2.4 分散式混合理論模型回顧
2.4.3 分散式混合模型之回顧
∫
Ψ Ψ Ψ= 0
0 2 2
0
sin d R
d
F π ξ σ （7）
F 為作用於該平面上之流場作用力，決定是否分散時，比較 F 及利用 2.4.1 中所提到的模型計算在該平面上之內聚力大小，F 大於內聚力，
則此固體凝粒便會於該平面被打散。
2.4.3 分散式混合模型之回顧
於分散式混合中，添加物固體凝粒的內聚力及流場的作用力都 需要同時考慮，因此現有的分散式混合模型多半是兩者之結合。
Nir 和 Tadmor 結合了 Rumpf 描述內聚力的模型以及相切兩球在 流場中的作用力模型之後，導出了在簡單剪切流場時的固體凝粒分散 模型（35,36），其指出凝粒是否會被打散與一無因次因子 Z 有關。而 Z 如下式所示 :
Z = χµTγ& （8）
其中χ為一個純量參數，γ&為流場的剪應率，而T 則為固體凝粒的整 體拉伸強度。Z 越大則表示流場作用力大於凝粒的內聚力，可成功分 散。
Manas-Zloczower 和 Feke 改良以上模型（37），使其能適用於不 同的流場中，對於各種不同的流場，固體凝粒超過一定的Z 值便會破 裂 :
簡單剪切流（simple shear） Z≧2 純延展流（pure elongation） Z≧1 單向延伸流（uniaxial extension） Z≧0.5 雙向延伸流（biaxial extension） Z≧1
2.4.4 由實驗結果所建立的分散式混合模型
Powell 和 Mason 觀察不具內聚力的球形粒子於層流流場中被分 散的現象（38）。他們將這些球形粒子（200-400µm）置於良好控制 之矽油層流場中，這個模型指出粒子離開固體凝粒的速率與固體凝粒 的表面積成正比 :
2 2
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛ a c R dt
dNR （9）
其中N 為時間的函數，是從起始到時間 t 時離開凝粒表面的平均粒子 數，R 為聚集體之半徑，而 a 則是球形粒子之半徑。由於
( )
a3 dNR2 dt與固體凝粒的體積減少速率成正比，故（9）式可改寫為 :
( )
0
0 ˆ
R k a dt
R R
d =− （10）
kˆ 為比例常數，其與區域速度梯度、固體凝粒的空隙度及流場形 態均相關。Powell 和 Mason 發現此比例常數對流場形態特別敏感，
進而發現延伸流有增進分散的功能，而且分散效應也與粒子與初
始凝粒的半徑比有極大關係。
Rwei、Manas-Zloczower 及 Feke 以一透明的錐面（cone and plate）
裝置觀察到碳黑固體凝粒於破裂時的兩種主要機制（39,40），其中一 種稱為侵蝕（erosion），其在較低的剪切應力下便持續不斷地剝離固 體凝粒的表面，另一機制稱為破裂（rupture），這種機制是一種突然 將固體凝粒分成為數不多的大片段，且與侵蝕相比，此種機制發生於 較高的剪切應力。
Rwei 及其同事提出了其速率關係式 : a
dt k dR
− 1
∗= （11）
其中R 為固體凝粒之半徑，〈a〉為破裂碎片的平均半徑，k1為速率常 數，而t∗ =tγ&為一無因次化之侵蝕時間。
一般說來，有兩個主要的機制發生於分散式混合中 : 第一種是較 激烈的分散程序，稱之為破裂（rupture），而第二種是較緩和的侵蝕
（erotion）。分散式混合的程序會受到許多因素的影響，諸如添加物 的結構及內聚性（cohesivity），流場的強度及種類，還有添加物及高 分子在物性上的交互作用等。
緩和的侵蝕會由固體凝粒表面持續的向內切割，對聚集性較高的 添加物來說，分散程序的速度主要由流場的強度所影響。
破裂是突然的，碎片較大的分裂程序。比起另一種分散機制而言，
