國 立 臺 中 教 育 大 學 數 學 教 育 學 系
在 職 進 修 教 學 碩 士 班 碩 士 論 文
指 導 教 授 ： 許 天 維 博 士
國小五年級學童因數概念之理解情形
國小五年級學童因數概念之理解情形
國小五年級學童因數概念之理解情形
國小五年級學童因數概念之理解情形
與試題關聯分析
與試題關聯分析
與試題關聯分析
與試題關聯分析
研 究 生 ： 李 芳 年 撰
中 華 民 國 一 百 年 六 月
謝
謝
謝
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辭
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辭
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時光飛逝，二年的研究所求學生涯即將劃下句點，這本論文得以完成，要感 謝的人實在太多了。首先要感謝許天維教授，即使身兼教育學院院長及教務長之 職，每次與老師討論論文內容時，老師總是以和藹可親的態度和我們互動，並且 清楚指導我論文研究的方向及方法，讓我得以順利完成論文。其次感謝胡豐榮教 授及辛俊德博士在口試時，在內容與格式方面能鉅細靡遺提供許多寶貴的意見， 辛俊德博士還將需要修改的地方一一標記並且摺起，寫了許多密密麻麻的建議事 項，讓我感動不已，也讓論文內容更加完整。 感謝爸爸與媽媽對我的養育及栽培，在我求學的過程中從來不會給我壓力， 並且常勉勵我繼續加油，您們的鼓勵是我精神上的支柱，有您們的支持，讓我有 勇往直前的力量。也謝謝夜數碩二的全體同學，在論文寫作上有大家的互相督促， 互相鼓勵，對於進度較慢的我幫助真的相當大，真高興這二年能與大家一起努力！ 感謝臺中教育大學圖書館及學士路麥當勞，謝謝你們提供我論文寫作的場 所，這些日子常常與你們相處，真的感激萬分！最後要特別感謝的人是我的女朋 友－瓊瑋，感謝妳兩年前幫我報名研究所考試，並且在考試前幫我加油打氣，在 論文寫作期間，儘管再繁忙的妳，也會不時督促我並且包容我，沒有妳的鼓勵與 支持，我也不可能完成研究所的夢想。 李芳年 謹誌 中華民國一百年六月
摘
摘
摘
摘
要
要
要
要
本研究旨在利用試題關聯結構分析法，分析學童因數概念之試題結構，以探 究學童在因數知識結構的發展。研究對象為臺中市一班五年級的學童，並採用研 究者自編之「國小五年級學童因數概念測驗」，施測後以IRS軟體進行分析。研究 結果如下： 一、整除概念的學習必須先瞭解「某數是否能被另一個數所整除」後，才能辨別 「某數能被哪些單位量所整除」。 二、不論是由除法觀點引入，或是由乘法觀點引入，學生在因數概念的學習上並 沒有顯著差異的。 三、因數概念的學習必須先學會「在若干個數中找出某數的所有因數」，接著學 會「找出某數的最大因數與最小因數」，最後才學會「找出某數的所有因數」。 四、在引入公因數概念觀點中，乘法觀點為除法觀點的下位概念，而且互相有順 序性關係。 五、在找公因數概念中，學童必須先學會「找二個數的公因數」與「找三個數的 公因數」後，才能學會「找四個數的公因數」。 六、公因數概念的學習必須先學會「列舉若干數的所有公因數」，才能判斷「若干 數的公因數個數」。 七、整除、因數和公因數概念的學習上都是由「純數字計算」到「應用文字題」； 學童因數概念發展順序如右：整除 因數 公因數。 關鍵詞：因數概念 選項分析 試題關聯結構分析法
II
Abstract
The aim of this research is to analyze students’ item structure for the concept of factor using Item Relational Structure Analysis in order to discuss students’ development in the knowledge structure for factor. The research targets are a class of fifth-grade students from an elementary school in Taichung City. The “Test on the Concept for Factor for Fifth-grade Elementary School Students” edited by the researcher was applied. After the students completed the test, the results were analyzed using the IRS software. Hence, the research results are summarized in the following: 1. The concept for exact division can only be learnt after understanding “whether a
certain number can be divided exactly without remainder by the other number” in order to recognize “what number can be divided exactly without remainder by what units.”
2. Students’ learning outcome of the concept for factor was not significantly different whether it was introduced from the division viewpoint or the multiplication viewpoint.
3. The learning of the concept for factor must begin with knowing how to “find all of the factors of a number from numerous numbers,” knowing how to “find the largest factor and the smallest factor of a number” and knowing how to “find all of the factors of a number.”
4. In the introduction of the concept and viewpoint for common factors, multiplication is the lower concept of division and there is a sequential relationship between the two.
5. In the concept of finding the common factors, students must know how to “find the common factors between two numbers” and “find the common factors between
three numbers” before learning how to “find the common factors between four numbers.”
6. For the learning of the concept for common factor, students must be able to “list all the common factors of numerous numbers” before determining “the number of the common factors of numerous numbers.”
7. In the learning of the concepts for exact division, factor and common factor, they all start from “pure numerical calculation” to “applied question.”The development sequence for students’ concept for factor: Exact Division Factor Common Factor
