第四章 結果與討論
第一節 試題分析
本節將針對正式施測結果進行試題的信度、效度、難度與鑑別度分析，藉以 瞭解不同表徵分數試題是否具有良好的試題特徵。
壹、 信度分析
本研究之測驗採用 Cronbach 係數進行試題內部一致性的檢驗，測驗之信度 分析如表 4-1-1 所示。
表 4-1-1 正式施測之不同表徵分數試題信度分析摘要表
題數
係數
圖像表徵分數試題（分測驗一） 10 .68
符號表徵分數試題（分測驗二） 10 .77
不同表徵分數試題（總測驗） 20 .83
由表 4-1-1 可知，其中圖像表徵分數試題之 Cronbach 係數為.68；符號表徵 分數試題之 Cronbach 係數為.77；「不同表徵分數試題」測驗之 Cronbach 係數 為.83，顯示本研究兩個分測驗及總測驗的信度良好。
貳、 效度分析與專家審核
本研究之不同表徵分數試題測驗，為了使試題符合測驗目的，研究者參考國 內外相關文獻，研究各文獻之研究結果與施測步驟之重要準則，編製成預試試題，
經過專家及現職國小教師針對試題的內容加以檢視，並另外挑選三、四年級學童 各二名針對本測驗進行「讀題」與「嘗試解題」，然後以臺中市某國小三年級學 童 31 人和四年級學童 31 人，合計共 62 人實施預試，依據預試結果進行試題修 正，編製而成正式施測試題。因此，正式施測的不同表徵分數試題測驗具有良好 的內容效度。
參、 難度與鑑別度分析
研究者將受測的學童成績由高至低排序之後，以前27%為高分組，後27%為 低分組，分別算出高分組答對人數的百分比（PH）與低分組的答對人數的百分比
（PL），P代表試題的難度，以公式P＝(PH＋PL)/2計算出試題的難度，若P值愈大，
表示該試題愈容易，答對該試題的人數越多；反之，若P值愈小，表示該試題愈 困難，答對該試題的人數越少，D代表試題的鑑別度，以公式D＝(PH－PL)算出試 題的鑑別度，D值愈高即代表該試題愈能區分出受試者能力高低的差異，也表示 該試題具有良好的鑑別度；反之，若D值較低，則代表試題較不易區分出受試者 能力高低的差異。本研究測驗試題的難度與鑑別度分析如下：
一、圖像表徵分數試題
本測驗各試題之難度如表 4-1-2 所示。在試題難度方面，各試題之難度介於 0.38～0.81 之間，僅有第 5 題為 0.38 稍低、第 7 題為 0.81 稍高，其於試題難度均 在 0.40～0.80 之間，試題的平均難度為 0.57，顯示本測驗大部分試題難度適宜。
鑑別度方面，各試題之鑑別度指數介於 0.29～0.72 之間，試題鑑別度除第 5 題為 0.39，第 7 題為 0.29，第 8 題為 0.37 偏低外，10 個題目當中鑑別度大於 0.40 以上的有 7 題，顯示本測驗大部分試題具有良好的鑑別度，以平均值來分析，鑑 別度的平均值為 0.49，顯示本測驗試題具有良好的鑑別度。
表 4-1-2 正式施測之圖像表徵分數試題難度、鑑別度分析表
題號 難度 鑑別度 題號 難度 鑑別度
第 1 題 0.62 0.41 第 6 題 0.70 0.51 第 2 題 0.42 0.72 第 7 題 0.81 0.29 第 3 題 0.57 0.63 第 8 題 0.78 0.37 第 4 題 0.55 0.63 第 9 題 0.42 0.51 第 5 題 0.38 0.39 第 10 題 0.41 0.40
二、符號表徵分數試題
本測驗各試題之難度如表 4-1-3 所示。在試題難度方面，各試題之難度介於 0.40～0.70 之間，全部試題的難度皆介於最佳試題難度 0.40～0.80 之間，試題平 均難度為 0.54，顯示本測驗的試題難度適宜。
鑑別度方面，各試題之鑑別度指數介於 0.39～0.77 之間，試題鑑別度除第 10 題為 0.39 偏低外，10 個題目當中鑑別度大於 0.40 以上的有 9 題，顯示本測驗大 部分試題具有良好的鑑別度，以平均值來分析，鑑別度的平均值為 0.59，顯示本 測驗具有良好的鑑別度。
表 4-1-3 正式施測之符號表徵分數試題難度、鑑別度分析表
題號 難度 鑑別度 題號 難度 鑑別度
第 1 題 0.50 0.59 第 6 題 0.49 0.62 第 2 題 0.61 0.59 第 7 題 0.45 0.62 第 3 題 0.58 0.77 第 8 題 0.52 0.57 第 4 題 0.59 0.59 第 9 題 0.51 0.52 第 5 題 0.40 0.67 第 10 題 0.70 0.39
第二節 不同年級的解題表現
本節將探討不同年級學童分別在圖像表徵、符號表徵兩種不同表徵分數試題
解題表現的差異情形。
壹、三、四年級對不同表徵分數試題解題表現的差異
三、四年級學童經過正式施測之後，對不同表徵分數試題的解題表現分析以
「年級」為自變項，學童在「圖像表徵」和「符號表徵」之解題表現為依變項，
進行獨立樣本 T 檢定，探討不同年級學童之解題表現是否有差異，分析結果如表 4-2-1 所示：
一、圖像表徵分數試題解題表現
