel, 1992; Sfard, 1991)。教師通常在教學時，並未讓學生了解整個函數的發展脈絡，造成學生在學習時，被動地接受「變數與函數」這個想法。Norman(1992)曾指出，在他的研究中，有關於教師對函數的理解，發現許多教師對函數的概念並未有太多深入的了解，也因此更加增學生對學習函數的困難，而這困難也延伸至學生學習線型函數。因此，Sierpinska(1992)曾依他的教學經驗，提出學生學習函數的理解與障礙的相關建議，並認為除非將教學建立在與外部的連結上，才有辦法提升學生對函數的理解。Herscovics(1989)的研究亦發現，有 98%的學生能計算當𝑎 = 5時表達式 𝑎 + 7的值，但是卻只有 65%的學生會計算當𝑥 = 5時𝑓(𝑥) = 𝑥 + 7之值，顯示學生對於函數符號運用的困難。研究者認為，在生活例子引入課堂教學，到最後拿線型函數的概念進行應用時，並未依概念的發展教學，又因時間過於倉促，導致學生在函數概念的運用，變成只侷限在代數式的運算，或者在對於線型函數的理解上，排除了關聯性的理解，只剩下工具性理解。Sfard(1992)曾就他的觀察發現，現今學生有幾種狀況發生： (1)學生對函數的概念形成，都是以操作性為主，而非建構形成，所以導致容易產生概念迷失，論及函數時，大多都能說出定義，卻說不出概念為何，且認定函數 2.

(14) 一定要有規律，不能隨意變動。(2)多數學生發展出偽概念建構，他們無法將函數定義與概念結合，並為了降低語意的理解，認定函數即是公式，且不能接受用例子來定義函數。Dreyfus(1990)亦指出，學生在將函數的表徵用圖形直觀表示，或是用解釋圖形的方式表示函數的訊息常感到十分困難。而且，大多數的學生只是將函數看作一種程序規則，很少有學生能夠將它看成一個可操作的數學對象來處理。研究者亦曾問九年級的學生：請說明一下你認為的函數是什麼？結果發現學生的回答，只將函數的概念侷限在代數式。函數的學習為何如此困難？除了其應用十分廣泛，學生對於抽象的想法難以捉摸外，函數和其它數學概念最大的不同之處，在於表徵的多元及概念的複雜性。 Tall(2000)曾對函數概念有深入研究，認為函數是一個典型的「認知根源」，不僅包含了許多概念，其表現方式包括作為形式概念的函數符號、通俗概念的函數機器、代數的特徵(函數解析式)、數的特徵(函數的列表表示)，也有幾何的特徵(函數圖像)。丁斌悅(民 90)曾對函數的表徵做探討，發現以高中課程出現的表徵，有表列、代數式、函數機器、文字敘述、數對、圖形、文氏圖等，高達七種之多。其次，從概念發展上的認知水平來看，Tall(2000)認為函數概念還涉及前程序、程序、過程、物件(object)和過程性概念(procept)五個層次。Daniel(1992)等人則把學生對函數的認知分成三類：函數前、動作、過程。Sfard(1992)則是用概念的三種發展層次：內化、壓縮、物件來對函數的概念形成進行探討。Sajka(2003)透過一個深入研究的案例，得知學生對函數的理解困難，在於函數本身具備過程和結果的雙重性質。而 Pierce(2010)亦指出，學生在面對線型函數時，必需要了解𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 中，「𝑦和𝑥的關係」與「𝑎和𝑏的關係」，這兩種關係各有不同的意涵。由上述可知，函數概念的形成十分複雜。但是許多學者研究也表明，能夠處理函數的多元表徵，對函數概念的形成有全面性的幫助(Leinhardt, Zaslavsky & Stein, 1990)。因此，對於函數學習的研究亦開始盛行。吳佳起(民 91)在學生學習函數的概念成長進行研究，發現學習函數單元能有助於學生將概念發展層次提升。吳依芳(民 91)則是對線型函數的建模教學進行研究，發現建模教學有助於學生對函數的學習成就與信心。 3.

(15) 而在我國的九年一貫 97 年綱要裡，提出：「除了數學知識外，演算能力、抽象能力及推論能力的培養是整個數學教育的主軸。這三者是連貫而非獨立分開的，也是培養學生數學能力的三個具體面向。所謂「數學能力」，是指對數學掌握的綜合性能力以及對數學有整體性的感覺。」而 Eisenberg(1992)亦曾指出：小學的課程主要是在發展學生對「數字的感覺」，而中等學校以上的課程則是發展「函數的感覺」。其指出的這句話，恰可呼應九年一貫所提出的精神。學生在學習數學時，一般重視的是觀念和演算，但學生的數學經驗或數學感覺的培養也是同樣重要。要確保學生能學好新數學題材的要素之一，旨在如何引導並利用學生的前置經驗(或感覺)，這種數學經驗或數學感覺就是數學的直覺或直觀。表 1-1-1 九年一貫 97 年課綱中函數概念與相關的能力指標階段. 能力指標. 內容. 國小五年. A-3-02. 能由生活中常用的數量關係，運用於理解問題，並解決問題。. 級至六年級. A-3-04. 能用含未知數符號的算式表徵具體情境之單步驟問題，並解釋算式與情境的關係。. A-4-01. 能用符號代表數，表示常用公式、運算規則以及常見的數量關係(例如：比例關係、函數關係). A-4-03. 能用 x、y、…符號表徵問題情境中的未知量及變量，並將問題中的數量關係，寫成恰當的算式(等式或不等式). A-4-04. 能理解生活中常用的數量關係(例如：比例關係、函數關係)，恰當運用於理解題意，並將問題列成算式。. A-4-11. 能在坐標平面上，畫出一次函數或二元一次方程式的圖形。. A-4-17. 能利用配方法，計算二次函數的最大值或最小值。. A-4-18. 能理解二次函數圖形的線對稱性，求出其線對稱軸. 國中七年級至九年級. 4.