Keywords: Concept for factor, Option Analysis, Item Relational Structure Analysis
IV
目
目
目
目 次
次
次
次
第一章
第一章
第一章
第一章 緒論
緒論
緒論
緒論………1
第一節 研究動機………1 第二節 研究目的………3 第三節 名詞釋義………3 第四節 研究範圍與限制………5第二章
第二章
第二章
第二章 文獻探討
文獻探討
文獻探討
文獻探討………7
第一節 概念發展之理論基礎………7 第二節 國小五年級因數概念教材分析………..16 第三節 因數概念之相關實證性研究………..21 第四節 試題關聯結構分析法………..29第三章
第三章
第三章
第三章 研究方法
研究方法
研究方法
研究方法………..39
第一節 研究架構………..39 第二節 研究對象………..40 第三節 研究工具………..40 第四節 研究流程………..48 第五節 資料處理………..49第四章
第四章
第四章
第四章 研究結果與分析
研究結果與分析
研究結果與分析
研究結果與分析………..51
第一節 紙筆測驗之試題性質分析………..51 第二節 試題關聯順序性係數分析………..55 第三節 分析國小五年級學童在因數概念上之理解情形………..57 第四節 五年級因數概念試題關聯結構分析與討論………..80第五章
第五章
第五章
第五章 結論與
結論與
結論與
結論與建議
建議
建議………..95
建議
第一節 結論………..95 第二節 建議………..……….……….100參考文獻
參考文獻
參考文獻
參考文獻………..…………..…103
附錄
附錄
附錄
附錄………....109
附錄一 國小五年級學童因數概念測驗………...…….109 附錄二 試題檢核表……….……...113 附錄三 國小五年級學童因數概念測驗專家效度調查問卷….……...114VI
表
表
表
表 次
次
次
次
表 2-1 國外概念意義解釋整理表………..………...8 表 2-2 國內概念意義解釋整理表………..………...9 表 2-3 各版本教材內容架構比較………..………..16 表 2-4 數學領域因數教材的能力指標………..………..19 表 2-5 與因數教材相關的分年細目……….. ..20 表 2-6 因數概念相關研究一覽表……….………21 表 2-7 學生得分表 1 ……….………29 表 2-8 學生得分表 2 ……….………30 表 2-9 學生得分表 3 ……….………30 表 2-10 佐藤 S-P 表……….……….………31 表 2-11 試題 i、j 答對與答錯人數統計表………….……….………34 表 2-12 試題順序性係數舉例……….………35 表 2-13 試題順序關係 0－1 矩陣表舉例……….………35 表 3-1 因數試題雙向細目表……….44 表 3-2 預試試題之分析總表……….46 表 4-1 正式施測之 Cronbach’s α 信度分析……….……..…...51 表 4-2 正式施測試題之難易度及鑑別度……….……..……..53 表 4-3 試題關聯順序性係數一覽表………..………...55 表 4-4 順序性係數之 0-1 矩陣表……….…………..………...56 表 4-5 了解－整除－數字計算問題選項分析……….……….………...57 表 4-6 分析－整除－數字計算問題選項分析……….…..….……….58 表 4-7 了解－整除－文字題問題選項分析………...…….………. 58 表 4-8 分析－整除－文字題問題選項分析………...…….………. 59 表 4-9 了解－因數－除法觀點問題選項分析……….…..….……….60 表 4-10 了解－因數－除法觀點問題選項分析……….60 表 4-11 了解－因數－乘法觀點問題選項分析………..………61 表 4-12 了解－因數－乘法觀點問題選項分析………..………61 表 4-13 了解－公因數－除法觀點問題選項分析………..……62 表 4-14 了解－公因數－乘法觀點問題選項分析………..……62表 4-15 應用－因數－除法觀點問題選項分析………..…….63 表 4-16 應用－因數－舉列所有因數問題選項分析………..…….63 表 4-17 分析－因數－列舉所有因數問題選項分析………..…….64 表 4-18 分析－因數－列舉所有因數問題選項分析………..…….64 表 4-19 記憶－因數－最大因數問題選項分析………..…….65 表 4-20 應用－因數－最大因數與最小因數問題選項分析………..…….65 表 4-21 應用－因數－最大因數與最小因數問題選項分析………..…….65 表 4-22 記憶－因數－因數個數問題選項分析………..…….66 表 4-23 分析－因數－因數個數問題選項分析………..…….67 表 4-24 了解－公因數－找公因數問題選項分析………..…….67 表 4-25 了解－公因數－找公因數問題選項分析………..….67 表 4-26 了解－公因數－找公因數問題選項分析………..…….68 表 4-27 分析－公因數－列舉所有公因數問題選項分析………..…….68 表 4-28 分析－公因數－列舉所有公因數問題選項分析……….69 表 4-29 應用－公因數－探討公因數個數問題選項分析……….69 表 4-30 應用－公因數－探討公因數個數問題選項分析……….70 表 4-31 應用－因數－乘法觀點問題選項分析………..……70 表 4-32 應用－因數－除法觀點問題選項分析………..……71 表 4-33 分析－公因數－舉列所有公因數問題選項分析……….72 表 4-34 分析－公因數－探討公因數個數問題選項分析……….72 表 4-35 整除試題全體答對率分析……….73 表 4-36 因數試題整體答對率分析……….74 表 4-37 公因數試題整體答對率分析………..……75 表 4-38 整除試題高分組答對率分析………..…….75 表 4-39 因數試題高分組答對率分析……….76 表 4-40 公因數試題高分組答對率分析……….76 表 4-41 整除試題低分組答對率分析………..……77 表 4-42 因數試題低分組答對率分析………..……78 表 4-43 公因數試題低分組答對率分析……….78 表 4-44 因數概念整體試題關聯結構圖之橫斷層面分析……….80
VIII
圖
圖
圖
圖 次
次
次
次
圖 2-1 CLD 理論學習達成的四個階段…..………..…..…...………...10 圖 2-2 完整試題關聯結構圖…………..………..………...33 圖 2-3 試題關聯結構圖………..……….……….…...37 圖 2-4 試題關聯結構圖簡化(一)…………..……….……….…...37 圖 2-5 試題關聯結構圖簡化(二)……….…..……….……….…..37 圖 3-1 研究架構圖……….………..…...……….…..39 圖 3-2 因數教材地位圖……….………..…...……….…..41 圖 3-3 因數概念圖……….………..…...……….…..42 圖 3-4 因數試題架構圖……….………..…...……….…..43 圖 3-5 研究流程圖……….………..…...……….…..48 圖 4-1 群體受試者之試題關聯結構圖……….……….……...82 圖 4-2 「整除」概念之試題關聯結構圖……….83 圖 4-3 「引入因數概念觀點」概念之試題關聯結構圖……….85 圖 4-4 「探討因數」概念之試題關聯結構圖………....….87 圖 4-5 「引入公因數概念觀點」概念之試題關聯結構圖……...89 圖 4-6 「找公因數」概念之試題關聯結構圖………..………...90 圖 4-7 「探討公因數」概念之試題關聯結構圖..…..…..………...91 圖 4-8 「最上位概念與最下位概念系列化」概念之試題關聯結構圖.……93第一章
第一章
第一章
第一章 緒論
緒論
緒論
緒論
本研究旨在應用試題關聯結構之方法，分析國小五年級學童因數概念之結 構，並作為日後因數教學之參考。本章共分為四節，分別為研究動機、研究目的、 名詞釋義及研究範圍與限制。第一節
第一節
第一節
第一節 研究動機
研究動機
研究動機
研究動機
