有限元素法的處理流程

有限元素分析之流程圖如圖 8 所示，一般完整的有限元素分析程 式(finite Element Program)包含，1.前置處理(preprocessing)、2.解題程

式(solution)和 3.後置處理(post processing)。我們將三部分的內容敘述 如下：

一、 前置處理(preprocessing)

1. 建立有限元素模型所需輸入的資料，如節點座標、資料元素內 節點的排列次序。

2. 材料特性。

3. 元素切割產生。

4. 邊界條件。

5. 負載條件。

二、 解題程式(solution)

1. 元素剛性矩陣計算[K] 。 2. 大域負載向量之組合{F}。

3. 線性代數方程式[K] {U}={F}求解。

三、 後置處理(post processing)

將求解部分得到的結果如：速度、壓力、溫度等資料，經由 圖形介面以各種不同表示方式呈現。

3.2 有限元素法處理

利用有限元素法(46,47)的觀念及基礎可將欲分析的流動系統利 用有限的元素體（element）近似整個物理範圍（physical domain）。

首先將欲處理之系統分成若干個大小不同之單元體（element），

以符合系統之邊界為原則。本文中所採用的單元體為二次式六面體，

如下圖所示 :

假使採欲分析的單元體有速度 27 個節點及壓力 8 個節點，則在 每一個節點上均有v_x、v_z等二個未知數，在各個頂點上則有P 的未知 數。對每一個單元體而言我們可利用內插函數表示如下：

∑

= ⁸

1 k

k

pk

p ϕ (45)

∑

= ²⁷

1 j

j xj

x v

v φ (46)

∑

= ²⁷

1 j

j zj

z v

v φ (47) 其中v_xj、v_zj分別為單元體上之x 分量速度、z 分量速度之近似值，φ_j 為單元體邊界上之內插函數（interpolation function）或稱為形狀函數

（shape function）。而 P_k為線性六面體8 個頂點上的壓力近似值，ϕ_k 為其內插函數。而內插函數的表示與選定的元素體有相關，

ψ_i和φ_i為局部座標之函數，所以每個單元體之ψ_i和φ_i均相同，而 ψ_i和φ_i之定義如表 2 與表 3。一般而言均是將流動分析的真實座標

（x、y、z）化做以範圍為-1 至 1 的局部座標（ξ、η、ζ）為原則，

目的是方便爾後在做數值計算同時能以高斯積分簡化之。而有限元素

法於描述真實元素座標有三種不同之方法可採用，分別為等變數元素

（isoparametric element）、次變數元素（subparametric element）和超 變數元素（superparametric element）。以下便採行描述真實座標時所 用之內插函數與未知數v_x、v_z、P 所用之內插函數相同的等變數元素

以 Galerkin 有限元素法來處理控制方程式，將(41)、(42)式展開 後乘上內插函數φ_j，再將(38)式乘上內插函數ϕ_k，並對該元素作體積

此項而言，可將(45)式代入化簡為以局部座標（ξ、η、ζ）及 inverse Jacobian 表示之，如下所示：

∑∫∫∫

經過以上化簡為高斯積分（Gauss integral）之方程式可合併成一個解

四、模擬結果及討論

本篇論文以 PP 含 20 ﹪碳黑為討論的高分子基材，其流變參數 參見表6，而 Maddock 及 Helical Leroy 混合元件之尺寸參見表 7、表 8。對於分散式混合元件的效能它應該具備下列幾項特性: 混合元件 內應使物質通過高應力區，且須先設計混合元件使物質短時間內流經 高應力區以避免膠料溫度上升使物質產生裂解，所有物質應有相同的 高剪切力去完成均勻混合。

本篇研究主題在於探討分散式混合元件之優化設計，由於分散式 混合元件是讓材料通過一高應力區域來完成混合的目的，所以我們將 探討Maddock 及 Helical Leroy 流道式混合元件之幾何形狀對應力的 影響，另一方面，由於壓降亦是一個很重要的因素，因此亦會對不同 幾何形狀對壓降之影響進行討論，另外最後也將計算出的flow number 參數來評定分散能力。