破裂發生於較高剪切力的情況下，以一般的模型而言，破裂發生於較 預測為低的剪切力下，這可歸因於添加物碎片的不均一性所導致。以 上所提過的模型均沒有把添加物碎片的不均一性這個因素考慮進 去。但這種不均一性在分散程序中尤其明顯，碎片較軟弱的地方（碎 片可能開始碎裂的部分）和碎片較堅強的部分（會抗拒分散程序的部
分）使得整個碎片的物性不均勻，因此就會發生與模式預測不同的結 果出現。
流場的型態亦會影響分散式混合的效果，在理論預測與實驗結果 中都可發現到延伸流會增進分散式混合的效率。
2.5 流道式混合元件概述
分散式混合元以凹槽式(fluted)混元件使用較為廣泛。凹槽混合式 元件(如圖1(a-d)所示)分為（1）Maddock混合元件（2）Eagan 混合元 件（3）Dray 混合元件（4）Zorro混合元件，其中以Maddock、Eagan 及Zorro較普遍被使用。在這四種混合元件中凝膠(包括未熔化的膠粒) 或者固體凝粒必須由一個流體的入口溝道(inlet channel)經過一個狹 窄深度的障壁區間(barrier section)，才能進入另一個流體出口溝道 (outlet channel)，在經過這狹窄的障壁區間，會產生很大的剪切應力，
將凝膠或者固體凝粒打碎或者將未熔化的膠料加以熔化，如此可避免 押出產品外觀不良(如魚眼)的現象產生。此外，對Maddock混合元件，
Eagan混合元件，Dray混合元件及Zorro混合元件，膠料在溝道流動中 會產生迴旋的流動(circulation flow)，如圖2所示。因此像上述混合元 件除了具有分散式混合以外以及具有部分分配式混合元件的功能，將 有助於膠料的均勻化(homogenization)。
由上述的分析可知，凹槽式混合元件主要的功能為二：一為當混
合器(mixer)之用，二為當熔化器(melter)之用。其具有增加混合及促 進熔化的功用。但是若這些混合元件設計不當，會導致膠料在入口溝 道及出口溝道的入口及出口處產生非流線化(non-streamline)流動情 形，導致膠料會有停滯現象，進而可能產生裂解。此外膠料在經過狹 窄的障壁區間時，亦會因設計不當產生很大的壓降，導致押出量下 降，而且入口溝道的壓力會上升，會使滯留時間加長，且經過此狹窄 障壁區間時，同時也會產生很高的剪切率，進而產生很大的黏滯熱，
使得膠料的溫度上升，產生裂解之虞。同時，螺桿所產生的壓力也會 因為經過此狹窄障壁區間所造成的壓降消耗掉一部分，而造成螺桿的 背壓不足。另外由表1中也可以看出分散式混合元件總體性能表現的 好壞可以看出Helical LeRoy是一個相當好的分散式混合器，它無論在 壓力降、死角的避免也比Maddock好，而在使用性則Helical LeRoy與 Maddock都是不錯的，而當然經濟因素是個另一重要的因素，而Helical LeRoy與Maddock製造花費的成本也是不高，同時在混合均勻上也是 相當不錯的。
2.5.1 凹槽式混合元件之幾何形狀及功能分析
A. Maddock混合元件 :
Maddock混合元件是由LeRoy(41)所發明，而由Union Carbide公司 的Maddock(42)發布的許多有關此元件之實驗結果，因此，此種混
合劑又稱為Maddock Mixer或UC Mixer而Maddock 幾何形狀如圖 3所示。
(1) Maddock混合元件一般是由三或四對沿著軸向的進料及出料 凹槽溝道所組成。
(2) 進口及出口凹槽溝深保持固定，但是因為使用球形研磨機加 工，因此其斷面積為半圓形，會導致進口凹槽的出口處及出口 凹槽的入口處造成流體流動時不夠流線化，此會造成死角，導 致材料產生裂解。此外當膠料由前面的螺桿部分流入混合元件 時，必須從一寬的溝道流入窄的溝道，會產生額外的壓降，同 時也會造成流動不穩及膠料的滯留，造成材料的裂解。
(3) 轉動時沒有推動流體前進的速度分量乃由於凹槽溝道方向與 套筒轉動方向垂直，使得膠料在凹槽內沒有往前推送的拖曳輸 送能力(drag pumping capability)。
