表徵的分類…

表徵具有系統化與多樣化，更具有多義性，在表徵的分類上有許多不同的觀 點，本節將從不同的觀點加以探討，將表徵分為三種不同的類型：

壹、從「運思」的觀點

Bruner(1966)由運思方式的觀點，區分三種被運思的材料：（引自蔣治邦，1994）

一、動作表徵(enactive representation)：是指個體受到刺激之後，所引發外在的行 為反應，並透過行動掌握概念、事物。

二、圖像表徵(iconic representation)：是指個體用心像來掌握概念，即使外在的具 體物已消失，個體的腦中仍留有心像或圖形。因此，圖像表徵是個體以心像 為運思的材料，所進行的內在運思活動。

三、符號表徵(symbolic representation)：是指個體用語言文字、符號來掌握概念並 進行運思活動。符號與心像不同之處在於心像是外在實物或具體物於內在的 投影，而符號本身與實物或具體物並沒有類似之處，是個體隨意選擇的記號，

代表外在實物或內在心像的抽象意義。

Bruner(1966)認為智慧的成長是運思活動慢慢的由具體到抽象，逐漸不再依 賴外在的刺激（引自黃月平，2004）。Bruner 也指出圖像表徵與符號表徵都是心 智活動之下的產物，能夠在記憶之中保留，或重新建構出來而不失其原意，使得 人類不受限於外在刺激的時空限制，是透過學習經驗發展出來的，在運思活動中，

個體獲取圖像或符號表徵的意義之後，才可以進一步以圖像或符號表徵為運思的 材料，進行運思的活動（引自蔣治邦，1994）。

貳、從「溝通」的觀點

Lesh、Post 與 Behr(1987)從溝通的觀點出發，將表徵重新分類，認為學童是 否能夠自由的在不同表徵系統之間轉譯，代表學童對表徵概念意義的掌握，分成 以下五種表徵：

一、真實的腳本(real scripts)：指利用實體物或是真實情境的東西，來表示問題的 情境與內容。

二、具體操作物(manipulative models)：需要與許多數學概念加以配合才具有意義 的教具，如：古式積木、玩具錢幣等。

三、圖像(static pictures)：靜態的圖形模式，如：長條圖、圓餅圖、數線圖等。

四、書寫符號(written symbols)：常用的數學算式或數學符號，如：3X+2Y=9 等。

五、語言(spoken language)：日常生活所用的口語符號，如：四分之一、百分之三 十等。

Lesh 等人(1987)認為表徵系統強調的核心是不同的表徵系統能夠相互轉換，

而不在將不同的表徵系統加以區別。表徵系統之間的關係如圖 2-1 所示：

圖 2-1 表徵系統關係圖（譯自 Lesh, Post, & Behr, 1987）

參、從「認知歷程」的觀點

Kaput(1987)從認知歷程的觀點出發，將表徵區分成下列四種，來說明表徵與 數學學習的關係：

一、認知與知覺的表徵(cognitive and perceptual representation)：個體內在對於知 識以及訊息的表徵，亦即在個體大腦中儲存與轉換訊息的型式。

圖像

具體操作物 書寫符號

真實的腳本 語言

二、解釋表徵(explanatory representation)：將語言、心像或數學符號間的關係產生 連結的系統，以描述個體心理結構，亦即心理學家用以說明個體內在表徵所 建構的假設性實體。

三、數學內的表徵(representation within mathematics)：在不同的數學結構之間的 關聯，亦即以一種數學結構的表徵為代表。

四、外在符號表徵(external symbolic representation)：以外在的符號將數學概念的 系統加以表徵，並用以表示抽象的數學概念。當認知主體賦予外在符號表徵 意義時，個體得以透過外在符號表徵進行數學思考，並能與他人溝通數學概 念，而且外在表徵符號的改變並不會影響數學概念的存在。

以上四種表徵，前三種屬於內在表徵，第四種屬於外在表徵。內在表徵是個 人透過不同的編碼而存在於心中或大腦中的一種心智運作。而外在表徵則是將個 人的內在表徵用不同的外在型式加以表現，亦即將內在表徵外在化。個人對外在 表徵的應用反映出知識的內在表徵；反之，個人對於數學知識與數學關係的內在 表徵亦會受到外在表徵的影響。因此，內在表徵與外在表徵看似相對，其實兩者 互相影響(引自黃月平，2004)。

依據以上所述，將不同學者對於表徵的分類整理如表2-1所示。本研究主要依 據Lesh等人(1987)的理論，探討國小學童對不同表徵形式分數試題的解題能力之 差異。現行國民中小學九年一貫課程強調培養學生溝通的能力，而數學領域的溝 通必須能以圖像、口語或書寫符號等不同形式傳達自己的意思，也要能夠理解他 人以圖像、口語或書寫符號等不同形式所傳遞的數學資訊。Lesh等人(1987)從溝 通的觀點出發所提出五種的表徵類型，對學童來說，要能與他人溝通，圖像、口 語以及書寫符號就顯得格外重要。由此可知，圖像表徵與符號表徵在培養學童的 溝通能力中扮演相當重要的角色。

表 2-1 表徵的分類

不同觀點 學者 表徵分類

從「運思」的觀點 Bruner 動作表徵

圖像表徵 符號表徵 從「溝通」的觀點 Lesh, Post, ＆Behr 真實的腳本

具體操作物 圖像 語言 書寫符號 從「認知歷程」的觀點 Kaput 認知與知覺的表徵

解釋表徵 數學內的表徵 外在符號表徵