教育是個人發展、社會進步、國家建設與人類永續的基礎（教育部，2010）， 隨著科技日新月異和資訊的快速發展，促使社會產生劇烈的變動。教育為建國的 根本大業，世界各國無不積極投入教育工作，台灣近年來透過各種政策推動一連 串的教育改革，無非就是培養優質人才，以提升國家未來的競爭力。 英國哲學家培根（Bacon）說：「知識就是力量。」又說：「數學是進入科學的 門和鑰匙。」長久以來教育一直扮演著極重要的角色，而數學科更是許多學科的 重要基石。有著紮實的數學基礎，才能有足夠的能力發展出卓越的高科技，接受 全球化的挑戰。 國內學生的數學成就雖然在國際上名列前茅，但在數學成就上，仍存在著相 當嚴重的差距（王瑋樺，2001；楊昭瑾，2003），學生對於數學的興趣隨著年級的 增加而愈來愈低落（蔣治邦，1994），加上數學課程之間一直存在著新舊知識銜接 上的問題，若中小學數學基礎不穩，對往後更高階段的數學學習可能會產生排斥 感與挫折感，很容易影響到其他學科的成就表現。 任晟蓀(1986)曾對 32 所國小教師做問卷調查，發現五年級上學期的數學「因 數」單元為學生較感到困難的單元之ㄧ。林珮如（2002）也針對高雄縣市 145 名 國小五年級學童進行施測，結果顯示五年級學童在因數的學習上確實有困難，尤 其以文字題更是學習因數的困難所在。許多專家學者指出，國小學童的因數及公 因數知識表現並不理想（謝堅，1995；何東墀、蕭金土 1996；黃耀興、邱易斌 1999；游麗卿 1997）。 根據認知發展論得知，兒童的學習是先從簡單的具體表徵，經過形象表徵， 一直到符號表徵，學習的過程是由具體到抽象，前一個概念若未建立好，將會影 響著後一個概念的形成
。
國外學者的研究指出學童的數學認知能力和日常生活情 境有極大的關係（Carraher,1988；Lave,1988；Saxe,1988）。研究者擔任國小五年 級數學教師，在教學現場中發現對五年級的學童而言，因數及公因數的概念在日 常生活中較缺乏可實際運用的例子，是較為抽象的概念，因此學習因數及公因數 是許多國小學童感到困難的單元之ㄧ，它比以往需要更多的推理與思考。因數概 念更是日後學習等值分數、分數加減、比例概念的重要推手，甚至是國高中的因 式問題的重要基礎，其重要性不容小覷。 數學概念學習有其先後順序，學童數學概念不清楚，很可能是上一個概念未 建立完成，學童亦難直接清楚表達其內在概念結構的不足。身為教學現場的第一 線人員，實有必要了解學童學習概念順序關係。故研究者參考相關文獻及因數教 材，自編一份「五年級學童因數概念測驗」，透過紙筆測驗的方式，由學童所做 答的外顯答題結果來分析其內在的概念結構。應用日本學者竹谷誠（1980）所提 出的試題關聯結構之方法，分析國小五年級學童因數概念之結構。「試題關聯結構分析法」（Item relational structure analysis，簡稱IRS），是以 試題施測的結果反應出試題間的順序關係，以繪製成具有「指向性」的圖形結構， 能清楚釐清學童的概念知識結構。測驗對象能從只有一個班級的學生數進行分 析，其結果及方法對於教師有著莫大的幫助。 基於以上論述，本研究有二大動機。動機一：身為五年級數學教師，發現學 童對於因數及公因數概念並不十分清楚，許多研究也指出因數對於學童是較為困 難的單元之ㄧ。動機二：國內近幾年來對於因數的研究，著重在於迷思概念與補 救教學上，因數的知識結構有其研究之必要性，而五年級上學期是第一次接觸到 因數，以試題關聯結構分析法分析的文獻中，缺少以五年級為對象、因數為主題
之研究，故乃興起研究動機。期望藉由此研究，能更深入清楚了解學童學習因數 概念的情況，以作為未來教學之參考。
第二節
第二節
第二節
第二節 研究目的
研究目的
研究目的
研究目的
基於上述的研究動機，本研究以自編的因數概念測驗為工具，以紙筆測驗的 方式，探討學童在因數概念的試題關聯結構圖所呈現的訊息，具體掌握學童在學 習因數概念易犯的錯誤與迷思，以提供教師進行因數教學時的參考。研究目的如 下： 一、建立一份具有信度、效度並能檢視學童因數概念之優良試題。 二、應用試題關聯結構分析法，分析國小五年級學童的因數概念結構，探討因數 概念的上下位關聯情形。 三、探討學童在因數概念上之理解情形，以作為未來因數教學之參考。第三節
第三節
第三節
第三節 名詞釋義
名詞釋義
名詞釋義
名詞釋義
為了能夠清楚瞭解本研究的特定名詞，係根據民國 92 年教育部公布的九年一 貫課程數學綱要之標準名詞解釋，提到有關因數概念的名詞解釋，茲分別界定如 下： 壹 壹 壹 壹、、、 、國小五年級學生國小五年級學生國小五年級學生國小五年級學生 本研究所指的國小五年級學生，為臺中市九十九學年度接受民國 92 年教育部 發布之「國民中小學九年一貫課程綱要」數學課程，並且接受過「因數」教學的 學生。 貳 貳 貳 貳、、、 、整除整除整除整除 本研究所稱整除係指在除法算式中，當被除數、除數和商都是整數時，而餘 數是 0 時，稱為整除。參 參 參 參、、、 、因數因數因數因數（（（factor）（ ））） 本研究所稱因數係指一不為零的整數甲若能整除另一整數乙，則甲稱為乙的 因數。國小階段祇學習正因數，國中階段則引進負因數的學習。 肆 肆 肆 肆、、、 、公因數公因數公因數公因數（（（common factor）（ ））） 本研究所稱公因數係指一整數甲同為兩個以上整數的因數時，則甲為這些數 的公因數。 伍 伍 伍 伍、、、 、試題關聯結構分析法試題關聯結構分析法試題關聯結構分析法試題關聯結構分析法
本研究所稱試題關聯結構（Item Relation Structure，簡稱 IRS）分析法係指由 日本學者竹谷誠所發表的一種分析測驗結果的理論，依照不同概念結構所編制之 試題，統計學生各試題的答對率情形，答對率較高者為下位概念，答對率較低者 為上位概念，並且依照試題彼此間反應所得的順序關係，以繪製成具有「指向性」 的圖形結構來分析試題的特性，此方法稱為試題關聯結構分析法。 陸 陸 陸 陸、、、 、迷思概念迷思概念迷思概念迷思概念(misconception) 本研究所稱迷思概念係指任何概念的形成，若與其科學社群所接受的概念不 相符合，與專家的概念有所出入，所形成的概念便被稱為是「迷思概念」(許榮富、 楊文金、洪振方，1990；Mariana & Hewson , 1985)。
第四節
第四節
第四節
第四節 研究範圍與限制
研究範圍與限制
研究範圍與限制
研究範圍與限制
本研究是以國小五年級學童為研究對象，藉由試題關聯結構分析法（IRS）來 探討學童「因數」概念的知識結構。本節將研究範圍與研究限制，分別敘述如下： 壹 壹 壹 壹、、、 、研究範圍研究範圍研究範圍研究範圍 一 一 一 一、、、、研究對象 以臺中市某國民小學五年級一個班級共 30 人為研究對象。 二 二 二 二、、、、 研究內容 本研究之測驗為參考因數相關文獻及民國 92 年教育部公布的九年一貫課程數 學綱要所自編的「五年級學童因數概念測驗」，其主要內容為國小五年級數學因 數相關教材。 三 三 三 三、、、、 研究方法 運用試題關聯結構分析法分析其試題間之順序關係，其方法只能視為一種「驗 證測試」，結果只適用於相同的情境，無法過度推論。 貳 貳 貳 貳、、、 、研究限制研究限制研究限制研究限制 一 一 一 一、、、、本研究基於時間、人力、研究樣本的考量，故以臺中市某國小五年級一班學 生進行施測，選取樣本有其地域性限制，其結果只適用於相同的情境，不適 合作過度推論。 二 二 二 二、、、、其主要內容為國小五年級數學因數相關教材，因此不適合將本研究結果推論 到其他單元。第二章
第二章
第二章
第二章 文獻探討
文獻探討
文獻探討
文獻探討
本研究藉由自編因數概念之成就測驗，評量分析國小五年級學童學習因數概 念之情形。依據研究目的與問題，本章就其相關文獻將分為以下四節作探討：第 一節為概念發展之理論基礎；第二節為國小五年級因數概念教材分析；第三節為 因數概念之相關實證性研究；第四節為試題關聯結構分析法。第一節
第一節
第一節
第一節 概念發展之理論基礎
概念發展之理論基礎
概念發展之理論基礎
概念發展之理論基礎
