概念形成的相關理論

一、數學概念的特質

關於概念的探討，各位學者研究與分類的方式不同。在過去各種解釋方式也 不盡相同，Ausubel 對於概念的行為稱為「有意義的學習」(Ausubel, 1968)，他著 重在關係的理解(Skemp, 1976)。而 Hiebert(1986)則將數學知識分成概念性知識 (conceptual knowledge)和程序性知識(procedural knowledge)，並藉此來討論數學概 念。

但若從數學本身的發展來看，數學概念的來源一般認為有兩個方面：一是直 接從客觀的數量關係和空間形式反映而得；二是在抽象的數學理論基礎上經過多 層的抽象所獲得。所以數學概念既有抽象性，也有它的具體內容。換句話說，數 學概念是感官對外在經驗的活動或思考，經由抽象之後所得到的數、量、形的性 質。(鮑建生，周超，2009)

因此，我們這裡要討論的「概念」，將著重在概念的一般性質，瞭解概念的形 成與其過程和結構，以協助學生對數學概念能有進一步的掌握。

(一)、數學概念的抽象性

概念的抽象化，通常隱含著背後的思維過程。而數學概念是一種高度抽象化 的過程，其中更會用到各種數學符號，因此了解符號的意義並抽象化就成了重要 的關鍵。Skemp(1987)認為數學概念的形成也有兩種基本的抽象方式：

1、一般化抽象：減少概念的限制，使其適用於更規範的情形。數學對象與其 特殊情形仍保持著雙向的關係，這種關係使得學生可以在不同的情形中確 認數學的對象。

2、分離式抽象：透過將概念與背景相分離而達到抽象的目的，數學對象已經 和其所產生的具體背景無關。

大部份的中等數學教學過程，都是用一般化抽象，我們透過生活中的例子引 導學生，使其形成數學概念。分離式抽象的概念，一般是指直接從定義下產生的

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數學概念。而 Hershkowitz、Schwarz 和 Dreyfus(2001)則認為數學概念的抽象化，

是一種縱向的重組活動，透過重組在原有的數學知識上，建立新的結構，而且強 調數學抽象化是數學思維的基礎，其主要的目的有三種：

1、因為新知識需要新的結構來適應。

2、必需要建立新的抽象集合。

3、透過確認新的結構而不斷重新建構已知的抽象集合。

雖然數學的抽象性是必然的，但 Skemp(1987)則認為在教學上，必需要透過例 子讓學生逐漸熟悉，而非從定義下手，其認為定義乃是數學概念抽象化後的產物。

Vinner(2011)更強調，數學概念必需從生活經驗中逐步形成，並歸納之後的結果。

Freudenthal(1973)也表明在實際生活中，許多概念並不是通過定義學到的，而是接 觸了大量的實例，經反覆觀察比對體會後歸納而來。

因此李士錡(2001)認為，我們不能因為數學本身的抽象性而向學生過分強調抽 象規定，應恰當地利用相對直觀的東西作為概念抽象規定的表象，讓學生能逐步 地學會利用表象來協助抽象思維。

總結以上論點，我們認為在「線型函數」的教學過程中，由於學生過去雖然 有接觸過類似的想法，但是腦海中對於「函數」與其操作過程並不熟悉。因此如 何透過大量的例子與生活經驗，讓學生思考其意涵，便成了教學中的主要課題。

(二)、數學概念的層次性

數學概念在學習上，由於具備有抽象性，因此抽象化的程度就形成了對概念 理解的程度。也因此有許多評定數學概念層次的理論出現。例如：SOLO 分類理論、

Van Hiele 的幾何分類等。Skemp(1987)把直接由感知得到概念稱為初級概念，由初 級概念再抽象之後得到的概念稱為二級概念。他建議學習者在學習新的概念之前，

必先學習這個概念所用到的先前概念，如果在連續抽象過程中某一步驟缺失了，

會導致以後學習的困難。李士錡(2001)則認為數學概念分層次是必要的，思維的運 算性使得數學總要以某些層次上的概念作為對象進行運算，以產生一種新的高層 次的結論來。

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Klausmeier, Ghatala 和 Frayer(1974)提供了一個數學概念學習和發展的模型，

其中把數學概念學習分為以下五個階段：

階段 1：具體期(concrete)：學生能理解一個先前經驗過的例子。

階段 2：確認期(identity)：學生可以了解一個之前遭遇過的例子，即使這個 例子是由不同時空觀點是不同的形式來觀察的。

階段 3：分類期(classificatory)：學生能夠分別舉出正例與反例

階段 3.5：生產期(production)：學生可以自行舉出關於此概念的例子。

階段 4：形成期(formal)：學生可以說出此概念的定義。

Rosch (1976)提醒，正確且基本的分類對學生而言比較容易理解。像是狗和動 物而言，狗對學生是比較容易去建立何謂動物的概念。更高層次的概念不只是必 需由各種豐富的意象來支持，也必需要透過分類提到更高的層次。因此，數學概 念的層次性，在概念的學習上是顯得特別的。原因在於數學概念的發展必需涉及 抽象化，而抽象化又必需有一個按層次遞進的過程。所以不同程度的概念理解，

所表現出來的行為即有所不同。

(三)、數學概念表徵的多元性

關於數學概念的呈現上，其表徵的多元性更展現其不同於其它學科的獨特。

除了上一節有關表徵文獻探討中提及的各類研究外，Janiver(1987a)認為多重表徵 是一個概念呈現的多元性。這些多元性的具體化過程是期望學生能從各種表徵中 獲得共同性質並連結出其概念。Lesh(1987)更說明了學生必須具有下列條件才算了 解一個概念：

