模糊詮釋結構模式分析取向的分數加法概念診斷

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(1)國立臺中教育大學教育測驗統計研究所教學碩士論文. 指導教授：林原宏. 博士. 模糊詮釋結構模式分析取向的分數加法概念診斷. 研究生：紀順雄. 撰. 中華民國九十六年八月.

(2) 博碩士論文電子檔案上網授權書本授權書所授權之論文為授權人在國立臺中教育大學教育測驗統計研究所測驗評量組 96 學年度暑期取得碩士學位之論文。論文題目：模糊詮釋結構模式分析取向的分數加法概念診斷指導教授 : 林原宏博士. 茲同意將授權人擁有著作權之上列論文全文（含摘要），非專屬、無償授權國家圖書館及授權人畢業學校之圖書館，不限地域、時間與次數，以微縮、光碟或其他各種數位化方式將上列論文重製，並得將數位化之上列論文以上載網路方式，提供讀者基於個人非營利性質之線上檢索、閱覽，或並下載、列印。 ˇ 讀者基於非營利性質之線上檢索、閱覽或下載、列印上開論文，應依著作權法 □. 相關規定辦理。. 授簽. 權. 人：紀順雄名：. 中. （請簽名並蓋章）. 華. 民. 國. 96 年 8. 月. 1. 日.

(3) 謝. 辭. 了解測驗原理、通曉統計方法，一直是師專求學期間以來的目標；不斷地自我充實，增加專業能力，取得更高學歷，亦是時勢所趨，在這兩大因素驅使之下，我選擇了教育測驗統計研究所。感謝論文指導教授原宏老師，您的細心指導使我收穫良多；謝謝四個暑假的所有授課老師，您們的傾囊相授令我銘記在心；也謝謝口試委員洪教授文良、梁教授錫卿和易教授正明，您們的適時指點和建議讓論文增色不少；更感謝父母親的不斷鼓勵、內子(也是學妹)淑梅的伴讀，令我在學習上衝勁十足，還有淑蘭小姐的細心校對，使論文加分不少。謝謝您們大家的付出，才能有今日取得碩士學位的我。回顧過去三年多來的學習，深深覺得對測驗與統計的深入了解仍有所欠缺，展望未來能有機會繼續鑽研測驗原理、持續精進統計方法。.

(4) 摘要本研究旨在應用模糊取向的詮釋結構模式，分析國小六年級學童的分數加法概念結構。研究者利用模糊取向之詮釋結構模式，以自編的「分數加法測驗」為研究工具，針對台灣省中部台中縣、彰化縣和雲林縣共 985 名六年級學童進行施測，經由分析學童的作答反應後，圖繪出高、中、低能力值者的分數加法概念結構圖，並分析和比較其特徵與異同之處，研究結果如下：一、對分數加法知識概念作分析時，模糊取向的詮釋結構模式分析方法是可行的分析方法。二、不同能力值的受試者間，其分數加法概念結構圖是有差異的存在。三、試題內概念屬性的結構圖因受試者能力值之不同而不盡然相同。四、概念間的連結關係分析，可提供教學者做教材呈現、認知診斷的參考。五、高、中、低不同能力組間的分數加法概念結構之相似性係數達統計上的顯著差異。六、高、中、低三組的分數加法概念結構圖中，高能力組和專家概念結構圖之相似性係數沒有差異；中、低能力二組和專家概念結構圖之相似性係數則有顯著差異。本研究之結果與發現，有助於教學者瞭解學童的分數加法知識結構，以及實施補救教學或分組教學之參考。最後，研究者根據研究心得提出對未來研究之相關建議。. 關鍵字：分數加法、詮釋結構模式、模糊理論、試題反應理論. I.

(5) Abstract The purpose of this study is to analyze the individualized hierarchical structures of fraction addition concepts for sixth graders in Taiwan by using the fuzzy approach of interpretive structural model (FAISM). The researcher first tested 985 sixth graders of elementary schools by using self-designed fraction addition test. Secondly, the researcher analyzed the raw datum through FAISM based on Fuzzy Logic Model of Perception (FLMP), Item Response Theory (IRT) and the algorithm of Interpretive Structural Model (ISM) of fuzzy alpha-cut. Thirdly, the researcher used FAISM software to get the individualized hierarchical structures of fraction addition concepts of high, middle and low-ability examinees. Finally, the researcher compared qualitively and quantitatively about the differences of the individualized hierarchical structures of fraction addition concepts among high, middle, low-ability examinees and the experts. Through the procedures of the analysis, the following conclusions were found. 1. The FAISM was a feasible way for analyzing the concepts structures of fraction addition. 2. The ISM graphs of examinees varied based on different abilities. 3. The concept structures in each item varied greatly with different-ability examinees. 4. According to individualized ISM graphs of fraction addition concepts, the links among concepts could be as references for group teaching and remedial instruction. 5. Based on the referenced standard of experts’ concept structures, the similarity indices of the ISM graphs of examinees with different-ability were significantly different. 6. The similarity indices of ISM graphs between high-ability examinees and experts were not significantly different. But the similarity indices of ISM graphs between middle-ability examinees and experts were significantly different as well as between low-ability examinees and experts. The findings of this study should be helpful for understanding the learning process of fraction addition concepts and as references for remedial instruction or group teaching. Finally, some recommendations and suggestions for future research are provided.. II.

(6) Key words: fraction addition, fuzzy theory, interpretive structural model, item response theory.. III.

(7) 目錄摘要..................................................................................................................................I Abstract .......................................................................................................................... II 目錄.............................................................................................................................IV 表目錄...........................................................................................................................VI 圖目錄..........................................................................................................................VII 第一章緒論 ................................................................................................................... 1 第一節研究動機 ................................................................................................... 1 第二節研究目的 ................................................................................................... 2 第三節名詞釋義 ................................................................................................... 3 第二章文獻探討........................................................................................................... 4 第一節分數加法概念研究 ................................................................................... 4 第二節模糊理論 ................................................................................................. 11 第三節模糊取向的詮釋結構模式分析法 ......................................................... 12 第四節試題反應理論 ......................................................................................... 19 第五節知識結構之測量理論 ............................................................................. 22 第三章研究設計與實施............................................................................................. 39 第一節研究架構 ................................................................................................. 39 第二節研究工具 ................................................................................................. 40 第三節研究對象 ................................................................................................. 42 第四節資料分析處理 ......................................................................................... 43 第四章研究結果與討論 .................................................................................................... 46 第一節不同能力值的分數加法 ISM 圖之比較 ................................................ 46 第二節不同能力值受試者其試題內概念屬性階層結構圖之分析比較......... 51 第三節不同能力組間和專家的分數加法 ISM 圖的量化比較........................ 56 第五章結論與建議..................................................................................................... 59 第一節結論 ......................................................................................................... 59 第二節研究限制 ................................................................................................. 61 第三節建議 ......................................................................................................... 62 參考文獻....................................................................................................................... 64 一、中文部分 ....................................................................................................... 64 二、日文部分 ....................................................................................................... 67 IV.

(8) 三、英文部分 ....................................................................................................... 67 附錄一分數加法測驗................................................................................................. 74 附錄二受試者的模糊關係矩陣 ....................................................................................... 75 附錄三計算概念 ISM 圖相似性係數之 SAS/IML 原始碼...................................... 76. V.

(9) 表目錄表 2-1 表 2-2 表 2-3 表 2-4 表 2-5 表 3-1 表 3-2 表 3-3 表 3-4 表 3-5 表 4-1 表 4-2 表 4-3 表 4-4 表 4-5 表 4-6 表 4-7. 分數的年級能力指標 ...................................................................................... 4 分數加法的錯誤類型 ...................................................................................... 6 試題反應理論常用之模式 ............................................................................ 21 三個網路中部分節點的圖形理論距離值 .................................................... 28 網路一和網路二的 PFC 指數之計算 ........................................................... 29 分數加法概念編號及內容 ............................................................................ 40 分數加法試題的概念屬性矩陣 .................................................................... 41 預試資料之難度與鑑別度分析一覽表 ........................................................ 41 正式施測資料之難度與鑑別度分析一覽表 ................................................ 42 施測學校資料一覽表 .................................................................................... 43 不同能力值的受試者代表之答題情形 ........................................................ 46 A、B、C 三受試者之分數加法概念相鄰矩陣........................................... 47 不同能力組在分數加法的每一概念原始分數之平均通過率 .................... 51 個人化的試題內概念屬性階層結構 ............................................................ 52 不同組別 ISM 圖之相似性係數變異數分析摘要表 ................................... 56 不同組別 ISM 圖之相似性係數事後比較摘要表 ....................................... 57 高、中、低能力組和專家的相似性係數單一樣本 t 檢定摘要表............. 57. VI.

(10) 圖目錄圖 2-1 圖 2-2 圖 2-3 圖 2-4 圖 2-5 圖 3-1 圖 4-1 圖 4-2 圖 4-3 圖 4-4. ISM 圖的繪圖 ................................................................................................ 16 概念圖計分例子 ............................................................................................ 25 接近性矩陣與徑路搜尋法 ............................................................................ 27 網路一、網路二和網路三 PFC 和 GTD 指數............................................. 28 知識空間 K 的學習路徑圖 ............................................................................ 37 研究架構圖 .................................................................................................... 39 A 生之分數加法概念 ISM 圖 ....................................................................... 49 B 生分數加法概念 ISM 圖 ........................................................................... 49 C 生之分數加法概念 ISM 圖 ....................................................................... 50 A、B、C 三位受試者之分數加法概念 ISM 圖通過率比較圖.................. 50. VII.