人們幾乎無時無刻不在學習新的概念，而且不停的運用舊有的概念來判斷新 的事物概念（趙寧，1998）。概念學習在各個領域日漸重要，透過概念學習可以簡 化複雜的繁瑣內容，統合各種不同的經驗分類。數學概念是經過幾世紀人們心智 創造的產物，再經由學者專家整理、編排，而成為一般的教科書，讓學童們能夠 在短短的時間內學完前人所形成的心智產物。但我們日常生活的知識多半直接由 環境中學來，其中牽涉到的概念通常不是很抽象；數學學習的問題就出在過於抽 象和一般化（陳澤民譯，1996）。九年一貫課程綱要也強調「數學教學著重學生概 念的發展與數學能力的培養，應避免強調零碎知識的記憶與背誦」（教育部， 2003）。因此數學教學應強調學童概念的理解與演算能力的精熟，而非零碎片段 的記憶。 數學是相當具有前後連貫性的知識結構，許多新概念往往是以舊概念為基 礎，利用既有概念進行新概念的演繹與推理，舊概念的不了解往往會影響著新概 念的學習。因此學童如何運用概念來學習非常重要，本節將從概念的意義、概念 的形成及概念的迷思等方面加以說明。 壹 壹 壹 壹、、、、概念的意義概念的意義概念的意義概念的意義 在有關概念的文獻中，我們經常可以看到概念形成（concept formation）、概念名詞在思考的研究上，指的是同一事情（裘友善，1978）。 國內外研究概念的學者眾多，對概念的定義也各有所見，而概念在不同的情 境下更有不同的意義，故研究者參考概念文獻將國內外學者對概念的意義依年代 順序整理如下（整理自何俊青，1985；趙寧，1998）： 表2-1 國外概念意義解釋整理表（依年份排列） 學者 時間 概念的意義 Kendler 1961 概念是一種對相同刺激的共同反應。 Kagan、Moss & Sigel 1963 概念是自知覺至機能的步驟。 Jenkins 1966 概念是個人的心理結構，應當用個人對於概念的知識來 定義。 Lenneberg 1967 概念是透過經驗的聯想統整而成的，並可與已知的概念 或相似的概念作比較。 Piaget & Lnhelder 1969 概念是智能的內容。 Nelson 1973 強調機能的概念是知覺概念的必要條件。 Vinacke 1974 概念是用於促使過去經驗的適當特性和當前刺激物產 生關聯的認知組織系統。 Halse 1975 概念是用於某些規則聯合的一群特性。 AuSubel 1978 符號所代表的具有共同標準屬性的對象、事件、情境或 性質。 Klausmeier & Goodwin 1981 概念是個人的心理建構，亦是公眾共認的實體。
Mervis & Rosch 1981 把個人的經驗加以歸納整理建立起來的範疇或類目，就
稱為概念。 Klausmeier 1990 概念是儲存在記憶裡的、由學習經驗建構出來的內在表 徵。 Merrill、 Tennyson & Posey 1992 一組特別的物件、記號或者事情，因為具有相同的特 性，而擁有一個共同的符號或者名稱。 資料來源：研究者自行整理
表2-2 國內概念意義解釋整理表（依年份排列） 學者 時間 概念的意義 葉玉嬌 1974 所謂概念，指的是代表一個物體、動作、性質、狀況等之 抽象的共同概念或意向。 張春興 1985 概念可說是指對同類事物獲得的概括性的單一認知經驗。 張春興、林清山 1985 用一個概括的名稱或符號，代表具有共同屬性一類事物的 全體時，我們稱此名稱或符號所代表者為概念。 趙寧 1985 凡對於現在刺激而起之心象為印象，過於印象再現於吾心 時為概念。 李緒武 1986 概念是一種推理的體系，是將特徵類似的事物類化的過 程。 林清山 1990 概念學習是根據對個別事例之經驗而習得新的分類原則。 袁之琦、游恒山 1993 概念是思維形式之一，是反映客觀事物本質的一種理性知 識。 資料來源：研究者自行整理 從上述國內外文獻中得知，雖然概念這個詞使用得很廣泛，但卻沒有一個統 一標準的定義。林生傳(1994)綜合許多專家學者的觀點，整理出概念具有以下特 性，如下： 一、抽象性：把某類事物抽取其共同屬性，而以特定方式表示之。 二、社會文化性：概念常為社會所贊同或認同。 三、結構性：由個人對單一或更多實體的組織訊息所組成。 四、可學習性：概念可以學習，有些概念容易學習，有些概念較為困難。 五、清晰性：概念的清晰性不一。 六、可使用性：概念對了解原則及問題解決有助益。 七、繁衍（長）性：已形成的概念可以藉以獲得其他概念。 八、位階性：概念彼此是相互包含且成上下高低的複雜位階關係。 九、意構性：概念也可能以非客觀事象來形成。
貳 貳 貳 貳、、、、概念的形成概念的形成概念的形成概念的形成 概念是大腦中的想法，而事物名稱卻只是一個聲音或字，但在形成新概念時， 命名是不可或缺，其有助於區分不同類別的事物。威斯康辛模式（1978）指出， 概念的形成在於個體的學習，而非個體成熟後就會自然獲得。Vygotsky（1978）強 調「語言」對於概念學習的重要性，當兒童親身用感官親身接觸事物時，再加上 他人的協助指示（鷹架作用）後，兒童則能達到更高的學習層次。例如：當兒童 第一次看到貓時，他人指著說「貓」，其兒童也跟著說「貓」，如下次在同一個 地方又遇到同一種貓，而兒童能夠說出「貓」，表示此時兒童已經達到「具體階 層」（concrete level）。如果下次在不同的地方遇見貓，而他人又教導兒童，此時 「貓」這個概念已經在兒童的腦海中形成，兒童便達到「辨認階段」（Identity level）。 之後兒童又在不同地方遇到不同種類的貓，而兒童也能歸類於「貓」這個概念時， 此時兒童便達到了「類推階段」（classificatory level）。最後兒童能說出貓的共同 屬性及元素，並和其他動物相比較，此時兒童就達到了「形式階段」（formal level）。 （見圖2-1）在較低的階段裡，每次我們認知一件事物時就把它拿來和以前經驗過 的事物比較、分類。 從以前多次輸入的變因中我們會抽出該事物的不變因，而這 些不變因在記憶中可以留存很久，用來和現在輸入的新資料比較。因此，要形成 一個概念就必須先有實際經驗，而這些經驗又有某些相似性、共通性（陳澤民譯， 1996）。 形式階段（formal level） 類推階段（classificatory） level 辨認階段（Identity level） 具體階層（concrete level） 圖2-1 CLD理論學習達成的四個階段 取自Klausmeier，1985，頁279
兒童的思維方式與成人大不相同，如果採取成人中心主義，由成人根據自己 的思維方式與經驗教導學童知識，無異是將學童視為認知發展成熟的小大人。教 導學童概念前，必須先了解學童的概念是如何形成的，對於概念的形成主要有以 下二種的論點： 一、聯結論 聯結論是屬於行為學派，他們強調刺激與反應之間的聯結，認為概念的形成 必須靠一連串的刺激與反應以強化聯結關係之建立。學童學會新的概念，是經過 不斷的嘗試錯誤與增強之後，再經由類化、區辨及消弱的過程。在這過程中，學 童經由區辨學習瞭解到：在不同的刺激中若有相同的元素，要對相同的元素做出 共同反應，此時學童已對此相同元素具有概念。例如：3＋5＝8，首先學童須先建 立及形成3、5與8這三個數字間的聯結關係，然後經過不斷的嘗試錯誤及增強，在 腦海裡將「3＋5」和「8」聯結配對，只要練習越多，其技能與概念便越成熟，概 念只是個別的聚集堆積，經由累積而存放於腦海資料庫裡。當下次詢問「3＋5」 時，學童便會從長期記憶中找出相關的總和並自動聯結到答案「8」。換句話說， 聯結論是假設數學知識概念是事實與聯結力的習慣兩者的集合，學童扮演著被動 的角色，概念的擴展只是一個累聚的過程。 二、認知論 個體是根據情境中顯示的線索，提出自己的假設，然後經過不斷考驗、修正、 證明的過程，最終形成概念。換句話說，認知論是將概念學習視為思考與解決問 題的歷程（邵瑞珍、皮連生，1989）。概念與概念存在著一種關係，這種關係必須 由學習者內在心靈去創造；Von Glasersfeld（1984）指出：「知識乃是學生主動建構， 不是被動的吸收或接受」。McLellan（1993）也指出：「有效的學習必須讓學習者 身處有意義的情境，學習者才能對知識主動詮釋與理解」，因此在教學上強調『理 解』，認為學習的過程重於結果的獲得，學習者要真正理解新概念，則必須在心靈
內部將此新概念與既存的概念連結。新概念不是僅僅堆積於舊概念之上，而是與 舊概念整合為一關係系統。概念獲得是主動性的活動歷程，而非只是被動性接受 他人研究的結果，教師教學的最重要任務是，考量學童身心發展，教導學童如何 獲得概念，如何從活動歷程中發現原理原則，從而統合成自己的概念。 在學生發現答案之前，布魯納（Bruner）認為，鼓勵學生根據自己的知識和經 驗，對問題情境先做一番直覺思維，雖然直覺思維未必獲得正確答案，但經常從 事直覺思維者，其心智運作必定比較活躍。學童一但從直覺思維中發現錯誤而自 己修正之後，其所產生的回饋作用，遠比外在的獎勵更有價值（張春興，1996）。 例如：多數兒童在日常生活中已習得「1隻手共有5根手指，2隻手伸出來則共有10 根手指」的非正式算術，這是直覺思維的想法。學童在學習過程中設法將不熟悉 的抽象符號運算與既有的直覺思維相連貫，經過自己創造理解、自己學習意義化， 這樣才是有意義的學習方式，也才能持久。 綜合上述二種理論，聯結論強調的是事實與技能的獲得，解釋概念學習是在 既有行為之上學習新行為的歷程，著重於學童「學什麼」；認知論強調的是關係 與關係之間的理解，解釋概念學習是在既有的知識之上學習新知識的歷程，著重 於學童「如何學」。本世紀大部分的時間都是由聯結論所主導，此方法對於較單 純簡單的學習形式做了明確的解釋，例如：背誦電話號碼，強調把複雜的學習分 割成幾個簡單的小部份，進而建立一套由簡單到複雜的過程。近年來認知論逐漸 成為主流，其研究的方向在於複雜的人類學習模式，並考慮到兒童的心理層面。 教師教學上應在聯結論與認知論間採行平衡的方式，也不能完全放棄類似聯結論 所設定之行為目標。例如：學童一開始並不能自行建構數的名稱，此時學童也必 須接受一些背誦記憶式的學習，以既有概念作為基礎，在既有架構上發展新概念， 從而進行認知結構的統合與重整。因此在教學上教師應視學童的身心與認知發展 調整教學，聆聽學童的想法，提供具刺激性的學習情境，培養學童思考問題的能 力，從旁引導與協助，以利學童概念的形成與獲得。