(16) 以及最高點或最低點，並應用來畫出坐標平面上二次函數的圖形。能用反例說明敘述錯誤的原因。能辨識一個敘述及其逆敘述間的不同。. A-4-19. 能察覺生活中與數學相關的情境。能察覺數學與其他學習領域之間有所連結。能知道數學可以應用到自然科學或社會科學中。能選擇使用合適的數學表徵。能瞭解如何利用觀察、分類、歸納、演繹、類比等方式來解決問題。能多層面的理解，數學可以用來解決日常生活所遇到的問題。能瞭解數學問題可有不同的解法，並嘗試不同的解法。能用解題的結果闡釋原來的情境問題。能由解題的結果重新審視情境，提出新的觀點或問題。能經闡釋及審視情境，重新評估原來的轉化是否得宜，並做必要的調整。. C-R-01 C-R-02 C-R-03 C-S-02 C-S-03. 相關連. C-S-04 C-S-05. 結. C-E-01 C-E-02 C-E-03. 資料來源：教育部(民97)。國民教育九年一貫課程綱要－數學學習領域。. 在九年一貫課綱所編排的教材中，線型函數相關概念只在七年級代數中安排了一個章節。但在高中99年課程綱要裡，函數的概念卻充斥在各種數學單元中。除了高一數學(數學 I、II)的定位為學習與生活關聯或其他學科需要用到的數學，以建立學生在各學科進行量化分析時所需要的基礎。高一上處理有關連續量的課題，包括由度量連續量所產生的實數，以及描述量與量關係的基本函數，如多項式函數與指數函數、對數函數等。高一下也開始著手處理有關離散量的課題，包括數列與級數、排列組合、生活中常見的古典機率，以及其他學科常用到的數據分析等。高二數學(數學 III、IV)的定位為社會組與自然組學生在學習上所應具備的數學知識，其主題為坐標、向量幾何與線性代數。表 1-1-2 高中課程綱要與函數關係年級數學 I. 主題多項式函數. 內容簡單多項式函數及其圖形 5.

(17) (函數). 指數、對數函數. 多項式的運算與應用多項式方程式多項式函數的圖形與多項式不等式指數函數對數函數指數與對數的應用. 數學 II (有限數學). 邏輯集合計數原理. 集合的定義、集合的表示法與操作基本計數原理(含窮舉法、樹狀圖、一一對應原理) 散佈圖、相關係數、最小平方法直角三角形的邊角關係. 數學 III (平面坐標與向量). 三角直線與圓平面向量. 廣義角與極坐標差角公式直線方程式及其圖形線性規劃圓與直線的關係平面向量的表示法平面向量的內積面積與二階行列式空間向量的坐標表示法空間向量的內積外積、體積與行列式. 數學 IV (線性代數). 選修數學I甲選修數學 IV 甲. 空間向量空間中的平面和直線矩陣二次曲線. 三角函數. 極限與函數多項式函數的微積分. 平面方程式空間直線方程式三元一次聯立方程組線性方程組與矩陣矩陣的運算矩陣的應用平面上的線性變換與二階方陣拋物線橢圓雙曲線一般三角函數的性質與圖形三角函數的應用複數的性質與意涵數列及其極限函數的概念函數的極限 6.

(18) 微分、函數性質的判別、積分、積分的應用選修數學I乙選修數學 IV 乙. 三角函數. 函數與極限. 一般三角數的性質與圖形數列及其極限函數的概念函數的極限. 資料來源：教育部(民98)，普通高級中學課程綱要。. 高中課綱中，特別指出「多項式函數」裡，首先複習函數的概念以及一次與二次函數，作為與國中課程的銜接，並作適度延伸，強調函數的特徵、圖形與應用的連結。特別是一次、二次函數是最基本的函數，以此做為加強學習的重點。在一次函數裡，學生要理解變化率的物理意涵，以及斜率的幾何意涵。在二次函數裡，學生要複習與延伸學習配方法、平移、極值、判別式和正定性(恆正性)，能繪圖並能應用。在單項函數 𝑦 = 𝑥 (𝑛 = 1、2、3、4 )中，學生要能繪圖、瞭解函數的奇偶性、單調性，並作函數圖形的平移。在說明線型函數之前，就得先了解函數概念形成的起始，與函數表徵的多樣性進行說明。研究者觀察，在眾多與函數相關的數學教育研究裡，與實際上的教學現場有些出入。因實際上的教學中，除了授課時間安排、課後練習、學校設備、數學評量、…等影響。雖然九年一貫的課綱指出，教師可以依現況或需求進行自編教材，但大部份的學校與教師還是以教育部審訂的教科書為基礎。研究者發現，教科書在函數與線型函數的概念呈現上，都是逐次將不同表徵分別呈現，例如：將函數的表列式的函數概念全部學完，再學代數式的函數概念。過程中，可能忽略了函數在單一表徵中，是需要不同層次的概念發展水平，而學習方式可能造成學生學習困難。因此研究者開始思考，若在不改變教材內容與教學習慣的情況下，將函數的概念表徵學習分層次呈現，是否對學生在函數的理解上有所助益，並希冀此一研究能提供數學教師在教學時使用。. 7.

(19) 8.

(20) 第二節研究目的與研究問題一、研究目的：本研究以「線型函數」課程單元為主題，對於兩種教學方式── 「依 APOS 概念層次的教學方式」(以下簡稱「APOS 教學方式」)與「傳統教學方式」，探討這兩種教學方式對學生形成函數概念之影響，並用「APOS」概念層次探討兩組學生對線型函數概念的發展層次。二、研究問題 1．在教材內容不變的情況下，以 APOS 教學的實驗組，和以傳統方式教學的對照組，在線型函數概念形成的成效上，是否有顯著差異？ 2．依 APOS 的概念發展層次，分析實驗組與對照組在線型函數概念發展階層的變化情形為何？ 3．依 APOS 的概念發展層次，分析實驗組與對照組在線型函數各表徵的變化情形為何？三、研究問題的重要性 1．了解教師在教學過程中，依據概念呈現方式的編排，是否有助於教學成效。 2．了解依據線型函數概念的層次分段教學，是能否有效了解學生學習情況。 3．作為探討以「APOS」理論的教學設計及其概念分析，提供相關資訊。. 9.

