分數加法概念研究

本節中，將九年一貫課程中分數教材進行分析，來闡釋分數的學習是具 有前後次序性，其次綜合國內、外之研究，整理出分數加法的錯誤類型，最 後說明國內、外的分數加法相關文獻的五大研究類型。

壹、 九年一貫課程中分數教材的分析

九年一貫數學課程綱要中有關分數的年級能力指標如下表2-1所示。

表2-1 分數的年級能力指標

編碼 能力指標

2-n-10 能在平分的情境中，認識分母在12 以內的單位分數，並比較 不同單位分數的大小。

3-n-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與 加減問題。

4-n-06 能在平分情境中，理解分數之整數相除之意涵。

4-n-07 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，

並進行同分母分數的比較，加減與非帶分數的整數倍計算。

4-n-08 能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單 分數與小數的互換。

5-n-04 能用約分，擴分處理等值分數的換算。

5-n-05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。

5-n-06 能在測量情境中,理解分數之整數相除的意涵。

5-n-07 能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。

表2-1 分數的年級能力指標(續)

編碼 能力指標

6-n-02

能認識量數的最大公因數，最小公倍數與兩數互質的意義，理 解最大公因數與最小公倍數的計算方式，並能將分數約成最簡 分數。

6-n-03 能理解除數為分數的意義及其計算方法，並解決生活中的問 題。

資料來源：教育部 (2004，2月) 九年一貫數學課程能力指標分年細目詮釋表 由表 2-1 可知國小分數的課程設計始於二年級，該年級要理解分母在 12 以內的單位分數,並比較不同單位分數的大小；三年級介紹分數的組成成分 (分子、分號和分母)，並提供具體的情境來解決同分母分數的比較與加減問 題；四年級明瞭等值分數的意義，熟練假分數與帶分數和分數與小數的互換，

並能進行分數間的大小比較；五年級通曉約分、擴分和通分來處理等值分數 的換算和簡單異分母分數的比較與加減；六年級能認識量數的最大公因數，

最小公倍數與兩數互質的意義和計算方式，並能將分數約成最簡分數。

綜上所述，分數的學習是具有前後次序性的，也就是說先前的學習如果 不完整或不正確會影響後面的學習，本研究的價值就是提供學習者學習過某 一部份後，能夠測量其概念階層結構，並加以及時的補救教學，以利後續的 學習。

貳、 分數加法錯誤類型之研究

有關分數的研究，國內外皆有許多文獻，相較之下，只針對分數加法作 深入探討並歸納出分數加法的錯誤類型，茲將國內、外研究所發現的分數加 法錯誤類型整理成下表 2-2。

表 2-2 分數加法的錯誤類型

一般而言，這些分數加法的相關文獻大致可歸納為五類：1.探討分數加法概 念的發展過程。2.探討分數加法的錯誤類型。3.探討哪些教學因素會影響分數 加法的學習。4.探討運用資訊融入分數加法教學以提高教學的成效。5.建立分 數加法的電腦適性施測計分系統。茲分述如下：

一、探討分數加法概念的發展過程

邵 宜 翠 (2003) 以 竹 谷 誠 的 試 題 關 聯 結 構 分 析 理 論 (item relational structure analysis, 簡稱 IRS)。分析國小三年級學生在分數加法概念形成過程 的轉變。並對日後分數加法教學提供一些建議。許孝全 (2005) 採用試題關聯 結構法 (IRS) 及相關電腦程式 IRSP，進行分數加法測驗，發現在同分母分數 加法概念中，學生的概念發展依序為：分子加法概念、進位概念、分母為分 子倍數的約分概念、以最大公因數來約分的約分概念。在異分母分數加法概 念中，學生的概念發展依序為：兩分母需求最小公倍數、兩分母互質、兩分 母為倍數關係。

二、探討分數加法的錯誤類型

Tatsuoka 自1982 年起探討有關分數加減法的錯誤分析，她分析26個美國 八年級學生在分數加法問題上之表現，提出學生分數加法的68種錯誤算則 (Shaw, Standiford, Klein, & Tatsuoka, 1982)。之後Tatsuoka (1984) 再以電腦程 式研究美國八、九年級學生在分數加減法計算問題上的錯誤概念，結果發現 在所有錯誤反應中學生使用一致性錯誤算則的比率相當高，綜合前後兩個研 究中所提出的學生分數加法六大錯誤類型。Painter (1989) 發現學生最常犯的 四種分數加法上的錯誤為1.分子加分子，分母加分母。2.算出公分母後，仍用 原來的分子相加。3.分母相乘，分子相乘。4.分母相乘，分子相加。

劉天民 (1993) 探討高雄地區國中一年級學生整數與分數四則運算錯誤 的類型發現﹕1.學生在進行分數的加、減、乘、除四則運算時，各自對分子、

分母及整數分開進行計算。2.學生在處理帶分數化成假分數的問題時，常將

分子計算錯誤。3.學生在處理通分的問題時，常將分子計算錯誤。趙育倫 (1996) 利用無參數試題反應理論為基礎的規則空間和自編之分數加法測驗，測驗臺 灣區五年級學生4465位學生的分數加法能力，並據以分析學生的錯誤類型。