叁 叁 叁 叁、、、、概念的迷思概念的迷思概念的迷思概念的迷思 近年來，受到認知心理學的影響，迷思概念（misconception）之研究開始受到 重視。每件事物的發生都有其因果關係存在，每一個概念的形成其背後一定會有 許多交錯複雜的因子，只要其中一個因子發生狀況，一定會影響其他因子的發展； 學童在學習時，會自己建構出對自我經驗的合理解釋，但有時卻是一種不完整的 解釋，學童可能忽略許多應該考慮的因素，這種情形容易導致許多學童抽象的概 念學不好，因此幫助學童釐清迷思概念是教師在教學現場中重要的一大課題。以 下分別介紹迷思概念的意義、特性以及成因。 一、迷思概念的意義 迷思概念（misconception）一詞早在1940年8月出現於美國Science Educatuon 雜誌中，篇名為「An Evaluation of Certain Popular Science Misconception」（陳啟 民，1991）。misconception是在conception一字前加字首「mis」。考察「mis」有 「錯誤」、「不利」、「壞」的意思，故misconception的主要意思是指會造成不利 或錯誤的概念或想法（鍾聖校，1998）。學童在成長過程中，隨著生活經驗的累 積，許多概念來自廣泛的日常生活，在接受學校教育以前，對於學習的內容已經 持有一些不同於專家學者的想法，而且許多的想法不容易透過學習而導正過來， 極可能會對於課程內容產生誤解；任何概念的形成，若與其科學社群所接受的概 念不相符合，與專家的概念有所出入，所形成的概念便被稱為是「迷思概念」(許 榮富、楊文金、洪振方，1990；Mariana & Hewson，1985)。
二、迷思概念的特性
Driver , Guesne and Tiberghien 於1985年提出了一些迷思概念的特性： （一）迷思概念是個人化的
實際上，對於相同的事物、聆聽相同的教學，每個人的感官所接受到的刺激
的刺激，甚至以自己的方式來內化經驗。例如：看完一本書或是看完一場電影， 觀眾也不一定會具有相同的概念；接受者都以自己獨特的方式主動建構自己的概 念，這些個人的概念往往是不同的，因此迷思概念會因為人的生活環境以及認知 方式的不同而有所不同；換句話說，迷思概念是具有個人化特性的。 （二）學童的個別迷思概念可能是不相連貫的 學童不暸解概念前後一致的需要性，他們的概念，和專家或是教師的概念是 不一樣的，常常缺乏概括一個範圍的單一模型（抽象化的能力）。 （三）學童的迷思概念是穩定的 學童的迷思概念，常常是穩定的存在於自己的概念裡，縱使重新經歷經驗， 經過一再講解，但學童依然不會輕易的修正它，迷思概念仍會根深蒂固的存在。 例如：學生會認為在三角形中恰有二個相等的角就是等腰三角形，而對於真正正 確的「等腰三角形中至少有二個相等的角」卻無法認同。在經過教師的概念澄清 後，許多學童仍然不會輕易的修正已經根深蒂固的迷思概念，常常忽略了正三角 形也是等腰三角形的一種。 從迷思概念所具有的特性描述來看，學生的迷思概念有時是很難改變的，但 還是有那麼多的研究者投入在迷思概念的研究上，其目的不外乎是為了：追求教 學卓越、修正學生迷思概念和瞭解迷思概念的內容與原因（鍾聖校，1998）。 三、迷思概念的成因 概念的迷思通常是學童思考的方向錯誤所造成的，或是教師無心的疏忽，造 成學童獲得不正確的資訊，這些迷思概念往往會是學童學習上的困難所在，迷思 概念的成因相當多，研究者將這些成因分為二類： （一）學童思考的方向錯誤 Carey（1985）認為學童抽象的概念學得不好，通常是因為學童自己建構出來 的概念是錯誤的，但卻又難以改變所導致。學童的思考方式除了與生俱來之外，
大多是從日常生活的直覺、觀察和經驗得來，包括：社會文化、信仰習俗及同儕 用語，由於每個人的背景知識不同，而造成學習上的一知半解，導致學童思考的 方向錯誤，而存在有迷思概念。 （二）正式教學的疏忽或錯誤 正式教學的疏忽或錯誤包括：教師本身專業知識的不足、教科書和教材的安 排不當或呈現錯誤概念、教師本身存在有迷思概念、或是課堂上未留意學童的思 方式，認為馬上教，學童就一定學得會，這些因素都會造成學童思考的方向錯誤。
第二節
第二節
第二節
第二節 國小五年級因數概念教材分析
國小五年級因數概念教材分析
國小五年級因數概念教材分析
國小五年級因數概念教材分析
本研究目的主要探討國小五年級學童因數之概念，在國小五年級的因數教材 中，主要是介紹因數與公因數的意義與求法。目前各校教科書版本使用率較多的 為南一版、部編版、康軒版以及翰林版四種版本，本節將就此四種版本在因數教 材內容的編排加以分析： 壹 壹 壹 壹、、、、各版本各版本各版本各版本教材內容教材內容教材內容教材內容架構比較架構比較架構比較 架構比較 玆就南一版、部編版、康軒版及翰林版四個版本的數學教材做分析，各版本 教材內容分析如表2-3。 表2-3 各版本教材內容架構比較 版本冊別 南一 部編 康軒 翰林 年級 五年級上學期 單元及 單元名稱 第二單元 因數與倍數 第三單元 倍數與因數 第四單元 因數與倍數 第一單元 公倍數與公因數 課程 內容架構 整 除 因 數 公 因 數 倍 數 公倍數 倍 數 公 倍 數 因 數 公 因 數 整 除 認 識 因 數 公 因 數 倍 數 判 別 2 、 3 、 5 、 1 0 的 倍 數公倍數 倍數公倍數 因數公因數 因數和倍數的關 係判別2、5、 10的倍數。 用 6 張小正方 形 紙 卡 排 成 長 方 形 ， 探 討 有 幾 種 排 法 。 用 12 個面積為 1 平方公分的小 方 塊 來 排 長 方 形 ， 將 排 法 以 乘法算式列出。 把 1 0 個 花 片 排 成 長 方 形 ， 探 討 有 幾 種 排 法 。 用 10 個白色積 木排出長方形， 探討有幾種法， 將排法以乘法算 式列出。 因數的 引入 除法觀點 乘法觀點 除法觀點 乘法觀點
因數的引入皆以固定數量的面積排成長方形為問題的起點，讓學童找 出長和寬可能的長度組合，探討其可能組成的單位量，並配合除法及乘法 列式，以認識因數的意義。 20 和 30 各有哪 些 因 數 ？ 有 哪 些 因 數 是 共 同 的？ 4 是 16 的因數 ，也是 24 的因 數 ， 也 就 是 說 ，4 是 16 和 24 共同的因數，因 此稱 4 是 16 和 24 的公因數。 哪 些 長 度 的 積 木 ， 剛 好 可 以 排 成 12 公分和 18 公 分 長 的 紙 呢 ？ 快 樂 國 小 幼 童 軍男生有 12 人， 女生有 16 人， 各 自 分 組 進 行 遊戲，每組人數 一樣多，可分成 幾人一組？ 利 用 列 舉 法 找 出 20 和 30 所有 的因數，再進一 步 找 出 共 同 的 數。 先 說 明 公 因 數 的意義，再佈題 觀察。 利 用 列 舉 法 找 出 12 和 18 的因 數 ， 再 進 一 步 找 出公因數。 利 用 列 舉 法 找 出 12 和 16 的因 數，以學習公因 數的意義。 公因數 的引入 皆透過探討兩個量是否有共同組成的單位量的方式引入公因數的初 步概念。 一、課程架構 此四種版本的因數課程皆安排於五年級上學期教授，但各版本的單元名稱與 課程架構卻不盡相同。南一版及康軒版的課程架構順序為：因數倍數，其課程 先教授「整除」的意義，再藉由「除法觀點」引入「因數」的概念；部編版及翰 林版的課程架構順序則與南一版及康軒版有很大的不同，其課程架構順序為：倍 數因數，先教授「倍數」的概念，再藉由「乘法觀點」引入「因數」的意義。 因數的問題是探討組成一個整數(總量)的單位量之情形，倍數的問題則是探討以 表 2-3 各版本教材內容架構比較（續）