(21) 第三節. 理論架構. 本研究以「線型函數」為主題，針對 7 年級學生進行以 APOS 概念發展的方式教學，並和傳統教學方式進行比較，探討學生在不同教學方式下，對於線型函數概念的發展情形，本節即針對「APOS 概念發展教學架構」、「教學流程」二部份進行討論與說明。一、APOS 概念發展理論與教學架構我們採用 Asiala 等人(1996)提出的 APOS 理論進行教學實驗。APOS 最初是由 Dubinsky 對數學概念提出來的概念發展階層，是以 Piaget 的認知發展理論為基礎的概念形成理論，用以探討學生的概念發展層次，以了解學生概念形成的原因。而 APOS 的研究方式分兩類，第一類以 APOS 概念發展分析學生；第二類是設計 APOS 概念發展的教學課程，進行教學研究。最初 Dubinsky (1991)是針對 Piaget 的研究中，只著重在孩子早期的建構發展與初等的數學教育裡，對於更進一步的高等數學教育裡，並未多加著墨。Dubinsky 在研究關於 Piaget 提出的「反思抽象」(reflective abstraction)中，認為其分類有助於學生在接觸高等數學時，能有效發展其數學概念。由於 Piaget 提出的內化 (interiorization)及協調（coordination）等分類，無法明確解釋與描述對象的概念建構過程，故 Dubinsky(1991)運用因子分解(genetic decomposition)，將 Piaget 的建構過程做統整，因而提出了數學概念的階層，分別是動作(Action)、過程(Process)、物件(Object)、基礎(Scheam)。其相互關係如下圖所示：圖 1-3-1 基模(Schema)和其建構圖資料來源：Dubinsky E. (1991). Reflective abstraction in advanced mathematical thinking. In Tall, D. (Ed.)Advanced Mathematical Thinking, London: Riedel, p. 106. (續下頁). 10.

(22) 內化(Interiorizatoin). 動作(Action). 過程(Processes). 物件(Object). 協調(coordinate) 反思(reversal). 壓縮(Encapsulation). 一般化(Generalization). APOS 理論中主張知識的形成來自於「動作」(Action)，學習者接受到外部分別的指示與需求後，能夠一步一步的經由指引而達到目標。學生只知道如何達行操作，但並未思考操作內容。當重複操弄「動作」的過程，產生了實際的經驗，透過經驗的內化，使經驗產生意義而建構成「過程」(Process)。當學習者達到「過程」階層時，他能透過思考而執行「動作」，已經不需要再透過外部指引或刺激。「物件」(Object)階層，則是學習者在「過程」階層時，能察覺並將整個過程視為一個整體，並了解其中各種細部轉換並執行。「基模」(Schema)階層，則是學習者將「動作」、「過程」、「物件」統合蒐集，並能在不同的背景下做連結。或是能將不同階層的概念和其它基模做連結，在學習者心中產生更一般化的結果，而非只是問題的解決。本研究依據 APOS 概念發展，重新編排課本與習作，將教學過程中的各例題與內容以 APOS 方式呈現，並設計前測、後測與延後測，藉以分析學生發展的情形。研究者參考 Dubinsky 的 APOS 理論，並依 Asiala 等人(1996)的分類與國外相關學者 (Kabael, 2011；Trigueros, 2009；Baker, Hemenway & Trigueros, 2000)對函數及線型函數的研究，進行線型函數的概念分析。 (一)、「動作」層次學習者能透過實際上的活動，來找到函數的對應關係。活動是指個體通過一 11.

(23) 步步的外在指令，去得到一個對應的答案，學習者並未了解指令的原因或思考過程，只是單純的依規定完成答案。 1．「表列」表徵透過直接說明，完成對應的表格，並直接從完成的表格中得到線型函數的對應關係。例如：印一張 A4 紙為 2 塊錢，印 2 張為 4 塊錢，…，表格形式如下表示：張數. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 價錢. 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14. 16. 18. 2．「代數式」表徵理解函數需要進行的活動或操作。例如：在有現實背景的問題中建立函數關係。例如用具體的數字構造對應(2→4；3→6；4→8；5→10)。通過操作，讓學生理解函數的意義。 3．「圖形」表徵學生能透過一步一步的指示，完成直角坐標上的點，並經由實際上的描點方式，從中得到線型函數對應關係。 (二)、「過程」層次當操作的活動不斷重覆，學習者已經不需要再透過外部分解後的指令，而是能開始思考線型函數的過程，無需藉由一步步指引，就能推論可能得到的結果。 1、「表列」表徵學生不需要一步一步的指令代入表格，而能思考代入中所得到的數字，及表格中可能的對應關係，並透過單一變量，推論出表格中所隱含的函數關係，完成表格中的空格，但此時還不能察覺表格中 𝑥 和 𝑦 之間對應關係的代數表徵。 2、「代數式」表徵把上述操作過程內化成函數過程。以上述 2→4；3→6；4→8；5→10 的對應關係能得到 x→𝑓(𝑥) = 2𝑥的代數表徵。 3、「圖形」表徵 12.

(24) 學生不需再依規則描點，而能透過許多線型函數的例子，思考線型函數所畫出來的圖形，並能推得其它點得到的對應關係。 (三)、「物件」層次學習者可以不再思考過程細節，而在必要的時候，將整個線型函數視為一個整體可操控的對象，並依此對象在需要時，做其它轉換。 1、「表列」表徵學生能將整個表格視為一個整體的過程，並視為可操控的物件。例如：設下表是線型函數 y  f ( x) 部分對應的值，請完成下表。 x. 0. 1. 3. y. 5. 2. －4. 6. 學生除了必需推測出表格數據中的線型函數，亦找出表格中數字的規律。 2、「代數式」表徵可以把函數過程提升為一個獨立的物件來處理。例如，函數的加減乘除，合成函數的運算，在表示式𝑓(𝑥). (𝑥)中，函數𝑓(𝑥)和 (𝑥)均作為整體對象出現。. 3、「圖形」表徵學生需將直角坐標中，兩條以上的線型函數圖形，透過圖形去解釋各線型函數圖形間的關係，或推測線型函數圖形的發展，例如：函數值的大小比較等。 (四)、「基模」層次學習者能將物件視為一個整體後，並建立起此物件和其它物件的相關聯結，或是將其和不同的操作與過程做適當連接，從而組織成一個完整的概念。以表列表徵為例，則能從多種表列方式，透過運算、或觀察來判斷是否為一次函數或常數函數；若從代數式表著手，則此時的函數概念，是以一種綜合的心像存在於腦海中，在數學知識體系中佔有特定的地方。這一種心理圖像含有具體的函數實例、抽象的過程、完整的定義、乃至和其它概念的區別和聯繫(方程式、曲線、圖像等)；若用圖像表徵解釋，則是能從不同圖形中的描點，觀察圖形，來判斷是否為一次函數或常數函數。並從圖形連結代數、表列、…等表徵。 13.

