第三節 第三節
第三節 分析國小五年級學童在因數概念上之理解情形 分析國小五年級學童在因數概念上之理解情形 分析國小五年級學童在因數概念上之理解情形 分析國小五年級學童在因數概念上之理解情形
本研究施測後依照總分順序由高而低依序排序，各取總分前 30％與總分後 30
％為高分組與低分組，高分組與低分組人數各為 9 人。接著分別分析全體學生、
高分組學生與低分組學生在每個選項之選答率，藉由各試題的選項統計分析，找 出五年級學童因數概念的理解情形，以提供教學現場教師之教學參考。本節將分 成三大部分來作探討，第一部份進行逐題之選項統計分析，第二部份就試題類型 分成整除、因數與公因數三種，分別對學生的作答情形進行分析，第三部份則分 別針對高分組學生與低分組學生的作答情形進行分析。
壹 壹 壹
壹、、、、各試題選項統計分析各試題選項統計分析各試題選項統計分析各試題選項統計分析
選項統計分析的原則為每一個錯誤選項至少要有一個低分組學生選擇，而且 每一個錯誤選項其低分組學生選答人數要大於高分組學生選答人數，若高分組學 生選擇每一個選項的人數都差不多時，應合理懷疑是否有猜測之疑。因此，逐題 的選項統計分析可以幫助老師釐清學生的學習困難所在。
以下即是本研究測驗試題 30 題的選項分析表，如表 4-5 至表 4-34 所示。
★表示正確答案
第一題為了解－整除－數字計算問題，此題整體答對率為 83％，高分組答對 率為 100％，低分組答對率為 67％，且每個錯誤選項均有低分組學生選答，故此 題的每個錯誤選項均具有誘答力，符合選項分析原則。「整數相除」只是單純測驗 表 4-5 了解－整除－數字計算問題 選項分析
1.下列哪一個算式不能整除？
○1 75÷3 ○2 102÷17 ○3 105÷15 ○4 106÷4
選項 1 選項 2 選項 3 ★選項 4 答對率 整體選答率（%） 3.33 10 3.33 83.33 0.83 高分組選答率（%） 0 0 0 100 1 低分組選答率（%） 11.11 11.11 11.11 66.67 0.67
學生的基本運算能力，屬於較為簡單的題目；此外有 10％的學生選擇第二選項，
觀察其選項，顯示有少部份學生對於除數為質數且除數數字較大時比較容易錯 誤，教學者可在教授「整數相除」時，多練習位數較多的除數或是除數為質數，
以增進學生的基本運算能力。
★表示正確答案
第二題為分析－整除－數字計算問題，此題整體答對率為 87％，高分組答對 率為 100％，低分組答對率為 67％，且每個錯誤選項均有低分組學生選擇，故此 題的每個錯誤選項均具有誘答力，符合選項分析原則。雖然被除數限制個位與百 位要填相同的數字，但就題目的答對率來看，此題對於大部份的學生來說是屬於 較為容易的題目，顯示大部分學生對於判別除數為一位數的題目較無困難。
表 4-7 了解－整除－文字題問題 選項分析
3.小華計數一堆原子筆，7 枝一數剛好數完，15 枝一數也剛好數完，試問原子筆可 能有多少枝？
○1 35 ○2 70 ○3 105 ○4 140
選項 1 選項 2 ★選項 3 選項 4 答對率 整體選答率（%） 3.33 13.33 80 3.33 0.80 高分組選答率（%） 0 0 100 0 1 低分組選答率（%） 11.11 11.11 66.67 11.11 0.67
★表示正確答案
第三題為了解－整除－文字題問題，此題整體答對率為 80％，高分組答對率 為 100％，低分組答對率為 67％，且每個錯誤選項均有低分組學生選擇，故此題 表 4-6 分析－整除－數字計算問題 選項分析
2.有一個三位整數□3□能被 3 整除，而且□中的數字都相同，請問下列何者不可 能為□中的數字？
○1 3 ○2 5 ○3 6 ○4 9
選項 1 ★選項 2 選項 3 選項 4 答對率 整體選答率（%） 3.33 86.67 6.67 3.33 0.87 高分組選答率（%） 0 100 0 0 1 低分組選答率（%） 11.11 66.67 11.11 11.11 0.67
