國小五年級學童分數除法概念結構分析之研究

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國立臺中教育大學數學教育學系

在職進修教學碩士學位班碩士學位論文

指導教授：胡豐榮博士

國小五年級學童分數除法概念

結構分析之研究

研究生：鄭光明撰

中華民國九十八年六月

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國小五年級學童分數除法概念結構分析之研究

論文摘要

本研究的主要目的是先設計一份分數除法上課講義，然後編製一份分數除法試題，再利用試題關聯結構分析法（IRS）對施測結果進行分析並形成結構圖，以探究國小五年級學童在分數除法的概念結構。根據現行國小九年一貫數學課程綱要，將分數除法分成四個子概念，分別為：分數除以整數、分數除以分數（同分母）、分數除以分數（異分母）、以及整數除以分數。本研究以彰化縣某國民小學五年級學童為研究對象，並於施測後利用試題關聯理論之 IRSP 軟體來分析施測資料，並繪製群體及各子概念的試題關聯結構圖，希望能藉此得到學童在分數除法概念中所透露的訊息。本研究得到下列結論：（一）分數除法整體概念分數除法可分為「分數除以整數」、「分數除以分數（同分母）」、「分數除以分數（異分母）」、「整數除以分數」四個子概念，其中同分母的分數除法概念是四個子概念的最下位，異分母的分數除法概念是四個子概念的最上位。（二）分數除法個別子概念（1）分數除以整數：分為「真分數除以整數」、「帶分數除以整數」二個子概念，受測學童在分數除以整數的概念發展上沒有明顯的先後順序。（2）分數除以分數（同分母）：可分成「真分數除以真分數」、「真分數除以帶分數」、「帶分數除以真分數」和「帶分數除以帶分數」四個子概念。受測學童在分數除以分數（同分母）的概念發展順序為：「帶分數除以真分數」Î「帶分數除以帶分數」Î「真分數除以真分數」 Î「真分數除以帶分數」。

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（3）分數除以分數（異分母）：分成「真分數除以真分數」、「真分數除以帶分數」、「帶分數除以真分數」和「帶分數除以帶分數」四個子概念。受測學童在分數除以分數（異分母）的概念發展順序為：「真分數除以真分數」Î「帶分數除以帶分數」Î「帶分數除以真分數」 Î「真分數除以帶分數」。（4）整數除以分數：分為「整數除以真分數」、「整數除以帶分數」二個子概念，受測學童在「整數除以分數」的概念發展順序為：「被除數」的分子剛好可以被「除數」的分子整除Î「被除數」的分子不能被「除數」的分子整除。最後根據研究結果提出若干建議，以作為教學者及未來研究時之參考。 關鍵詞：分數除法、試題關聯結構分析法

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Study of the Structural Analysis of the Fractional Division

Concepts for Pupils at Elementary Grade 5

Abstract

The study aims at the inquiry on the structural structure of factional division concepts for pupils at elementary grade 5 by designing a fractional division material, editing a set of tests thereof, analyzing the test results by the item relation structure (IRS) analysis and formulating configurations thereupon.

In terms of the present 9-Year Integrated Mathematics Curricular Guidelines, the factional division is separated into 4 sub-concepts as fractions divided by integrals, fractions divided by fractions (identical denominators), fractions divided by fractions (different denominator)s and integrals divided by fractions.

Thus, this study expects to obtain the information regarding pupils’ fractional division concepts by adopting the pupils at grade 5 in an elementary school in Changhua County as the subject, analyzing the test results by IRSP (software of IRS theory), and drawing IRS configurations of the holistic concept and sub-concepts. The findings are concluded as:

（一） Holistic concept of fractional division

The factional division is separated into 4 sub-concepts as ‘fractions divided by integrals’, ‘fractions divided by fractions (identical denominators)’, ‘fractions divided by fractions (different denominators)’ and ‘integrals divided by fractions’; therein, fractions divided by fractions with identical denominators is the lowest ranking whereas fractions divided by fractions with different denominators is the highest ranking among the 4 sub-concepts.

（二） Sub-concepts of fractional division

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integrals’ and ‘mixed fractions divided by integrals’; as for the pupils, there is no apparent sequence of the development of the preceding 2 sub-concepts.

（2） Fractions divided by fractions (identical denominators): 4 sub-concepts as ‘proper fractions divided by proper fractions’, ‘proper fractions divided mixed fractions’, ‘mixed fractions divided proper fractions’ and ‘mixed fractions divided mixed fractions’; the pupils’ conceptual developmental sequence thereof is ‘mixed fractions divided proper fractions’Î ‘mixed fractions divided mixed fractions’Î‘proper fractions divided by proper fractions’Î‘proper fractions divided mixed fractions’.