(25) Dubinsky(1992)認為在教導概念時，要透過外部活動，讓學生感受到實質上的現象，因而累積相關數學的經驗，這些經驗並非是給予正確答案，而是提供思考的機會；透過小組討論，互相辯證，從而提供學生反向思考，也能讓學生對數學定義更明白；最後透過練習，強化學生對數學概念的熟悉。本研究的教學過程採取 Dubinsky 所建議的「ACE」方式，透過動作(Action)、課堂討論(Class-discussion) 和練習(Exercise)，配合「APOS」概念發展階層進行教學。如下所示： (一)、動作(Action)：教師從實際上可供學生操作的經驗或實例，進行教學示範與說明，讓學生能從中獲得實際經驗，並讓學生進行教師提供之相關的活動，逐漸形成初步的概念。 (二)、課堂討論(Class-discussion)：教師將學生分組，並進行小組間討論，從同儕的互動中，增加對數學概念的認識。並請各小組組員上台示範，並提出相關問題讓其它組別進行討論。 (三)、練習(Exercise)：依照教學教材所提供的題目，讓學生進行練習。並在課堂中提供學生上台示範的機會，並從而再進行課堂討論。研究者以課本原本內容，依「APOS」概念發展層次進行教學，並配合「ACE」方式，加強學生學習概念，將課本重新編寫。其相互關係表如下表示：表 1-3-1 APOS 概念發展層次教學及 ACE 方式 APOS 動作(Action) ACE 動作(Action). 物件. 基模. (Object). (Schema). 過程(Process). A-A. P-A. O-A. S-A. A-C. P-C. O-C. S-C. A-E. P-E. O-E. S-E. 課堂討論(ClassDiscussion) 練習(Exercis). 二、兩種不同方法之教學流程 14.

(26) 傳統教學方式在此係指以教師講述，課程內容則以教育部審訂通過之課本為主。而本研究的教學實驗則是將原課本中的概念重新分類，依照「APOS」概念發展順序進行教學，除了在教材呈現的方式及順序有明顯的差異外，並將習作內的題目和課本結合，希望能加強學生對線型函數的概念；此外，亦在教學過程中亦增加了課堂討論與學生示範的機會。此兩種教學法皆依據翰林版國民中學備課用書第二冊第四章線型函數所訂定，其教學目標為：(一)4-1 函數與變數(4 節課)內容包含：1、理解變數與函數的意義。2、理解函數值的意義。(二)4-2 函數圖形與線型函數(5 節課)內容包含 1、認識一次函數與常數函數的意義。2、理解函數圖形的意義，並畫出一次函數的圖形。3、畫出常數函數圖形，並了解線型函數的意義。本研究的研究者即為實驗組教學者，另一位教師為對照組教學者。為了避免學生對教材編排方式感到陌生，故在課堂上增加讓學生活動、討論與練習時間。本研究的教學方式其「教學目標」、「教學時數」、「教材內容」皆相同。兩種教學方式之相異點為「概念呈現方式」與「課本中例題的分類」。以下分別介紹兩種教學方式之流程。傳統教學方式流程：. 認識函數函數的定義函數值函數值的應用 4-1 自我評量和習作一次函數與常數函數. 函數圖形線型函數一次函數圖形的應用 4-2 自我評量和習作 15.

(27) 依據傳統教學流程圖，傳統教學上課的總節數為：「變數與函數」四節、「線型函數與函數圖形」五節，總共九節，其過程內容為： (一)、認識函數：以便利商店印一張 A4 的價錢和張數來舉例，引入自變數和應變數的關係。 (二)、函數的意義：告知函數的意義。並透過課本一些例子來說明。 (三)、函數值：透過變數的關係中，告知學生函數符號的運用，且了解函數所算出的數值其意涵。並舉出幾個例題。 (四)、函數值的應用：舉出比較不同的例子，讓學生從中觀察函數值的運算規則。 (五)、一次常數與常數函數：告知學生，凡從函數整理形如 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏，. a  0 的形式，都稱為一次函數，若是 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏中，𝑎 = 0，則稱之為常數函數 (六)、函數圖形：將函數的對應關係，用直角坐標呈現，讓學生畫一次函數與常數函數圖形，並說明何謂線型函數。 (七)、函數圖形的應用：融入生活的例子，讓學生從圖形中找到函數對應關係。. 本研究實驗組則是將課本兩節的內容重新編排，依課本與習作裡三種不同函數與線型函數的表徵，將它們在概念形成中的層次分類，先將同一層級的概念教導完畢。等學生熟悉實際上的操作後，再進入更高層次的教學。本研究教學共分成四個層次，詳細的教學教案設計，於第三章詳細說明，而相關教材詳如附錄(一)。以下為本研究教學方式的流程圖。圖中最左列為四種概念階層，分別為「動作」、「過程」、「物件」、「基礎」。最上列則是教學中的循環方式，並在「表列表徵」、「代數表徵」及「圖像表徵」中，依概念階層逐漸提升。圖 1-3-2 本研究教學方式的流程圖 (續下頁). 16.