的每個錯誤選項均具有誘答力，符合選項分析原則。就題目的答對率來看，此題 是屬於較為簡單的題目，顯示對於大部分的學生來說，在實物平分的情境中，理 解「整數相除」的意義較無困難。
表 4-8 分析－整除－文字題問題 選項分析
4.玻璃珠共 72 顆，全部平分成若干包，每包都一樣多，可以剛好分完，請問共有 幾種分法？
○1 9 ○2 10 ○3 11 ○4 12
選項 1 選項 2 選項 3 ★選項 4 答對率 整體選答率（%） 23.33 10 13.33 53.33 0.53 高分組選答率（%） 0 0 0 100 1 低分組選答率（%） 44.44 11.11 11.11 33.33 0.33
★表示正確答案
第四題為分析－整除－文字題問題，此題整體答對率為 53％，高分組答對率 為 100％，低分組答對率為 33％，且每個錯誤選項均有低分組學生選擇，故此題 的每個錯誤選項均具有誘答力，符合選項分析原則。此題屬於文字題，與學生的 語意理解能力有關，低分組學生答對率相對低許多。此題必須「窮盡」所有能整 除 72 的情形，對於計算能力較差或是低成就的學生恐怕會有遺漏的情形發生。此 外，觀察其選項，低分組高達 44％選擇第一選項，全體學生也有 23％選擇第一選 項，顯示大部分學生在不了解題意的情況下，會直接選擇能整除 72 的數而選擇第 一選項答案「9」來解決此一問題。林珮如(2002)也曾進行五年級因數解題與迷思 概念之研究，發現在文字題方面學生的答對率明顯偏低許多。
表 4-9 了解－因數－除法觀點問題 選項分析 5.已知 10÷2＝5，請問下列說法何者正確？
○1 2 是 10 的因數 ○2 2 是 10 的倍數 ○3 2 是 10 的公因數 ○4 2 是 10 的公倍數
★選項 1 選項 2 選項 3 選項 4 答對率 整體選答率（%） 83.33 10 3.33 3.33 0.83 高分組選答率（%） 100 0 0 0 1 低分組選答率（%） 55.56 22.22 11.11 11.11 0.56
★表示正確答案
表 4-10 了解－因數－除法觀點問題 選項分析 6.已知 96÷12＝8，請問下列說法何者正確？
○1 8 是 96 的因數 ○2 8 是 96 的倍數 ○3 8 是 96 的公因數 ○4 8 是 96 的公倍數
★選項 1 選項 2 選項 3 選項 4 答對率 整體選答率（%） 80 10 6.67 3.33 0.8 高分組選答率（%） 100 0 0 0 1 低分組選答率（%） 55.56 11.11 22.22 11.11 0.56
★表示正確答案
第五題和第六題同為了解－因數－除法觀點問題，整體學生答對率分別為 83
％和 80％，高分組答對率同為 100％，低分組答對率也同為 56％，且每個錯誤選 項均有低分組學生選擇，故此二題的每個錯誤選項均具有誘答力，符合選項分析 原則。觀察題目，這二題雖然都是透過除法算式（被除數÷除數＝商）引進因數概 念，但整體答對率第五題較第六題略高，顯示少數學生了解除數是被除數的因數，
而卻難以推測出商也是被除數的因數；另外可以發現當題目數字越大時，學生的 錯誤率也越高。此二題同樣有 10％的學生選擇第二選項，顯示有 10％的學生對於 因數和倍數的概念容易混淆。
表 4-11 了解－因數－乘法觀點問題 選項分析 7.已知 2×4＝8，請問下列說法何者正確？
○1 2 是 8 的因數 ○2 2 是 8 的倍數 ○3 2 是 8 的公因數 ○4 2 是 8 的公倍數.
★選項 1 選項 2 選項 3 選項 4 答對率 整體選答率（%） 80 10 6.67 3.33 0.8 高分組選答率（%） 100 0 0 0 1 低分組選答率（%） 55.56 22.22 11.11 11.11 0.56
★表示正確答案
表 4-12 了解－因數－乘法觀點問題 選項分析 8.已知 3×15＝45，請問下列說法何者正確？
○1 15 是 45 的因數 ○2 15 是 45 的倍數 ○3 15 是 45 的公因數 ○4 15 是 45 的公倍數.
