國
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如果我們只想單獨檢定某一個分量
τ
0,W
n(τ
0)
服從自由度為k
的卡方分配(χ
2k)
。 但如果 想檢定在所有分量下的結果,
則可利用Kolomogorov-Smirnov(KS)-type sup-Wald
的 檢定統計量:
KSW
n= sup
τ ∈Υ
W
n(τ ),
定理
2
在給定假設A1-A3 ,
以及H
0: Rθ(τ ) = r ,
其中R
是一個k × p
的矩陣, r
是 一個k × 1
的向量, R, r
均為已知成立下W
n(τ
0) → χ
2k, KSW
n= sup
τ ∈Υ
W
n(τ ) → sup
τ ∈Υ
Q
2k(τ ),
其中
Q
q(τ ) = ||B
q(τ )||/pτ (1 − τ )
是一個q
階的Bessel process , ||.||
為在n
維實數 空間上的 歐幾里得長度(Euclidean norm)
。13.2 分量單根檢定
一般來說大多數的時間序列資料都具有隨機趨勢
(stochastic trend)
的性質,
所謂的隨機 趨勢就是指時間序列資料具有持續而長期性的隨機移動。 換句話說,
當經濟體系發生了外 生的衝擊,
會對時間序列造成長期不可回復的影響,
即此模型為一不穩定的模型。 而我們 可以檢定序列是否具有單根性質,
來判斷時間序列具有隨機趨勢。 若我們忽略了單根特性 會使得模型估計出現虛假迴歸(spurious regression) ,
進而使得研究得出的統計推論都 具有偏誤,
因此正確判斷時間序列資料是否具有隨機趨勢是非常重要的。考慮一個
ADF
的模型:
y
t= θ
1y
t−1+
p−1
X
j=1
θ
j+1∆y
t−j+ u
t(9)
其中
{u
t}
為白噪音。 在傳統的單根檢定中,
虛無假設與對立假設分別為H
0: θ
1= 1 H
1:
θ
1< 1,
可以發現在虛無假設成立下,
其發生型一誤差的區域位於左邊,
因此傳統的單根檢定為左尾檢定。 然而傳統的單根檢定在變數的誤差項具有非常態性質時
,
會有檢定力較1一個維度為 n 的 Bessel process, S , 其定義為 St = ||Bt|| , 其中 B 為維度為 n 的 Brownian motion。
‧
‧
根據假設
A.1
與泛函數中央極限定理(Functional Central Limit Theorem)
得出,
√ 1
‧
‧
‧
‧
所有分量下是否具有單根性質,
此時我們可以使用KS-type
或Cramer-von-Mises(CM)-type
的檢定,
我們可以得到檢定統計量分別為QKS
t, QCM
t,
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值得注意的是
,
由於布朗運動B
w 及B
wψ 有相關性,
其相關為σ
wψ,
因此t(τ )
的分配會受 到σ
wψ 的影響,
同時無法由既有的分配表查出t
n(τ ), QKS
n 及QCM
n 的臨界值。 因此,
我們藉由模擬的方式加以求出這些檢定統計量的臨界值。根據
Koenker and Xiao (2004) ,
他們提供了利用重複抽樣的方法來計算臨界值, Koenker and Xiao
重複抽樣的步驟如下:
2步驟
1.
先令w
t= ∆y
t, t = 2, ..., n ,
接著利用最小平方法去配適q
階的自我迴歸模型 模型,
即w
t=
w
X
j=1
β ˆ
jw
t−j+ ˆ u
t, t = q + 1, ..., n.
並取得
β ˆ
1, ..., ˆ β
q 與殘差項u ˆ
t。 步驟2.
以u ˆ
t−
1n−q
Σ
nj=q+1u ˆ
j 當作抽樣母體,
利用拔靴抽樣法得出{u
∗t}
nt=q+1 。 並利用{u
∗t}
nt=q+1 與β ˆ
1, ..., ˆ β
q 配適出w
t∗,
即w
t∗=
w
X
j=1
β ˆ
jw
t−j∗+ u
∗t, t = q + 1, ..., n.
且初始值為
w
∗j= ∆y
jfor j = 1, ..., q
。步驟
3.
在單根檢定的虛無假設成立下,
我們創造一新數列y
t∗,
其中y
t∗= y
t−1∗+ w
∗t 且 初始值為y
1∗= y
1 。步驟
4.
