分析與比較我國與亞洲四國（地區）學生在解 TIMSS 2007 數學試題所需

題所需之各認知屬性的精熟情形

透過 DINA 模型及其程式碼的執行而得出一群受試者中，個別的受試者在各個認知 屬性是否精熟的估計後，便可進一步針對各認知屬性得出精熟的受試者所佔比例。針對 本研究從試題萃取出的各認知屬性，本節將透過上述資料分析與比較我國與亞洲四國

（地區）學生在各屬性的精熟情形。

壹、我國與亞洲四國（地區）八年級學生在各認知屬性的精熟情形

在內容屬性方面，各國（地區）學生在各屬性的精熟人數比例與其長條圖，以及我 國學生的該比例在五國（地區）中的排名分別如表 4-1 與圖 4-1 所示。結果顯示我國在 所有內容屬性的精熟比例皆至少達到 60%，且其中在屬性 C3（基礎代數的基本概念與 運算）具有 72.41%的最高比例。而在排名方面，我國所有內容屬性的精熟比例在各國

（地區）中皆排行前三名，且其中在屬性 C1（整數的基本概念與運算）與 C3 的比例排 名第一。此外，亦可發現各國（地區）的精熟比例皆有過半。

表 4-1 各國（地區）學生在各內容屬性的精熟人數比例與我國比例之排名

表 4-2 各國（地區）學生在各歷程屬性的精熟人數比例與我國比例之排名

0%

綜上所述，除了在部分屬性 P3（解析的思維）與 S3（評估）以外，我國學生在各 屬性的精熟人數比例皆有過半。而在比例過半的屬性中，除了 P6（處理複雜的步驟、

子目標或程序）、S2（驗證選項）與 S4（開放式的題目）外，各屬性的比例皆有達到 60%。

更進一步地，在內容屬性與歷程屬性中，精熟比例最高的屬性 C3（基礎代數的基本概 念與運算）與 P1（數、量與形的知識在計算或單位換算上的應用）之比例皆達到超過 70%的 72.41%。

在比例的排名方面，除了部分屬性 P5（形成、想像、操弄或轉換形體與圖形）、P7

（使用多項數學知識）、S1（使用給定的圖像與圖形）與 S9（實行）以外，我國學生在 各屬性的比例皆能在各國（地區）中排行前三名。而在各國（地區）學生的整體表現部 分，除了各國（地區）在屬性 P3、S3 與 S4 的比例，香港在屬性 P6（處理複雜的步驟、

子目標或程序）與 P9（模組套用）的比例，以及新加坡與日本在屬性 S2 的比例以外，

各國（地區）在其餘屬性皆有達到過半的精熟比例。

回頭檢視各國（地區）學生在 TIMSS 2007 的能力值可發現，所有國家（地區）皆 有過半數的學生至少達到超過高等國際基準的 550 分，呼應了上述各國（地區）在大部 分屬性皆有達到過半精熟比例的研究結果。

表 4-4 各國（地區）學生在 TIMSS 2007 的能力值達到各國際基準分數的人數比例 達到各國際基準的人數比例

國家（地區） 低等－400 中等－475 高等－550 進階－625 臺灣 94.83% 85.17% 69.31% 42.41%

韓國 98.01% 91.03% 67.77% 35.22%

新加坡 97.57% 84.80% 64.44% 34.35%

香港 96.71% 84.77% 60.91% 24.69%

日本 98.69% 89.22% 60.13% 28.10%

資料來源：整理自 TIMSS 2007 國際資料庫

(http://timssandpirls.bc.edu/TIMSS2007/idb_ug.html)。

再經由計算達到進階國際基準人數

達到高等國際基準人數後還可發現在各國（地區）中，上述達到高等

國際基準的 550 分學生有至少 40%還達到了進階國際基準。

依照 TIMSS 2007 的描述，能力值達到高等國際基準的學生不僅具有整數、分數、

小數與幾何的基本知識與運算能力，認知實已達到在相對較複雜的情境中應用所理解到 的或是知識的層次。因此包括了代數式的操作以及求解線性方程式，各式統計圖表的解 讀，或是處理需使用幾何性質的應用問題，這些學生應已具備了一定能力。更進一步地，