(28) 課堂討論. 練. 函數的表列表徵. 函數的代數表徵. 圖像表徵的活動. 活動及介紹何謂. 活動、介紹函數符. 及介紹函數圖形. 函數. 號的表示法與函. 在直角坐標上的. 數值. 作圖. 進行函數表列表. 從代數表徵中，觀. 介紹一次函數、. 徵與思考表列與. 察代入值，計算函. 常數函數、線性. 函數對應關係. 數代數式. 函數。觀察其圖. f (x)=ax+b. 形的意義. 活. 動作. 過程. 動. 習. (). 物件. 學生練習表列表. 學生進行代數表. 可以將線型函數. 徵，推論整體表列. 徵中，需將代數式. 圖形視為一個可. 數值與整體操作. 視為物件之例題. 操作的整體之練習. 基模. 進行線型函數整體概念題目之討論與練習. 本研究將課本與習作所呈現的概念重新編排，故在教材上不再分章節，而以整個主題「線型函數」為主要架構，其教學內容如下： (一)、動作(Action)：從生活中的經驗引起動機，並引出此關係為函數關係，說明完函數的定義後，將生活經驗融合為主要三種表徵形式，分別為表列、代數式和圖像。表列的活動是透過直接對應，讓學生得到答案；代數式的活動則是讓學生接觸𝑓(𝑥)的函數符號，並讓學生直接代入數字運算結果，得到函數值；圖像表徵則是讓學生找出對應的坐標點，讓學生將點描出，並畫成函數圖形，並分別介紹一次、常數、線型函數圖形。 (二)、過程(Process)：延續第一階段，將函數的三種表徵同時進行。在表列的教學活動，讓學生思考對應過程，來判別是否為函數關係；代數式的教學活動，除了讓學生反思函數值的計算，並透過 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏，讓學生從不同的 17.

(29) 例子得到代數式的規則，算出未知係數；圖像的教學活動，則是透過已經畫好的圖形，讓學生判別何者是函數圖形，並讓學生思考圖形間，點和點之間的關係。 (三)、物件(Object)：將整個函數過程視為一個整體進行教學。在表列上，透過表列的數值對應，讓學生推測整個表列數值所表示的函數關係，並推出其可能的函數關係式；代數式的教學活動，則是讓學生用函數 𝑓(𝑥)做加減乘除，從而得到對應值的改變；圖像上，則是在直角坐標上呈現兩種以上的函數圖形，並讓學生從圖形中，得到其對應關係之比較。 (四)、基模(Schema)：由於課本中未含有此類型的題目與教學，故本實驗教學，只是將前三個部份的教學活動做整合，加強三種表徵之間的連結關係。由上述所知，本研究的教學方式和傳統教學有些許差異。除了將課本中的例題、自我評量與習作題目重新依概念層次編排並融入課程教學外，也將本研究中的「線型函數」三種不同表徵，在概念操作階層中完整呈現。並將課堂討論的時間固定安排在教學方式中，可增加教師在教學時，概念與表徵的連結，並幫助學生進行不同表徵的轉換與理解。. 18.

(30) 第四節名詞界定一、函數：給定一個自變數 𝑥 的值時，就恰好只有一個對應的𝑦 值，這種對應關係稱為 𝑦 是 𝑥 的函數(function)。二、線型函數：形如𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏的函數，稱為線型函數，其中當𝑎 ≠ 0時， 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 稱為一次函數；當 𝑎 = 0 時，𝑓(𝑥) = 𝑏，稱為常數函數。三、APOS：APOS 理論是一種概念形成理論，由 Dubinsky 於 1991 年所提出，其理論指出，概念可透過行動 (Action)、過程(Process)、物件(Object)和基模 (Schema)四個階段。概念的形成，從行動開始，並透過內化而達到過程，再經由壓縮(encapsulation)過程而形成可操作的物件，進而形成基模。四、表徵：指各種心智過程模式化所使用的文字或符號。例如：圖表、文字、數學符號…等。本研究以翰林版 100 年修訂版的「函數與圖形」單元，以表列、代數式與圖形進行討論。. 19.

(31) 第二章. 文獻探討. 因本研究為教學實驗，在教學過程中按 Dubinsky 所提出的 APOS 概念發展理論，配合函數所呈現的表徵做教學教材的編寫與設計，因此研究者必需對數學中的概念、表徵及函數的研究有所瞭解。本章總共分三節，第一節為表徵之相關文獻探討；第二節為概念形成的相關理論；第三節為函數與線型函數之探討。. 第一節表徵之相關文獻探討一、關於表徵的發展與研究隨著時代的發展，過去有許多的數學概念，已經不再是紙上談兵，而是用各種方式呈現。Goldin(1996)曾指出，數學概念表徵非常複雜，但若非得對表徵下定義，他只能粗略地說：表徵是一種構造，像一整個或一部份一部份地互相對應，並用參考性的連結、代表、或符號表示心理的互相影響或表現其他事物。美國 NCTM(1977)在早期所制定的數學能力中，並未將數學表徵列入，但在 2000 年提出新的數學課程標準中，將原標準的過程分成問題解決，推理與證明、交流、聯結和表徵。其指出：表徵能力是指能創造和使用表徵去組織記錄和溝通數學的觀念，能選擇、應用和轉換數學的表徵以解決問題，能使用表徵去建構出模型並能解釋自然界、社會及數學現象。而 PISA2000(the programme for international student assessment 2000)在數學的評價框架中，將數學過程分類裡，亦含了數學表徵，認為數學表徵包括在數學對象和情況表徵的不同形式之間的轉化，解釋和識別各種表徵之間的相互相關；根據情況和目的選擇不同形式表徵並轉換。環繞各種表徵對數學的相關概念與理解的作用，Janvier(1987a)認為教學上使用多種表徵的動機與目的有下列幾點： 1、教師在教學時，會期望學習者能夠察覺到這些數學固有的慣用表徵，並能在解題時選擇適當的表徵。 2、表徵是一個概念的多重具體化，這些多重的具體化是期望學習者能從各種表 20.

