2.5 流道式混合元件概述
3.1.1 流動分析理論模式
採用Tadmor-Klein model為基礎，並做以下的假設來合理簡化整 個流動問題：
1. 假設螺桿不動，套筒壁相對轉動 2. 不可壓縮流體
3. 壁上無滑動現象
4. 流體黏度以截型冪次定理（truncated power law）表示 5. 流體已達穩定狀態（steady state）
6. 重力因素不考慮
7. 流道深度比起曲面半徑要小很多且為小區域的全流發展
（locally fully developed），可用潤滑近似（lubrication approximation）處理
根據上述條件，可簡化相關方程式。
連續方程式（equation of continuity）：
= 0
運動方程式（equation of motion）：
=0
& &
γ γ
且剪切率表示如下：
2
2 ( )
)
( y
v y
vx z
∂ + ∂
∂
= ∂
γ& (44)
邊界條件 :
A. Maddock混合元件 :
b
x v
v = vz =0 at the barrel surface
=0
vx vz =0 at the channel wall B. Eagan混合元件 :
b b
x v
v = sinθ vz =vbcosθb at the barrel surface
=0
vx vz =0 at the channel wall
3.1.2 有限元素法在工程上之應用
一般而言，工程問題即物理狀態下的數學模組，藉由基礎法則和 自然原理對系統取控制體積，可得到統御方程式，而數學模組的應用 即是一套對應邊界條件和初始條件的微分方程式。由物理現象觀察得 到的統御方程式各代表著質量（equation of continuity）、動量（equation of motion）或能量（equation of energy）的平衡。而由於真正的工程 問題分析通常是隱含著許多非線性項而且通常呈現不規則的模組形 態，故在求解方面利用傳統的計算方法也無法獲得精確的解析解
（analytic solution），所以有限元素法利用數值計算的方法在求解的過 程中扮演了一個重要的角色。一般來說，解析解由兩個部分組成，分 別為通解（general solution）跟特解（particular solution）。在任何工 程問題中，有兩組參數會影響到系統的行為。第一，是提供關於系統 自然運作下所得資料的參數，而這些參數包括應用於材料力學的彈性
係數、熱傳學的熱傳導係數和非牛頓流體力學的黏度函數..等等。第 二，亦有參數會在系統內產生「擾動」，這類型的參數如外界給予的 壓力、力矩或者是介質本身的差異造成溫度分佈及流體進出的壓力差 異‥等等，而這些經由系統的自然運作支配的特性則統一包含在統御 方程式的通解裡，相同地，造成擾動的參數則出現在特解裡。
實際上許多工程問題在處理複雜的統御微分方程式，或是難以處 理的邊界和初始條件甚至是不規則的模組形態時，通常藉數值解來近 似，與解析解不同的是，解析解顯示系統內任一點精確（accurate）
的值，而數值解卻只存在於分離不連續（separated discontinuous point）
的點，我們稱之為節點（node）。因為此種特性的關係所以任何一種 數值程序的第一步驟即是做分離，其過程是將介質分成很多區域和節 點。在數值方法有兩者使用較為普遍，一是有限差分法，另一則是有 限元素法。使用有限差分法，每個節點都會被賦予一個微分方程式，
且導式會被差分方程式所取代，經由上述處理後會產生一組聯立線性 方程式，最後藉由求解聯立方程式得到所要的參數值。雖然有限差分 法易於了解，且能套用於一些流動情形件較為簡單的問題，但一碰上 複雜的幾何形狀或是邊界條件時，有限差分法的解決能力就略顯不 足。相反地，有限元素法先切割不規則的幾何形狀為有限個元素體，
再使用 Galerkin 的積分公式法建立一個由代數方程式組合而成的大 型矩陣系統，而不是單純的微分方程式，利用數值方法求解除了可用 一個近似的連續函數來表示每個元素的解答，並藉由連結或組合個別 的解而得到整個欲分析系統的物理量。
3.1.3 有限元素法的處理流程
有限元素分析之流程圖如圖 8 所示，一般完整的有限元素分析程 式(finite Element Program)包含，1.前置處理(preprocessing)、2.解題程
式(solution)和 3.後置處理(post processing)。我們將三部分的內容敘述 如下：
一、 前置處理(preprocessing)
1. 建立有限元素模型所需輸入的資料，如節點座標、資料元素內 節點的排列次序。
2. 材料特性。
3. 元素切割產生。
4. 邊界條件。
5. 負載條件。
二、 解題程式(solution)
1. 元素剛性矩陣計算[K] 。 2. 大域負載向量之組合{F}。
3. 線性代數方程式[K] {U}={F}求解。
三、 後置處理(post processing)
將求解部分得到的結果如：速度、壓力、溫度等資料，經由 圖形介面以各種不同表示方式呈現。
3.2 有限元素法處理
利用有限元素法(46,47)的觀念及基礎可將欲分析的流動系統利 用有限的元素體（element）近似整個物理範圍（physical domain）。
首先將欲處理之系統分成若干個大小不同之單元體（element），
以符合系統之邊界為原則。本文中所採用的單元體為二次式六面體，
如下圖所示 :
假使採欲分析的單元體有速度 27 個節點及壓力 8 個節點，則在 每一個節點上均有vx、vz等二個未知數，在各個頂點上則有P 的未知 數。對每一個單元體而言我們可利用內插函數表示如下：