(4) 因此與斜向式流道之混合元件相較，Maddock混合元件應消耗 較多之壓降以致於不利於高分子熔體通過
B. Eagan(Helical LeRoy) 混合元件
Eagan是由Gregory和Street所發明的專利(43)。
(1) Eagan混合元件是Maddock元件改為傾斜式(螺旋形)流道而且 螺旋角是30°，通常是由三至四對進料及出料流道所構成，而
幾何形狀如圖4所示。
(shape factor)： flow)及壓力降所產生的壓力流(pressure flow)的貢獻，因此在方程式 (12)及(13)中等號右邊的第一項代表由拖曳流的貢獻，第二項代表壓
Ve(z) Vi(0) Vi(z)
溝槽螺旋角的重要性於圖6中顯示，圖中顯示兩組壓力分佈，一組 是對於90度螺旋角的混合元件，另外一組則是螺旋角為50度的混合元 件。在這種情況下障壁梯板的間隙為0.635mm，押出量為131cc/sec。
而兩組的最終出口壓力均相同(為725psi)，圖中顯示螺旋角對於入口 溝道及出口溝道的壓力分佈有很大的影響。
螺旋式的混合元件在進口溝道中壓力，先下降然後再上升，而出 口溝道中壓力是先上升後下降，因此進口溝道跟出口溝道兩者都有某 些壓力產生的能力(pressure generating capacity)，導致總壓降比較小，
這個主要是由於溝道的螺旋角小於90度所造成的。至於溝道螺旋角90 度的情形，它們的進口及出口溝道壓降均顯示出單調下降，它們沒有 壓力產生的能力，因此造成相當大的總壓力降。
在混合元件中的總壓降為△Pm:
△Pm = Pi(0) - Pe(Zm)= △Pcl + △Pch ( 25 ) 其中△Pcl是經過障壁梯板間隙的壓降，而△Pch是入口溝道及出口溝 道的壓降之和。經由方程式( 20 ) ~ ( 24 ) ，且當B2Zm範圍介在0與1 時則方程式( 25 )則簡化如下：
△ Pm =△Pcl + △Pch
=12 3 δ µ
m cl cl
Z
W [
) 2 0
( LmVb
Vi δ
• −
]+ 6 3 WH F
Z
p
µ m [V•i(0)−FdW(H −δ)Vbcosϕ] （26）
其中，Lm為混合元件的軸向長度
在方程式(26)中等號右邊第一項為△Pcl，第二項為△Pch；因此
△Pcl=12 3
Pm
押出量、螺桿口徑、螺桿轉速、及其他任何變數無關。
三、理論及計算方法之建立
3.1 理論模式
高分子流體在混合元件中因為其幾何形狀複雜，流體受到擾動更大所 以整個流動情形更顯的複雜而多變，而在求解統御方程式（governing equation）的過程當中，由於許多項次也不是單純的線性（linear）組 合，所以需要用到數值方法去求解，例如在層流時黏度項(viscous term) 極為非線性項而在湍流時通常是對流項(convection term)，故以下先針 對統御方程式做理論上的流動分析，接著再由數值方法中有限元素法
（finite element method）分析之。有限元素法在1960年代晚期之後被 大量地應用於固體力學域，經過十多年的發展，在1980年代其更被廣 泛應用於流體力學及熱、質傳上，本文即以葛拉金（Galerkin）有限 元素模型來模擬等溫冪次之高分子流體於Maddock及Helical LeRoy分 散式混合元件中之流動分析探討ㄧ些對分散式混合元件影響的參數 如壓力、剪切應力等進而設計出理想的混合元件。
3.1.1流動分析理論模式
採用Tadmor-Klein model為基礎，並做以下的假設來合理簡化整 個流動問題：
1. 假設螺桿不動，套筒壁相對轉動 2. 不可壓縮流體
3. 壁上無滑動現象
4. 流體黏度以截型冪次定理（truncated power law）表示 5. 流體已達穩定狀態（steady state）
6. 重力因素不考慮
7. 流道深度比起曲面半徑要小很多且為小區域的全流發展
7. 流道深度比起曲面半徑要小很多且為小區域的全流發展