一個整數為單位量，可以生成哪些的整數(總量)之情形，其實兩者的關係與除法 和乘法一樣，同樣為互逆的概念。 二、因數的定義 各版本皆以固定數量的面積排成長方形的問題為起點，讓學童找出長和寬可 能的長度組合，探討其可能組成的單位量，並配合除法及乘法算式，以認識因數 的意義。其過程不同的是南一版與康軒版是以「除法觀點」為切入點，而部編版 與翰林版是以「乘法觀點」為切入點，分述如下： （一）除法觀點（南一、康軒） 透過除法觀點：被除數÷除數＝商……餘數，透過判斷 A 是否能被 B 整除的 方式，引入因數的定義。由總量為問題的起點，探討其可能組成的單位量，如南 一版用 6 張小正方形紙卡，探討有幾種組成長方形的方法為例：以 1 張（單位量） 1 行排成的長方形，總共有 6 行（單位數）；以 2 張（單位量）1 行排成的長方形， 總共有 3 行（單位數）；以 3 張（單位量）1 行排成的長方形，總共有 2 行（單位 數）；以 6 張（單位量）1 行排成的長方形，總共有 1 行（單位數）；透過 6 可以由 1、2、3、6 這些單位量組成的方式，引入因數的概念。康軒版也用 10 個花片，探 討有幾種組成長方形的方法為例，透過 10 可以由 1、2、5、10 這些單位量組成的 方式，引入因數的概念。 （二）乘法觀點（部編、翰林） 透過乘法觀點：指定一個正整數，哪些正整數為單位量是可以乘法性的合成 這個指定的正整數（台灣省國民學校教師研習會，1997）。例如部編版用 12 個面 積為 1 平方公分的小方塊來排長方形，將排法以乘法算式列出，，一個「12」是 12；二個「6」是 12；三個「4」是 12；四個「3」是 12；六個「2」是 12，十二 個「1」是 12。「12、6、4、3、2、1」這些單位量都可以乘法性的合成「12」， 稱之為 12 的因數。翰林版以 10 個白色積木排出長方形，探討有幾種排法，1 行「10
個」是 10 個；2 行「5 個」是 10 個；5 行「2 個」是 10 個；10 行「1 個」是 10 個，「10、5、2、1」這些單位量都可以乘法性的合成「10」，稱之為 10 的因數。 三、公因數的定義 各版本的公因數皆透過探討兩個數是否有共同組成的單位量的方式來引入： 有甲、乙兩個數（例如12與18），以1、2、3、4、6、12為單位量，都可以組成12， 而以1、2、3、6、9、18為單位量，都可以組成18，其中1、2、3、6 既是組成12 的單位量，又是組成18的單位量。12與18都可以由1、2、3、6 這些單位量組成的 方式，引入公因數的初步概念（謝堅，1997）。 貳 貳 貳 貳、、、、九年一貫課程綱要中因數學習能力指標與分年細目九年一貫課程綱要中因數學習能力指標與分年細目九年一貫課程綱要中因數學習能力指標與分年細目九年一貫課程綱要中因數學習能力指標與分年細目 九年一貫課程綱要將數學領域區分為四個階段：階段一為一至三年級，階段 二為四、五年級，階段三為六、七年級，階段四為八、九年級。另將數學內容分 為數與量、幾何、代數、統計與機率、連結等五大主題（教育部，2003）。因數教 材是五大主題中「數與量」內「整數」的子主題，茲將各能力指標中與因數相關 的能力指標，列於下表 2-4 中： 表 2-4 數學領域因數教材的能力指標 階段 指標代號 能力指標內涵 4-5 年級 N-2-04 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。 N-3-01 能認識質數、合數，並做質因數分解。 6-7 年級 N-3-02 能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義， 並用來將分數約成最簡分數。 九年一貫課程綱要是依主題及階段學習能力而訂定，多數指標必須採分年進 階式的教學才能達成其教學目標。因此，由階段能力指標演繹出更細緻的分年細 目及詮釋，以利分年進階式教學進度目標的明確掌握。分年細目以三碼編排，其
中第一碼以 1~9 表示一至九年級；第二碼分別以小寫字母 n、s、a、d 表示「數與 量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」四個主題；第三碼則表示分年細目的流水 號（教育部，2003）。學童學習因數教材前，必須具備乘法原理和除法原理的先備 能力，而加法原理和減法原理又是乘法原理和除法原理的先備能力，因此研究者 將與因數學習有關的九年一貫課程綱要分年細目整理如下表。 表 2-5 與因數教材相關的分年細目 年級 分年細目 一 1-n-06 能作一位數之連加、連減與加減混合計算。 2-n-06 能理解乘法的意義，使用、＝作橫式紀錄，並解決生活中 的問題。 2-n-07 能在具體情境中，進行分裝與平分的活動。 二 2-n-08 理解九九乘法。 三 3-n-04 能理解除法的意義，運用÷、＝作橫式紀錄(包括有餘數的情 況)，並解決生活中的問題。 五 5-n-03 能理解因數、倍數、公因數與公倍數。 由表 2-5 可得知，學童在學習因數概念前，所必須先學得的前置經驗為乘法原 理與除法原理，因而各家版本在導入因數概念的方法皆以九年一貫綱要分年細目 上所具備的「乘法」觀點或「除法」觀點來引入。外國學者 Vergnaud（1983）也 提出乘法概念域（multiplicative conceptual field，簡稱 MCF）的觀點，指出乘法原 理、除法原理與因數概念的學習是密不可分的。
第三節
第三節
第三節
第三節 因數概念之相關實
因數概念之相關實
因數概念之相關實證
因數概念之相關實
證
證
證性研究
性研究
性研究
性研究
Wehman and McLaughlin（1981）把概念分為具體概念和抽象概念兩類型，而 因數概念屬於抽象概念，因此因數一直以來是學生感到困難的單元之ㄧ，相較於 其他數概念的研究，因數相關的研究並不多，國外的研究(Edwards , 1987；Ewbank , 1987；Olson , 1991；Graviss & Greaver , 1992)大多集中於國中階段。近年來隨著學 者日益重視之下，因數的相關文獻日趨豐富，探討面相大多集中於解題策略、學 習迷思、知識結構分析、補救教學以及多媒體融入。本節，將依年代順序萃取各 專家學者的研究主題以及研究結果，整理成下列一覽表，如下表2-6： 壹 壹 壹 壹、、、、學者專家因數相關研究學者專家因數相關研究學者專家因數相關研究學者專家因數相關研究 表 2-6 因數概念相關研究一覽表 研究者 年代 研究對象 研究方法 研究主題 謝堅 1995 高年級 實驗課程 因數與倍數教材的設計 研究結果： 1.當學童運思還尚未發展完全時，不容易掌握由單位量組成總數的意義。 2.大多數學童可能會使用「嘗試錯誤」的方法，找出某數的所有因數。 3.以乘除法觀點來編製因數與倍數教材，會使學生的因數與倍數概念逐步形成。 研究者 年代 研究對象 研究方法 研究主題 陳清義 1996 五年級 紙筆測驗 個別晤談 國小五年級學童因數倍數 問題學習瓶頸之研究 研究結果： 1.教材中較缺乏概念練習的試題，教師應自行編製補充教材，以符合不同能力的學 童學習。 2.學童對於質數、奇數、合數、偶數等概念的定義、相互之間的關係經常混淆不清。 3.學童只重視短除法的練習，而較少使用試除法或是因數分解法來解決問題。 4.在文字應用題方面，學童因為未能了解題意而難以判斷題目是要求最大公因數還 是最小公倍數的能力。
表 2-6 因數概念相關研究一覽表（續） 研究者 年代 研究對象 研究方法 研究主題 何東樨 蕭金土 1996 高年級 紙筆測驗 國小數學學習障礙學生之 鑑定、學習問題診斷、學習 策略教學效果之研究 研究結果： 1.部分學童缺乏因數和倍數的關係形成以及類化的能力，無法理解因數的概念。 2.因數應用文字題是數學學習障礙學生的數學問題範圍之一。 研究者 年代 研究對象 研究方法 研究主題 黃耀興 邱易斌 1999 五年級 紙筆測驗 國小五年級學童在因數、倍 數學習上成就之探討 研究結果： 1.目前數學教材都是透過因數進而引入倍數，對於測量運思尚未發展完全的學童而 言，較不易掌握單位數與單位量的意義，對於因數與倍數的名詞意義較容易混淆。 2.學童在求因數的過程中，容易產生遺漏的現象，特別是「1」以及「數字本身」。 3.因數應用文字題是學童學習的困難所在之ㄧ。 4.學童會將公因數與公倍數的意義概念混淆在一起，認為「任何數的公倍數＝1」。 研究者 年代 研究對象 研究方法 研究主題 陳標松 2002 六年級 紙筆測驗 國小六年級學生在因數倍 數問題的解題表現 研究結果： 1.學童對於因數和公因數的學習較為困難。 2.指出乘除法運算概念的錯誤將會影響到因數與倍數上的學習。 3.指出因數問題中的迷思概念有：乘除法運算概念錯誤、語言概念錯誤、策略概念 錯誤。 研究者 年代 研究對象 研究方法 研究主題 周文忠 2002 高年級 紙筆測驗 因數解題及迷思概念之研 究 研究結果： 1.學童的答錯率會跟隨著記憶、了解、應用、評鑑、綜合等層次的提高而逐漸提高。 2.學童經常會採取直觀的判斷方法，即「因數」就是用「除」的，「倍數」就是用 「乘」的，對於因數與倍數的名詞概念容易產生混淆不清。 3.尋找因數時，學童經常會有多找或遺漏的情形產生，其中遺漏情形最多的是「1」。 4.因數的數字由小變大時，學生的答對率明顯降低許多，導致公因數的尋找也產生錯誤。