∑
== 8
1 k
k
pk
p ϕ (45)
∑
== 27
1 j
j xj
x v
v φ (46)
∑
== 27
1 j
j zj
z v
v φ (47) 其中vxj、vzj分別為單元體上之x 分量速度、z 分量速度之近似值，φj 為單元體邊界上之內插函數（interpolation function）或稱為形狀函數
（shape function）。而 Pk為線性六面體8 個頂點上的壓力近似值，ϕk 為其內插函數。而內插函數的表示與選定的元素體有相關，
ψi和φi為局部座標之函數，所以每個單元體之ψi和φi均相同，而 ψi和φi之定義如表 2 與表 3。一般而言均是將流動分析的真實座標
（x、y、z）化做以範圍為-1 至 1 的局部座標（ξ、η、ζ）為原則，
目的是方便爾後在做數值計算同時能以高斯積分簡化之。而有限元素
法於描述真實元素座標有三種不同之方法可採用，分別為等變數元素
（isoparametric element）、次變數元素（subparametric element）和超 變數元素（superparametric element）。以下便採行描述真實座標時所 用之內插函數與未知數vx、vz、P 所用之內插函數相同的等變數元素
以 Galerkin 有限元素法來處理控制方程式，將(41)、(42)式展開 後乘上內插函數φj，再將(38)式乘上內插函數ϕk，並對該元素作體積
此項而言，可將(45)式代入化簡為以局部座標（ξ、η、ζ）及 inverse Jacobian 表示之，如下所示：
∑∫∫∫
經過以上化簡為高斯積分（Gauss integral）之方程式可合併成一個解
四、模擬結果及討論
本篇論文以 PP 含 20 ﹪碳黑為討論的高分子基材，其流變參數 參見表6，而 Maddock 及 Helical Leroy 混合元件之尺寸參見表 7、表 8。對於分散式混合元件的效能它應該具備下列幾項特性: 混合元件 內應使物質通過高應力區，且須先設計混合元件使物質短時間內流經 高應力區以避免膠料溫度上升使物質產生裂解，所有物質應有相同的 高剪切力去完成均勻混合。
本篇研究主題在於探討分散式混合元件之優化設計，由於分散式 混合元件是讓材料通過一高應力區域來完成混合的目的，所以我們將 探討Maddock 及 Helical Leroy 流道式混合元件之幾何形狀對應力的 影響，另一方面，由於壓降亦是一個很重要的因素，因此亦會對不同 幾何形狀對壓降之影響進行討論，另外最後也將計算出的flow number 參數來評定分散能力。
而我們在PP中被分散的物質為碳黑。通常對於凝膠或者固體凝粒 必須對其施加一最小的屈服應力τmin才能將這些顆粒加以破碎，如 Martin及Tadmor等人所討論，最小應力的大小取決於顆粒的特性。對 碳黑而言，Martin發現屈服應力為60kPa。 除了最小的屈服應力以 外，Martin還發現有高應力作用下的最短時間。當高應力持續的時間 低於此最短的時間，即使在很高的應力下也不發生分散。Martin發現
碳黑的最短作用時間約為0.2秒。這意指障壁螺牙的寬度必需要足夠 寬以產生夠大的剪切應力，當然適當的控制寬度也是必要的，如果滯 留太久就會容易造成膠料的裂解但也必須要有足夠大的寬度使得膠 料在間隙中的滯留時間超過此最小作用時間tmin才能打散凝粒。
4.1 改變障壁梯板寬度所造成的影響 :
首先我們先討論障壁梯板寬度影響的情形，在分散式混合中，要 擊碎固體凝粒除了需要有大於最小屈服應力作用於其上外，還需要在 一高應力下維持被作用的最小時間tmin。當高應力持續的時間低於此 最短的時間，即使在很高的應力下也不發生分散。這意指障壁螺牙的 寬度需要足夠寬，以便使得膠料在間隙中的滯留時間超過此最小作用 時間tmin(sec)，因此間隙的寬度必須為：
avg cl
v
w ＝
) 60 2 ( sinφ × πDN
wcl
＞tmin (67)
其中，vavg為膠料在障壁螺牙間隙中的平均速度，N為螺桿每一分 鐘的轉速。以碳黑為例，其最小作用時間為0.2秒左右。本文中改變 障壁梯板的寬度，分別使其為5mm、10mm、15mm及20mm。在障壁 梯板部份，我們將之分為5個部份，而第i部份之滯留時間為 :
avgi i
i v
t = dx
由圖13是Maddock作用於高應力區的時間及圖14是Helical Leroy作用
於高應力區的時間，兩個圖形看來大致的趨勢的是ㄧ樣均是障壁梯板 的寬度越大，則作用於高應力區的時間越長。在壓力降的部分，可由 圖10是Maddock的壓力變化圖可看出它的壓力變化是隨寬度變大則 壓力降則變越大。圖12是Helical Leroy中可發現因為Helical Leroy有帶 下溝道的速度而產生往下溝道的拖曳力所以它的壓力降比沒有帶下 溝的速度的Maddock要低，而由圖10及12可看出障壁梯板越寬，則造 成的壓力降便越大，所以若一味提昇於高應力區的作用時間而不斷的 增加障壁梯板的寬度，則亦會導致更大的壓力降，因此障壁梯板的寬 度選定應尋求一適當值而不能ㄧ昧的一值增加障壁梯板的寬度。由圖 13及圖14可發現，障壁梯板寬度5mm時，通過高應力區域的時間小於 碳黑的最小作用時間，雖然其最不易造成壓力降，但達不到分散的目 的，而10mm的剛好大於碳黑的最小作用時間而15mm與20mm雖然都 大於碳黑的最小作用時間但造成的的壓降太大不利於流體的輸送而 且物質作用於高應力區過久容易產生膠料裂解，因此選擇障壁梯板寬 度10mm為改變障壁梯板寬度較佳的選擇。
對於在障壁區是所謂的高應力區由圖9 及圖 11 觀察到當障壁寬度變
對於在障壁區是所謂的高應力區由圖9 及圖 11 觀察到當障壁寬度變