(11) 第一章緒論有意義的學習和機械式的學習的差別在於概念結構的完整與否，有意義的學習使學習者產生完整的概念結構，並能類化到其他相關問題情境；機械式的學習則否。故教學者若能掌握學習者的概念結構，引導學習者產生完整的概念結構，就能提高教學和學習的效果。本研究欲探討學生個別化分數加法概念結構，以提供教學者提高分數加法教學效果和學習者增進分數加法學習效果之參考。本章旨在闡述本研究之研究動機、目的並對本研究所提及之相關名詞作釋義。. 第一節研究動機分數加法概念對於國小學童來說是相當重要的，因分數加法概念是分數四則運算概念的基礎，而具備正確的分數四則運算概念與否又會影響比、比值、機率、小數和百分率的學習，所以分數加法概念的重要性自然是不容忽視的。既然分數加法概念學習在國小數學課程的學習上是如此重要，故教學者就必須選用適切的評量方法來了解學習者是否具有正確的分數加法概念。此種評量方法，一方面應能測量出學習者的學習現況外，另一方面也必須提供學習者學習缺失的診斷訊息，以利教學者進行有效的補救教學。而概念結構分析方法不但能評量出學習者的學習現況，也能提供教學者有關學習者學習缺失的診斷訊息，許多相關文獻也都指出概念結構圖對於學習者在學習上具有正向的幫助 (Bodolus, 1986; Holley & Danserean, 1984; Mikuleck, 1987; Skaggs, 1988; Seaman, 1990)。故作為了解學習者是否具備完整正確的分數加法概念不失為一種可行的評量方法。. 1.

(12) 然而，以概念結構分析獲取概念結構圖的方法很多，例如概念構圖 (concept mapping)、次序理論 (ordering theory, 簡稱OT)、詮釋結構模式 (interpretive structural modeling, 簡稱ISM)、徑路搜尋法 (pathfinder)、試題關聯結構 (item relational structure, 簡稱IRS)等，但這些方法的主要目的是欲從元素或試題間關係的資料中，找出有意義的上下從屬關係，來說明整體受試者的概念結構。其中，ISM是一個相當重要又有效的方法。不過ISM分析法中的元素關係只限於二元關係，而且只能得到整體受試者的概念結構圖，使其在應用上大受限制。林原宏 (2005) 提出模糊取向的詮釋結構模式，乃是利用模糊理論 (fuzzy theory) 以及察覺的模糊邏輯模式 (fuzzy logic model of perception, 簡稱FLMP) 來改進傳統詮釋結構模式只適用二元資料和無法圖繪出個人化概念結構的缺點，以期能更適切、精準的分析出學習者個人化的概念結構。因此，本研究者欲以分數加法概念為例，運用林原宏 (2005) 所提出的模糊取向詮釋結構模式來繪製出受試者個別化的分數加法概念ISM圖，並作質性比較描述和量化統計檢定來分析國小六年級學童分數加法的概念結構。. 第二節研究目的基於上述，本研究的目的臚列如下：一、分析國小六年級學童分數加法概念結構圖的特徵。二、分析高、中、低能力的受試者分數加法概念結構圖間之特徵及異同。三、分析高、中、低能力的受試者其試題內分數加法概念屬性結構圖的異同。四、比較高、中、低不同能力組間，其分數加法概念結構圖的相似性係數之差異。五、比較高、中、低能力組，其分數加法概念結構圖和專家概念結構圖的相似性係數之差異。. 2.

(13) 第三節名詞釋義茲將本研究所涉及的名詞，逐項說明如下：. 一、試題反應理論試題反應理論 (item response theory, IRT) 又稱潛在特質理論 (latent trait theory)，它將受試者在試題上之答題情形和其潛在特質藉由一條連續遞增的曲線來加以解釋試題的鑑別度、難度以及猜測度等試題內在特性和受試者個人潛在特質的關係。. 二、詮釋結構模式詮釋結構模式是由Warfield (1976) 所提出的，原本是社會工學上的一種系統結構模型法 (structure modeling)，只適用於二元資料的分析，它衍生自圖形理論和離散數學，再和數學概念、行為科學結合，透過二維矩陣 (binary matrices) 的數學運算，將各元素間看似非常複雜的關係，系統的、扼要地呈現出全部元素間的關聯性。. 三、模糊理論模糊理論是將元素和集合的關係以隸屬度 (membership) 來描述，它是用來改進古典集合理論 (classic set theory) 以二元邏輯來描述個體心理運作多元性的不適切情形。. 四、模糊取向的詮釋結構模式模糊取向的詮釋結構模式是由林原宏 (2005) 所提出的，此分析法的優點是利用模糊理論的截矩陣和察覺的模糊邏輯模式來改進傳統詮釋結構模式無法圖繪出個人化概念結構和只能處理二元資料之限制，其應用軟體AISM程式可以圖繪出學習者在學習某個學科領域知識後的概念結構圖。. 3.

(14) 第二章文獻探討本章根據本研究所涉及之相關理論進行探討，共分五節。第一節分數加法概念研究；第二節模糊理論；第三節模糊取向的詮釋結構模式分析法；第四節試題反應理論；第五節知識結構測量理論，茲分述如下：. 第一節分數加法概念研究本節中，將九年一貫課程中分數教材進行分析，來闡釋分數的學習是具有前後次序性，其次綜合國內、外之研究，整理出分數加法的錯誤類型，最後說明國內、外的分數加法相關文獻的五大研究類型。. 壹、九年一貫課程中分數教材的分析九年一貫數學課程綱要中有關分數的年級能力指標如下表2-1所示。編碼 2-n-10 3-n-09 4-n-06 4-n-07 4-n-08 5-n-04 5-n-05 5-n-06 5-n-07. 表 2-1 分數的年級能力指標能力指標能在平分的情境中，認識分母在 12 以內的單位分數，並比較不同單位分數的大小。能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。能在平分情境中，理解分數之整數相除之意涵。能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，並進行同分母分數的比較，加減與非帶分數的整數倍計算。能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與小數的互換。能用約分，擴分處理等值分數的換算。能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。能在測量情境中,理解分數之整數相除的意涵。能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。. 4.

(15) 編碼 6-n-02 6-n-03. 表 2-1 分數的年級能力指標(續) 能力指標能認識量數的最大公因數，最小公倍數與兩數互質的意義，理解最大公因數與最小公倍數的計算方式，並能將分數約成最簡分數。能理解除數為分數的意義及其計算方法，並解決生活中的問題。. 資料來源：教育部 (2004，2月) 九年一貫數學課程能力指標分年細目詮釋表由表 2-1 可知國小分數的課程設計始於二年級，該年級要理解分母在 12 以內的單位分數,並比較不同單位分數的大小；三年級介紹分數的組成成分 (分子、分號和分母)，並提供具體的情境來解決同分母分數的比較與加減問題；四年級明瞭等值分數的意義，熟練假分數與帶分數和分數與小數的互換，並能進行分數間的大小比較；五年級通曉約分、擴分和通分來處理等值分數的換算和簡單異分母分數的比較與加減；六年級能認識量數的最大公因數，最小公倍數與兩數互質的意義和計算方式，並能將分數約成最簡分數。綜上所述，分數的學習是具有前後次序性的，也就是說先前的學習如果不完整或不正確會影響後面的學習，本研究的價值就是提供學習者學習過某一部份後，能夠測量其概念階層結構，並加以及時的補救教學，以利後續的學習。. 貳、分數加法錯誤類型之研究有關分數的研究，國內外皆有許多文獻，相較之下，只針對分數加法作深入探討並歸納出分數加法的錯誤類型，茲將國內、外研究所發現的分數加法錯誤類型整理成下表 2-2。. 5.

(16) 表 2-2 分數加法的錯誤類型研究者年代發現的分數加法錯誤類型 1.整數轉為等值分數的錯誤 2.帶分數轉為假分數的錯誤 Shaw 3.通分轉為等值分數的錯誤 Standiford 1982 4.算公分母時的錯誤 Klein 5.加法程序的錯誤 Tatsuoka 6.不會化簡或約分的錯誤 2 3. 1.分子加分子，分母加分母，例： +. 1 3 = 。 2 5. 1 6. 1 3. 2.算出公分母後，仍用原來的分子相加，例： + = Painter. 1989. 劉天民. 1993. 趙育倫. 1996. 黃國禎王瑞慶. 1999 2003. 2 。 6. 3 2 6 。 = 7 3 21 4 2 6 4.分母相乘，分子相加，例： + = 。 5 3 15. 3.分母相乘，分子相乘，例： +. 1.分母相加，分子相乘。 2.整數相加後，分母相乘，分子相乘。 3.整數相加後，分母相乘，分子相加。 4.交叉相乘之後，省略分母。 5.分子、分母和整數獨自分開運算，再直接合併。 1.通分的錯誤，而且需要通分的次數越多，越容易錯。 2.約分的錯誤。 1.異分母相加時，未考慮到分母要通分 1.分數通分後的分母比較大，計算錯誤的機會也比較大. 由上可知，學習分數加法的過程中存在許多類型的錯誤，對教學者來說，在教學時若能適時提醒學生不要犯這些類型的錯誤，就能提高教學效率；對學習者來說，在學習過程中可提醒自己避免重蹈覆轍，對命題者來說，在出題過程中可以此為命題的參考，以期能正確偵測學生的分數加法概念是否正確、完整。. 叁、分數加法的相關研究國內外針對分數加法的研究在1990年代之前較少，1990年代以後分數加法研究的文獻才漸漸增多，2000年以後，更喚起了更多研究者的研究興趣。. 6.