表 2-6 因數概念相關研究一覽表（續） 研究者 年代 研究對象 研究方法 研究主題 林珮如 2002 五年級 紙筆測驗 個別晤談 國小學童因數解題與迷思 概念之研究 研究結果： 1.學童透過乘法及除法算式引入因數概念時，若學童概念模糊不清或是先備知識能 力不足，容易造成概念的混淆。 2.學童經常會採取直觀的判斷方法，即「因數」就是用「除」的，「倍數」就是用 「乘」的，對於因數與倍數的名詞概念容易產生混淆不清，因此學童在解文字題時， 錯誤率偏高。 3.因數的數字由小變大時，學生的答對率明顯降低許多，導致公因數的尋找也產生 錯誤。 4.學習因數時的迷思概念共計有概念混淆不清、概念遺漏與概念錯誤三大類。 5.學童因語意知識不足，對於因數及公因數的名詞概念經常混淆不清。 6.尋找因數時，學童經常會有多找或遺漏的情形產生，其中遺漏情形最多的是「1」 和「本身」。 7.學童學習因數不佳的原因有：粗心或計算錯誤、缺乏閱讀能力、採用關鍵字解題 錯誤及用乘除解題時連結錯誤。 研究者 年代 研究對象 研究方法 研究主題 李浚淵 2002 五年級 紙筆測驗 以知識結構為主的診斷測 驗編製及其在補救教學分 組之應用 研究結果： 1.學童由於測量運思概念不足，剛開始接觸到較為抽象的因數時，容易在解因數問 題時產生迷思概念。 2.所使用之教材版本不同，所發生學習障礙的階段概念也不相同。 研究者 年代 研究對象 研究方法 研究主題 黃寶彰 2003 六、七年級 紙筆測驗 個別晤談 六、七年級學童數學學習困 難部分之研究 研究結果： 1.在應用文字題方面，六、七年級學童對於題意轉譯有困難，常常分不清要利用最 大公因數還是最小公倍數來解題。 2.學童在求因數時，容易因粗心而產生多選或遺漏之情形；因為對名詞的不瞭解， 所以經常產生錯誤或顛倒的答案。
表 2-6 因數概念相關研究一覽表（續） 研究者 年代 研究對象 研究方法 研究主題 于國善 2004 五年級 紙筆測驗 個別化補救教學 國小學童補救教 學之個案研究 研究結果： 1.尋找因數時，學童經常會有多找或遺漏的情形產生，其中遺漏情形最多的是「1」。 2.對於因數與公因數的概念容易產生混淆，應用文字題更是學生的學習困難所在。 3.藉由學童親自動手操作實物，結合日常生活情境以建構學生整除的觀念，協助 其認知發展之不足。 研究者 年代 研究對象 研究方法 研究主題
何欣玫
2004 六年級 紙筆測驗 國小六年級學生 因數與倍數之數 學解題溝通能力 研究 研究結果： 1.學童的概念錯誤類型有：語言概念錯誤、認知概念錯誤、策略概念錯誤及個人 態度錯誤。 2.在「評價他人想法」方面，「因數」優於「公因數」、「倍數」、「公倍數」。 3.在「表達自我概念」方面，「因數」優於「公因數」及「倍數」，「倍數」 優於「公倍數」。 研究者 年代 研究對象 研究方法 研究主題黃培甄
2005 六年級 紙筆測驗 半結構式晤談 國小六年級因數 與倍數單元之創 新架構研究 研究結果： 1.藉由實驗教學可提升低分組學童的學習成效，中高分組學童則維持學習水平。 2.經由各種統計數據，實驗組明顯高於各版本班級，說明實驗教學成效高於其他 版本。 3.學童已於二年級學過倍數，故課程設計可先引入倍數，再引入因數，使學童有 由易而難循序漸進的學習。表 2-6 因數概念相關研究一覽表（續） 研究者 年代 研究對象 研究方法 研究主題 林榮貴 2006 六年級 個案研究法 國小可操作視覺 化之數學因數與 倍數單元電腦活 動輔助學習設計 之研究 研究結果： 1.雖然個案學生對於因數文字題的轉譯較為困難，但是學童能藉由操作電腦設計 圖形表徵的情形，不僅能理解題意，而且融合了新的圖形表徵概念。 2.個案學生可以自行更改題目中的動態化系統參數，因此提高學童對學習的興 趣，有助於個案學童的學習及建立作答的成就感。 研究者 年代 研究對象 研究方法 研究主題 施美多 2007 六年級 紙筆測驗 國小六年級學童 因數概念之分析 研究 研究結果： 1.學童的因數知識結構：「互質概念」與「合數概念」是「質數概念」的下位概 念，「公因數概念」是「質因數分解概念」的下位概念，與專家知識結構剛好 相反。 2.學童對於應用文字題常用關鍵字解題，認為乘法即是求倍數，而除法即是求因 數，答對率明顯比數字計算題低許多。 3.對於因數的引入，除法原理會比乘法原理更使學童容易接受。 4.學童對於名詞定義經常混淆不清，尤其是因數與公因數二者混淆的情形更是明 顯；許多學童認為「1」也是質數。 5.有 20％的學童在求因數時，常會遺漏了因數「1」。 6.近 25％的受測學童認為找三個數的公因數時，只要能整除其中二個數就可以算 是公因數。
表 2-6 因數概念相關研究一覽表（續） 研究者 年代 研究對象 研究方法 研究主題 李彥典 2007 五年級 紙筆測驗 探究國小五年級 學童在因數與倍 數概念的知識結 構 研究結果： 1.由研究中得知，除法概念是五年級學童學習因數概念的重要核心。 2.高分組學童可透過先備知識了解因數的概念，在教學上可進行加深加廣的學習 活動。 3.低分組學童無法藉由先備知識而自主學習，教師需針對因數知識結構不足之 處，進行補救教學。 研究者 年代 研究對象 研究方法 研究主題 柯重吉 2007 五年級 實驗教學 運 用 多 媒 體 電 腦 輔 助 教 學 融 入 因 數 倍 數 教 學 之 研 究 研究結果： 經由各項統計結果，顯示出藉由電腦輔助教學，學童不論在因數學習效果、 學習態度及師生互動上，都明顯優於一般教學。 研究者 年代 研究對象 研究方法 研究主題 吳育楨 2008 六年級 紙筆測驗 國 小 六 年 級 學 童 因 數 與 倍 數 概 念 階 層 之 模 糊 詮 釋 結構模式分析 研究結果： 1.不同能力值學童的概念ISM圖有差異存在，能力值高的學童，其通過率之差異 較小，因此其概念ISM圖的階層數較少；能力值低的學童，其通過率之差異 較大，因此，其概念ISM圖的階層數較多。 2.不同能力值的學童，其試題內的概念屬性ISM圖有差異存在。 3.答對題數相同，但反應組型不同的學童，其概念ISM圖不完全相同。
表 2-6 因數概念相關研究一覽表（續） 研究者 年代 研究對象 研究方法 研究主題 林大森 2009
五年級
準實驗研究法 迷思概念診斷式 遊戲教學策略輔 助國小因數倍數 課程學習效益之 研究 研究結果： 「迷思概念診斷式遊戲教學策略」可以提升學童數學因數學習成效、學習態 度、信心、探究動機與降低數學焦慮。 研究者 年代 研究對象 研究方法 研究主題 陳孟訓 2009 五年級 實施實驗教學 質量混合設計 數學閱讀活動對 數學學習成效之 影響與歷程 研究結果： 經由各種統計結果，顯示出接受「數學閱讀活動教學」的學童在學習成效上 和學習保留效果上明顯優於接受一般教學的學童。 研究者 年代 研究對象 研究方法 研究主題 劉松柏 2010 六年級一 般智能優 異生 紙筆測驗 個別訪談 探討小六一般智 能優異生在因數 與倍數應用題解 題策略與歷程之 研究 研究結果： 1.小六一般智能資優生解因數與倍數應用題時，使用解題策略有：推測可能性、 倍數判別法、歸納法、找規律性、比較數列關係、直觀假設、直觀認知、列出 因數、嘗試數字分組、質因數分解等10 種。 2.解題歷程最常出現「讀題」、「分析」、「探討」、「計畫」與「執行」五個 階段，而較少出現「驗證」階段。表 2-6 因數概念相關研究一覽表（續） 研究者 年代 研究對象 研究方法 研究主題 曾曉馨 2010 六年級 個案研究法 實 踐 開 放 式 教 學 之研究 ─以因倍數題型為 例 研究結果： 1.中低成就學童解題時多以「嘗試錯誤法」進行解題，容易呈現迷思概念，且較 無具體策略。 2.大部分學童均能具備推理能力與後設監控能力，並解決具應用性的開放式問題。 從皮亞傑的認知發展理論來看，國小五年級學童正處於具體運思期（concrete operational stage），他們的推理能力只限於眼見的具體情境或熟悉的經驗（張春興， 1996）。在除法概念的實徵研究方面，Dickson、Brown和Gibson的研究指出：乘 除運算的意義比加減運算更加困難（引自楊瑞智，1998），而乘除法又是因數概 念的先備知識，因此學童對於較高階、複雜的因數概念容易產生迷思，對於因數、 公因數的名詞也容易渾淆不清。Brainbridge(1981)也指出的，學童在數學的學習 上，往往會因為對特定專有名詞的指稱模糊，而導致該基本概念容易渾淆，或是 在文字題的閱讀理解和解釋能力不足，而造成學習上的障礙。 由以上研究結果顯示，國小學童在因數和公因數上的知識表現並不理想，許 多專家更指出學童在學習因數時的學習困難所在。因此在因數的迷思部份有幾點 須特別注意：1.因數概念闕漏不清；2.先備知識之不足；3.使用關鍵字解題；4.缺 乏統整類化能力。 本研究將根據文獻資料，將五年級學童在因數方面容易產生迷思的概念來加 以命題，並配合課程內容之雙向細目表，編製出一份具有鑑別度及信效度之測驗 工具，希望在因數文獻領域中，也能提供一些淺見。