（3） Fractions divided by fractions (different denominators): 4 sub-concepts as ‘proper fractions divided by proper fractions’, ‘proper fractions divided mixed fractions’, ‘mixed fractions divided proper fractions’ and ‘mixed fractions divided mixed fractions’; the pupils’ conceptual developmental sequence thereof is ‘proper fractions divided proper fractions’Î ‘mixed fractions divided mixed fractions’Î‘mixed fractions divided by proper fractions’Î‘proper fractions divided mixed fractions’.

（4）Integrals divided by fractions: 2 sub-concepts as ‘integrals divided by proper fractions’ and ‘integrals divided by mixed fractions’; the pupils’ conceptual developmental sequence thereof is ‘the numerator of a dividend divisible by that of a divisor’Î ‘the numerator of a dividend indivisible by that of a divisor’.

The suggestions are proposed in light of the conclusion as the references to the instructors and future studies.

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第一章緒論………

1

第一節研究動機……… 1 第二節研究目的與研究問題……… 3 第三節名詞釋義……… 4 第四節研究範圍與限制……… 5

第二章文獻探討………

6

第一節分數的起源與意義……… 6 第二節分數概念之發展……… 9 第三節國小分數教材之分析……… 11 第四節分數乘除法概念之研究……… 15 第五節試題關聯結構分析法……… 21

第三章研究設計與實施………

31

第一節研究結構……… 31 第二節研究對象……… 32 第三節研究工具……… 32 第四節研究流程……… 45 第五節資料處理……… 46

第四章研究結果與分析………

47

第一節試題性質分析……… 47 第二節試題關聯順序性係數分析……… 49 第三節分數除法試題關聯結構圖之分析與討論……… 53

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第五章結論與建議………

66 第一節結論……… 66 第二節建議……… 67

參考文獻………

70 一、中文部分……… 70 二、英文部分……… 73

附錄………

75 附錄一國小學童分數除法計算預試試題……… 75 附錄二試題檢核表……… 79 附錄三國小學童分數除法概念評量專家效度調查問卷……… 80 附錄四國小學童分數除法計算正式施測試題……… 83 附錄五分數除法上課講義……… 87

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表目次

表 2-1 分數的意義……… 6 表 2-2 89 暫綱和 92 正綱之比較……… 11 表 2-3 三大主要出版社分數除法的課程編排……… 14 表 2-4 A、B 組學生得分情形表……… 23 表 2-5 A、B 學生得分情形簡表……… 23 表 2-6 A、B 組學生試題得分排序表……… 24 表 2-7 A、B 組學生試題得分、人數排序表……… 24 表 2-8 試題 i、j 答對與答錯人數統計表……… 27 表 2-9 試題順序性係數舉例……… 28 表 2-10 試題的順序關係 0-1 矩陣表舉例……… 28 表 3-1 分數除以整數試題細目表……… 35 表 3-2 分數除以分數（同分母）試題細目表……… 36 表 3-3 分數除以分數（異分母）試題細目表……… 37 表 3-4 整數除以分數試題細目表……… 38 表 3-5 分數除法試題解題概念表……… 40 表 3-6 預試試題之Cronbach’s α 之信度係數……… 44 表 3-7 試題之難度及鑑別度一覽表……… 45 表 4-1 正式施測試題之Cronbach’s α 之信度係數……… 47 表 4-2 正式施測試題之難度及鑑別度一覽表……… 49 表 4-3 分數除法試題關聯順序性係數一覽表………. 51 表 4-4 分數除法順序性係數之0-1 矩陣表……… 52 表 4-5 分數除法試題關聯結構圖橫斷層面分析……… 53 表 4-6 「分數除以整數」之概念分析……… 58 表 4-7 「分數除以分數（同分母）」之概念分析……… 60

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表 4-8 「分數除以分數（異分母）」之概念分析……… 62

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圖目次

圖 2-1 A、B 組學生試題關聯結構圖……… 26 圖 2-2 試題關聯結構圖舉例……… 29 圖 2-3 試題關聯結構圖之簡化舉例……… 30 圖 3-1 研究架構圖……… 31 圖 3-2 分數除法概念圖……… 33 圖 3-3 分數除法試題架構圖……… 34 圖 3-4 分數除法知識結構概念圖……… 39 圖 3-5 研究流程圖……… 46 圖 4-1 分數除法試題關聯結構圖……… 56 圖 4-2 「分數除以整數」之試題關聯結構圖……… 58 圖 4-3 「分數除以分數（同分母）」之試題關聯結構圖……… 60 圖 4-4 「分數除以分數（異分母）」之試題關聯結構圖……… 63 圖 4-5 「整數除以分數」之試題關聯結構圖……… 64