從表4-2-1得知在圖像表徵試題的解題表現方面，三、四年級學童最高得分皆 表 4-2-1 三、四年級學童在不同表徵分數試題解題表現之 t 檢定摘要表
年級 人數 最低
得分
最高
得分 平均數 標準差 t
圖像表徵
三 161 0 10 4.54 1.96
-7.67***
四 156 1 10 6.40 2.33
符號表徵
三 161 0 10 3.98 2.20
-8.74***
四 156 0 10 6.43 2.75
***p<.001
分、四年級平均得分為6.40分，四年級的平均得分比三年級平均得分高出1.86分。
再以獨立樣本T檢定加以考驗，檢定結果顯示，三年級與四年級學童在圖像表徵 的解題表現達統計上的顯著差異（p＜.001），在圖像表徵分數試題的解題表現上 四年級顯著優於三年級。
二、符號表徵分數試題解題表現
從表4-2-1得知在符號表徵試題的解題表現方面，三、四年級學童最高得分皆 為10分，最低得分皆為為0分；三年級平均得分為3.98分、四年級平均得分為6.43 分，四年級的平均得分比三年級平均得分高出2.45分。再以獨立樣本T檢定加以考 驗，檢定結果顯示，三年級與四年級學童在符號表徵的解題表現達統計上的顯著 差異（p＜.001），在符號表徵分數試題的解題表現上四年級顯著優於三年級。
在國民小學數學課程中，三年級接觸分數概念的時間較四年級短，所學的分 數課程內容亦較四年級少。在教育部所公佈的九年一貫能力指標中，三年級所學 習的能力指標是 N-1-9；四年級除了已學習能力指標 N-1-9之外，還有能力指標 N-2-6、N-2-7、N-2-8、N-2-13，如表4-2-2所示。
表4-2-2 三、四年級分數相關課程能力指標分析表
能力指標 內容
三年級 N-1-9 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分 數的比較與加減問題
四年級 N-2-6 能理解分數之「整數相除」的意涵
N-2-7 能認識真分數、假分數與帶分數，作同分母分數的 比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問題 N-2-8 能理解等值分數、約分、擴分的意義
N-2-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上
本研究結果顯示四年級在圖像表徵、符號表徵兩種不同表徵分數試題的解題 表現均顯著優於三年級，但是我們從表4-2-1可以發現，不論是在圖像表徵、符號 表徵，三年級最高分與四年級相同，都可以獲得10分的滿分表現，顯示三年級部 分學童仍然可以透過圖像表徵、符號表徵來理解尚未學習的分數概念能力指標。
貳、三年級學童對不同表徵分數試題的解題表現比較
三年級學童在不同表徵分數試題的解題表現如表 4-2-3 所示，三年級學童在 不同表徵分數試題的最高分皆為 10 分，最低分皆為 0 分；平均得分為圖像表徵
（4.54 分）高於符號表徵（3.98 分）。以成對樣本 T 檢定，探討三年級學童在圖 像表徵和符號表徵之解題表現是否有顯著差異，檢定結果達顯著差異（P<.001）
由此可知，三年級學童對於圖像表徵的解題表現顯著優於符號表徵。
表 4-2-3 三年級學童在不同表徵分數試題解題表現 t 檢定分析表 最低得分 最高得分 平均數 標準差 t 圖像表徵 0 10 4.54 1.96
3.134***
符號表徵 0 10 3.98 2.20
***p<.001
黃芳玉（2003）認為善用多樣化的表徵，如圖形、圖表、具體物…等，有 助於學生從不同的角度來意義化問題情境，並建立不同表徵形式之間的連結。張 熙明（2004)的研究指出以具體的圖像以及半具體的圖形表徵有助於大部分學童 對數學學習以及分數概念的提升。洪小凡（2008）的研究認為學生從低年級已開 始接觸圖畫表徵題目，因此對於圖畫表徵形式較為熟悉，所以對於圖畫表徵較容
字題」。而本研究結果亦發現三年級學童對於圖像表徵試題的理解優於符號表徵 試題的理解。
參、四年級學童對不同表徵分數試題的解題表現比較
四年級學童在不同表徵分數試題的解題表現如表 4-2-4 所示，四年級學童在 不同表徵分數試題的最高分皆為 10 分，圖像表徵分數試題最低分為 1 分、符號 表徵分數試題最低分為 0 分。平均得分為符號表徵（6.43 分）稍高於圖像表徵（6.40 分）。以成對樣本 T 檢定，探討四年級學童在圖像表徵和符號表徵之解題表現是 否有差異，檢定結果未達顯著差異。
此研究結果與李宗哲（2009）對四年級學童的研究顯示學童運用符號表徵的 解題表現顯著優於圖像表徵有所不同，研究者推測原因可能為李宗哲（2009）研 究主要在於探究學童如何運用表徵解題，而本研究主要探討不同表徵試題對學童 解題表現的影響，在研究主題設計上並不同。
表 4-2-4 四年級學童在不同表徵分數試題解題表現 t 檢定分析表 最低得分 最高得分 平均數 標準差 t
圖像表徵 1 10 6.40 2.33
-0.194
符號表徵 0 10 6.43 2.75
*p<.05