(17) 一般而言，這些分數加法的相關文獻大致可歸納為五類：1.探討分數加法概念的發展過程。2.探討分數加法的錯誤類型。3.探討哪些教學因素會影響分數加法的學習。4.探討運用資訊融入分數加法教學以提高教學的成效。5.建立分數加法的電腦適性施測計分系統。茲分述如下：一、探討分數加法概念的發展過程邵宜翠 (2003) 以竹谷誠的試題關聯結構分析理論 (item relational structure analysis, 簡稱 IRS)。分析國小三年級學生在分數加法概念形成過程的轉變。並對日後分數加法教學提供一些建議。許孝全 (2005) 採用試題關聯結構法 (IRS) 及相關電腦程式 IRSP，進行分數加法測驗，發現在同分母分數加法概念中，學生的概念發展依序為：分子加法概念、進位概念、分母為分子倍數的約分概念、以最大公因數來約分的約分概念。在異分母分數加法概念中，學生的概念發展依序為：兩分母需求最小公倍數、兩分母互質、兩分母為倍數關係。二、探討分數加法的錯誤類型 Tatsuoka 自1982 年起探討有關分數加減法的錯誤分析，她分析26個美國八年級學生在分數加法問題上之表現，提出學生分數加法的68種錯誤算則 (Shaw, Standiford, Klein, & Tatsuoka, 1982)。之後Tatsuoka (1984) 再以電腦程式研究美國八、九年級學生在分數加減法計算問題上的錯誤概念，結果發現在所有錯誤反應中學生使用一致性錯誤算則的比率相當高，綜合前後兩個研究中所提出的學生分數加法六大錯誤類型。Painter (1989) 發現學生最常犯的四種分數加法上的錯誤為1.分子加分子，分母加分母。2.算出公分母後，仍用原來的分子相加。3.分母相乘，分子相乘。4.分母相乘，分子相加。劉天民 (1993) 探討高雄地區國中一年級學生整數與分數四則運算錯誤的類型發現﹕1.學生在進行分數的加、減、乘、除四則運算時，各自對分子、分母及整數分開進行計算。2.學生在處理帶分數化成假分數的問題時，常將. 7.

(18) 分子計算錯誤。3.學生在處理通分的問題時，常將分子計算錯誤。趙育倫 (1996) 利用無參數試題反應理論為基礎的規則空間和自編之分數加法測驗，測驗臺灣區五年級學生4465位學生的分數加法能力，並據以分析學生的錯誤類型。研究發現：1.學生在分數加法上最大的困難出現在通分上，通分次數愈多的題目愈難。2.學生另一個做分數加法題目的困難在約分，而通分與約分均與五年級公因數與公倍數的學習有重要的相關。黃國禎 (1999) 探討直接教學法 (direct instruction) 在國小數學科低成就學生教學效果，發現數學低成就學生在異分母相加時，未考慮到分母要通分。三、探討哪些教學因素會影響分數加法的學習 Cramer and Henry (2002) 使用操作模式 (manipulative models) 來建立國小四、五年級學童分數加法的數字知覺 (number sense)，研究顯示：1.學童藉由主動參與具體操作模式可學到較佳的分數概念。2.大部份學童需要具體的操作過一段時間後，才能發展出分數形式運思所需的心理圖像 (mental image)。3.學童在建構它自己的分數概念時，若能和同伴或老師討論分數概念，對本身是很有幫助的。4.教材內容應先建立學童的分數概念，再施於符號形式的計算教學。王瑞慶 (2003) 探討國小六年級學童在分數加減法問題的解題歷程，將分數加減法問題，分為同分母與異分母問題類型，發現學童在同分母加減法問題方面，對通分的概念如果不夠清楚，可能會在處理同分母分數加減法問題時，受到異分母加減法問題解題策略知識的影響，而使用分數通分的解題策略。在異分母加減法問題方面，學童會擴分的數學技巧，但未必具有通分的概念；而且如果分數通分後的分母比較大，計算上出現錯誤的機會也比較大。黃權貴 (2003) 採用教學晤談法蒐集國小六年級學童在進行異分母分數合成的解題表現，發現國小六年級學童在進行異分母分數合成的解題策略時，受其分數概念的影響。解題成功的學童具備部分/整體、等分、單位化及等值等幾個分數概念，解題不成功的學童則是缺乏上述幾個分數概. 8.

(19) 念。林恵真 (2004) 探討國小五年級學生在解不同表徵型式的分數加減法問題 (文字題、線段圖題、圖畫題) 的解題表現，發現國小五年級學生在不同題目徵型式的解題表現上，彼此之間都存在顯著的差異。其中，學生在「線段圖題」上的解題表現顯著優於「文字題」和「圖畫題」；而學生在「圖畫題」上的解題表現也顯著優於「文字題」。而且學生對於文字題大多只能重述題目，而在線段圖題與圖畫題則有說明錯誤的情形出現；線段圖題與圖畫題比文字題較能夠幫助中、低數學能力組的學生將算式正確列出。何森曜 (2005) 探討國小六年級學生將分數加減法之算式表徵轉換為文字表徵的數學擬題能力。發現1.擬題能力愈好的學生，其分數加減法能力也就愈好。2.學生「未知數在運算符號前」的分數加減法之擬題能力最差。3.中、低擬題能力學生未能通過分數加減法「『部份/全體』文字題」及「數線題」。4.能通過各分數加減法概念的學生，其擬題能力亦能達到「資料不足」水準。四、探討運用資訊融入分數加法教學以提高教學的成效曾振家 (2002) 以分數加法為教材內容，利用電子試算表 EXCEL2000 強大的運算能力和圖表功能，建構動態連結的多重表徵學習情境，研究結果顯示動態連結的多重表徵學習情境有助於分數加法學習。林榮政 (2004) 建立一套以知識結構為基礎的「線上動畫分數加減的補救教學系統」，提供學生在適性診斷測驗後，能依據其迷失概念的分佈狀況，進行適性、即時的補救教學。陳伶伶 (2004) 比較「多媒體動畫融入教學」和「一般使用課本靜態教學」兩種不同的教學方式，對國小六年級學童學習分數的加、減、乘法的學習成效之差異。研究結果顯示：多媒體動畫輔助教學組，其分數加、減法、分數的乘法之學習成效、學習保留量成效、解題方式多樣化皆優於一般使用課本靜態教學組。蔡明崇 (2004) 透過小學生分數加法錯誤類型診斷系統的規劃與設計過程，利用 MathML (Mathematics Markup Language)、分數的教材分析、分數學習的迷思概念、錯誤類型之間的探討過程。建立一個針對小學生學習分. 9.

(20) 數概念有效率的資訊環境。提供教師一種資訊化的補救學型態。亦讓學習者有更優質多元的網路學習環境。Suh and Heo (2005) 將資訊科技融入數學科等值分數和分數加法的教學，研究結果顯示：1.資訊科技融入教學可以將圖像表徵 (iconic representation) 和符號表徵 (symbolic representation) 清楚的聯結起來。2. 資訊科技融入教學可以避免學習者在學習分數加法時，犯下常見的分數加法錯誤類型。五、建立分數加法的電腦適性施測計分系統秦靜儀 (1998) 結合項目反應理論之部分計分模式、電腦化適性測驗，以及派翠西網路理論 (Petri net theory)，以國小五年級「分數的加減」單元為測驗內容，發展一部分給分之電腦化適性測驗系統，並進行實際施測以評估系統效能。研究結果顯示：部分給分電腦化適性測驗系統能由受試者透過電腦自己表達作答歷程，並能有效地減少施測長度；測驗結果與傳統部分給分測驗呈高相關，亦較二點計分之測驗方式精緻，更能區分受試者之能力。再者，測驗結果除呈現分數之外，尚有錯誤類型的分析，可做為學生自我了解及教師補救教學的參考。黃瓊瑩 (2002) 以「國小數學科分數加法」作為實作之施測內容，結合試題反應理論、模糊理論，並且改進山下、勝又、津田所提出學習者認知結構之分析方法，針對個別受測者進行網路施測，並進行模糊認知結構分析，並且建置一套電腦化模糊認知診斷系統。. 10.