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第一章

緒論

根據建構主義，一個教學者若能知悉學習者的認知結構，並在教學過程中配合學習者既有的的知識概念結構來傳授新的知識，形成有意義的學習，則學習的效果將顯而易見，本研究即透過試題關聯結構分析法來探究學生在分數除法概念上的知識結構，作為日後在相關單元教學上的依據，期能收到更佳的教學成效，學童也能獲得有意義的學習。

第一節研究動機

九年一貫課程將數學領域分為「數與量」、「幾何」、「代數」、「統計與機率」、「連結」等五大主題，其中「數與量」不僅範圍最廣，份量也最重，「數與量」可以說是學習其他幾個主題的基礎，學童在數學領域上主要概念的形成和基本演算能力的培養大都奠基於此（教育部，2003）。「數與量」的內容又分為「整數」、「量與實測」、「有理數」、「估算」四個子題，其中「有理數」是小學數學課程最有挑戰性的教學主題，因為它包含了兩種不同的形式—分數與小數（教育部，2003）。在整數教學中，很容易融入日常生活情境，但是日常生活中的有理數情境也不似整數那麼多，就算能找出日常生活中的情境，也會因為情境不夠自然，很難被小學階段的學童所理解，因此，學童在學習有理數時，從分數與小數的認識，到基本的加減法，進而乘除法，到最後四則運算，都不斷遭遇到一連串的挫折與打擊。尤其是分數，一直都是國小學童最不願面對的單元，部分老師在這部分的教學也會略顯力不從心，特別是在分數除法的教學，有些教師甚至把分數除法的過程簡化成「把除數的分子和分母顛倒成為一個新的分數，然後把除號變乘號，兩個數相乘就可以得到答案」，不說明原由，而一昧要學童記憶背誦計算的程序，形成無意義的學習。這種程序性的知識在缺乏概念性知識為基礎的情況下，終究無法融入學童既有的認知結構，形成游離於知識結構之外的片段知識，這種程序

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性知識不僅無法長時間地保留在記憶中，更無法將之運用在情境上來解題。至於分數除法應該何時教，國內外的作法也時有差異。在我國 64 年版本的課程標準中是建議於國小六年級進行教學，而 82 年版本的課程標準則是建議在國中一年級再進行教學，到了 89 年出版的九年一貫暫行綱要也建議在七年級（國中一年級）再作教學，而 92 年出版的九年一貫正式綱要則建議在國小六年級時，「能理解除數為分數的意義及其計算方法，並解決生活中的問題」（康軒教師手冊，94）。

在美國，數學教師協會（National Council Teachers of Mathematics［NCTM

］，2000）出版的 Principles and standard for school mathematics 明訂六

到八年級的學童能了解分數四則運算的意義和效用。但加州課程標準

（California Department of Education，2000）卻明訂五年級學童要能理解分

數乘除法的概念，能演算分數的簡單乘除法，並能運用它來解題（李源順，胡蕙芬，2005）。在國內也有許多有關分數除法的研究文獻，林榮煌（2006）探討小六學生在分數乘法與除法運算的學習表現，以及可能產生的錯誤類型與原因，雖然此研究的測驗內容有針對學童的解題步驟來設計，但是在分數除法的部分顯得太過簡略，類型過少。陳建宏（2008）應用模糊取向的詮釋結構模式，分析國小六年級學童的分數乘除法概念階層結構，但是由其發展的測驗題型卻無法得知學童的解題歷程。顏宗彬（2006）則針對小六學童在分數除法的解題歷程和理解層次作個案研究。本研究針對上述的缺點，在教學上，研究者自行設計上課講義，透過圖形表徵配合單位量轉換來建構學童分數除法的概念性知識，在這個基礎上，經由反覆的練習讓學童來熟練程序性知識，進一步結合生活情境來布題，強化學童解題性知識。在施測對象上，捨棄六年級學童，選擇了五年級作為施測對象，一方面是為了避免學童一昧用被除數與除數的倒數相乘來解題，一方面五年級學童尚未學過分數的乘法，因此不至於受到類似的干擾，而且他們剛學完等值分數和通分的

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概念，可以透過上述概念的應用和圖解來進行分數除法教學。在施測題目類型上，為了避免測驗題型代表性不足，因此將分數除法的類型更加細分。在分析方法上，則利用試題關聯分析法來探究學生在分數除法概念上的知識結構，以期日後在相關單元的教學上能收到更佳的教學成效，並引導學生朝專家知識結構發展。