(32) 徵中獲得共同的性質並成功地建構出該概念。 3、表徵可以用來減低特定的困難，如當無法解題時，介入的表徵可以引導出正確的解題。 4、表徵可以使數學學習更有趣和更吸引人，進而使用不同的表徵去解題，採取從不同觀點去解題的正向態度。然而表徵為何如此重要，則是必需從整個教育和心理學的研究開始探討 (Goldin, 1998a)，早期由於受心理學中的行為主義影響，認為刺激和反應是直接連結的，因此強調受試者的經驗是最主要的基礎。後來隨著演變，啓發式的教學法開始受到重視，而這方式允許了研究人員可針對思考的複雜性去做了解。這些措施包括微妙的模式識別技術，視覺和空間，以及邏輯推理、類比推理和簡單或其他相關的問題。由於許多的技巧在運用上十分困難，因此除非學生已經被認定具有解決此問題的能力，否則在這些方式的運用上，易產生學習障礙。後來的教育開始著重在知識的認知結構，因此有了建構主義的興起，研究者必需了解各種知識的結構，並分析表徵與圖式的資訊，並深入了解被教學者對知識的主動建構認知。而表徵的重要性為何？對數學研究者而言，表徵如何運用？Stylianou(2002)的研究正從此切入，他曾對一群數學家在觀察問題與解決問題的過程做過研究，並要求受試者將過程完整詳述，他發現數學家在遇到問題的解決時，喜歡使用圖表來執行具體的策略，或展開與證明，以及思考那些呈現方式能幫助他們完成活動。特別要說明的是，數學家在建構的過程中，每一步驟的視覺化表示能很清楚地分離，而且在解決問題的過程，他們試圖分析有關問題情況的視覺化表示。 PME(Goldin, 1998b)也在多次的會議裡，討論表徵中有許多不同的意見和專業術語。像是概念的多重表徵、表徵系統、內部和外部表徵還有它們之間的交互作用，和它們在學習中的意義與重要性，還有表徵的效用和特色、關於認知障礙的觀點、意象和視覺的表徵、比喻、隱喻…等需要考慮被包含進去的。由上述可知，表徵的重要性是隨著時代的演變與教育的變遷而漸增。自從 21.

(33) Janvier(1987b)發表關於表徵的研究論述後，有關表徵在數學學習中的作用研究就成為一個焦點。相關的問題包括：表徵這個概念是如何定義的？內部表徵與外部表徵是如何聯結的；有關表徵的研究中，我們可以獲得哪些有用的建議等。在表徵的分類中，Bruner(1966)以兒童思維活動依賴外在的刺激的程度來決定兒童心智的成長。用動作(enactive)、形象(iconic)、和符號(symbolic)三種表徵來代表思維活動的不同程度。他認為兒童獲得一個數學概念的過程，是以線性方式從動作表徵過渡到圖像表微，最後到抽象思考。在動作表徵中，兒童的思維必須借助於實物或具體物的實際操弄活動來達成；圖像表徵是當具體物消失時，在兒童的腦中能依據實物的印象，自己製作心像而進行內在的思維活動；而達到抽象思考的活動階段的兒童則能直接對數學符號進行思維操作。Lesh(1979)將 Bruner 的動作圖像和符號表徵的思維活動以線性方式發展修正為平面網狀式的互動發展，從而提出數學學習的五種表徵：實際情境、圖像、操作、口語符號、書寫符號。他認為數學的學習，除了 Bruner 的表徵理論強調在深度的提升外，加強廣度的學習亦有助於深度上提升。因此他增加了實物情境和口語符號兩種表微，並且強調各種表徵內和表徵之間的轉換。 Janiver(1987a)認為，表徵可以被視為以下三種元素所組合而成：符號(symbol)、真實物件(real object)、心智圖像(mental image)。Goldin (1996)則將之分成內部表徵與外部表徵。Kaput(1996)稱為符號基模，但這比較像是機器中的編碼。Goldin(1996) 則是傾向表徵系統，因為他強調的是各種表徵之間的系統轉換。並針對表徵的特質、結構、建構性；表徵在關係上象徵性及表徵扮演著本質上的模糊角色進行分析。後來 Goldin(1998a)則認為必需先將表徵分成兩大部份： 1、內部表徵：表徵在內部的表現，可視為五種組合成份，分別為：語言的系統、意象系統、正式的數學符號系統、規畫、監測和執行控制系統和情意的表徵。 2、外部表微：係指實際上可以觀測得到，可以操作的物理性質。 Goldin(1996)認為五種類型的內部表徵，都該被視為心理學上最基礎的。在 22.

(34) 某種意義上來說，他們不僅發生在數學普遍代表性的學習、問題和求解的知識裡，也普遍發生在人類生活的周遭。而大部份的學者雖然分類不盡相同，但大多都能分成此兩類。而概念表徵中的內部表徵是指個體對所學概念可能的心理構造，但因為是內在的，所以這種表徵一般不能被直接觀察到，需要通過合適的檢驗工具。與內部表徵相反，外部表徵是一種物理性的，可以觀察的行為或對象，如文字、符號、圖形等，但通過這些可觀察的外部表徵並不能確實反映個體真實的內部表徵。美國 NCTM(2000)在 2000 年的學校數學課程標準與原則中指出：不同的表徵將導致不同的思維方式，它建議學生不只應該學會在問題解決過程中選擇、使用與轉化各種數學表徵，而且能夠在不同的表徵之間建立廣泛的聯繫。為了促進學生的多角度理解，許多學者都建議，首先在課程設計與教材編寫時就應該提供多元的表徵。Even(1998)認為用不同表徵表示相同事物，或由一種表徵換至另一種，這些方式都有助於概念的發展更趨完善。. 二、關於函數的表徵方式在數學概念之中，函數的表徵相當多元，不單單因為函數的歷史發展背景，也牽涉到函數各種科學領域中扮演不同的角色所導致。Janiver (1987a)提出函數的表徵方式有四種：文字描述(verbal description)、表列(table)、數學式(formula)、圖形(graph)。Markovits、Eylon 和 Bruckheimer (1988)則是認為有圖形、代數式、表列、文氏圖。然而 Tall(1999)曾針對函數進行概念與研究，其將函數詳細分為： 1、符號系統(notation)：函數的符號𝑓(𝑥)。 2、通俗表示(colloquial)：函數機器。 3、象徵意義(symbolic)：變量之間的代數方程式。 4、數值(numeric)：用表格方式呈現之數列。 5、圖形(geometric)：坐標圖形上的描繪。 6、書寫(written)：以書面形式表達。 23.