(21) 第二節模糊理論壹、模糊理論介紹「模糊」一詞乃是指「不分明」、「不明確」、「界線不清」之意 (九章編輯部，1989)，人類的思維、語言和決策因為它們都有模糊和非定量化的特質，故不適用於傳統二元邏輯的分析，若硬要把不是十分確定的現象用傳統二元邏輯強行分類，就容易產生謬誤的結論。因此美國加州大學柏克萊分校教授 Zadeh (1965) 提出了模糊理論的概念。模糊理論的主要特色是用隸屬度 (membership) 來表示無法非此即彼的事物。藉由介於 [0,1] 之間的隸屬度，可以對事務作更深入、更精確的解說。因此，有越來越多的研究證實了模糊理論在實務應用上的價值 (林原宏， 2001)。茲將模糊理論扼要說明如下：有關模糊隸屬度函數和 α 截集 ( α -cut) 的定義如下：【定義 2-1】令 U 表示全域集 (universal set)， μ 為一函數，即 μ：U → [0,1] ，則 U 之模糊子集 A 的隸屬度函數記為 μ A (x )，表示元素 x 隸屬於模糊集合 A 的程度。【定義 2-2】模糊子集 A 的 α 截集定義為： Aα = {x μ A ( x) ≥ α } , 0 ≤ α ≤ 1. A 的 α 截集的隸屬度函數 μ αA ( x ) 為： ⎧1 , μ A ( x ) ≥ α ⎩0, μ A( x ) < α. μ αA ( x ) = ⎨. 貳、模糊關係矩陣與模糊截矩陣模糊關係矩陣 (fuzzy relation matrix) 用以描述兩集合元素的關係，設集合 A 有 I 個元素且集合 B 有 J 個元素，則兩集合元素 a i 和 b j 之間的關係程度可用模糊關係矩陣 R = (rij ) I × J 表示。在給定 α 值之情形下，可進行模糊關係矩陣. 11.

(22) 之截矩陣運算。亦即：. R α = (rijα ) I × J. ⎧1 , rij ≥ α ⎪⎪ 且 rijα = ⎨ ⎪ ⎪⎩0 , rij < α. ，其中. 0 ≤α ≤1. 第三節模糊取向的詮釋結構模式分析法本節首先扼要介紹詮釋結構模式，接著說明其在分析概念之間關係時的限制，最後闡釋模糊取向的詮釋結構模式的內涵、分析方法及其在分析概念之間關係時的優點。. 壹、詮釋結構模式詮釋結構模式 (interpretive structural modeling, ISM) 係由Warfield (1976) 所提出的，它原是社會學的一種系統構造模型，用來分析一群元素之間的階層順序關係，藉由ISM的分析可以降低結構的複雜度，ISM透過二維矩陣的數學運算，產生一個完整的多層級結構化階層 (multilevel structural hierarchy) (Warfield, 1973, 1974, 1977)。運用在教學上時係利用圖形的階層有向圖，來描述課程中各教材要素間的前後順序、教學者腦中各教材要素間的前後順序以及學習者認知結構中各教材要素間的前後順序，並可比較三者之異同以做為課程設計、教學安排和補救教學的參考。一、ISM分析法佐藤隆博 (1987) 在「構造學習法」一書中，使用ISM分析法來探討學科內容的知識架構和其結構表現，首先將學習單元內的教材要素依學習目標明確地細分出來，接著精確決定全部學習項目間彼此的兩兩相關性，最後透過 ISM法數學運算之後，產生構造化教材的一種設計方法。 ISM分析法推廣至國際間後，蔡曉信 (1993) 以敘述式和ISM法兩種方式讓在職進修教師對STS (Science-Technology Society) 主題「清潔劑」表達開放. 12.

(23) 性思考，研究結果顯示ISM法比敘述方式更能提高教師對真實生活中之STS主題的看法；吳信義 (1998, 1999) 應用ISM分析法於「基本電學」科目，藉以建立職業科目設計教材之模式，並電腦化來協助與減輕教師從事課程設計上之負擔；鍾靜蓉 (2002) 就經濟學中「需求與供給」單元為實例，以ISM方法進行學習單元的結構分析，渠以電腦軟體迅速建構出學習單元的「學習地圖」 (learning map) 與「學習路徑」 (learning path)。劉新萍、賈勇、胡知、李炳軍、應紀來 (2003) 利用投入產出表中的投入產出關係，分析研究各產業部門結構，並據以建立ISM模型，並利用此ISM模型對河南省1987、1992和1997 年投入產出表中的各工業部門進行實徵研究。林輝泉 (2004) 運用ISM在教材設計、教育視導網路化以及國小資訊業務的發展。盧承德、蔡宗潔 (2005) 利用ISM方法及模糊集合理論 (fuzzy set theory)，透過問卷調查方式進行彙整分析，獲致土方爭議類型與相關因素階層構造，作為土石爭議之參考。王熙松、劉述舜、張睦雄、梁樾 (2005) 使用ISM分析法，透過相互關聯的考量，建立影響公路邊坡穩定相關資訊與整治方式的層級架構。 Tatsuoka (1995) 應用 ISM 分析出具階層性的知識狀態結構，此分析方法認為概念和認知具有關聯性，因此屬性之間具有先前需要 (prerequisite relationship) 的關係。Hawthorme and Sage (1975) 以 ISM 方法整合高等教育課程計畫的意見，針對五種不同團體成員的討論過程，提出對高等教育的意見。Saxena, Sushil, and Vrat (1992) 應用 ISM 法分析印度水泥工業之能源保護 (energy conservation) 計畫中各元素間的分類和階層結構化。Ravi, Shankar, and Tiwari (2005) 使用 ISM 方法，將電腦硬體企業逆向物流 (reverse logistics) 的生產性爭議 (productivity issue) 模式化。Lin, Wang and Chen (2006) 將顧客對產品的許多要求項目間的相互依賴性，使用 ISM 分析法以結構關係方式清楚地陳述出來。許天維、林原宏 (1994) 認為 ISM 分析法的功能是建立整體概念元素之. 13.

(24) 間的關係，即經由部份元素之間的關係，整合起來形成所有元素整體之關係。 ISM 分析法在教育上的主要用途如下 (許天維、林原宏，1994)： (一)教材內容的結構化：分析教學目標，再界定次要目標，最後決定出各單元之間教材內容的結構。 (二)編授教材內容：由教學者決定教材內容的目標層次關係，已由下往上累積元素關係的方式，此方式可幫助教學者檢視教學目標之間的順序關係。 (三)學習者知識的結構化：以學習者本身的概念結構為主，在已知學習者概念元素彼此之間的關係時，可利用 ISM 分析法，以得到整體概念的結構圖。二、ISM 分析方法的步驟要點為： (一)矩陣的運算 ( 2) ( 2) ( 2) ⎡a11 a12 L a1K ⎤ ⎢ ( 2) ( 2) ( 2) ⎥ a 21 a 22 L a 2 K ⎥ 2 ⎢ = (a ij( 2 ) )K × K 兩個矩陣 A 的運算的結果定義為 A = ⎢ M M M M ⎥ ⎢ ( 2) ( 2) ( 2) ⎥ ⎣a K 1 a K 2 L a KK ⎦. K. A2 矩陣內的元素 aij( 2) = ∑ aik a kj = ai1 ⊗ a1 j ⊕ ai 2 ⊗ a 2 j ⊕ L ⊕ aiK ⊗ a Kj k =1. 上式中 ⊗ 和 ⊕ 的運算，定義如下： ⎧0 x⊗ y = ⎨ ⎩1. ⎧0 x⊕ y = ⎨ ⎩1. else if x = 1 and y = 1. if x = 0 and y = 0 else. (二)傳遞閉包（transitive closure）定義 Aˆ = A ⊕ A2 ⊕ A3 ⊕ L AP ，且矩陣 Aˆ 稱為傳遞閉包。 (三)可到達矩陣（reachability matrix）定義 Aˆ ⊕ I = A ⊕ A2 ⊕ A3 ⊕ L AP ⊕ I = ( A ⊕ I ) P ，其中 I 表示 K × K 階的單位矩陣。把如下的矩陣 R ，稱為可到達矩陣。. 14.

(25) R = Aˆ ⊕ I = ( A ⊕ I ) P = A ⊕ A 2 ⊕ A 3 ⊕ L A P ⊕ I = ( A ⊕ I ) P +1 = A ⊕ A 2 ⊕ A 3 ⊕ L A P ⊕ A P +1 ⊕ I. (四) ISM 圖的繪製以 A1 至 A5 元素為例 (佐籐隆博，1987)。這五個元素之關係，假設可用矩陣 A 表示；經過上述的傳遞閉包運算後，則相對應的可到達矩陣為 R ，分別為： ⎡0 ⎢0 ⎢ A = ⎢1 ⎢ ⎢0 ⎢⎣1. 0 0 0 0⎤ 0 1 1 0⎥⎥ 0 0 1 0⎥ ⎥ 0 1 0 1⎥ 0 0 0 0⎥⎦. ⎡1 ⎢1 ⎢ R=⎢1 ⎢ ⎢1 ⎢⎣1. 0 0 0 0⎤ 1 1 1 1⎥⎥ 0 1 1 1⎥ ⎥ 0 1 1 1⎥ 0 0 0 1⎥⎦. 為便於繪製 ISM 圖，將矩陣整理如下： R( Ak ). Ak. A1 A2 A3 A4 A5. A1. 0 0 0 0. A1 A2 A3 A4 A5. 0. A2. 0 0. 0. 0. A2 0. A1. 0 A3 A4 A5. 0. A2 A3 A4. 0. 0. 0. A3 A4 0. A4. A1. 0 A3 A4 A5. 0. A2 A3 A4. 0. 0. 0. A3 A4 0. A5. A1. 0 0 0. 0. A2 A3 A4 A5. A1. A1. A2 A3. 0 0 0. R( Ak ) ∩ M ( Ak ). M ( Ak ). 0. A5. 0 0. 0 0 0 0. A5. R ( Ak ) ：是 A 的可到達矩陣，在可到達矩陣中，若元素為 1，則填上表示被指. 向的元素代號；在可到達矩陣中，若元素為 0，則保持為 0。 M ( Ak ) ：就 R( Ak ) 矩陣中， M ( Ak ) 的每一列，表示指向該列元素的所有其它元. 素。 R( Ak ) ∩ M ( Ak ) ：是 R( Ak ) 和 M ( Ak ) 兩矩陣的交集，兩矩陣相對應位置若同時存. 在該元素，則填出該元素；否則填上 0。而製作圖 2-1 的 ISM 的方法步驟為：【步驟一】針對 R( Ak ) 和 R( Ak ) ∩ M ( Ak ) 的每一列，找出列相等的元素。在上表中，先找到相對應的第 1 列 A1 ，則在 R( Ak ) 、 R( Ak ) ∩ M ( Ak ) 中 A1 所. 15.

