第二章 文獻探討
第四節 次序理論
第四節 次序理論
本研究採用 Bart & Krus (1973) 所提出的次序理論來繪製出國小六 年級學童在分數加法單元上的知識結構圖。 OT 早期是用來分析皮亞傑(J.
Piaget)等有關兒童運思能力的次序性(Bart & Mertens,1979；Bart &
Read,1984)。現今可以應用於測量兩個試題之間的次序階層關係。由於數 學是一門具有次序性的上下位階層結構的學科，因此，次序理論可以應用 於學生在數學知識結構圖之分析（林原宏、紀順雄、祝淑梅，2006）。
利 用 次 序 理 論 的 分 析 ， 可 呈 現 二 元 計 分 的 試 題 階 層 關 係 (item hierarchy)。以試題p 和試題q為例，1 表示答對的試題，0 表示答錯的 試題，分別將試題 p和試題q的作答反應人數整理如表 2-4-1 所示(林原 宏，2005)。其中npq,p∈(0,1);q∈(0,1)。
表 2-4-1 試題階層關係列聯表 (Bart,1976；Bart & Krus,1973)。
根據表2-4-1 的資料，
至於 ε 的選定，Bart & Krus (1973)建議容忍水準 ε 可取為 ε=0.2。
但在實證研究中，ε 值可由研究者來決定。
另有一種用來分析試題關連階層的理論稱為「試題關聯結構分析法」
（Item relational structure analysis；簡稱IRS分析法）。IRS 係於 1979年由日本學者竹谷誠於參加美國威斯康辛大學的研討會時，經 Baker 的介紹，在返回日本後，改良「次序理論」的缺點而發展出的試題階層分 析方法。其又於1980年完成 IRS 的理論，以受試者對於試題的作答結果，
按題目彼此間反應所得的順序關係，繪製成具有「指向性」的圖形結構，
來分析試題的特性。
此兩種分析法均適用於繪製試題之間的關聯次序關係，分析受試者的 知識結構，但 Chevalaz & Tatsuoka(1983)曾對這上述兩種分析法進行比 較，其研究結果指出 OT 較 IRS 更能適當地表現較為複雜的結構。因此，
本研究選用 OT 來引出學童知識結構。
p q
p q
Ga Gb
圖 2-4-1：試題 i 與試題 j 的次序關係圖例
第五節 邏輯流量測驗分析法
日本學者竹谷誠和佐佐木整（1997）導入相對應的兩個頂點所形成的 連結關係來測量不同邏輯流量圖（Logical Flow Graph；簡稱為LFG）之 間的差異，其方法稱為「邏輯流量測驗分析法」（LFT），但其對於圖形的 評價結果之解釋上存在著不合理之處。劉湘川（2004）以「兩有向圖形之 相交與結合」及「邊之不同經由路徑之存在數量及邊之不同位序值」提出
「第二種改進類似度指標」，改進其類似度指標之計算方法及鑑別力。卓 樹樣、胡豐榮、許天維（2005）透過實徵的研究發現，「第二種改進類似 度指標」仍存在不可區辨之同分問題及計分之合理性問題。
因此卓樹樣等（2005）根據 HAM 與 ACT-R 理論對知識結構表徵的主 張及「有意義的學習」之觀點，修正 LFT 分析法之重要度、類似度、到 達度及差異度指標，擴充LFT理論，稱為 LFT-extended 分析法。經研究 發現，LFT-extended 分析法不僅保留 LFT 分析法的特色，更具有下列優 點：
一、LFT-extended 分析法較 LFT 分析法與第二種改進類似度指標，其評 價結果較為合理有效，且鑑別力更為靈敏。
二、在受試者的 LFGs 都只缺少一個正確有向邊的條件之下，每一個圖形 的評價結果與其所缺有向邊之重要度成負相關。
三、能根據評價結果，提供不同受試者補救教學的優先實施順序。
四、LFT-extended 分析法解決了 LFT 分析法中，迷思概念所產生之不合 理計分問題。
此外，LFT-extended 分析法更發展出整合知識結構圖的理論，透過科 學的計算整合規則，可將不同專家的知識結構圖整合為一，成為一個具有
可信度的標準參照圖。綜合以上之優點，本研究將採用 LFT-extended 分 析法，整合多位專家的知識結構圖，成為一個在 LFT-extended 計分理論 中的團體參照結構，用以評定受試者的知識結構，並用以比較受試者和專 家之間的知識結構圖差異度，提出補救教學的優先順序路徑。以下就本研 究利用到之相關內容分別詳述：
