分數的意義…

壹、分數的意義

呂玉琴（1997）認為分數乃起源於「分」，而「分」是用來解決不滿一個單 位量的量，其數值的問題。Hunting(1986)指出分數的概念是以一個連續物品（如 蛋糕、蘋果）細分（引自黃月平，2004）。換言之，當我們所面臨的情境無法以 整數形式加以紀錄與描述分割一物件時，分數自然因應而生（侯君玲，2010）。

分數來自於數學情境中的單位數線再分割、集合之運算與比值時數值表示之 需要，再「等分」原來的單位量，發展出一個「更小的單位量」來解決分割後數 值的表示，換言之，分數起源於無法以整數形式表示的數或量。例如：在數線上 把0、1之間分成五等分，每一等分皆是1/5 ，而最左邊等分點的座標就是1/5；將 一個pizza平分成五等分，每一等分是1/5個pizza，二等分就是2份1/5個pizza，也就 是2/5個pizza，其中「1/5」就是因應實際情境而發展出來的「更小的單位量」（黃 月平，2004）。

「分數」一詞在數學上的定義已經相當明確，但是在實際使用時會因為不同 的情況而有不同的解釋與用法。林碧珍（1990）提出分數為部分－整體模式、子

情境的多樣化，也讓分數概念成為國小課程中困難的教材之一（引自李宗哲，

2009）。

Behr與Post(1988)將分數做了以下的定義（引自彭嘉妮，2007）： 一、部分／全部的概念。

二、比例：強調兩個數量的關係。

三、比值：用一個量值來代表兩個數量的關係。

四、商：兩數相除的結果。

五、操作：強調分數是一種轉換。

六、線性座標：強調數線的距離長。

七、數線上的一點：即實數系的子集合。

張熙明（2004）歸納「分數」的意義可區分為六種：

一、部分／全體（連續量情境）

部分／全體的意義適合在連續量的情境中使用，是指將一個整體等分後，以 分數來表示部分與全體之間的關係。而連續量由一個單一的物體組成，如一個蛋 糕、一條緞帶、一個pizza或一個正方形。

二、子集／集合（離散量情境）

子集／集合的意義適合在離散量的情境中使用，是指把一個集合等分後，其 中一組或幾組與原來集合的相對關係。雖然子集／集合與部分／全體形成分數意 義的方法一樣，但子集／集合要在離散量的情況下才有意義。而離散量是由超過 一個物體所組合而成的整體，如一盒銅鑼燒、10瓶飲料、6個花片… 等。

三、數線上的一個數值

位在數線上一個點所代表的數值。

四、商(quotient)

將兩數相除的關係是分數最基本的數學性質，兩數相除的結果即是「商」，

在國民小學五、六年級的課程開始接觸。

五、比例、比值(ratio)

表示兩個集合或兩個度量相除的結果。

六、速率(rate)

速率是一個量與時間的比，b/a表示一速率時，b 可以是離散量（例如：閱讀 書籍的頁數），也可以是連續量（例如：跑步的距離）。

綜合上述可知，分數因為是量的分割，所以分數牽涉到兩個量的相對比較關 係，因此分數又包含許多的子概念，如：單位量概念、等分概念…等。分數同時 也是既複雜而又重要的數學概念，並且與小數、除法、百分比、比等概念密切相 關，而這些數學概念都在國民中小學數學學習領域課程中占有重要地位，正因為 分數是如此複雜而重要的數學概念，因此如何找出適合兒童的概念學習，也成為 數學教育重要的課題（張熙明，2004；黃月平，2004；何森曜，2005）。本研究 試題為符合四年級一般程度的試題，採用了各研究者所提出分數的意義中之部分

－全體、子集－集合的分數概念，藉以探討學生在不同表徵分數試題之解題表

現。