本章旨在呈現分析結果，根據本研究目的，以試題反應理論之能力值及 試題內的概念屬性為依據，進行各分數加法概念結構圖間的質性分析比較和 量化統計檢定比較。第一節比較不同能力值受試者的分數加法概念ISM圖，
第二節分析不同能力值受試者其分數加法試題內概念屬性ISM圖之異同，第 三節量化統計檢定不同能力組間的分數加法ISM圖及其分別和專家分數加法 概念ISM圖是否有所差異，其詳細內容分述如下數節：
第一節 不同能力值的分數加法概念ISM圖之比較
本研究以能力值的平均數上下一個標準差做為臨界點，將能力值以上一 個標準差之 254 位受試者，界定為高能力組；能力值以下一個標準差共 598 受試者，界定為低能力組；介於能力值平均數上下一個標準差之間的 133 受 試者界定為低能力組。並在三組受試者中各自隨機抽取一位受試者，即A、B、
C 三位受試者，其三者的答題情形如表 4-1 所示，本研究以此三位受試者，
作為不同能力組分數加法ISM 圖之特徵和異同之舉例。依據 SAS/IML 的演算 結果可獲得如附錄二所示之模糊關係矩陣，並將A、B、C 三位受試者的模糊 關係矩陣以α
= . 55
進行截矩陣，獲得此三位受試者之分數加法概念的相鄰矩 陣 A 如表 4-2 所示。表4-1 不同能力值的受試者代表之答題情形 (θ =0, S
θ
=.92215)受試者代號 組別 能力值 答對題數 相似性係數
A 高能力組
θ
=1.03 16 題 1B 中能力組
θ =
-.33 13 題 .927381 C 低能力組θ
=-2.19 2 題 .767381表 4-2 A、B、C 三受試者之分數加法概念相鄰矩陣 A(α =.55)
依據A、B、C 三位受試者的分數加法概念模糊關係截矩陣，AISM 軟體 圖繪出A、B、C 三位受試者的分數加法概念 ISM 圖，如圖 4-1 至圖 4-3 所示，
從其結構和特徵，可歸納如下數點：
一、A 受試者和 B 受試者在各階層的概念雖然都一樣，但其概念 4 (加數為帶 分數) 和概念 10 (互質關係的異分母加法) 以及概念 3 (被加數為帶分數) 和概念5 (被加數可約分) 的連結關係卻不相同。
二、概念6 (加數可約分) 和概念 7 (兩數之和需要進位) 是在 A、B 受試者的 第三層，在C 受試者則是屬於第二層，顯示 A、B 受試者和 C 受試者對 於概念6 和概念 7 在其 ISM 圖中有著不同的精熟程度。
三、概念4 (加數為帶分數) 在 A、B 受試者的第四層，但概念 4 (加數為帶 分數) 卻在 C 受試者的第三層，顯示 A、B 受試者和 C 受試者對於概念 4 在其 ISM 圖中有著不同的精熟程度。
四、A 受試者和 B 受試者在概念 1 (同分母加法)、概念 7 (兩數之和需要進位)、
概念8 (倍數關係的異分母加法)、概念 10 (互質關係的異分母加法) 和概 念9 (既不互質也不是倍數關係的異分母加法) 的連結關係和所屬階層是 完全相同，但和C 受試者有些微的差異 (A、B 生皆是概念 1 指向概念 8，
再指向概念2，最後再指向概念 9；而 C 生則是概念 1 指向概念 8，再指 向概念4，最後再指向概念 9)。
五、由圖4-4 和表 4-3 可以知道 A、B、C 三位受試者的 ISM 圖間，其階層難 度是不一樣的，例如：B 受試者的第四階層有概念 4、概念 5 和概念 9，
其原始分數平均通過率分別為.7777、.7567 和.7535，表示 B 受試者的最 高階層原始分數平均通過率低於.7777，反觀 C 受試者，其第四階層有概 念5 和概念 9，原始分數平均通過率是.1451 和.0795，表示 C 受試者的最 高階層原始分數平均通過率低於.1451，相較之下，同樣是第四階層，其 通過率 (階層難度) 卻大不相同，易言之，不同受試者的 ISM 圖間，其
階層難度不一定是相同的 。
六、概念 1 (同分母加法) 在三個 ISM 圖中皆位於最低階層，顯示 A、B、C 三位受試者在分數加法的學習時，概念1 是最基礎且最精熟的概念。