對y
∗t 進行p
階分量自我迴歸估計,
即y
t∗= θ
0+ θ
1y
∗t−1+
p
X
j=1
θ
j+1∆y
t−j∗+ u
t(16)
並將估計出來的
θ ˆ
1(τ )
令為θ ˆ
∗1(τ ) ,
接著計算t
統計量,
即t
∗n(τ ) = f (F \
−1(τ ))
pτ (1 − τ ) (Y
∗0−1P
xY
−1∗)
1/2( ˆ θ
∗1(τ ) − 1).
2在重複抽樣的過程中所出現的符號”*”為利用拔靴法(bootstrap)後所得出的樣本
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進行以上
4
個步驟許多次後,
就可以得到t
∗n(τ )
的分配,
進而可以求出t
∗n(τ )
的臨界值。Koenker and Xiao (2004)
對第四個步驟也提出了另一種做法,
由先前推導大樣本性 質得知, t
n(τ )
為Brownain motion
的函數,
故可以直接對Brownain motion
進行模擬。根據
(13)
式,
可以使用1
n
2Σ(y
∗t− ¯ y
∗)
2與1
n Σ(y
t∗− ¯ y
∗)(ψ
τ(u
∗tτ)),
來模擬R
10
B ˜
w2 和R
10
B ˜
wdB
ψτ 。 其中y ¯
∗= n
−1Σy
t∗ 與u
∗tτ= u
∗t− ˜ F
u−1(τ ), ˜ F
u−1(τ )
為u
∗t 的分量函數。 所以t
n(τ )
可以直接由1 pτ (1 − τ )
Σ(y
∗t− ¯ y
∗)
2 −1/2Σ(y
t∗− ¯ y
∗)(ψ
τ(u
∗tτ))
.
模擬得出。另一方面
,
在求取KS-type
與CM-type
臨界值的步驟上,
只需將步驟4
改成步驟
4’.
將欲估計的分量(τ
i)
定義為{τ
i∈ I}
ni=1,
其中I = {i : τ
i= i/n,
且τ
i∈ T }
並進行(16 )
式的估計,
得出t
∗n(τ
i)
。 並根據QKS
∗n= max
i∈I
|t
∗n(τ
i)|, QCM
∗n= X
i∈I
t
∗n(τ
i)
2(τ
i− τ
i−1),
得出QKS
∗n與QCM
∗n 的模擬值。進行
1
、2
、3
與4’
步驟許多次後,
就可以得到QKS
∗n 與QCM
∗n 的分配,
進而可以求出QKS
∗n 與QCM
∗n 的臨界值。‧ 國
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4 實證結果
4.1 資料
本文研究的國家共有
35
國,
分別為阿根廷、 奧地利、 比利時、 巴西、 加拿大、 智利、 哥倫比 亞、 丹麥、 芬蘭、 法國、 德國、 希臘、 匈牙利、 冰島、 印度、 印尼、 義大利、 日本、 韓國、 盧 森堡、 馬來西亞、 墨西哥、荷蘭、 挪威、 菲律賓、 葡萄牙、 新加坡、 南非、 西班牙、 瑞典、 瑞 士、 台灣、 泰國、 英國與美國。 通貨膨脹的計算是採用消費者物價指數年變動率的月資料,
資料區間為1958
年1
月到2010
年6
月共630
筆,
但有些國家依照可取得資料的限制,
巴西 為1980
年12
月到2010
年6
月共355
筆,
丹麥為1968
年1
月到2010
年6
月共510
筆,
匈牙 利為1977
年1
月到2010
年6
月共402
筆,
冰島為1984
年1
月到2010
年6
月共318
筆,
韓國 為1971
年1
月到2010
年6
月共474
筆,
新加坡為1962
年1
月到2010
年6
月共582
筆,
台灣 為1960
年1
月到2010
年11
月共611
筆與泰國為1966
年1
月到2010
年6
月共531
筆。 而在 穩健性檢驗上,
通貨膨脹則是採用GDP
平減指數年變動率的季資料計算得出,
資料區間 為1958
年第一季到2010
年第一季,
資料來源為國際貨幣基金(International Monetary Fund)
的IFS (International Financial Statistics)
資料庫。3表
1
列出所有國家的敘述統計。 由表1
可知,
大部份國家的通貨膨脹率相當穩定,
中位 數及平均數皆在2%
及7%
之間,
分配相當對稱,
但阿根廷、 巴西、 智利、 哥倫比亞、 印 尼、 匈牙利、 冰島、 韓國、 墨西哥、 菲律賓與葡萄牙等國家平均通貨膨脹率較高,