能力值達到高等國際基準的學生其認知已能進入「推理」的層次，他們能夠以有系統的 思維進行分析、一般化、綜合／整合與辯解等數學推理，並能夠將其知識與技能應用於 不熟悉與較複雜的情境中。

另一方面，在前述有國家（地區）未能具有過半精熟比例的屬性中，P3（解析的思 維）與 TIMSS 認知維度測驗目標的最高層次「推理」涵蓋的部分認知行為相近。在屬 性 S3（評估）方面，涉及的三個試題需要學生運用 TIMSS 2007 中「推理」層次的認知 能力，包含分析與綜合／整合的能力，亦即連結題目給定的限制條件、複雜表格中包含 的行程時間以及時刻表等多項資訊作出有效的推論，也就是評估最佳時間。而在屬性 S4（開放式的題目）方面，以洪碧霞等人（2009）的架構來看，涉及的三個試題皆需要 最高層次的認知能力「反思」，即解釋答案或說明計算流程。另一方面，香港在屬性 P6

（處理複雜的步驟、子目標或程序）與新加坡在屬性 S2（驗證選項）的精熟比例分別 約為 48%與 47%，並未低於 50%很多。

總結上述，在各國（地區）在大部分屬性的精熟比例皆能過半的研究結果大致符應 了各國（地區）在 TIMSS 2007 達到高等國際基準的學生比例亦過半的結果。而在各國

（地區）的精熟比例未能過半的屬性大部分涉及較複雜或高層次的認知行為，因此可能 是造成有國家（地區）學生表現較弱的原因。

貳、我國與亞洲四國（地區）八年級學生在各認知屬性的精熟情形差異

為了進一步比較臺灣與亞洲四國（地區）在各屬性的精熟情形差異，研究者利用臺 灣與欲比較的國家（地區）的各受試者在各個認知屬性是否精熟的估計結果，並配合表 4-5 所示的編碼方式建立代表不同國家的虛擬變數，以臺灣作為參考類別而進行邏輯斯 迴歸分析。

表 4-5 虛擬變數編碼

虛擬變數

國家（地區） x₁ x₂ x₃ x₄

臺灣 0 0 0 0

韓國 1 0 0 0

新加坡 0 1 0 0

香港 0 0 1 0

日本 0 0 0 1

在迴歸分析結果的呈現上，為便於分析與比較，研究者經與專家教師討論後，將所 有屬性再依據其涉及的數學主題或特徵而組成「數」、「代數」、「幾何」、「其他」、「機率、

統計與閱讀理解」、「數學思維」與「試題特徵」等七個組別，以下並將依序呈現各屬性 組別的迴歸分析結果，包括勝算比 (Odds Ratio, OR) 與其標準誤的值。上述各組別包含 的屬性如表 4-6 所示。其中，屬性 P1 與 P2 皆因同時涉及數、代數與幾何等多個數學主 題而獨立為「其他」組個別討論。屬性 P9 則由於其試題編碼原因皆關連到代數公式在 特定形式問題的使用，因此將其視為「代數」組別中的一員。此外，由於在中學階段的 機率或統計相關試題常會需要以較冗長的題幹描述在真實世界脈絡下的問題，而在本研 究中，涉及屬性 C5 的試題也皆具有真實世界脈絡或複雜文本，因此讓該屬性與 S5 及 S6 共同形成「機率、統計與閱讀理解」組。

表 4-6 認知屬性分組

表 4-7 各國（地區）做答題本四之學生在 TIMSS 2007 各測驗目標的能力值平均

數 代數 幾何 機率與

統計

知道 應用 推理 臺灣 570.24 614.03 582.81 550.50 584.49 580.91 568.48 韓國 566.08 595.19 576.76 558.22 592.12 586.83 561.02 新加坡 585.48 570.59 569.45 549.50 570.24 580.41 561.46 香港 560.77 562.63 567.49 540.78 571.92 565.06 542.51 日本 548.23 567.39 574.09 571.90 565.87 569.34 571.31