壹、LFT-extended 分析法相關定義
設定某一有向圖G =(V,E)中，其中V 為概念節點，E為概念之間的
【定義三】到達度
貳、整合專家知識結構
專家 A＝0.313，專家 B＝0.212，專家 C＝0.254，專家 D＝0.221。
6 7 8
表 2-5-1 個別專家知識結構之信賴值
類似度 專家 A 專家 B 專家 C 專家 D 專家 A -- .483 .690 .569 專家 B .452 -- .337 .280 專家 C .678 .359 -- .350 專家 D .565 .305 .353 --
合計 1.695 1.147 1.380 1.199 信賴值 0.313 0.212 0.254 0.221
【步驟三】：專家知識結構聯集圖
專家知識結構圖的結合，即所有專家結構圖之聯集；稱為「專家知 識結構聯集圖」。
圖 2-5-2 專家知識結構聯集圖
1
2
3 4
5
7 6 8
U
ni=1Gi【步驟四】：賦予專家結構圖概念之間的權值 1.分別加總每一個概念連結之權值。
2.定義：刪除加總權值< 0.5 的概念連結。
表 2-5-2 概念連結之權值表
依據定義，加總權值< 0.5 的概念連結分別為：【6-7】、【6-8】、【7-6】、
【8-6】，故刪除之。保留的概念連結分別為：【1-2】、【2-3】、【2-4】、【2-5】、
【3-5】、【4-5】、【5-6】、【5-7】、【5-8】。因此形成整合後的專家知識結構 圖如圖 2-5-3。
圖 2-5-3 整合後之專家知識結構圖 概念連
結關係 1-2 2-3 2-4 2-5 3-5 4-5 5-6 5-7 5-8 6-7 6-8 7-6 8-6 專家 A
(0.313) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
專家 B
(0.212) 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0
專家 C
(0.254) 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1
專家 D
(0.221) 1 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0
合計 .991 .779 .779 .525 .991 .991 .737 .779 .779 .212 .212 .254 .254
6 7 8
5
3 4
2 1
第三章 研究方法
本研究以筆試的方式蒐集資料，本章主要在說明研究設計與實施的方 式，內容共分為四節。第一節為研究對象、第二節為研究工具、第三節為 研究設計、第四節為資料處理分析，各節內容如下。
第一節 研究對象
本研究之預試對象為臺中市某智類國民小學（A 校）九十五學年度六 年級兩班學童共計 66 位，經過項目分析，修正試題後，正式施測。
正式施測對象採立意取樣，為臺中市另一某智類國民小學（B 校）九 十五學年度六年級三班學童(甲班 32 人、乙班 35 人、丙班 33 人)共計 100 人。如表 3-1-1 所示。
表3-1-1 受試者人數一覽表
學校 班級 人數 總計
甲 32 乙 35 臺中市
某智類學校
丙 33
100
為減少環境、情境等其它因素之影響，使學生能在最熟悉的環境下施 測，故施測地點在該班教室，由研究者委託該班導師進行監考；施測前，
監考者先說明測驗的目的與作答的方式，學生作答時間為 40 分鐘。
第二節 研究工具
本研究之主要研究工具為「國小學童分數加法測驗」，以及相關的統
計軟體等，茲說明如下：
壹、國小學童分數加法測驗
本研究使用的「國小學童分數加法測驗」試卷是由研究者依據教 師自編測驗流程及現行國民中小學九年一貫課程綱要數學學習領域
（教育部，2003），以及各出版社所出版經教育部審核通過之數學科 教科書及教師手冊，編製而成。試題共有14 題，題型皆為計算題。（試 題內容請參閱附錄一）
貳、軟體工具