七、由於高分組共254 位都答對全部 16 題，故 A 生也答對全部 16 題，因此 A 生的分數加法概念 ISM 圖也代表本研究中的專家分數加法 ISM 圖。
八、綜上所述，不同能力值的A、B、C 三位受試者，其分數加法概念的 ISM 圖亦有所不同，故教學者在實施分數加法的個別化輔導時，可以參考個 別學習者之分數加法概念ISM 圖來進行。
圖4-1 A 生之分數加法概念 ISM 圖(高能力 θ= 1.03 α=.55)
圖4-2 B 生分數加法概念 ISM 圖(中能力 θ= -.33 α=.55) 簡化
簡化
圖4-3 C 生之分數加法概念 ISM 圖 (低能力 θ= -2.19 α=.55)
圖 4-4 A、B、C 三位受試者之分數加法概念 ISM 圖通過率比較圖
0.1
0.9
C 受試者
B 受試者
A 受試者 簡化
通過率
表 4-3 不同能力組在分數加法的每一概念原始分數之平均通過率 概念
編號
所屬題號 全體 通過率
高能力組 平均通過率
中能力組 平均通過率
低能力組 平均通過率
1 1、2、3 .9354 1 .9585 .7407
2
4、5、6、7、8、
9、10、11、12、
13、14、15、16
.7658 1 .8193 .1750
3
2、3、5、6、9、
10、13、14、15、
16
.7641 1 .8012 .2320 4 3、6、15、16 .7505 1 .7777 .2337 5 6、7、10、12、
14 .7245 1 .7567 .1451
6 2、3、7、14、16 .7870 1 .8163 .3229 7 2、3、6、13、15 .7968 1 .8315 .3281
8 4、5、6 .8315 1 .8991 .2963
9 11、12、13、14、
15、16 .7124 1 .7535 .0795
10 7、8、9、10 .7967 1 .8581 .2271
第二節 不同能力值受試者之分數加法試題內概念 屬性結構圖分析
依據圖4-1、圖4-2和圖4-3的分數加法概念ISM簡化圖，配合表3-2之分數 加法概念屬性矩陣，可個別圖繪出A、B、C三位受試者在每一試題內概念屬 性階層結構圖,如表4-4所示。個別化的試題內概念屬性階層結構圖，有助於瞭 解學生解題歷程，找出迷思概念 (misconception)，並據以進行個別化的學習 輔導。
表4-4 個人化的試題內概念屬性階層結構
題 號 層 別 A 受試者 B 受試者 C 受試者
試題一
第四層 第三層 第二層 第一層
試題二
第四層 第三層 第二層 第一層
試題三
第四層 第三層 第二層 第一層
試題四
第四層 第三層 第二層 第一層
試題五
第四層 第三層 第二層 第一層
表4-4 個人化的試題內概念屬性階層結構(續) 題 號 層 別 A 受試者 B 受試者 C 受試者
試題六
第四層 第三層 第二層 第一層
試題七
第四層 第三層 第二層 第一層
試題八
第四層 第三層 第二層 第一層
試題九
第四層 第三層 第二層 第一層
試題十
第四層 第三層 第二層 第一層
表4-4 個人化的試題內概念屬性階層結構(續) 題 號 層 別 A 受試者 B 受試者 C 受試者
試題十一
第四層 第三層 第二層 第一層
試題十二
第四層 第三層 第二層 第一層
試題十三
第四層 第三層 第二層 第一層
試題十四
第四層 第三層 第二層 第一層
試題十五
第四層 第三層 第二層 第一層
表4-4 個人化的試題內概念屬性階層結構(續) 題 號 層 別 A 受試者 B 受試者 C 受試者
試題十六
第四層 第三層 第二層 第一層
根據表4-4 的資料，A、B、C 三位受試者的異同比較可舉例歸納如下：
一、A、B、C 三位受試者在試題一、四、五、八、九、十一的試題概念屬性 階層結構完全一樣，顯示A、B、C 三位受試者對這六題的認知結構大致 相同。在試題一中，三位受試者都只需精熟概念 1，就可答對；在試題 四中，三位受試者都是要先精熟概念8，再精熟概念 2，才可答對；在試 題五中，三位受試者都是要先精熟概念8，再精熟概念 2、概念 3，才可 答對，在試題八中，三位受試者都是要精熟概念2 和概念 10，才可答對，