(26) 在的行（column）與列（row）全部刪掉，刪除後的列與行則不再比較和尋找。【步驟二】以相同方法再找到第 5 列 A5 ，以此類推，我們再次得到 A3 、 A4 一組元素和 A2 元素。【步驟三】將找到的元素依序列出高低層級，並依 A 中的元素關係，劃上箭頭，如圖 2-1 所示，圖 2-1 中 A3 、 A4 是對等元素。在此，完成 ISM 圖的繪製。若 ISM 圖形元素多而箭頭關係複雜，則可視研究者所需而進行簡化 (引自林原宏，2005)。. A1. A1. A5. A5. A4. A3. A4. A3 A2. A2. 圖 2-1 ISM 圖的繪製. 貳、模糊取向的詮釋結構模式分析法詮釋結構模式所定義的元素關係是二元關係，並不宜直接應用於教育領域中之概念研究，因為以認知心理學的觀點來看，概念和概念之間的指向並非是絕對的二元結構，也就是說概念之間沒有指向關係並不代表彼此毫無關聯，有指向關係也不表示有100%的關聯性。誠如吳柏林 (2002) 所述，在人文社會科學的測度理念裡，模糊相關性和模糊統計日漸受到重視，是研究複雜的人文社會科學自然的發展結果。所以，以詮釋結構模式來探討概念結構是有其限制。 Yamashita (1997) 以模糊結構模式 (fuzzy structural modeling) 與模糊推. 16.

(27) 理 (fuzzy reasoning) 發展出一套有關高中畢業生的升學與就業輔導的生涯決定模式 (career decison-making model) 量表。溫坤禮 (2000) 將ISM法的二值關係改為多值關係，藉由模糊理論的模糊集，將處於0到1之間的集合，取0 至1之間的任意值為元素的特徵值，用模糊集合的隸屬度 (membership) 方法加以處理，以掌握不確定的因素。林原宏 (2005) 提出模糊取向詮釋結構模式分析法，是利用模糊理論的截矩陣和察覺的模糊邏輯模式來改進詮釋結構模式只適用於二元資料的限制，此法是根據模糊觀點之察覺的模糊邏輯模式，計算出配對刺激屬於某一種典型的機率，再以模糊理論的截矩陣，衡量概念間的從屬程度。察覺的模糊邏輯模式常被應用到許多人類訊息處理領域，包括語句知覺 (speech perception) (Massaro, 1987; Massaro & Oden, 1980; Oden & Massaro, 1978) 和字母知覺 (letter speech) (Massaro & Harry,1986；Oden,1979)，甚至被拿來和其他模式作比較(Cohen & Massaro, 1992; Massaro, 1989; Massaro & Friedman, 1990; Oden, 1988)。模糊取向之詮釋結構模式分析法可針對模糊關係元素，計算其為上下從屬關係 (subordination relation) 機率計算，進行模糊取向詮釋結構模式分析，呈現個人化的概念屬性矩陣。其分析方法如下 (引自林原宏，2005)：【步驟一】確定所分析的元素單位為試題或概念，假設共有 M 個試題或所有試題所測量的概念總數為 L 個。【步驟二】在選定的試題反應理論模式下，能力值 θ k 受試者在第 m 題的答對機率為 Pm (θ k ) ，依察覺的模糊邏輯模式，計算該受試者的模糊關係矩陣如下： 1. 若所分析的元素單位為試題，則能力值 θ k 受試者的模糊關係矩陣為 D(θ k ) = [ pij (θ k )]M ×M ， pij (θ k ) 為符合試題 i 指向試題 j 的機率。依察覺的模糊. 邏輯模式意義，令 ci = Pi (θ k ) 且 o j = 1 − Pj (θ k ) ，所以可得：. 17.

(28) pij (θ k ) = p( ci , o j ) =. ci o j ci o j + (1 − ci )(1 − o j ). =. Pi (θ k ) [1 − Pj (θ k )] Pi (θ k )[1 − Pj (θ k )] + [1 − Pi (θ k )]Pj (θ k ). 2. 若所分析的元素單位為概念，則能力值 θ k 受試者的模糊關係矩陣為 D(θ k ) = [ pij (θ k )] L×L ， pij (θ k ) 為符合概念 i 指向概念 j 的機率。依每一試題測得. 該概念與否的關係，設概念個數為 L 個，可形成一個二元關係的概念屬性矩陣 (attribute matrix) A = ( a ml ) M ×L ， a ml = 1 表示第 m 題包含概念 l ，亦即有測到概念 l ； a ml = 0 表示第 m 題沒有包含概念 l ，亦即沒有測到概念 l 。令 M. SA = ( ∑ a ml )1×L = ( a•l )1×L 表示每一概念被測得出現的總數之矩陣。因此，能力 m =1. 值. θk. 之受試者在每個概念精熟的機率為. MA(θ k ) = [ Pm (θ k )]1×M [. a ml. a•l. ]M ×L = [ma l (θ k )]1×L 。依察覺的模糊邏輯模式意義，令. ci = mai (θ k ) 且 o j = 1 − ma j (θ k ) ，所以可得：. pij (θ k ) = p( ci , o j ) =. ci o j ci o j + (1 − ci )(1 − o j ). =. mai (θ k ) [1 − ma j (θ k )] mai (θ k )[1 − ma j (θ k )] + [1 − mai (θ k )]ma j (θ k ). 【步驟三】選定 α 值且 0 ≤ α ≤ 1 ，將模糊關係矩陣為 D(θ k ) = [ pij (θ k )]M ×M 或 D(θ k ) = [ pij (θ k )] L×L 進行截矩陣分析。例如分析的單位為試題，則： ⎧1 , D α (θ k ) = [ pijα (θ k )]M ×M 且 pijα (θ k ) = ⎨ ⎩0 ,. pij (θ k ) ≥ α pij (θ k ) < α. ，其中 0 ≤ α ≤ 1. 【步驟四】將步驟三所得的模糊關係截矩陣進行 ISM 分析，為提供圖形可讀性，可進行 ISM 圖簡化，假設元素 Ai 指向 A j 有多條路徑 (path)，則去除直接指向並保留間接指向的路徑。例如：. 18.

(29) Aj. Am. Aj. Am 簡化. Al. Ak. Al. Ai. Ak. Ai. 【步驟五】在給定 α 值，可獲得能力值 θ k 之受試者的 ISM 圖。因此，可獲得不同能力值之個人化試題或概念的 ISM 圖。陳紹銘 (2006) 利用模糊取向的詮釋結構模式，分析國小六年級學童的等量公理概念結構，研究顯示：1.模糊取向的詮釋結構模式分析方法，對等量公理知識概念分析是可行的分析方法。2.受試者之等量公理概念 ISM 圖因能力值的不同而有明顯的差異存在。3.試題的 ISM 概念圖因受試者不同能力值而有明顯不同。祝淑梅 (2007) 以國小高年級小數概念為施測內容，應用模糊取向的詮釋結構模式分析不同能力學童的小數概念階層結構圖之特徵和異同，研究顯示：不同能力值的學童其小數概念結構圖各有其不同之處。. 第四節試題反應理論測驗理論是解釋測驗資料間實證關係的理論，早期的測驗理論稱為古典測驗理論 (classical test theory, CTT)，但是它具有樣本依賴、抽樣變動大、能力難比較、複本難實施、缺乏預測力、假設測量標準誤皆相等和對於測驗設計、偏誤題的認定、測驗的等化問題無法得到滿意解決的缺點 (王寶墉， 1995)，於是有試題反應理論 (item response theory, IRT) 之興起。試題反應理論依據強勢假設 (strong assumption) 而來，擁有嚴謹的數理基礎，可應用於許多測驗情境，其特點是以機率的概念來解釋受試者能力和測驗反應間之關 19.