而我們在PP中被分散的物質為碳黑。通常對於凝膠或者固體凝粒 必須對其施加一最小的屈服應力τmin才能將這些顆粒加以破碎，如 Martin及Tadmor等人所討論，最小應力的大小取決於顆粒的特性。對 碳黑而言，Martin發現屈服應力為60kPa。 除了最小的屈服應力以 外，Martin還發現有高應力作用下的最短時間。當高應力持續的時間 低於此最短的時間，即使在很高的應力下也不發生分散。Martin發現

碳黑的最短作用時間約為0.2秒。這意指障壁螺牙的寬度必需要足夠 寬以產生夠大的剪切應力，當然適當的控制寬度也是必要的，如果滯 留太久就會容易造成膠料的裂解但也必須要有足夠大的寬度使得膠 料在間隙中的滯留時間超過此最小作用時間t_min才能打散凝粒。

4.1 改變障壁梯板寬度所造成的影響 :

首先我們先討論障壁梯板寬度影響的情形，在分散式混合中，要 擊碎固體凝粒除了需要有大於最小屈服應力作用於其上外，還需要在 一高應力下維持被作用的最小時間t_min。當高應力持續的時間低於此 最短的時間，即使在很高的應力下也不發生分散。這意指障壁螺牙的 寬度需要足夠寬，以便使得膠料在間隙中的滯留時間超過此最小作用 時間t_min(sec)，因此間隙的寬度必須為：

avg cl

v

w ＝

) 60 2 ( sinφ × πDN

w_cl

＞t_min (67)

其中，^vavg為膠料在障壁螺牙間隙中的平均速度，N為螺桿每一分 鐘的轉速。以碳黑為例，其最小作用時間為0.2秒左右。本文中改變 障壁梯板的寬度，分別使其為5mm、10mm、15mm及20mm。在障壁 梯板部份，我們將之分為5個部份，而第i部份之滯留時間為 :

avgi i

i v

t = dx

由圖13是Maddock作用於高應力區的時間及圖14是Helical Leroy作用

於高應力區的時間，兩個圖形看來大致的趨勢的是ㄧ樣均是障壁梯板 的寬度越大，則作用於高應力區的時間越長。在壓力降的部分，可由 圖10是Maddock的壓力變化圖可看出它的壓力變化是隨寬度變大則 壓力降則變越大。圖12是Helical Leroy中可發現因為Helical Leroy有帶 下溝道的速度而產生往下溝道的拖曳力所以它的壓力降比沒有帶下 溝的速度的Maddock要低，而由圖10及12可看出障壁梯板越寬，則造 成的壓力降便越大，所以若一味提昇於高應力區的作用時間而不斷的 增加障壁梯板的寬度，則亦會導致更大的壓力降，因此障壁梯板的寬 度選定應尋求一適當值而不能ㄧ昧的一值增加障壁梯板的寬度。由圖 13及圖14可發現，障壁梯板寬度5mm時，通過高應力區域的時間小於 碳黑的最小作用時間，雖然其最不易造成壓力降，但達不到分散的目 的，而10mm的剛好大於碳黑的最小作用時間而15mm與20mm雖然都 大於碳黑的最小作用時間但造成的的壓降太大不利於流體的輸送而 且物質作用於高應力區過久容易產生膠料裂解，因此選擇障壁梯板寬 度10mm為改變障壁梯板寬度較佳的選擇。

對於在障壁區是所謂的高應力區由圖9 及圖 11 觀察到當障壁寬度變 大則高分子材料所受的應力則越大這可能是因為在寬度越大則障壁 區滯留的時間愈長能讓高分子充分混合而產生較大的剪切率而使它 的應力也隨之變大。

4.2改變障壁梯板與套筒間隙所造成的影響：

障壁梯板與套筒之間隙必須適當的控制，太大的間隙無法達到預期的 混鍊效果，太小的間隙則可能造成壓降過大，同時造成高分子熔融膠 料之押出溫度太高，降低熔融強度使膠料容易裂解。由於必須要突破 屈服應力，所以理想的障壁梯板與套筒間隙可以下式定義：

