第三章 研究方法
第二節 分析層級程序法
則第 j 個評估因子模糊權重為
w ~
j= (aj , bj , cj) 其中,i = 1, 2, 3, 4,… n;j = 1, 2, 3, 4,… ma
j =Min
i {aij} (1)b
j =n
1∑
ni
b
ij (2)c
j =Max
i {cij} (3) 4. 解模糊化運用簡易重心法的方式,將各個評估因子的模糊權重
w ~
j解模糊化成為明確值Sj:S
j =3
j j
j
b c
a
+ +(4)
j = 1, 2, 3, 4,… m
5. 篩選評估因子
最後選擇合適的門檻值α,並透過以下方式,從眾多的評估因子中,篩選出較適 當的評估指標。
(1) 若Sj ≧ α,則接受 j 影響因子為評估指標。
(2) 若Sj < α,則刪除 j 影響因子。
其中,Sj為決策群體對A影響因素之共識,α為門檻值。門檻值高低之設定將會直 接影響評估指標之數目,若發現影響因子數目太少,可將門檻值降低;反之,若發現 影響因子數目太多,則可以提高門檻值,至於如何決定出適當之門檻值基準,視決策 者之主觀認定。
估指標間的權重進行成對比較,建立成對比較矩陣,並計算其特徵向量及最大特徵值,
最後由最大特徵值進行一致性檢定後,即可得到各評估準則間相對權重的大小。分析 層級程序法發展的目的,就是將複雜的問題系統化,由不同的層面給予層級分解,並 透過量化的方法,覓得脈落後加以綜合評估,以提供決策者選擇適當的方案。
而Saaty發展AHP方法的基本假設,主要包括下列幾項(鄧振源、曾國雄,1989)。
1. 一個系統可被分解成許多種類(Classes)或成份(Components),並形成有像網路的層 級結構。
2. 層級結構中每一層級的要素均假設具獨立性(Independence)。
3. 每一層級內的要素,可以用上一層級內某些或所有要素作為評準,進行評估。
4. 比較評估時,可將絕對數值尺度轉換成比例尺度(Ratio Scale)。
5. 各層級要素進行成對比較後,可使用正倒值矩陣(Positive Reciprocal Matrix)處理。
6. 偏好關係滿足遞移性(Transitivity);不僅優劣關係滿足遞移性(A優於B且B優於C,
則A優於C),同時強度關係也滿足遞移性(A優於B二倍,B優於C三倍,則A優於C 六倍)。
7. 完全具遞移性不容易,因此容許不具遞移性的存在,但需測試其一致性(Consistency) 的程度。
8. 要素的優勢程度,可經由加權法則(Weighted Principle)而求得。
9. 任何要素只要出現在階層結構中,不論其優勢程度是如何小,均被認為與整個評 估結構有關。
AHP主要應用在決策問題(Decision Making Problems),依Saaty的經驗,AHP可應 用在以下問題中:
1. 規劃(Planning)。
2. 決定優先順序(Setting Priorities)。
3. 產生方案(Generating a Set of Alternatives)。
4. 選擇最佳方案(Choosing a Best Alternatives)。
5. 決定需求(Determining Requirements)。
6. 資源分配(Allocating Resources)。
7. 預測結果(Predicting Outcomes)。
8. 系統設計(Designing Systems)。
9. 績效評量(Measuring Performance)。
10. 確保系統穩定(Insuring the Stability of a System)。
11. 最適化(Optimization)。
12. 衝突的解決(Resolving Conflict)。
13. 風險評估(Risk Assessment)
二、分析層級程序法進行的步驟
AHP 處理問題時,大致可區分為以下幾個步驟,決策問題界定、建立層級結構、
問卷設計與填寫、建立成對比較矩陣、計算特徵向量及最大特徵值、層級一致性的檢 定、替代方案的選擇(鄧振源、曾國雄,1989),如下圖4,詳細分述如下。
1. 決策問題界定:對於問題所處的系統宜儘量擴大,可能影響問題的因素均需納入 問題中,對問題的範圍加以界定。
2. 建立層級架構:層級雖無一定建構程序,但建構時最高層級為評估的最終目標,
最低層級為替代方案,重要性相近的要素需儘量放在同一層級,層級內要素最好 不超過 7 個且層級內各要素需獨立,如大於 7 個,其重要性判斷的一致性容易產 生偏差之情形。
3. 問卷設計與填寫:每一層級要素在上一層級某一要素作為評估基準下,進行成對 比較。因此,對每一個成對比較需設計問卷,在1-9 尺度下,讓決策者或決策群 體的成員填寫,尺度內容與意義,如表10。
圖
4 操作流程圖
決策問題界定
計算特徵向量與最大特徵值 影響要素分析
建立層級架構
問卷設計與填寫
建立成對比較矩陣
一致性檢定
層級一致性檢定
計算加權平均
替代方案的選擇
C.R.H. > 0.1
C.I. > 0.1
表10
AHP
評估尺度內容與意義評估尺度 定義 說明
1 同等重要
(Equal Importance)
兩指標重要性一樣
3 稍重要
(Weak Importance)
過去經驗或判斷顯示,某一個 指標稍微重要
5 頗重要
(Essential Importance)
從經驗與判斷上來看,某一個 指標頗為重要
7 極重要
(Very Strong Importance)
實際上顯示某一個指標極重 要
9 絕對重要
(Absolute Importance)
有充分的證據顯示某一個指 標絕對的重要
2、4、6、8 相鄰尺度之中間值 (Intermediate values)
需要折衷值時
Note: From “Decision making for leaders. The analytic hierarchy process for decisions in
a complex world” by T. L. Saaty, p.78.