(30) 係，亦即觀察其測驗反應結果，再經數學模式的運算，即可估計受試者 (examinee) 的能力 (ability) 或潛在特質 (latent traits)。現已成近代測驗理論的主流。茲將其重點分述如下：. 壹、基本假設試題反應理論具有下列幾項基本假設 (余民寧，1992；Hambleton & Swaminathan, 1985; Embretson & Reise, 2000)：一、單向度 (unidimensionality)：測驗中的每一試題都是在測量相同的一種能力或潛在特質。二、局部獨立性 (local independence)：相同一份測驗中，受試者對不同試題的反應是獨立的，也就是說某一題答對或答錯和另一題是否答對或答錯沒有任何關係。三、非速度測驗 (nonspeedness)：測驗的實施沒有時間的限制，亦即受試者有充分的時間作答，若成績不理想是因為能力不足，而不是因為時間不夠所造成的。四、「知道─正確」假設 (know-correct assumption)：受試者若知道某一試題的正確答案，必定會答對該題；亦即受試者不會發生會某一題卻故意答錯該題的情形。. 貳、試題反應模式試題反應理論以機率的觀點來說明受試者能力或心理特質與試題反應間的非線性關係，並以數學式表示受試者能力與試題難易度、鑑別度及猜測度等參數間的關係，稱為「試題特徵曲線」 (item characteristic curve, ICC)。常用的試題反應模式，依照使用參數的多寡，大致可分為單參數對數模式 (one-parameter logistic model) 、雙參數對數模式 (two-parameter logistic model)、三參數對數模式 (three-parameter logistic model)，其模式類型、公式和符號說明如表 2-3。. 20.

(31) 模式類型單參數對數模式. 雙參數對數模式. 三參數對數模式. 表 2-3 試題反應理論常用之模式公式符號說明 Pi (θ ) ：能力值為 θ 之受試者答對第 1 i 題的機率 Pi (θ ) = 1 + e −(θ −b ) θ ：受試者能力值 bi ：第 i 題的難易度 i = 1,2,3..., n n ：測驗的題目數 Pi (θ ) ：能力值為 θ 之受試者答對第 i 題的機率 1 ai ：第 i 題的鑑別度 Pi (θ ) = 1 + e − a (θ −b ) θ ：受試者能力值 bi ：第 i 題的難易度 i = 1,2,3..., n n ：測驗的題目數 Pi (θ ) ：能力值為 θ 之受試者答對第 i 題的機率 1 ci ：第 i 題的猜測度 Pi (θ ) = ci + (1 − ci ) 1 + e −a (θ −b ) ai ：第 i 題的鑑別度 θ ：受試者能力值 i = 1,2,3..., n bi ：第 i 題的難易度 n ：測驗的題目數 i. i. i. i. i. 在單參數模式中只有難易度一個參數，通常以 bi 表示。難易度用來表示試題的困難程度。當能力值大於試題難易度，則受試者答對第 i 題的機率 Pi (θ ) 大於.5；反之，若受試者能力值小於試題難易度，則受試者答對第 i 題的機率 Pi (θ ) 小於.5。因此，試題的難易度值愈大，代表著受試者須具備較高的能力. 值才能夠答對該試題。理論上，難易度值介於 − ∞ 到+ ∞ ，但實際應用上，通常只取-3 到+3 之間的範圍。在雙參數模式中的二個參數為鑑別度與難易度。鑑別度是試題內容對於不同能力的受試者在測驗時，是否能反應出答題差異的依據指標，通常以 ai 表示。鑑別力愈大的試題，代表越能區分受試者的能力高低。理論上，鑑別度參數的值介於 − ∞ 到+ ∞ ，但實際應用上，通常只取 0 到+2 之間的範圍。而難易度與上述單參數模式之內容相同。. 21.

(32) 在三參數模式中的三個參數分別為：猜測度、難易度、鑑別度。所謂猜測度，通常用 ci 來表示，是指將能力極低或能力參數值為 0 的受試者考慮到模式裡，計算出此類受試者答對試題的機率。猜測度值愈大代表測驗的困難愈多，三參數對數模式即是針對 ci 參數做有效處理；在單參數及雙參數模式中均將其假定為 0 或接近 0 而忽略不計。因此，理想的試題情況應是猜測度為 0，不過常常因為測驗的題型而很難避免受試者的猜測行為，致使測驗產生猜測度值。至於難易度、鑑別度與單參數或雙參數模式所指的相同。. 第五節知識結構之測量理論知識結構是指在某個特定學科領域中，由該學科的概念和原則所形成相互連結的知識組織 (Koubek & Mountioy, 1991)。知識結構的研究與探討有助於了解個體如何獲得知識的心理歷程，幫助個體找出迷失概念和迷思概念，以提高學習的成效，故它一直是認知心理學研究的重要主題。知識結構分析法的種類大致可分為三大類，即圖形理論取向的知識結構分析法、IRT理論取向的知識結構分析法和集合論取向的知識結構分析法。圖形理論取向的知識結構分析法主要有概念構圖 (concept mapping) 和徑路搜尋網路分析法 (pathfinder network analysis) 兩種；IRT理論取向的知識結構分析法大致上有規則空間理論 (rule space theory) 和線性邏輯測驗模式 (linear logistic test model) 兩種，集合論取向的知識結構分析法則以知識空間 (knowledge space) 為代表。. 壹、圖形理論取向的知識結構分析法知識結構的測量可以分成三步驟：一是「引出知識結構」 (knowledge elictation)、二是「表徵知識結構」 (knowledge representation)、三是「評量知識結構」 (evaluation of knowledge representation)。「引出知識結構」是評量者. 22.

(33) 以某種方式讓個體表現出某種概念，其主要目的是要了解每個概念間的接近程度或取得接近性資料 (proximity data) 以作進一步分析；「表徵知識結構」是將引出的知識以某種具結構性的方式呈現，例如Novak發展概念構圖法，來表徵知識結構，而Goldsmith, Johnson, and Acton (1991) 以「徑路搜尋法」找出知識結構；「評量知識結構」則是將所獲得的知識結構和專家知識結構作比較，以評價知識結構的表徵，而最普遍的兩種比較的方法，一是Novak and Gowin (1984) 依據概念構圖的原理，發展出概念圖比對時的計分標準，以量化方式比較兩個概念結構圖的異同；二是Goldsmith et al. (1991) 依據集合理論 (set theory) 發展出相似性係數 (looseness index, 簡稱C指數) 來作為評量兩個知識結構差異的指標。茲扼要介紹概念構圖與徑路搜尋法於下：一、概念構圖 (concept mapping) Novak為了設計出更好的教學和學習活動，在1960年代所發展出概念構圖，它植基於Ausubel (1963) 的認知學習理論中的「有意義的學習」為基礎理論，強調在學習新概念時，舊有概念的重要性。Novak將Ausubel的理論總結為有意義的學習，就是學習者要能將要學的知識和先前已學會的概念 (preexisting concepts)、命題 (propositions) 連結 (connect) 起來。概念構圖是建構概念圖 (concept map) 的歷程；概念圖則是經概念構圖歷程所完成的結果。概念圖是使用命題形式，表徵所欲學習的概念與概念間之連結關係(Novak & Gowin,1984; Novak, & Musonda,1991)。概念構圖是利用概念圖(concept map)來表示關於知識主題結構的一種過程。概念圖由概念節點 (concept nodes) 和概念間的連接語 (relation links) 所組成，兩個概念節點和節點間的連接語則構成命題 (proposition)，概念在概念圖中以階層 (hierarchy) 的關係存在，屬於一般性、概括性的概念在上層，而一些較特定、較具體的觀念則在下層，處在最下層的則是最具體的範例。概念構圖可使用在產生概念，例如：腦力激盪、也可用來設計一個複雜. 23.

(34) 的結構，例如：大型網站、也可用在表達一個複雜的概念、更可藉由新舊概念的結合來幫助學習以及評量學習和診斷迷思概念 (misconception). 概念構圖法符合知識表徵理論、知識建構論、以及有意義學習說，可以促使學習者反省、組織、重整他們已知的概念和新知識，幫助學習者瞭解知識主題的內容，同時，因為概念圖表達的是教學的概念和概念間之關係，因此概念圖可當作是評量學生成績及研究學生知識結構的依據。概念構圖是目前科學教育界及心理教育界應用頗為廣泛且效果普遍被肯定的一種教學、學習和評量策略。 Journal of Research in Science Teaching 在1990年12月該期中，特別針對概念構圖做為主題加以探討，Novak (1990) 在當期的一篇文章中，扼要地說明如何使用概念構圖來改進自然科學的教學和學習，文中說到在增進科學學習和教學的成效上，可將概念構圖當作一種學習策略、教學策略、課程規劃設計策略和評量的方法。邱上真 (1989) 也認為概念構圖技巧：1.可做為一種新的評量方式，以提供有別於傳統測驗的另一種選擇。2.具有診斷價值，因為藉著它可以呈現學生操作水準的整體剖面圖。3.可以幫助教師選擇適當的教學策略與教材。4.也可以做為學生的學習策略或讀書技巧的一種。以概念構圖對學生知識進行評量，大致可分為兩個方向：一是將學生概念圖與專家概念圖作比較；一是利用概念構圖以了解學生學習時，知識結構的改變情形 (宋德忠、陳淑芬、張國恩，1998)。其計分方式大多根據Novak and Gowin (1984) 所發展出來的計分方式為藍本，再加上個別研究者的研究目的採取修正或不同的加權計分方式 (余民寧、陳嘉成、潘雅芳，1996；Markham, Mintzes, & Jones, 1994; Ruiz-Primo & Shavelson, 1996; Stuart, 1985)。圖2-2乃是一般概念構圖計分方式的例子。. 24.

