分數加法概念分析

壹、分數的重要地位

數學是一門階層性十分明顯的學科，各單元內或是單元與單元 間，可以清楚分出上下位概念。其中分數的概念與運算無論在數理學 習方面或在日常生活中的運用上，都是一個重要的數學知識與能力。

從數學課程內涵的觀點來看，分數是國民小學數學課程中的一個 主要部分（楊瑞智，2000）。對學生而言，許多研究顯示，許多學生 在 學 習 代 數 上 的 困 難 ， 可 回 溯 至 早 期 分 數 概 念 的 了 解 不 夠 完 備

（Dickson ,Brown & Gilson，1984）;同時分數是學生學習數學的一 個絆腳石，學生在解題時經常逃避使用分數（呂玉琴，1991）。

邵宜翠（2003）指出分數是一個複雜而重要的數學概念，分數概 念亦是日後學習小數、比例等概念的基礎。但是對國小學童而言，分 數的學習比整數困難許多，若不能瞭解分數的意義，對分數缺乏數感，

只是以機械式記憶規則來執行分數的運算，如此不但違背九年一貫課 程的精神，且對日後數概念的學習有相當大的影響，因此學童分數概 念的學習在數學教育中，實為不容忽視的一環。

貳、分數運算錯誤類型

綜合國外學者的研究，學童對於分數的運算容易造成之錯誤情形 整理如下：

學生在分數加、減法的運算常犯的錯誤如下（Tatsuoka，1984）：

一、分數的加法運算錯誤類型：

（一）分子加分子，分母加分母。

（二）求出公分母後放在分母，而分子為原分子相加。

（三）分母相乘，分子相加。

（四）分母相乘，分子相乘。

二、分數的減法運算錯誤類型：

（一）通分後，分子為大數減去小數。

（二）分母減分母，分子減分子而且是大數減小數。

（三）求出公分母後放在分母，而分子為原分子相減。

劉天民（1993）則對國一學生在分數四則運算的錯誤類型研究結 果如下：

一、整數運算的錯誤。

二、帶分數化成假分數的錯誤。

三、通分的錯誤。

四、約分的錯誤。

五、直接計算的錯誤。

六、除法改為乘法，除數未倒置的錯誤。

七、學生誤認A/A＝0。

八、運算不完全。

綜合以上的研究可以發現，學童對於分數單元的計算，存在著許 多錯誤的概念，因考量時間及人力限制，故本研究僅針對「分數加法」

一項來做更深入的探究。

參、分數加法概念

根據九年一貫課程數學領域國小階段能力指標，茲將與分數加法 概念相關的能力指標整理後如表 2-1-1。其中第一碼表示主題，字母 N 表示「數與量」這個主題；第二碼表示階段，分別以 1，2，3，4 表示 第一、二、三和四階段；第三碼則是能力指標的流水號，表示該細項 下指標的序號。

表 2-1-1 分數加法概念相關能力指標 能力指

標代號 內 容

N-1-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較 與加減問題。

N-2-04 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。

N-2-06 能理解分數之「整數相除」的意涵。

N-2-07 能認識真分數、假分數與帶分數，作同分母分數的比較、加 減整數倍計算，並解決生活中的問題。

N-2-08 能理解等值分數、約分、擴分的意義。

N-2-09 能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與加減問 題。

N-3-02 能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用來 將分數約成最簡分數。

N-3-03 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問 題。

另外，透過實際訪談目前在國民小學任教之教師，並參考數學領域教 師手冊，整理出國小階段數學領域「分數加法」單元之主要完整概念有：

1.真分數、假分數、帶分數的加法，2.約分，3.擴分，4.通分。再參考許 天維（1995）與趙育倫（1996）的研究中，針對分數加法結構圖中的分數 概念，繪製出本研究之分數加法概念圖（如圖 2-1-1）。

分數加法主要區分為同分母分數加法與異分母分數加法兩大主軸單 元。同分母分數加法的進階計算概念為進位概念與約分概念；而異分母分 數加法的進階計算概念又包括通分與化簡，更進一步為進位與約分的概 念。

本研究為避免因分母數值過大而讓受試者發生計算困難的情形，進而 影響測驗結果，將分數加法測驗之分母數值範圍侷限於30以下，且為更精 細的分析出學生分數加法的知識結構，故研究限制侷限於二個真分數之相 加計算。

圖 2-1-1 分數加法概念圖 分數加法

同分母 異分母

進位 約分

通分 化簡