4. 建立成對比較矩陣:
(1) 成對比較矩陣就是將某一層級的任兩個要素,以上一層級的要素為評估準則下,
分別評估該兩個要素對評估準則的相對貢獻度或重要性。建立矩陣時,若有n 個要素或評估準則要進行比較時,則共需進行C (n, 2) = n (n - 1) / 2次的成對比 較,成對比較矩陣公式如下:
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥
⎥⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎢
⎢⎢
⎣
⎡
=
n n n
n
n n
n n
n n
w w w
w w w
w w w
w w w
w w w
w w w
a a
a a
a a
A
L L
M O M
M
M O
M M
L L
L L
L L
M O M
M
M O
M M
L L
L L
2 1
2 2
2 1 2
1 2
1 1 1
2 1
2 21
1 12
1 1
1
(5)
其中Wi為第 i 個的權重,Wj為第 j 個的權重;
a
ij= W
i/ W
j,a ji= 1 / a
ij,i, j = 1, 2, 3,…n(2) 成對比較評估的過程一般是彙集專家群體評估值,Saaty (1980)提出使用幾何 平均數作為整合的方法,假設有n個決策專家之評估值為a1
, a
2, a
3,…, a
n,則結 果應為na
1a
2a
3La
n 。5. 計算特徵向量與最大特徵值:建立成對比較矩陣後,即可透過數值分析中常用的 特徵值(Eigen value)解法,找出特徵向量(Eigen vector),進而求出各層級要素的權 重,公式如下:
w
Aw
=λmax(6) 其中
A 為成對比較矩陣、 w 為特徵向量、
λmax為最大特徵值。6. 一致性檢定:
(1) 成對比較矩陣內之數值,為決策者依主觀所下之判斷值,但由於判斷層級與因 素眾多,因此若要得知決策者作決策前後的判斷是否具一致性,可以利用一致 性指標(Consistency Index, C.I.)與一致性比率(Consistency Ratio, C.R.)來評量,
一致性指標值的判斷公式如下:
. 1 .
max−
= − n I n
C
λ(7) 其中,n為評估要素之個數;λmax為最大特徵值。
a. 當C.I. = 0 時,則表示決策者前後判斷具完全一致性。
b. 當C.I. > 0.1時,則表示決策者前後判斷不一致。
c. 當C.I. < 0.1時,則表示決策者之判斷具一致性。
故當C.I. ≤ 0.1時,表示成對比較矩陣中之評比值具有一致性,即為具可接受 性。
(2) 然而,當兩兩比較的判斷多變時,成對比較矩陣的階數也會增加,因而比較不 容易維持判斷的一致性。因此Satty另外提出所謂的「隨機指標」(random index, R.I.),以調整不同階數下所產生不同程度C.I.值變化,而得到「一致性比率」
(consistency ratio, C.R.),在不同的矩陣下,C.I.值經過R.I.值調整後可以得到一 致性比率,當C.R. ≤ 0.1時,則矩陣的一致性程度才算是令人滿意的,一致性比
率計算如下式:
. .
. . . . R I
I R C
C =
(8)表11 隨機指標表
階數 1 2 3 4 5 6 7 8
R.I. 0.00 0.00 0.58 0.9 1.12 1.24 1.32 1.41
階數 9 10 11 12 13 14 15
R.I. 1.45 1.49 1.51 1.48 1.56 1.57 1.58 資料來源:「層級分析法(AHP)的內涵特性與應用(上)」,鄧振源與曾國雄,1989,
中國統計學報,
27(6),頁7-9。
7. 替代方案的選擇:若整個層級結構通過一致性檢定,則可求取替代方案的優先向 量。只有一位決策者的狀況,只需求取替代方案的綜合評點即可;若為一決策群 體時,則需分別計算每一決策成員的替代方案綜合評點,最後利用加權平均法,
求取加權綜合評點,以決定替代方案的優先順序。若目的是建立權重體系,則可 免此步驟。