(35) 重要概念. 階層聯結. 第一階. 第二階. 第三階. 一般化概念. 聯結. 概念. 聯結. 聯結. 聯結. 一般化概念. 一般化概念. 聯結. 聯結. 概念. 概念. 聯結. 聯結. 例子. 例子. 事件. 事件. 較不一般化概念. 聯結. 較不一般化概念. 概念. 聯結. 交叉聯結. 第四階. 聯結. 例子. 例子. 物件. 物件. 交叉. 特殊化概念. 聯結. 聯結. 特殊化概念. 特殊化概念. 聯結. 計分：. (僅計算有效且重要者) (分數) (個數) 關係： 1 × 14 = 14 4 = 20 階層： 5 × 2 = 20 交叉聯結：10 × 舉例： 1 × 4 = 4 58 分. 總計：. 圖 2-2 概念圖計分例子(修改自余民寧，1997) 25.

(36) 陳嘉成 (1996) 以概念構圖為學習策略，探討其對於國小學童自然科學習成效的影響，研究顯示概念構圖策略並未有顯著的效果。李秀娟 (1998) 探討國中生學習生物知識，發現概念構圖的方式不但無助於學習，還會造成負面的影響。張俊峰 (2001) 以概念構圖來教導國中生學習排球快攻概念，發現概念構圖的教學優於傳統講授式的教學。時德平 (2001) 研究發現概念構圖式教導國小學童在「電與磁」的概念學習上和傳統教學並無顯著差異，然而在記憶保留方面，概念構圖式的學習方式優於傳統文字敘述的方式。 Surber and Smith (1981) 使用概念構圖的方法研究學童的迷思概念 (misconception)。Wallace and Mintzes (1990) 在其所從事的一個研究中，證明概念構圖具有同時效度 (concurrent validity)，並認為概念構圖對教育研究者來說，是一個有價值的研究工具。Novak (1990) 所作的一項概念構圖縱貫性研究中，描述1960年代後期到1970年代前期共十二年間，學童對於科學概念的概念構圖之變化過程。 Barenholz and Tamir (1992) 和 Trowbridge and Wandersee (1996) 使用概念構圖為工具來探討科學教學的學習效果。Jay (1995) 發現大學生對細胞生物的學習，概念構圖策略和學習的理解、態度、成就並無顯著相關。綜上所述，部份研究顯示概念構圖策略可增進學生的學習效果；然而亦有研究顯示概念構圖策略對學習成效並無顯著的增益，甚至有負向作用。因此，概念構圖策略的效果仍有待進一步研究。二、徑路網路搜尋法徑路網路搜尋法係由美國新墨西哥州立大學計算研究實驗室的領導人 Schvaneveldt及其研究小組，根據圖解理論和網路模式所發展而成的。徑路網路搜尋法是由一組概念，以節點和鏈結連接的網路結構。徑路網路搜尋法是建構徑路搜尋網路的方法；徑路搜尋網路則是執行徑路網路搜尋法所完成的結果。徑路網路搜尋法所獲得的知識結構可以做比較，通常是將受試者的知. 26.

(37) 識結構和參照結構進行比較，參照結構可以根據研究需要選擇個人或團體平均的知識結構。Goldsmith and Davenport (1990) 認為比較兩種徑路搜尋網路的相似程度有兩種方法，一是以集合理論 (set theory) 為基礎，計算相鄰節點的交集與聯集關係；另一種是以圖形理論為基礎，計算節點之間距離的相關程度。採用集合理論演算方法可得到相似性指數 (closeness index, 簡稱PFC 或C指數)；採用圖形理論為基礎的演算方法則可以得到圖形理論距離指數 (graphic-theoretic distance, 簡稱GTD) 和接近性指數 (proximity index, 簡稱 PRX)，藉由這三種指數可以判斷受試者知識結構和參照結構的相似程度。茲以 Goldsmith, Johnson, and Acton (1991) 所舉的例子，如圖 2-3 和圖 2-4 所示。分別說明這三種相似指數。. 接近性矩陣 (proximity matrix) A B C D. PFNET E. A. 0. 1. 3. 2. 3. B. 1. 0. 1. 4. 6. C. 3. 1. 0. 5. 5. D. 2. 4. 5. 0. 4. E. 3. 6. 5. 4. 0. 圖 2-3 接近性矩陣與徑路搜尋法 (Goldsmith et al., 1991). 27.

(38) 網路一. PFC=.43 GTD=.79. PFC=.74 GTD=.42. 網路三. 網路二. 圖 2-4 網路一、網路二和網路三 PFC 和 GTD 指數(改寫自 Goldsmith et al., 1991) GTD 的指數範圍由 0 至 1，數值愈大表示兩個網路愈相近。GTD 指數是以徑路連結的數目作為計算的單位如表 2-4 所示，表 2-4 清楚呈現圖 2-4 中的 PFNET 之三個網路節點之間距離值得計算方式。表 2-4 三個網路中部分節點的圖形理論距離值徑路網路一網路二 A-B 1 1 A-E 2 1 A-F 2 3. 網路三 1 2 3. 將表 2-4 中網路一和網路二各節點的距離值計算其相關系數，就可得到 GTD 指數值.79。 PRX 指數是直接計算兩個網路相鄰矩陣 (接近性矩陣) 的相關程度，以相關係數表示兩個網路的相似程度。即求受試者的接近性矩陣與參照的接近性矩陣相互對應元素的積差相關係數，就可得到 PRX 指數，其值介於 0 至 1 之間，指數愈大，表示兩個網路結構愈相似。. 28.

(39) PFC 指數的計算要先求出暸個網路各節點的鄰近節點，將鄰近節點的交集除以聯集，總合其商數加以平均即可獲得 PFC 指數，其計算公式如下： PFC(A, B ) =. Ai ∩ Bi 1 ∑ n i∈I Ai ∪ Bi. 其中 A 、 B 表示徑路搜尋網路，為共有節點數， I 代表網路所有節點的集合、 i 為網路節點。PFC 的指數計算方式如表 2-5 所示。表 2-5 網路一和網路二的 PFC 指數之計算鄰近節點交集聯集商數節點網路一網路二集合大小集合大小 A {B, C} {B, D, E} {B} {B, C , D, E} 1 4 1÷4 B {A, D, E} {A, C} {A} {A, C , D, E} 1 4 1÷4 C {A, F , G} {B, F , G} {F, G} {A, B, F , G} 2 4 2÷4 U D {B} {A} {A, B} 2 0 0÷4 U E {B} {A} {A, B} 2 0 0÷4 F {C} {C} {C} {C} 1 1 1÷1 G {C} {C} {C} {C} 1 1 1÷1 商數總合為 3.0，C 值=3.0/7=.43，U 表示空集合。(改寫自 Goldsmith et al., 1991) 林原宏 (1996) 從已有的相關文獻中發現徑路網路搜尋法可用來：1.表達概念的關係。 2. 預測記憶搜尋 (memory retrieval) 及記憶組織 (memory organization)。3.分析專家和生手表徵和轉換之不同。徑路網路搜尋法常被使用在教育和訓練上以評估學生的表現和訓練的有效性 (Choo & Curtis, 2000; Curtis & Davis, 2003; Goldsmith & Davenport, 1990; Goldsmith & Johnson, 1990; Rowe & Cooke, 1995;)。例如Goldsmith, Johnson, and Action (1991) 使用徑路網路搜尋法與多向度量尺法測量受試者的知識結構，以探討在班級教學中，學生知識結構與學習成效的關係，並比較不同能力者間知識結構的差異。Gomez and Housner (1992) 以徑路網路搜尋法研究比較物理準教師們和教授的知識結構，發現PFC指數、GTD指數、PRX指數皆與其學期成績有顯著相關。Chen (1996) 也使用徑路網路搜尋法和相似性評定，研究高中學生的牛頓運動定律知識結構和力學概念理解能力間的關係。. 29.

(40) 江淑卿 (1997) 以徑路網路搜尋法探討國小六年級學生和國小自然科教師對「地球的多重屏障」一文的知識結構和文章理解能力，發現知識結構與科學文章的理解能力有顯著的相關，而且知識結構指數對科學性文章理解能力是有效的預測力。宋德忠、林世華、陳淑芬、張國恩 (1998) 以徑路網路搜尋法研究大學生對「學習理論」的知識結構，發現PFC指數對學習成效有不錯的預測力，並可有效的區別不同學習成就的學生。徑路網路搜尋法也被用於醫療和道德方面的研究，例如：Vinogradov, Kirkland, Poole, Drexler, Ober, and Shenault (2003) 利用徑路搜尋法探討精神分裂症患者 (schizophrenics) 和健康者之間的認知差異 (cognitive differences)。Kreie, Alt, Cronan, and Leonard (2005) 應用徑路網路搜尋法探討道德標準是否會因情境不同而有所改變。由上可知，徑路網路搜尋法主要以圖形理論為基礎，以量化的方式評量受試者的知識結構。在進行分析時，須先取得受試者評定概念相似性的接近性矩陣，然後透過KNOT軟體將其轉換成徑路搜尋網路，徑路搜尋網路可大致看出受試者知識結構的狀況；而對於不同知識結構圖的評價所用到的GTD 指數、PRX指數、PFC指數等三種相似性指數，則可以客觀的找出受試者與專家參照結構的相似程度 (涂金堂，2000)，如此可以分析知識結構與學習表現的關係、比較不同能力學習者的知識結構，甚至可以找出學習者概念組織的特徵，進而提供教學者參考，並提供補救教學。. 貳、IRT理論取向的知識結構分析法 IRT理論取向的知識結構分析法主要以規則空間和線性邏輯測驗模式為代表，茲分述如下：一、規則空間 Tatsuoka (1983) 提出規則空間理論 (rule space theory)，它是結合S-P表分析法和試題反應理論的一種認知診斷評量。藉由評量，找出受試者的試題反應組型 (item response pattern)，進而推論受試者所擁有的潛在知識狀態. 30.