其中拉 丁美洲國家,
例如:
阿根廷、 巴西、 智利與墨西哥的通貨膨脹均數皆分別高達268.40%
、477.28%
、47.16%
與21.8%
遠超過其他國家的平均值。 比較上述國家的平均數與中位數 可以發現,
上述國家特別是拉丁美洲國家通貨膨脹率的平均數遠大於中位數,
通貨膨脹分 配也較不對稱呈現右偏的走勢。 這顯示了通貨膨脹可能在不同時期具有較劇烈地變動,
這 項結果也可以從表1
的標準誤、 最小值與最大值看出。 由最大值與最小值可以發現,
大部 份國家的通貨膨脹率最大值與最小值的差異在20%
左右,
然而在拉丁美洲的阿根廷、 巴 西、 智利、 哥倫比亞、 希臘、 匈牙利、 冰島、 印度、 印尼、 墨西哥、 菲律賓、 葡萄牙與台灣,
最大值與最小值具有相當明顯的差異這也顯示了資料在不同時期中具有較劇烈地變動或 者資料出現了極端值。 其中阿根廷、 巴西、 智利、 墨西哥曾遭遇過20266%
、6821.28%
、3台灣的資料是來自台灣經濟新報資料庫(TEJ)
‧
阿根廷 268.40 8.51 27.70 125.30 1352.13 -2.32 20266
奧地利 3.45 1.87 3.08 4.59 2.16 -3.13 10.22
比利時 3.67 1.69 2.83 4.95 2.93 -1.68 16.31
巴西 447.28 6.26 25.69 297.95 1012.42 1.65 6821.28
加拿大 4.03 1.73 3.12 5.00 3.14 -0.95 12.87
智利 47.57 6.42 18.61 31.26 107.37 -2.27 747.20
哥倫比亞 16.14 7.43 16.90 23.84 8.90 1.82 41.65
丹麥 5.11 2.15 3.58 7.15 3.85 0.74 16.83
芬蘭 5.24 1.84 3.89 7.55 4.38 -1.55 19.24
法國 4.94 1.99 3.35 6.69 4.00 -0.73 18.91
德國 2.76 1.49 2.42 3.75 1.77 -1.00 7.48
希臘 9.34 2.87 5.35 15.93 8.96 -16.37 33.60
匈牙利 11.75 5.27 8.48 17.69 8.48 2.26 39.20
冰島 9.88 2.54 5.59 15.17 10.46 -0.06 70.79
印度 7.53 4.05 7.04 10.29 5.72 -11.32 34.68
印尼 12.49 6.54 9.27 13.40 11.74 -5.21 82.40
義大利 6.48 2.28 4.59 8.10 5.81 -2.01 25
日本 3.42 0.2 2.34 5.31 4.37 -2.53 24.8
韓國 7.87 2.83 4.89 10.24 7.25 0.17 34.55
盧森堡 3.47 1.69 2.88 4.36 2.74 -1.42 11.81
馬來西亞 2.96 1.07 2.61 4.09 3.42 -3.36 23.98
墨西哥 21.80 4.27 9.48 24.81 30.8 -2.18 179.74
荷蘭 3.62 1.82 2.81 5.30 2.69 -2.54 11.07
註
2:資料來源為國際貨幣基金
(International Monetary Fund)的
IFS (International Fi-nancial Statistics)資料庫。
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747.2%
與179.74%
的高通貨膨脹,
而冰島也曾有過70.79%
的高通膨時期。Koenker and Xiao (2004)
的分量單根檢定的一個優點即為當迴歸模型殘差為厚尾且非常態的分配時
,
其檢定力會高於傳統的ADF
單根檢定。 為了說明本文使用單根檢定 的適切性,
我們對資料進行模型的殘差分析與檢定。 首先,
我們先採用傳統的BIC
判斷 準則(Bayesian information criteria),
挑選出最適落後期數,
4 並列出一般ADF
型式 的自我迴歸模型殘差的偏態係數值和峰態係數值,
並對模型殘差進行常態性檢定。 這裡我們採用
Jarque-Bera
檢定來檢定模型殘差性質。 由表2
中的偏態係數值和峰態係數值可知