第四節 試題關聯結構分析法
教學者在實施教學之後，對於學童的概念能力在知識結構上的變化，是極欲 得知的重要訊息，但是長久以來一直缺乏考驗的方法。日本學者竹谷誠在 1980 年 提出以測驗試題的結果，按題目彼此間反應所得的順序關係，製成具有指向性的 圖形結構，來分析試題的特性，此種方法稱之為「試題關聯結構分析法」(item relational structure analysis)，簡稱 IRS 分析法；有了此方法，學童學習情況與概念 能力分析才獲得解決(引自許天維，1995)。 壹 壹 壹 壹、、、、試題關聯結構分析法理論試題關聯結構分析法理論試題關聯結構分析法理論試題關聯結構分析法理論 為了清楚說明試題關聯結構分析法理論，在此略用篇幅說明理論上直觀的意 義。假設有甲、乙兩組學生各有十位，均參加試題共為八題的同一種測驗，若假 設答對者得一分，答錯者得零分，其得分情況如表 2-7 所示： 表 2-7 學生得分表 1 甲組 乙組 由表 2-7 可知兩組測驗後，這兩組的學童在各試題的答對人數均相同，為了觀 察方便起見，可以簡化如表 2-8： 學生 一 二 三 四 五 六 七 八 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 0 3 0 1 1 0 0 0 0 0 4 0 1 1 0 0 0 0 0 5 0 1 1 0 1 1 1 0 6 0 0 1 0 1 1 0 0 7 0 0 1 1 1 1 0 0 8 0 0 0 1 1 1 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 答對 人數 2 5 7 4 6 6 3 1 學生 一 二 三 四 五 六 七 八 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 1 1 1 1 1 1 0 6 0 1 1 0 1 1 0 0 7 0 1 1 1 1 1 0 0 8 0 0 1 0 1 1 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 答對 人數 2 5 7 4 6 6 3 1 試題 試題
低分 高分 低分 高分 表 2-8 學生得分表 2 其次，以每位學生通過題數的多寡，依照總分高低由上而下重新排序，排序 後可得表 2-9： 接著，再以答對人數的多寡，由左而右、由多至少再作排列，可得表 2-10， 即為佐藤隆博於 1982 年所提出的 S-P 表。 甲組 試 題 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 0 3 0 1 1 0 0 0 0 0 4 0 1 1 0 0 0 0 0 5 0 1 1 0 1 1 1 0 6 0 0 1 0 1 1 0 0 7 0 0 1 1 1 1 0 0 8 0 0 0 1 1 1 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 學 生 10 0 0 0 0 0 0 0 0 答對人數 2 5 7 4 6 6 3 1 乙組 試 題 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 1 1 1 1 1 1 0 6 0 1 1 0 1 1 0 0 7 0 1 1 1 1 1 0 0 8 0 0 1 0 1 1 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 學 生 10 0 0 0 0 0 0 0 0 答對人數 2 5 7 4 6 6 3 1 甲組 試 題 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 0 5 0 1 1 0 1 1 1 0 7 0 0 1 1 1 1 0 0 6 0 0 1 0 1 1 0 0 8 0 0 0 1 1 1 0 0 3 0 1 1 0 0 0 0 0 4 0 1 1 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 學 生 10 0 0 0 0 0 0 0 0 答對人數 2 5 7 4 6 6 3 1 乙組 試 題 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 0 5 0 1 1 1 1 1 1 0 7 0 1 1 1 1 1 0 0 6 0 1 1 0 1 1 0 0 8 0 0 1 0 1 1 0 0 3 0 0 1 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 學 生 10 0 0 0 0 0 0 0 0 答對人數 2 5 7 4 6 6 3 1 表 2-9 學生得分表 3
低分 高分 低分 高分 由表 2-10 得知甲、乙兩組學生的個人總分順序及各題答對人數的多寡次序都 相同；亦即二組之試題難易分配與試題編號之對應完全一致，但是如果我們研究 甲、乙兩組的順序結構圖，依下列的分析就會有顯著的不同。 甲組中，答對試題 8 的學生有 1 號，而 1 號同時也答對了試題 1，即答對試題 8 的人也都有答對試題 1，我們畫出試題 1 到試題 8 的箭頭，記為 1→8；而答對試 題 1 的學生有 1 號及 2 號，他們亦同時答對了試題 7，亦即答對試題 1 的學生亦答 對試題 7，此時就有試題 7 到試題 1 的箭頭，記作 7→1；同理，答對試題 7 的學 生是 1 號、2 號及 5 號，他們亦同時答對了試題 2，所以就有 2→7；答對試題 2 的 學生是 1 號、2 號、5 號、3 號及 4 號，他們亦同時答對了試題 3，所以就有 3→2； 另一方面，答對試題 1 的學生是 1 號及 2 號，他們亦同時答對了試題 4，此時就有 試題 4 到試題 1 的箭頭，記作 4→1；答對試題 4 的學生是 1 號、2 號、7 號及 8 號， 他們亦同時答對了試題 5、6，所以分別有 5→4、6→4；此外，答對試題 7 的學生 是 1 號、2 號及 5 號，他們亦同時答對了試題 5、6，所以分別有 5→7、6→7；其 乙組 試 題 3 5 6 2 4 7 1 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 0 5 1 1 1 1 1 1 0 0 7 1 1 1 1 1 0 0 0 6 1 1 1 1 0 0 0 0 8 1 1 1 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 學 生 10 0 0 0 0 0 0 0 0 答對人數 7 6 6 5 4 3 2 1 甲組 試 題 3 5 6 2 4 7 1 8 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 0 5 1 1 1 1 0 1 0 0 7 1 1 1 0 1 0 0 0 6 1 1 1 0 0 0 0 0 8 0 1 1 0 1 0 0 0 3 1 0 0 1 0 0 0 0 4 1 0 0 1 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 學 生 10 0 0 0 0 0 0 0 0 答對人數 7 6 6 5 4 3 2 1 多 少 多 少 表 2-10 佐藤 S-P 表