(41) (latent knowledge state)，規則空間大多應用在教育統計領域，它能在大型測驗時作個人化的認知診斷，應用類型分析 (pattern analysis) 來對學習者的反應歸類、識別學生的知識結構及診斷學生解題中所犯的錯誤。教師可以透過有目的、結構化的設計試題，經過規則空間的分析，就能順利找出或診斷出具有認知失誤、或「錯誤概念」 (misconception) 的學生來，以便對症下藥進行補救教學。作規則空間的分析時，有如下的五步驟 (Katz, Martinez, Sheehan & Tatsuoka, 1998)： (一)定義試題的認知屬性 (defining attributes) 認知屬性包含陳述性知識 (declarative knowledge) 、程序性知識 (procedural knowledge) 或解題的策略 (problem-solving strategy) 等，認知屬性之決定通常透過工作分析法，選出該領域的重要成份而作為試題的認知屬性，認知屬性是構成認知診斷評量的基礎。藉由評量受試者是否擁有該認知屬性，施測者才能推論受試者可能的知識狀態。 (二)將認知屬性組合成試題 (assigning attributes to items) 試題的編製過程中，必須考量認知屬性的相關程度與難易程度，每一題試題至少必須包含一個認知屬性。試題與認知屬性的關係，可藉由關聯矩陣 (incidence matrix, 通常以 Q 表示) 表現出來，例如有 j1 、 j2 、 j3 三道試題，有 k1 、 k 2 兩個認知屬性，其中 j1 與 j3 題各含有認知屬性 k1 ， j 2 題則包含認知屬性 k 2 ，亦即若想答對 j1 或 j3 題，需具備認知屬性 k1 的知識；若想答對 j 2 題，需具備認知屬性 k 2 的知識。則該關聯矩陣 Q 為 (2×3) 矩陣。如以下矩陣所示 j1. Q matrix =. k1 k2. 1 0. j2 0 1. j3. 1 0. (三) 確定各種知識狀態 (determining identifiable knowledge states) 知識狀態的類型是透過關聯矩陣 Q 來決定的。以上面矩陣為例， j1、 j 2 、. 31.

(42) j3 這三道試題，可能有八種不同的試題反應組型，分別為 (0,0,0)、(1,0,0)、. (0,1,0)、(0,0,1)、(1,1,0)、(1,0,1)、(0,1,1)、(1,1,1)，其中 0 代表答錯，1 代表答對。而 j1 題與 j3 題皆包含認知屬性 k1 ， j 2 題包含認知屬性 k 2 ，則由此三道試題與兩個認知屬性，構成了四種的可能知識狀態，分別為： 1.知識狀態一：受試者具備認知屬性 k1 的知識，而不具備認知屬性 k2 的知識，則其知識狀態為 (1,0,1)。 2.知識狀態二：受試者具備認知屬性 k2 的知識，而不具備認知屬性 k1 的知識，則其知識狀態為 (0,1,0)。 3.知識狀態三：受試者同時不具備認知屬性 k1 與 k2 的知識，則其知識狀態為 (0,0,0)。 4.知識狀態四：受試者同時具備認知屬性 k1 與 k2 的知識，則其知識狀態為 (1,1,1)。若受試者的知識狀態是屬於上述四種知識狀態，則屬於典型試題反應組型 (ideal item-response pattern)，若受試者的知識狀態屬於另外的四種類型： (1,0,0)、(0,0,1)、(1,1,0)、(0,1,1)，則屬於非典型試題反應組型。由典型試題反應組型，施測者可以清楚掌握受試者具有或缺乏哪些認知屬性的知識；至於非典型試題反應組型，其原因可能因猜題或不小心等干擾因素。因此施測者不易推估受試者具有或缺乏哪些認知屬性的知識。 (四)形成分類的空間 (formulating the classification space) 分類的空間是採兩維的笛卡兒座標，以試題反應理論之能力參數 θ 值作為橫座標；以非典型反應組型(ζ)為縱座標。規則空間中的每個座標點代表一種反應組型，也就是一種知識狀態。 (五)對受試者的反應進行分類 (classifying examinees’ responses) 當所有可能的反應組型都映射到規則空間的笛卡兒座標後，即可根據受試者的座標值大小來決定受試者可能具有的知識狀態。分類的方法是將受試. 32.

(43) 者的座標值和最接近它的兩個知識狀態的座標值相比較，依據馬氏距離 (Mahalanobis distance) 大小來決定，受試者的座標值是比較類似哪一種知識狀態。決定出受試者比較類似的知識狀態後，即能據此瞭解受試者的學習狀況，進而針對受試者的學習盲點，進行補救教學 (引自陳紹銘，2006)。 Tatsuoka (1983, 1990) 以規則空間 (rule space) 的數學模式概念，診斷和偵測學生在算術四則的反應組型，其研究發現學生使用錯誤規則 (errneous rules) 來解題，形成系統化的規律錯誤，即使答錯學生中，其反應組型不一定相同。余嘉元 (1995) 運用規則空間模型識別學生解題中的認知錯誤，根據 644 名中學生對 30 個數學題目的反應，識別出其中 86%多的學生可以被劃分入 18 種認知錯誤類型中。趙育倫 (1996) 利用無參數試題反應理論為基礎的規則空間和自編之分數加法測驗，測驗臺灣區五年級學生 4465 位學生的分數加法能力，並據以分析學生的錯誤類型。Buck, Tatsuoka, Tatsuoka, and Kostin (1997) 應用規則空間方法將 2000 位參加多益測驗 (Test of English for International Communication, TOEIC) 的日本受試者資料，歸納出一些認知屬性和語言屬性，再以此認知屬性和語言屬性為基礎，和另外一批接受多益測驗的 2000 名韓國受試者資料作比較。Buck and Tatsuoka (1998) 使用規則空間列出 15 個主要屬性 (prime attributes) 和 14 個交互作用屬性 (interaction attributes)，而這 15 個主要屬性和 14 個交互作用屬性可以解釋一群參加第一外語聽力理解測驗 (listening comprehension) 共 96%的變異量。Kuramoto, Scott, and Kasai (2003) 以規則空間證實由 Taira, Ono, and Hayashibe 於 1992 年所發展出的日本語字彙測驗 (Japanese vocabulary test) 是有效度的。 Hayashi (2002) 比較規則空間方法 (rule space method) 和神經網路模式 (neural network model) 在區別個體間差異時的不同。Birenbaum, Tatsuoka and Yamada (2004) 使用規則空間研究美國、日本和以色列三國八年級學生在 1999 年 TIMSS-R 數學測驗成績，除了作三國之間的比較外，也做國內各族群. 33.

(44) 的比較，而研究結果顯示：日本八年級學生在數學知識 (mathmatics knowledge) 和思考技巧上 (thinking skills) 優於其他二國。而以色列境內猶太裔學生在所有項目都明顯優於阿拉伯裔學生。綜上所述，規則空間的相關研究多用在結構良好 (well-structured) 的學習單元。因此 Linn (1990) 就曾評論 K. K. Tatsuoka and M. M. Tatsuoka 的規則空間只適用於結構良好的問題領域，至於適不適用於結構不良 (ill-structured) 的問題領域則有待日後的證實。二、線性邏輯測驗模式 (linear logistic test model, LLTM) 此模式由 Fischer (1973, 1974) 所發展出來，為 Rasch 模式的一種延伸， Fischer 以 Scheiblechner (1972) 提出對試題難度( β i )理論為基礎，將 Rasch 模式中的試題難度( β i )，分解成許多認知操作 (cognitive operations) 的線性組合，認知操作也就是解題的規則，其反應的機率如下： p=. exp(θ j − β i ). 1+ exp(θ j − β i ) p. β i = ∑ ω ilα l + c l =1. α l (l = 1,2,3KK , p ) 是基本參數 (basic parameters)，ω il 是 α l 的權重 (weights)，c. 通常是正規化係數 (normalization constant)。α l 是指答對該題，所需要會的認知操作，因此，每道試題的難度不同，是因為每道試題所包含的認知操作不同的緣故。例如，任意兩道試題 I i ， I k 的難度差異 ( β i − β k ) 可表示成 p. β i − β k = ∑ (ω il − ω kl )α l l =1. 運用線性邏輯測驗模式可觀察到試題包含不同認知操作的線性組合，會導致不同的試題難度，此種評量方法可透過受試者的試題反應組型，推估出受試者可能因沒有具備某種認知操作的知識或技能，而導致無法答對包含該種認知操作的題目。同時，也可推估出全部試題的所有認知操作，哪些認知. 34.