第二章 文獻探討
第二節 分數概念之發展
第一節 分數的意義
分數在國小數學課程中一直都是最重要的核心概念之一，而且與除法、小 數、比、比值與機率等數學的重要概念息息相關，因此，分數的學習可說是國小 數學教育中最富有挑戰性的主題。當學童學習的範疇從整數跨入分數領域時，分 數本身的多重意義常是造成學童學習困難的首要原因（楊壬孝，1989；林碧珍，
1990；呂玉琴，1991；劉秋木，1996；洪素敏，2002）。
就分數的意義而言，國內外的研究者各有不同的見解，以下就多位國內外研 究者針對分數的意義提出的解釋整理如表2-1。
表2-1 分數的意義
研究者(年代) 分數的意義
楊壬孝（1988）
1、一個整體之相等的部份。
2、一個集合等分組後的幾組。
3、數線上的一個數值。
4、兩數相除的結果。
林碧珍（1990）
1、部份/全體模式：全部區域的部份區域（以連續 量為主，如：長度、面積、容積）
2、子集合/集合模式：集合中的部分集合。
3、數線模式：數線上的一個數值。
4、商模式：兩個整數相除的結果。
5、比值模式：二個集合或二個度量相比的結果。
表2-1 分數的意義（續）
呂玉琴 (1996)
1、部分/全部。
2、子集/集合。
3、兩數相除的結果。
4、數線上的一個點。
5、比。
也利用分數具有「兩數相除的結果」的意義來解釋 分數、小數及百分率的互換，亦即分數、小數及百 分率是兩數相除的結果的不同數字型態的表示法。
楊瑞智（2000）
1、部分/全部。
2、子集合/集合。
3、乘法運算元。
4、等值分數。
5、整數除法的結果。
6、分數是一個數/數線上的一點。
7、平均（含速率、密度）。 8、當量。
9、比例中的比、比例尺、比值、比較量÷基準量。
10、機率。
Kieren (1976)
1、部份/整體 (part-whole) 。 2、比值。
3、商。
4、運算 (operator)。
5、度量 (measure)。
表2-1 分數的意義（續）
Dickson, Brown and Gibson (1984)
1、全部區域的子區域。
2、子集合和母集合的比較。
3、數線上兩個整數間的一點。
4、除法運算的結果。
5、二組集合或二個度量的大小比較的方法。
82年教育部所頒布之國 民小學數學科課程標準
1、表示操作：在具體物或圖像上進行「分的活動」，
重視具體物操作與分數符號兩者的連結。
2、「部分/全部」： 包括連續量與離散量的情境。
3、數線上的一個數值：此項意義可分成兩項，其一 表示線段長，另一代表數線上的一個點。
4、整數相除的結果。
5、比例、比值
6、表示量的大小：如3
4加上名數「公尺」即為固定 長度量3
4公尺。
教育部編製之92年版九 年一貫課程綱要
1、平分的意涵 2、測量的意涵 3、比例的意涵
4、部分/整體的意涵。
綜合以上，可知分數的意義是多重的。以情境區來區分，可分成離散量情 境（子集合/集合）、連續量情境（部分/全部）；也可視為是數線上的一點（一 個值）；也是兩數相除的結果；在應用上，可視做是「比」、「比值」、「運算 元」、「當量」、「機率」等。這種種的意義在小學階段都是學生學習的重點，
由於分數意義多樣又不易掌握，因此學生在學習上常會產生挫折和迷思概念 (罕 驕蘭，2004) 。
九年一貫課程綱要(教育部，2004) 指出分數最核心的意涵為「除的意涵」，
並將其意義歸納為平分的意涵、測量的意涵、比例的意涵和部分/全體的意涵四 種。分數的形式是學生首次碰到兩整數並置的約定，分數計算的熟練，仰賴整數 的精熟，但整數計算的經驗，有時反而會造成分數學習的錯誤。
綜上所述，分數於許多情境中應用到，可見分數的學習對促進兒童數學觀念 相當重要。分數以除為核心意涵，再加上各種應用情境而具有豐富的意義，更是 造成學生學習困難的因素。
第二節 分數概念之發展
認知發展學派主張兒童的認知發展是循序漸進的，Piaget,Inhelder &
Szeminska（1960）研究4到7歲兒童對面積的分割行為，以探討兒童如何建構部 分與全體的關係，來形成分數的概念，研究結果發現，兒童從無法把一個物體分 為兩半，漸漸發展到有分半的能力，最後可以成功的把物體分成三等分，顯示兒 童的分數概念是隨年紀增長的，因此在進行分數概念教學與教材的編排上，必須 配合兒童的認知發展，才能收到學習的效果。
甯自強（1992）提出“分數詞＂的概念，他根據學生對於「分數詞」的解釋、
相關的運思及運算處理方式，來建構學生分數概念發展的模型，在其研究中，區 隔出分數概念的前身、起始單位分數、加法性分數、巢狀分數以及有理數等五個 分數概念發展階段（Ning,1992；李端明，1997）：
（一）分數概念的前身
這時期的兒童數概念僅止於序列性合成運思，他們透過分割活動可以把「離 散量」分散，也可以把「連續量」撕裂，但是分割活動並未把子分割單位數值化，
因此並未具有分數概念，稱為分數概念的前身。
分數詞對這階段兒童的意義是「並置類型」(Juxtaposed Pattern)，舉例 來說，分數詞1
4對這階段兒童的意義為 1 和 4，也就是說，要求兒童從 4 塊積木