研究發現：1.學生在分數加法上最大的困難出現在通分上，通分次數愈多的 題目愈難。2.學生另一個做分數加法題目的困難在約分，而通分與約分均與 五年級公因數與公倍數的學習有重要的相關。黃國禎 (1999) 探討直接教學法 (direct instruction) 在國小數學科低成就學生教學效果，發現數學低成就學生 在異分母相加時，未考慮到分母要通分。

三、探討哪些教學因素會影響分數加法的學習

Cramer and Henry (2002) 使用操作模式 (manipulative models) 來建立國 小四、五年級學童分數加法的數字知覺 (number sense)，研究顯示：1.學童藉 由主動參與具體操作模式可學到較佳的分數概念。2.大部份學童需要具體的 操作過一段時間後，才能發展出分數形 式運思所需的心理圖像 (mental image)。3.學童在建構它自己的分數概念時， 若能和同伴或老師討論分數概 念，對本身是很有幫助的。4.教材內容應先建立學童的分數概念，再施於符 號形式的計算教學。王瑞慶 (2003) 探討國小六年級學童在分數加減法問題的 解題歷程，將分數加減法問題，分為同分母與異分母問題類型，發現學童在 同分母加減法問題方面，對通分的概念如果不夠清楚，可能會在處理同分母 分數加減法問題時，受到異分母加減法問題解題策略知識的影響，而使用分 數通分的解題策略。在異分母加減法問題方面，學童會擴分的數學技巧，但 未必具有通分的概念；而且如果分數通分後的分母比較大，計算上出現錯誤 的機會也比較大。黃權貴 (2003) 採用教學晤談法蒐集國小六年級學童在進行 異分母分數合成的解題表現，發現國小六年級學童在進行異分母分數合成的 解題策略時，受其分數概念的影響。解題成功的學童具備部分/整體、等分、

單位化及等值等幾個分數概念，解題不成功的學童則是缺乏上述幾個分數概

念。林恵真 (2004) 探討國小五年級學生在解不同表徵型式的分數加減法問題 (文字題、線段圖題、圖畫題) 的解題表現，發現國小五年級學生在不同題目 徵型式的解題表現上，彼此之間都存在顯著的差異。其中，學生在「線段圖 題」上的解題表現顯著優於「文字題」和「圖畫題」；而學生在「圖畫題」上 的解題表現也顯著優於「文字題」。而且學生對於文字題大多只能重述題目，

而在線段圖題與圖畫題則有說明錯誤的情形出現；線段圖題與圖畫題比文字 題較能夠幫助中、低數學能力組的學生將算式正確列出。何森曜 (2005) 探討 國小六年級學生將分數加減法之算式表徵轉換為文字表徵的數學擬題能力。

發現1.擬題能力愈好的學生，其分數加減法能力也就愈好。2.學生「未知數在 運算符號前」的分數加減法之擬題能力最差。3.中、低擬題能力學生未能通 過分數加減法「『部份/全體』文字題」及「數線題」。4.能通過各分數加減法 概念的學生，其擬題能力亦能達到「資料不足」水準。

四、探討運用資訊融入分數加法教學以提高教學的成效

曾振家 (2002) 以分數加法為教材內容，利用電子試算表 EXCEL2000 強 大的運算能力和圖表功能，建構動態連結的多重表徵學習情境，研究結果顯 示動態連結的多重表徵學習情境有助於分數加法學習。林榮政 (2004) 建立一 套以知識結構為基礎的「線上動畫分數加減的補救教學系統」，提供學生在適 性診斷測驗後，能依據其迷失概念的分佈狀況，進行適性、即時的補救教學。

陳伶伶 (2004) 比較「多媒體動畫融入教學」和「一般使用課本靜態教學」兩 種不同的教學方式，對國小六年級學童學習分數的加、減、乘法的學習成效 之差異。研究結果顯示：多媒體動畫輔助教學組，其分數加、減法、分數的 乘法之學習成效、學習保留量成效、解題方式多樣化皆優於一般使用課本靜 態教學組。蔡明崇 (2004) 透過小學生分數加法錯誤類型診斷系統的規劃與設 計過程，利用MathML (Mathematics Markup Language)、分數的教材分析、分 數學習的迷思概念、錯誤類型之間的探討過程。建立一個針對小學生學習分

數概念有效率的資訊環境。提供教師一種資訊化的補救學型態。亦讓學習者 有更優質多元的網路學習環境。Suh and Heo (2005) 將資訊科技融入數學科等 值分數和分數加法的教學，研究結果顯示：1.資訊科技融入教學可以將圖像 表徵 (iconic representation) 和符號表徵 (symbolic representation) 清楚的聯 結起來。2. 資訊科技融入教學可以避免學習者在學習分數加法時，犯下常見 的分數加法錯誤類型。

五、建立分數加法的電腦適性施測計分系統

秦靜儀 (1998) 結合項目反應理論之部分計分模式、電腦化適性測驗，以

秦靜儀 (1998) 結合項目反應理論之部分計分模式、電腦化適性測驗，以