★選項 1 選項 2 選項 3 選項 4 答對率 整體選答率（%） 76.67 10 10 3.33 0.77 高分組選答率（%） 100 0 0 0 1 低分組選答率（%） 44.44 33.33 11.11 11.11 0.44
★表示正確答案
第七題和第八題為了解－因數－乘法觀點問題，整體學生答對率分別是 80％
和 77％，高分組答對率同為 100％，且每個錯誤選項均有低分組學生選擇，故此 二題的每個錯誤選項均具有誘答力，符合選項分析原則。但這二題的低分組學生 答對率分別是 56％和 44％，顯示低分組學生對於透過乘法算式（被乘數×乘數＝
積）引進因數概念仍有困難。此外，比較第 7 題與第 8 題的選項與整體選答率，
我們可看到有 80％的學生能順利瞭解 2×4＝8 的算式中，2 是 8 的因數；但只有 77
％的學生能順利瞭解 3×15＝45 的算式中，15 也是 45 的因數，較前題答對率少，
因此我們可推測少部份的學生可能不理解被乘數、乘數同時都是積的因數之概念。
表 4-13 了解－公因數－除法觀點問題 選項分析 9.已知 20÷10=2；30÷10＝3，請問下列說法何者正確？
○1 10 是 20 和 30 的共因數 ○2 10 是 20 和 30 的共倍數 ○3 10 是 20 和 30 的公因數 ○4 10 是 20 和 30 的公倍數
選項 1 選項 2 ★選項 3 選項 4 答對率 整體選答率（%） 10 13.33 46.67 30 0.47 高分組選答率（%） 11.11 0 88.89 0 0.89 低分組選答率（%） 11.11 33.33 0 55.56 0
★表示正確答案
表 4-14 了解－公因數－乘法觀點問題 選項分析
10.已知 2×11=22；3×11＝33，請問下列說法何者正確？
○1 11 是 22 和 33 的共因數 ○2 11 是 22 和 33 的共倍數 ○3 11 是 22 和 33 的公因數 ○4 11 是 22 和 33 的公倍數
選項 1 選項 2 ★選項 3 選項 4 答對率 整體選答率（%） 26.67 6.67 56.67 10 0.57 高分組選答率（%） 11.11 0 88.89 0 0.89 低分組選答率（%） 33.33 22.22 33 11.11 0.33
★表示正確答案
第九題為了解－公因數－除法觀點問題，第十題為了解－公因數－乘法觀點 問題，此二題各由不同觀點（除法和乘法）來描述公因數的概念，每個錯誤選項 均有低分組學生選擇，故每個錯誤選項均具有誘答力，符合選項分析原則。但這 二題整體答對率都不高，分別只有 47％和 57％，雖然高分組答對率同為 89％，但 低分組學生的答對率明顯低許多，分別是 0％和 33％。第九題低分組的學生高達 56％選擇第四選項，顯示程度較差的學生透過除法算式（被除數÷除數＝商）引進 公因數概念仍有困難，且對於公因數與公倍數的概念容易混淆。而低分組在第十 題（乘法算式引進公因數概念）的答對率比第九題（除法算式引進公因數概念）
的答對率高，建議教師在教授公因數概念可藉由乘法算式引進，低成就學生較為 能接受。
公因數的概念是建立於整除與因數之上，也就是三個階段：整除 因數 公因數，因此公因數是由許多抽象且複雜的概念所組成，若學生沒有了解公因數 的「下位概念」，即未具備公因數的「先備知識」，對於公因數的概念，低成就學
生的理解程度恐怕會遠低於高成就的學生。另外整體學生也分別有 23％與 34％選 答第一選項和第二選項，也顯示出有部分學生仍然對公因數與公倍數數學名詞的 基本定義不甚了解，因此教師在教授基本數學名詞應當特別注意，提供學生對於 特定專有名詞的辨認機會。
表 4-15 應用－因數－除法觀點問題 選項分析
11.在 1、3、29、87 這些數中，哪些是 87 的全部因數？
○1 1、29、87 ○2 1、3、87 ○3 3、29、87 ○4 1、3、29、87
選項 1 選項 2 選項 3 ★選項 4 答對率 整體選答率（%） 13.33 13.33 6.67 66.67 0.67 高分組選答率（%） 0 11.11 0 88.89 0.89 低分組選答率（%） 33.33 11.11 22.22 33.33 0.33
★表示正確答案
第十一題的每個錯誤選項均有低分組學生選擇，故此題的每個錯誤選項均具有 誘答力，符合選項分析原則。整體答對率為 67％，高分組答對率為 89％，低分組 答對率只有 33％。觀察高分組的選答情形可發現，除了正確選答第四選項的 89％
第十一題的每個錯誤選項均有低分組學生選擇，故此題的每個錯誤選項均具有 誘答力，符合選項分析原則。整體答對率為 67％，高分組答對率為 89％，低分組 答對率只有 33％。觀察高分組的選答情形可發現，除了正確選答第四選項的 89％