中，取出其中的1 型」（embedded patterns）。此時兒童的部分-全體之關係並不明確，分子只是內 嵌於分母的一部分，若是將分子自分母移出，則會造成分母的摧毀。
（五）有理數
（續）表 2-2 分數教材之比較
（續）表 2-2 分數教材之比較
從分數的乘除計算，到分數的四則運算。後面概念的學習是否順利，往往奠基於 先前概念的學習。
在分數除法教材內容方面，主要分為四個部分，分別為分數除以整數、分數 除以分數（同分母）、分數除以分數（異分母）以及整數除以分數，三大主要出 版社中只有翰林把分數除以整數排在五下的課程，其他都排在六上的課程，詳如 表 2-3：
表 2-3 三大主要出版社分數除法的課程編排 分數÷整數 分數÷分數
（同分母）
分數÷分數
（異分母） 整數÷分數 康軒 六上第九單元 六上第九單元 六上第九單元 六上第九單元 南一 六上第七單元 六上第七單元 六上第七單元 六上第七單元 翰林 五下第五單元 六上第七單元 六上第七單元 六上第七單元
第四節 分數除法概念之研究
因為分數概念本身具有多重的意義，因此常造成學童在學習上產生一些迷思 概念，所以本節針對國內外分數除法之錯誤類型及相關文獻做探討。
一、分數除法之錯誤類型
Brueckner（1931）、Lankford（1972）、Painter（1989）等人歸納常見分 數除法錯誤情形（改編自湯錦雲，2002）：
1、計算方法錯誤（用乘法計算）。
2、計算錯誤。
3、不瞭解計算步驟。
（1）被除數倒置。
（2）除數及被除數均倒置。
（3）加分子，乘分母。
（4）忽略被除數中的分母。
例如： 1 24÷ 1
13=9 4÷4
3=12，把被除數中的4給忽略了。
（5）遺漏分子。
4、假分數化成帶分數，計算錯誤。
5、帶分數化成假分數，計算錯誤。
6、消去時發生錯誤。
（1）分母相消。
（2）分子相消。
（3）相消得0。
例如： 1 24÷ 1
24=9 4÷9
4=0
7、分母不變，但分子直接做除法運算。
8、帶分數除以整數時，只做整數之間的運算。
9、帶分數除以分數時，整數不變，只處理分數的部分。
10、未求出第二個分數的倒數，而直接做乘法運算。
（6）帶分數乘以帶分數時，整數相加後再加上分數相乘。
2、除法運算的錯誤：
（1）分子和分母同時除以整數。
（2）先通分再把分子相除。
（3）直接將除法換成乘法。
（4）乘上被除數的倒數。
（5）乘上被除數與乘數的倒數。
（6）帶分數拆成整數乘以分數再運算。
（7）帶分數拆成整數加分數再運算。
（8）整數相除加上分數相除。
（9）分數除法當作是整數除法。
（10）帶分數除以整數時整數相除分數留做餘數。
（11）商是帶分數時整數是商分數是餘數。
3、乘除法文字題的錯誤類型：
（1）運算過程錯誤。
（2）語意解釋錯誤。
（3）大數除以小數。
（4）前項除以後項。
蘇聖峰（2005）將屏東地區國中一年級學生分數四則運算錯誤類型整理如下：
1、對帶分數化成假分數的概念不清，導致受到約分或乘法規則影響，產生錯誤。
2、未充分瞭解通分概念，僅將分母變成相同，而以自行建構的觀念進行分子運 算，產生錯誤。
3、約分概念的過度類推，在不可約分的運算中進行約分。
4、不清楚分數運算概念，而將小數運算的規則類推到分數，產生直接將整數、
分母、分子分開計算的錯誤。
5、加減法運算時，受乘除法運算規則影響，產生分母相乘或交叉約分的錯誤。
6、乘法運算受加、減、除法運算規則影響，出現通分或乘數倒置的錯誤。
7、除法運算規則的錯誤。
8、帶分數化為倒數時，有保留整數後將真分數化為倒數計算的錯誤。
林榮煌（2006）以台中縣國小六年級學童為對象，進行分數乘除法概念與運 算錯誤類型之研究，學生在分數除法概念與運算上的錯誤類型與原因，依作答錯 誤率由高到低排列：
1、對題目意思不清楚、對部分-全體的概念不清楚及用關鍵字解題。另外有學生 以舊經驗，直接大數除小數。
2、商與餘數觀念混淆。
3、未符合題目答題要求作答。
4、同分母分數相除，只有分子相除，分母不變。
5、未注意單位量改變。
6、與約分混淆。
7、基本概念錯誤。
8、將分數除法當成分數乘法。
9、帶分數以分配率分成整數加分數後，去括號沒注意，直接運算。
10、將被除數轉成倒數，除數反而未轉成倒數就計算。
11、除數倒數轉的結果錯誤。
12、過度類化算則。
13、帶分數除整數，只有整數相除，分數未進行除法計算。
14、帶分數以分配率分成整數加分數後，只計算整數除整數，分數除分數。
15、被除數和除數皆轉成倒數後計算。
陸雅林 (2007) 以台東縣200位國小六年級學童進行分數運算概念的研究發 現，六年級學童在分數除法運算錯誤類型有：
（1）擴分與分數乘法概念混淆，導致進行分數乘以某數時，產生先擴分再進行 乘法運算的錯誤。
（2）乘法與除法運算規則混淆不清，尤其當除數是帶分數時，產生僅將帶分數 化為假分數，而忽略倒數處理的錯誤。
綜合以上，學童在分數除法的學習過程中存在著眾多的錯誤類型，且多與 之前的學習經驗息息相關而，包括帶分數化成假分數；約分、擴分、通分問題；
乘法運算規則的干擾等；本研究為了去除學生死背公式，以及乘法運算的干擾，
乘法運算規則的干擾等；本研究為了去除學生死背公式，以及乘法運算的干擾，