臺灣排名 2 1 1 3 2 2 2

資料來源：整理自 TIMSS 2007 國際資料庫

(http://timssandpirls.bc.edu/TIMSS2007/idb_ug.html)。

圖 4-4 各國（地區）學生在 TIMSS 2007 各測驗目標的能力值平均之長條圖

以下茲呈現各屬性組別的迴歸分析結果。

一、「數」、「代數」、「幾何」與「其他」組別

「數」、「代數」、「幾何」與「其他」組別的迴歸分析結果如表 4-8 所示。

500 520 540 560 580 600 620

數 代數 幾何 機率與統計 知道 應用 推理

臺灣 韓國 新加坡 香港 日本

表 4-8 「數」、「代數」與「幾何」組別之迴歸分析摘要表

表 4-8 「數」、「代數」與「幾何」組別之迴歸分析摘要表（續）

註：*p.05. **p.01. ***p.001.

在「數」與「代數」組別中，皆有屬性出現他國（地區）的精熟勝算顯著低於我國；

在「幾何」組別中，我國在各屬性的精熟勝算與其他各國（地區）皆未達顯著差異；在

「其他」組別的屬性則都有他國（地區）的精熟勝算顯著低於我國；在各組別皆未有屬 性出現他國（地區）的精熟勝算顯著高於我國。初步來看，在數、代數與幾何等主題我 國皆有相關屬性的精熟情形顯著優於他國（地區），而無顯著不如他國（地區）的屬性。

特別是在精熟勝算具有顯著差異的各屬性中，「數」組別的 C1（整數的基本概念與運 算）、「代數」組別的 C3（基礎代數的基本概念與運算）與 P9（模組套用），以及「其他」

組別的 P1（數、量與形的知識在計算或單位換算上的應用）皆至少有兩個國家（地區）

的精熟勝算顯著低於我國。

再逐個國家（地區）與逐個數學主題檢視迴歸分析的結果，在韓國方面，該國僅在 屬性 P9（模組套用）的精熟勝算顯著低於我國 (OR = 0.669 and 0.474, p.05)，顯示我 國學生在該屬性的精熟情形優於該國學生。對照表 4-7 中「代數」主題的能力值分布後，

可發現我國的能力值大於該國，因此與本研究的結果能互相呼應。

在新加坡方面，與「數」主題相關的屬性有 C1（整數的基本概念與運算）、C2（分 數、小數與比的基本概念與運算）、P1（數、量與形的知識在計算或單位換算上的應用）

與 P2（數、形與代數的知識在判斷上的應用），其中該國學生精熟 C1 與 P1 的勝算皆顯 著低於我國 (OR = 0.637 and 0.655, p.05)，顯示我國學生在該兩屬性的精熟情形優於 該國學生。再檢視另外兩個屬性，新加坡僅在精熟 C2 的勝算大於我國 (OR = 1.355)，

不過未達顯著差異。但對照表 4-7 中「數」主題的能力分布後，可發現我國的能力值低 於該國，因而此處的研究結果似與 TIMSS 2007 不同。

事實上檢視我國與新加坡分別在具有編碼 C1（整數的基本概念與運算）、C2（分數、

小數與比的基本概念與運算）、P1（數、量與形的知識在計算或單位換算上的應用）與 P2（數、形與代數的知識在判斷上的應用）的試題之平均答對率後，可發現除了 C2 外，

在其餘屬性我國學生的平均答對率皆能高於新加坡學生。考慮涉及上述屬性的所有試題 之平均答對率時，亦有相同現象，如表 4-9 所示。另一方面，從兩國在測驗目標被 TIMSS 2007 歸屬於數維度的試題之平均答對率來看，新加坡確實高於我國，如表 4-9 所示。因 而前段本研究結果與 TIMSS 2007 不同之處可能源自於此。

表 4-9 臺灣與新加坡在題本四涉及「數」主題相關屬性的試題，以及測驗目標隸屬於 TIMSS 2007 數維度的試題之平均答對率

表 4-9 臺灣與新加坡在題本四涉及「數」主題相關屬性的試題，以及測驗目標隸屬於 TIMSS 2007 數維度的試題之平均答對率