1、他必須能將此概念放入各種不同的表徵系統中，

2、在給定表徵系統內，他必須能很有彈性地處理這個概念

3、他必須很精確地將此概念從一個表微系統轉換到另一個表徵系統 舉例來說： 1/2 的表徵方式。例如：0.5、²₄、50%、sin 30^°等。。

二、數學概念的形成過程與學習

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數學概念如何抽象化？其學習過程為何？一直是研究者想探討的問題。Tall (1999)曾針對此提出一個問題：我們到底該如何把數學的概念在數學脈絡中交給學 生？根據鮑建生和周超(2009)的分類，主要有三種：其一是依據思維主體與客體之 間的關係。Wilensky(1991)提出，從學習的角度來看，概念抽象的層次並非是針對 概念本身所擁有的特性，而是根據該概念與學習者之間的關係。換句話說，同一 個概念在不同人的眼裡所代表的層次是不同的。其二是依據對過程和對象雙重的 反思過程。在 Piaget(1969)、Dubinsky(1991)、Sfard(1991,1992)等人都採用此種方 式進行研究。其三是依據數學概念複雜的程度，對數學抽象程度的刻畫來進行分 類。本研究為採用第二種方式，以 Dubinsky(1996)提出的 APOS 理論，來進行教學 研究與分析。

Vinner(1992)認為人們在處理問題是，最常用的是概念圖像，而非用概念定義。

概念圖像並非只是口頭上言語累積起來的辭彙，而是各種經驗與印象集合而成的 結果。也是最容易被喚起記憶的方式。而概念圖像與概念定義亦可解釋為什麼學 生學不好的原因。其概念形成互動如下圖表示：

圖 2-2-1

概念定義和概念心像的互動關係

資料來源：Vinner, S. (1992) The function concept as a prototype for problems in mathematics learning, In E. Dubinsky & G. Harel (Eds.), The concept of function:

Aspects of epistemology and pedagogy (pp. 195-214). Washington, DC: Mathematical Association of Amer.

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圖 2-2-2

純粹形式的演繹關係 資料來源：同圖 2-2-1。

圖 2-2-3

直觀思考下的演繹關係 資料來源：同圖 2-2-1。

由上述得知，數學概念有其層次性的特質，然而學習過程必需牽涉到一連串 的心理過程，但是此心理過程並不易從外部觀察到，而且通過概念形成的方式來 學習並不是件容易的事。Skemp(1971)認為有二個關鍵：一是超過個人已有的概念 層次的高階概念並不能用定義的方式來溝通，只能提供足夠的相關例子，再靠其 自己抽象而成；二是數學概念有其層層相關性，因此在提供例子或概念學習時，

必需先確定學生已經具備預先概念。

因此我們得知，概念的形成過程與抽象化有關。曹才翰與章建躍(2006)則對其

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過程有一般化的解釋：

1、辨別各種刺激模式：這些可以是學生在日常生活中的經驗，或者是由教師 所提供具有代表性的例子。

2、分化出各種刺激模式的屬性：若當有相關的刺激時，學生能對各種刺激的 屬性分類。

3、概括出各個模式的共同屬性：除了能對各種不同模式進行分類外，也能對 相相同的屬性進行整合。

4、在特定的情境中檢驗假設：對於在不同環境中，能對其適合的模式進行運 用並檢驗。

5、形成概念：驗證之後，把關鍵的屬性抽象化，並將過去舊有的經驗與新的 經驗進行分或結合。

6、類推：把新概念的共同屬性推廣至同類的事物中，這裡強調的是更大範圍 的適應過程。

7、用形式符號表示：當學生能了解此概念時，就代表其掌握了許多此概念的 具體特徵，此時就能進行符號的引用與學習。

雖然此分類將概念一般的形成過程分類，但在形成概念所牽涉到的心理過程 並未詳細說明，到底學生在概念的形成中，內在的思維為何？ Davis(1984)指出概 念的形成，是把程序變成是一個整體性的操作物件；Dubinsky(1996)則認為透過外 部的活動，學生會產生一個「內化」(interiorization)的心理過程，無需再由外部刺 激就能思考過程，並透過「膠囊化」(encapsulation)的方式壓縮成為一個可操作的 整體性物件。Sfard(1991)亦對概念形成過程提出兩種分類：操作性概念(operational) 與建構性概念(structural)，而這兩種概念的過程中，必需經歷內化(interiorization)、

壓縮(condensation)、具體化(recification)。Skemp (1987)則認為有三個模式來組成概 念：

1、是具體物件之間交互的活動。

2、是經由交互作用來針對其它的個體。

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Greeno 程序(Procedure) 一個程序輸入至另一 個程序中

概 念 化 實 體 (conceptual entity) Dubinsky 動作(action)…每一個

步驟都能觸發下一步

Gray an Tall 程序(procedure)….特 別是演算迴歸 Mathematical Thinking. In O. Zaslavsky (Eds.), Proceedings of the 23rd Conference of PME, Haifa, Israel, 1, 111–118.

所謂的膠囊化的壓縮(encapsulation)到底為何？我們可以舉數字「5」為例。「5」

本來是代表一個數量，但是被用來加減乘除的時候，就變成了一個物件，再賦予

本來是代表一個數量，但是被用來加減乘除的時候，就變成了一個物件，再賦予