本研究所使用的電腦分析軟體工具如下：
一、Microsoft Excel套裝軟體 進行試題各項基本分析。
二、SPSS（10.0 for Windows）套裝軟體
進行測驗所得資料之相關分析、T 檢定分析、信度分析。
三、OT program
此次序理論分析程式（林原宏、黃國榮，2005）係用來將學童測 驗後的作答反應，轉成為知識結構圖。
四、LFT-extended program
進行整合專家知識結構圖與分析學童知識結構之到達度、差異度。
第三節 研究設計
本研究在確定研究主題後，開始逐步蒐集文獻，以獲取學生知識結構
與專家知識結構為研究設計兩大軸線，整體的研究流程如圖3-3-1所示。
另依據測量知識結構的三項步驟，提出本研究之研究方法架構如圖3-3-2 所示。
圖 3-3-1 研究流程圖 預試
學生知識結構圖分析 (LFT-extended)
撰寫研究報告
繪製專家知識結構圖 確定研究主題
蒐集資料及閱讀相關文獻
撰寫研究計畫
繪製學生知識結構圖（OT）
編製分數加法測驗試題
信效度分析及碓定試題
正式施測(團體)
整合專家知識結構圖
本研究的實施步驟為：
一、擇定研究主題，確立研究目的後，蒐集分數加法、知識結構、次 序理論和邏輯流量測驗理論相關的文獻後，進而擬定研究方法並 編製「分數加法測驗」的試卷。
二、試題編製後，選擇臺中市一所國小（A校）兩班六年級學童來進行 試題的預試工作。
三、預試後進行該試卷的項目分析和信、效度分析，並確定試題，同 時請實際擔任國小高年級教師繪製分數加法單元之專家結構圖，
再透過LFT-extended之整合專家結構圖之方法，整合成為本研究 參照之專家結構圖。
四、另選取臺中市某國小（B校）六年級三班學童成為正式施測對象。
五、根據正式施測結果整理原始作答資料，分析不同班級學童知識結 構圖之差異。
六、撰寫研究報告，完成本研究。
1.引出知識結構 2.表徵知識結構 3.評價知識結構
專家 學生
OT
LFT-extended 概念、階層、連結 LFT-extended
圖 3-3-2 研究方法架構圖
第四節 資料處理
研究者於預試之後，回收試卷並批改，採二元計分方式，正確答題得 一分，錯誤則以零分計，然後經統計套裝軟體 Excel 與 SPSS 進行試題 性質的信度、鑑別度與難度分析。
壹、預試結果項目分析
一、信度分析
信度（Reliability）係指測驗結果的穩定性。本研究是採用 Cronbach’s α係數來代表其測驗之內部一致性，經 SPSS/PC 分析 得知整體測驗之α係數為.8262，表示此測驗具有相當高的信度，
其信度分析情形如表3-4-2所示。
二、效度分析
一份測驗工具先要具有信度，再來就要具有效度。信度需要測 驗結果的一致性，但效度則代表測驗結果的準確性。本研究先依據 分數加法相關文獻及國小現行分數加法教材，歸納出14個分數加法 概念（6個同分母分數加法概念，8個異分母分數加法概念），再依 據這14個概念編製分數加法測驗試題（如表3-4-1）。在效度分析 上，以內容效度及專家效度來探討。
（一）內容效度
本測驗工具依據 Bloom 認知領域教育目標分類法2001 年修定版，在知識向度（Knowledge Dimension）部分測驗程 序 性 知 識 （ Procedural Knowldege ） ； 在 認 知 歷 程 向 度
（Cognitive Process Dimension）部分測驗了解（Understand）
的層次。故提出分數加法試題細目表（表3-4-1），從表中
可以清楚的辨識測驗的題目和所欲測驗的目標相符合，具備
（二）專家效度
至於專家效度，在學科專家的部分，則在本測驗編製完 成後，請三位擔任國小高年級的資深教師先行校閱，以作為 專家效度之依據。
三、難度與鑑別度分析
（一）難度分析
通過率是代表每試題難易程度的指標，其表示方法有兩 種，一是計算全體受試者，答對每一試題的人數佔全體受試者 的百分比值，又稱答對百分比。另一是根據全體受試者得分高
通過率是代表每試題難易程度的指標，其表示方法有兩 種，一是計算全體受試者，答對每一試題的人數佔全體受試者 的百分比值，又稱答對百分比。另一是根據全體受試者得分高