(35) 7、口述(verbal)：口頭表達。而在表徵與函數的學習關係，也一直受研究學者關注。Martinez(2006)從表列方式來了解早期學生接觸函數的概念，並探究其思考。Warren、Cooper 和 Lamb (2006)則是用函數機器及表列方式，來調查小學生對函數的思維與代數式的形成。 Kabael(2009)透過函數機器表徵，協助學生建立函數概念。Triguero 及 Planell(2010) 曾針對學生學習兩個變數的函數與其圖像表徵，了解學生學習可能遭遇的問題。後來 Kabael(2011)亦透過函數機器的方式，協助學生從一個變數的函數概念，擴充到兩個變數的函數概念。亦有部份學者是對函數的表徵進行整理並研究，除了 Demarois 和 Tall(1999) 進行函數的表徵與概念發展外，Hitt(1998)將函數的學習問題與表徵列出，如下：表 2-1-1 Hitt 的函數學習問題與表徵函數調查表. 呈現. 需要的能力. 畫出函數圖形. 平面上的曲線. 定義函數. 函數子概念. 逐點畫出函數圖形. 定義函數的定義域、對應域、值域在生活中描述問題. 口語形式. 製表和畫圖定義函數或用其它方式. 描敘函數. 口語形式寫下來用數字或字母計算函數. 計算函數. 代數在該點的值將代數表徵轉換成圖像. 函數寫成代數式. 代數表徵. 函數用圖形表示. 圖形. 圖像表徵轉成代數表徵從代數或圖形中，建立起. 建構函數. 準確描述函數性質函數的性質 24.

(36) 函數的等價關係. 口語、代數. 函數用圖形表示. 圖形. 定義相同性質的函數從繪圖、代數符號或物理背景表徵做銜接從物理背、代數符號和繪. 函數的脈絡. 幾何、繪圖圖做銜接. 函數寫成代數式. 代數. 用函數運算. 數學命題. 數學命題. 證明或尋找遭遇問題. 有四種方式：兩個變數之設計正確或錯誤的定義定義函數概念. 間的關係、數對、一致性依教學目的做分類的規則、輸入輸出. 資料來源：Hitt, F. (1998). Difficulties in the articulation of different representations linked to the concept of function. Journal of Mathematical Behavior, 17(1), p123-134.. 而 Hitt(1998)又進一步將表徵與函數概念的轉換分五個水平。茲列出如下： Level 1：有關概念不確定的想法。(不連貫或混合了不同表徵的概念) Level 2：定義概念中不同的表徵；定義表徵系統。 Level 3：在從一個表徵到另一個表徵的轉換之間能對其意義做保留。 Level 4：協調銜接兩種不同的表徵系統。 Level 5：在解決問題時，能協調銜接各種不同的表徵系統。雖然對於函數的表徵有多種分類，但考量研究的執行與課程編排的流程，參考了丁斌悅(民 91)對於各種表徵之優劣，本研究以函數的表列、代數式、與圖形三種表徵進行研究。. 25.

(37) 第二節概念形成的相關理論一、數學概念的特質關於概念的探討，各位學者研究與分類的方式不同。在過去各種解釋方式也不盡相同，Ausubel 對於概念的行為稱為「有意義的學習」(Ausubel, 1968)，他著重在關係的理解(Skemp, 1976)。而 Hiebert(1986)則將數學知識分成概念性知識 (conceptual knowledge)和程序性知識(procedural knowledge)，並藉此來討論數學概念。但若從數學本身的發展來看，數學概念的來源一般認為有兩個方面：一是直接從客觀的數量關係和空間形式反映而得；二是在抽象的數學理論基礎上經過多層的抽象所獲得。所以數學概念既有抽象性，也有它的具體內容。換句話說，數學概念是感官對外在經驗的活動或思考，經由抽象之後所得到的數、量、形的性質。(鮑建生，周超，2009) 因此，我們這裡要討論的「概念」，將著重在概念的一般性質，瞭解概念的形成與其過程和結構，以協助學生對數學概念能有進一步的掌握。 (一)、數學概念的抽象性概念的抽象化，通常隱含著背後的思維過程。而數學概念是一種高度抽象化的過程，其中更會用到各種數學符號，因此了解符號的意義並抽象化就成了重要的關鍵。Skemp(1987)認為數學概念的形成也有兩種基本的抽象方式： 1、一般化抽象：減少概念的限制，使其適用於更規範的情形。數學對象與其特殊情形仍保持著雙向的關係，這種關係使得學生可以在不同的情形中確認數學的對象。 2、分離式抽象：透過將概念與背景相分離而達到抽象的目的，數學對象已經和其所產生的具體背景無關。大部份的中等數學教學過程，都是用一般化抽象，我們透過生活中的例子引導學生，使其形成數學概念。分離式抽象的概念，一般是指直接從定義下產生的 26.

(38) 數學概念。而 Hershkowitz、Schwarz 和 Dreyfus(2001)則認為數學概念的抽象化，是一種縱向的重組活動，透過重組在原有的數學知識上，建立新的結構，而且強調數學抽象化是數學思維的基礎，其主要的目的有三種： 1、因為新知識需要新的結構來適應。 2、必需要建立新的抽象集合。 3、透過確認新的結構而不斷重新建構已知的抽象集合。雖然數學的抽象性是必然的，但 Skemp(1987)則認為在教學上，必需要透過例子讓學生逐漸熟悉，而非從定義下手，其認為定義乃是數學概念抽象化後的產物。 Vinner(2011)更強調，數學概念必需從生活經驗中逐步形成，並歸納之後的結果。 Freudenthal(1973)也表明在實際生活中，許多概念並不是通過定義學到的，而是接觸了大量的實例，經反覆觀察比對體會後歸納而來。因此李士錡(2001)認為，我們不能因為數學本身的抽象性而向學生過分強調抽象規定，應恰當地利用相對直觀的東西作為概念抽象規定的表象，讓學生能逐步地學會利用表象來協助抽象思維。總結以上論點，我們認為在「線型函數」的教學過程中，由於學生過去雖然有接觸過類似的想法，但是腦海中對於「函數」與其操作過程並不熟悉。因此如何透過大量的例子與生活經驗，讓學生思考其意涵，便成了教學中的主要課題。 (二)、數學概念的層次性數學概念在學習上，由於具備有抽象性，因此抽象化的程度就形成了對概念理解的程度。也因此有許多評定數學概念層次的理論出現。例如：SOLO 分類理論、 Van Hiele 的幾何分類等。Skemp(1987)把直接由感知得到概念稱為初級概念，由初級概念再抽象之後得到的概念稱為二級概念。他建議學習者在學習新的概念之前，必先學習這個概念所用到的先前概念，如果在連續抽象過程中某一步驟缺失了，會導致以後學習的困難。李士錡(2001)則認為數學概念分層次是必要的，思維的運算性使得數學總要以某些層次上的概念作為對象進行運算，以產生一種新的高層次的結論來。 27.