τcl= /60) ( δ

πDN

m ⁿ > τmin (68)

則移項開n次根號得

δ<（

60

πDN ） ^{m n}

1

min ⎟⎟

⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

τ (69) 其中τcl為障壁區產生的應力，D為螺桿直徑，N為螺桿每一分鐘的轉 速，n為power law index。

由圖15是Maddock改變障壁梯板與套筒間隙所得的圖由圖中可看出 間隙若變小則所產生的應力快速上升及圖17是Helical Leroy改變障壁 梯板與套筒間隙所得的應力對障壁梯板位置圖可發現一樣是隨著障 壁梯板與套筒間隙的縮小但Helical Leroy的應力比Maddock小可能的 原因可能是因為它的速度主要是往下溝道而Maddock的速度幾乎都 是往橫溝道的方向所以Maddock所產生出來的剪切率比Helical Leroy 大所以得出的應力也比Helical Leroy大，而Maddock與Helical Leroy應 力迅速上升，可以用order of magnitude來解釋 :

由於，

γ η τ =− _&

而

2 2

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂ + ∂

⎟⎟⎠

⎜⎜ ⎞

⎝

⎛

∂

= ∂

y v y

v_{x z}

γ_& (70)

因此τ 與障壁梯板與套筒間隙成反比的關係當壁梯板與套筒間隙變 大則τ 變小反之亦然。

本文中變化障壁梯板與套筒間隙分別為0.4mm、0.5mm、0.6mm及 0.7mm。由圖16是Maddock的壓力變化圖可以明顯的看出障壁梯板與 套筒間隙越小則改變的壓力也越大而圖18是Helical Leroy的壓力變化 圖同樣可以看出發現障壁梯板與套筒間隙越小，則對混合元件造成的 軸向壓力降便越大，由圖中可看出由0.7mm改變到0.6mm改變不是很 大但是當間隙由0.5mm下降至0.4mm時變化就很大，大的壓降造成輸 送流體更加不易，因此需避免高壓降的形成。綜合上述所述Helical Leroy因為是斜向式的混合元件所以他有下溝道的速度能夠產生拖曳 力使流體易於通過梯板與套筒間隙所以明顯可以看出它的壓力降遠 小於Maddock，我們可了解由壓降的角度觀之，間隙為0.4mm時，無 論對Maddock或Helical Leroy混合元件而言，造成的壓降都太大了，

又由於不論是間隙為0.4mm、0.5mm、0.6mm或0.7mm，其所產生的 應力都大於分散碳黑所需的最小屈服應力，因此應該選最不易造成壓 降的，故較好的選擇是讓間隙為0.7mm。

4.3改變角度造成的影響 :

Gregory和Street所提出的Helical Leroy混合元件發明專利的螺旋角 度是30度，對Helical Leroy混合元件而言螺旋角也是一個影響到壓力 降呃重要因素，他會直接影響到高分子材料流動。因此本文中試著改 變螺旋角度觀察角度對混合元件中的流動造成何種影響，所採用的角 度除了專利中的30度角外，還有40、50、60度角。由本文第二章的分 析文獻可得知，對等溫牛頓形流體而言，螺旋角約50度是最佳設計。

由圖19中我們發現，改變螺旋角對障壁區應力的影響並不大，可能是 因為它們通過障壁梯板與套筒間隙的時候它們流動所帶的速度分量 所產生的剪切率差不多造成它們通過障壁梯板與套筒間隙的剪切應 力差異不大，但圖20可發現螺旋角變化對總壓降的影響，壓降並不是

由圖19中我們發現，改變螺旋角對障壁區應力的影響並不大，可能是 因為它們通過障壁梯板與套筒間隙的時候它們流動所帶的速度分量 所產生的剪切率差不多造成它們通過障壁梯板與套筒間隙的剪切應 力差異不大，但圖20可發現螺旋角變化對總壓降的影響，壓降並不是