在試題九中，三位受試者都是要精熟概念 2、概念 3 和概念 10，才可答 對，在試題十一中，三位受試者都是要先精熟概念2，再精熟概念 9，才 可答對。
二、A、B 受試者在試題二、三、七、十二、十三、十五、十六的試題概念屬 性階層結構完全一致，但和 C 受試者不同，表示這 8 題對高、中能力者 的認知結構相同，對低能力者而言卻不同。
三、A、B、C 三位受試者在試題六、十、十四的試題概念屬性階層結構有異，
表示他們在解答試題六、十、十四時，有各自的解題策略和方法，而這 3 題也可區別出高、中、低不同能力值者的概念結構。
四、大致而言，A、B 受試者在每一題的試題內概念屬性階層結構之類似度高 於和C 受試者的類似度，表示 A、B 受試者在這 16 題的認知結構差異不 像A 受試者和 C 受試者或 B 受試者和 C 受試者那麼大。
五、綜上所述，藉由個別化的試題內分數加法概念屬性階層結構圖，有助於 教 學 者 瞭 解 個 別 學 生 對 單 一 試 題 的 解 題 歷 程 ， 發 現 迷 思 概 念 (misconception)，並據以進行個別化的學習輔導，以期能將其概念階層結 構圖專家化。
第三節 不同能力組間及其和專家的分數加法概念 ISM圖之量化比較
本研究的目的，除了針對不同能力值的概念結構圖進行質化的探討與分 析，亦針對不同能力值的概念結構圖進行量化的比較與統計上的檢定，以提 出明確的數據說明與驗證質性的探究。本節根據第三章的研究方法中概念結 構圖的比較方法，進行概念結構圖之比較，分別說明高、中、低不同能力組 間 ISM 圖之差異比較，以及高、中、低不同能力組間 ISM 圖和專家 ISM 圖 之間的差異比較。
壹、高、中、低不同能力組間ISM圖的差異比較
根據算出的相似性係數，研究者以組別為自變項，相似性係數為依變項，
用單因子變異數分析各組之間的ISM圖是否有差異，經以SPSS處理後，得到 表4-5和表4-6的分析摘要表。
表4-5 不同組別ISM圖之相似性係數變異數分析摘要表
變異來源 平方和 自由度 均方 F檢定
組間 4.539 2 2.270 2733.506***
組內 .815 982 .001
總和 5.355 984
*** p<.001
表4-6 不同組別ISM圖之相似性係數事後比較摘要表 高能力組 中能力組 低能力組
高能力組 --
中能力組 -.04354*** --
低能力組 -.22166*** -.17812*** --
*** p<.001
表4-5顯示高、中、低能力組之間的ISM圖是有差異的，而由表4-6中可知 高能力組ISM圖的相似性係數優於中能力組ISM圖的相似性係數，中能力組 ISM圖的相似性係數優於低能力組ISM圖的相似性係數，顯示高能力組分數加 法概念優於中能力組，而中能力組分數加法概念優於低能力組。
貳、高、中、低能力組的ISM圖和專家ISM圖之間的差異比較
分別將高、中、低三組ISM圖的相似性係數和專家ISM圖的相似性係數作 單一樣本t檢定，得到如下表4-7的摘要表。表4-7 高、中、低能力組和專家的相似性係數單一樣本t檢定摘要表
平均數差異 自由度 t值
高能力組 0 ── ──
中能力組 -.04354 597 -29.271***
低能力組 -.22166 132 -184.202***
*** p<.001
表4-7中和施測結果的原始資料得知，因為高能力組所有254受試者答對 全部16題，故其標準差為0，無法計算出自由度和t值，不過因為高能力組答 對全部16題，所以相似性係數都是1，故可判斷高能力組ISM圖和專家ISM圖 沒有差異，中能力組和專家ISM圖有顯著差異，低能力組和專家ISM圖也有顯 著差異。
根據上述之分析結果可知，高、中、低能力組對分數加法概念結構是有
所差異的，所以在分數加法的教學上，對不同能力組別宜施行分組教學。而 由高、中、低能力組和專家分數加法概念的個別比較結果得知，高能力組和 專家沒有差異，中、低能力組和專家則有顯著差異，表示此二組尚未達到精 熟的水準，教學上宜施行補救教學。