(39) Klausmeier, Ghatala 和 Frayer(1974)提供了一個數學概念學習和發展的模型，其中把數學概念學習分為以下五個階段：階段 1：具體期(concrete)：學生能理解一個先前經驗過的例子。階段 2：確認期(identity)：學生可以了解一個之前遭遇過的例子，即使這個例子是由不同時空觀點是不同的形式來觀察的。階段 3：分類期(classificatory)：學生能夠分別舉出正例與反例階段 3.5：生產期(production)：學生可以自行舉出關於此概念的例子。階段 4：形成期(formal)：學生可以說出此概念的定義。 Rosch (1976)提醒，正確且基本的分類對學生而言比較容易理解。像是狗和動物而言，狗對學生是比較容易去建立何謂動物的概念。更高層次的概念不只是必需由各種豐富的意象來支持，也必需要透過分類提到更高的層次。因此，數學概念的層次性，在概念的學習上是顯得特別的。原因在於數學概念的發展必需涉及抽象化，而抽象化又必需有一個按層次遞進的過程。所以不同程度的概念理解，所表現出來的行為即有所不同。 (三)、數學概念表徵的多元性關於數學概念的呈現上，其表徵的多元性更展現其不同於其它學科的獨特。除了上一節有關表徵文獻探討中提及的各類研究外，Janiver(1987a)認為多重表徵是一個概念呈現的多元性。這些多元性的具體化過程是期望學生能從各種表徵中獲得共同性質並連結出其概念。Lesh(1987)更說明了學生必須具有下列條件才算了解一個概念： 1、他必須能將此概念放入各種不同的表徵系統中， 2、在給定表徵系統內，他必須能很有彈性地處理這個概念 3、他必須很精確地將此概念從一個表微系統轉換到另一個表徵系統 2. 舉例來說： 1/2 的表徵方式。例如：0.5、4、50%、sin 30° 等。。二、數學概念的形成過程與學習 28.

(40) 數學概念如何抽象化？其學習過程為何？一直是研究者想探討的問題。Tall (1999)曾針對此提出一個問題：我們到底該如何把數學的概念在數學脈絡中交給學生？根據鮑建生和周超(2009)的分類，主要有三種：其一是依據思維主體與客體之間的關係。Wilensky(1991)提出，從學習的角度來看，概念抽象的層次並非是針對概念本身所擁有的特性，而是根據該概念與學習者之間的關係。換句話說，同一個概念在不同人的眼裡所代表的層次是不同的。其二是依據對過程和對象雙重的反思過程。在 Piaget(1969)、Dubinsky(1991)、Sfard(1991,1992)等人都採用此種方式進行研究。其三是依據數學概念複雜的程度，對數學抽象程度的刻畫來進行分類。本研究為採用第二種方式，以 Dubinsky(1996)提出的 APOS 理論，來進行教學研究與分析。 Vinner(1992)認為人們在處理問題是，最常用的是概念圖像，而非用概念定義。概念圖像並非只是口頭上言語累積起來的辭彙，而是各種經驗與印象集合而成的結果。也是最容易被喚起記憶的方式。而概念圖像與概念定義亦可解釋為什麼學生學不好的原因。其概念形成互動如下圖表示：. 圖 2-2-1 概念定義和概念心像的互動關係資料來源：Vinner, S. (1992) The function concept as a prototype for problems in mathematics learning, In E. Dubinsky & G. Harel (Eds.), The concept of function: Aspects of epistemology and pedagogy (pp. 195-214). Washington, DC: Mathematical Association of Amer.. 29.

(41) 圖 2-2-2 純粹形式的演繹關係資料來源：同圖 2-2-1。. 圖 2-2-3 直觀思考下的演繹關係資料來源：同圖 2-2-1。由上述得知，數學概念有其層次性的特質，然而學習過程必需牽涉到一連串的心理過程，但是此心理過程並不易從外部觀察到，而且通過概念形成的方式來學習並不是件容易的事。Skemp(1971)認為有二個關鍵：一是超過個人已有的概念層次的高階概念並不能用定義的方式來溝通，只能提供足夠的相關例子，再靠其自己抽象而成；二是數學概念有其層層相關性，因此在提供例子或概念學習時，必需先確定學生已經具備預先概念。因此我們得知，概念的形成過程與抽象化有關。曹才翰與章建躍(2006)則對其 30.

(42) 過程有一般化的解釋： 1、辨別各種刺激模式：這些可以是學生在日常生活中的經驗，或者是由教師所提供具有代表性的例子。 2、分化出各種刺激模式的屬性：若當有相關的刺激時，學生能對各種刺激的屬性分類。 3、概括出各個模式的共同屬性：除了能對各種不同模式進行分類外，也能對相相同的屬性進行整合。 4、在特定的情境中檢驗假設：對於在不同環境中，能對其適合的模式進行運用並檢驗。 5、形成概念：驗證之後，把關鍵的屬性抽象化，並將過去舊有的經驗與新的經驗進行分或結合。 6、類推：把新概念的共同屬性推廣至同類的事物中，這裡強調的是更大範圍的適應過程。 7、用形式符號表示：當學生能了解此概念時，就代表其掌握了許多此概念的具體特徵，此時就能進行符號的引用與學習。雖然此分類將概念一般的形成過程分類，但在形成概念所牽涉到的心理過程並未詳細說明，到底學生在概念的形成中，內在的思維為何？ Davis(1984)指出概念的形成，是把程序變成是一個整體性的操作物件；Dubinsky(1996)則認為透過外部的活動，學生會產生一個「內化」(interiorization)的心理過程，無需再由外部刺激就能思考過程，並透過「膠囊化」(encapsulation)的方式壓縮成為一個可操作的整體性物件。Sfard(1991)亦對概念形成過程提出兩種分類：操作性概念(operational) 與建構性概念(structural)，而這兩種概念的過程中，必需經歷內化(interiorization)、壓縮(condensation)、具體化(recification)。Skemp (1987)則認為有三個模式來組成概念： 1、是具體物件之間交互的活動。 2、是經由交互作用來針對其它的個體。 31.