檢討與建議

一、檢討

(一)、教學的檢討

1、函數圖形部份：在對照組與實驗組中，雖然兩組的教材一致，只是編排與 呈現方式不同。但在教學上卻還是有些許出入，對照組在教學過程中曾提 及「一對一」與「多對一」之函數定義，透過語言的轉變讓孩子接受函數 的對應概念，並藉此連結函數圖形。而在實驗組中，則是未提及這部份，

只針對函數的定義做解釋。因此實驗組學生在後測的函數圖形之判別，對 於部份圖形有疑慮。而後在訪談過程中，學生表示老師雖然有教過，但看 到圖形中代入一個數值卻有出現兩個對應值出現時，還是產生不確定感。

因此在 APOS 教學中，對於教學例題中所得到的原因與結論，應該要再次 提醒並確認學生對題目中得到的訊息與概念。

2、教學連結的部份：在教學連結上，實驗組先將函數概念區分成三種層次，

並依照每個層次將函數的表徵呈現出來。而對照組則是按照表徵教學，並 一次將函數同一表徵的三種概念層次教完。原本期待實驗組在教學過程中，

學生對於「表列」、「代數式」、「圖形」上，三種函數表徵的連結能更為通 暢。然而學生在學習過程中，對於重複提及「表列」時，感到些許不耐煩；

但對於同一層次「圖像表徵」之熟習度又感到不足。實驗組在進行教學時，

又侷限在 APOS 的過程，卻忽略學生對於「表列表徵」的「動作」部份已 經熟悉，卻得重新再進行一次「動作」的步驟，而在進行「圖像表徵」時，

學生對於部份概念還不熟悉，卻侷限於教材的關係，無法更進一步練習。

(二)、試題的檢討：

1、表列表徵試題：在後測與延後測的表徵試題三、1 的部份，在測式學生是 否能從表列中的對應關係，推出線型函數，並填入適當數據。

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後測三、3 設 f(x)＋g(x)＝6x－3，f(x)－g(x)＝4x－13，則 f(5)＝？

延後測三、3 設 f(x)＋g(x)＝10x－5，f(x)－g(x)＝5x－7，則 f(5)＝？

試題中主要是讓學生將函數視為一個可操作之物件。但由於在教材中並未

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數據比較大，希望學生能藉由圖形判讀所對應的函數值，但細心的學生依 然可以藉著函數的代數表徵算出所對應的函數值。因此本題雖然分類在圖 像表徵，但亦可做為圖像表徵與代數表徵之連結。

二、建議

(一)、教學的建議

在兩組接受不同教學的情況下，雖然部份表現並未達顯著水準。但在對 於部份表徵的保留上，接受 APOS 教學的學生明顯表現較好。而且學生對於 APOS 教學的看法也十分正向，認為對於一個新的數學概念，APOS 教學法能 讓學生循序漸進，而且在數學運算，與概念保留上，有正面的效果。以下為 研究者針對本次研究所做的幾點建議：

1、兩組學生在試題反應中，三次的表列表徵並無明顯差異。由於本教學實驗 是探討在相同教材的情況下，以概念呈現的方式是否對學生的學習有所影 響。因此我們可以得知，對於表列表徵與函數關係的連結，還有和代數表 徵與圖像表徵的連結，實驗組與對照組並無差異。但在做教學實驗時，應 以「代數表徵」與「圖像表徵」為主，並適時增加此兩種表徵之連結關係，

才能對此教學實驗是否有更顯著的成效進行了解。

2、APOS 概念理論，可以進行教學實驗，亦可進行數學概念檢測，研究者發 現，實驗組的部份學生在同層次的概念表徵的學習上有差異，而這些差異 則會讓學生在進入下一個層次時，產生學習連結的困難。因此建議可以在 教完整個概念階層時，進行形成性評量，並對於下一個概念層次的教學，

進行調整，效果可能更好。

3、配合概念層次，增加更多刺激與連結。學生在對於「代數表徵」與「圖像 表徵」的學習上較不熟悉。因此在教學上應該提供更多範例與練習，以讓 學生增加對函數的「代數表徵」與「圖像表徵」之連結。在各表徵的概念 連結，學生必需先把表徵所代表的函數概念視為一個物件，才有辦法做物

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件的連結。因而這過程是屬於 APOS 的「物件」層次，在教學過程中，必 需注意。

(二)、試題與課程的建議

1、「物件」試題的篩檢，需多考慮國中教材與學生的能力。由於學生第一次 接觸函數概念，學習基本的函數對應關係及線型函數圖形。在「物件」層 次上，必需限制在學生對於「線型函數」的概念層次上。然而在各表徵與 概念層次的試題與課程安排，更需衡量和國中基本能力指標之對應與搭 配。

2、課程安排，除了依 APOS 概念層次分類與依照表徵進行教學外，依 APOS 的概念理論中，對於「物件」的試題中，提出壓縮和解壓縮的思考過程，

應於課程中提供學生將函數視為物件的壓縮途徑，進行適當的提示與指導。

然而不論是重新編排過的教材，或是原本的翰林版教材內容，都缺少了壓 縮的過程。因此研究者認為，應於課程安排中，增加此一概念的練習，並 在試題評量時，提供此概念命題，以便更深入了解學生學習狀況。

(三)、對未來研究之建議

1、經過實驗教學，學生在延後測，實驗組的學生對於「函數」的概念大部 份會保留，並將「線型函數」視為「函數」的一部份。但對照組的學生卻 有部份學生將「函數」視為「線型函數」。而此一觀點又會影響學生對於 函數的「代數表徵」與「圖像表徵」之試題反應。因此研究者認為，可在 學生學完「二次函數」時，再了解學生對「函數」概念的狀況是否有所異 同，亦可得知學生對「函數關係」學習時易產生的概念迷思進行探討。

2、本教學實驗所用之統計工具，對於部份測驗兩組之差異，並未達統計上的 顯著水準，因此未來可以考慮用不同實驗方式，或是其它統計工具，以達 更精確的結果。

3、由於國中教材中的函數概念，並未涉及更高層次的概念思考。因此本研究 只運用 APOS 理論中前三個概念層次進行研究，由於高中數學教材內容比

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較廣泛，包含了多項式函數、三角函數、指數函數…等，或許可以更深入 了解對學生於函數的更高層次的概念理解。

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