第二節研究目的

基於上述的研究動機，本研究的主要目的是根據專家知識結構，發展一份分數除法上課講義，再編製一份分數除法概念試題，藉由試題關聯結構分析法（IRS）來繪出受試學童的分數除法概念知識結構圖，進而瞭解學童分數除法的上下位概念，以提供教師在實施分數除法教學時做為參考。本研究目的如下：一、編製一份具信度、效度，並且能檢視分數除法相關概念的試題。二、探討學童在分數除法之理解情形。三、利用試題關聯結構分析法，分析學童在分數除法概念結構的上下位關聯情形。根據上述研究目的，待答問題如下：一、探討學童在分數除法之理解情形為何？二、利用試題關聯結構分析法，分析學童在分數除法概念結構的上下位關聯情形為何？

第三節名詞釋義

一、分數根據九年一貫課程綱要，分數最核心的意義為「除的意涵」，又可分為「平分的意涵」、「測量的意涵」、「比例的意涵」、「部分/全體的意涵」，爲了簡化研究的過程，本研究把分數分成真分數與帶分數（含假分數）來加以探討。二、分數除法本研究把分數除法分成「分數除以整數」、「同分母分數除法」、「異分母分數

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除法」、及「整數除以分數」四個子概念。三、概念結構所謂概念結構是指在長期記憶中的一種結構組織，這種結構組織能把各概念間的關係清楚的顯現出來。學習者透過內在的認知過程，將數個不同概念加以重新組織之後，所形成的關聯組織。四、試題關聯結構分析法本研究對於試題分析所採用之方法，為日本學者竹谷誠所提出的試題關聯

結構分析法（Item relational structure analysis），簡稱IRS分析法。是以學

童進行試題測驗後所得結果為資料，分析此受測資料彼此間的反應，得一順序關係，再依此繪製成具有指向性的圖形結構，來分析學童的知識結構。

第四節研究範圍與限制

本研究以國小五年級學童為研究對象，研究者先發展出一份分數除法上課講義，再以自編試題施測獲得的資料，藉由試題關聯結構分析法（IRS），探究學童在分數除法的知識結構。茲將本研究之研究內容、研究對象、研究設計及研究設計限制，分述如下：一、研究內容本研究測驗的主要內容為九年一貫課程數學領域中的「分數除法」，並把「分數除法」分為「分數除以整數」、「同分母分數除法」、「異分母分數除法」以及「整數除以分數」四個子概念。

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二、研究對象本研究以彰化縣某仁類小學五年級一個班級的學童作為研究對象，施測對象為該班全體學童共三十二人。三、研究設計先依專家知識結構設計一份分數除法上課講義，進行六堂課的教學後，以自行編製的分數除法試題進行施測，所得的資料，透過試題關聯結構分析法探究學童在分數除法的概念結構。四、研究限制本研究限於人力、物力，僅以一個班級做為研究對象，研究結果作為研究者日後教學上的參考，不適宜推論至其他條件不同的國小學童。

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第二章文獻探討

本章主要分為五節，第一節分數的意義，第二節分數概念之發展，第三節國小分數教材之分析，第四節分數除法概念之研究，第五節試題關聯結構分析法。

第一節分數的意義

分數在國小數學課程中一直都是最重要的核心概念之一，而且與除法、小數、比、比值與機率等數學的重要概念息息相關，因此，分數的學習可說是國小數學教育中最富有挑戰性的主題。當學童學習的範疇從整數跨入分數領域時，分數本身的多重意義常是造成學童學習困難的首要原因（楊壬孝，1989；林碧珍， 1990；呂玉琴，1991；劉秋木，1996；洪素敏，2002）。就分數的意義而言，國內外的研究者各有不同的見解，以下就多位國內外研究者針對分數的意義提出的解釋整理如表2-1。表2-1 分數的意義研究者(年代) 分數的意義楊壬孝（1988） 1、一個整體之相等的部份。 2、一個集合等分組後的幾組。 3、數線上的一個數值。 4、兩數相除的結果。林碧珍（1990） 1、部份/全體模式：全部區域的部份區域（以連續量為主，如：長度、面積、容積） 2、子集合/集合模式：集合中的部分集合。 3、數線模式：數線上的一個數值。 4、商模式：兩個整數相除的結果。 5、比值模式：二個集合或二個度量相比的結果。

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表2-1 分數的意義（續）呂玉琴 (1996) 1、部分/全部。 2、子集/集合。 3、兩數相除的結果。 4、數線上的一個點。 5、比。也利用分數具有「兩數相除的結果」的意義來解釋分數、小數及百分率的互換，亦即分數、小數及百分率是兩數相除的結果的不同數字型態的表示法。楊瑞智（2000） 1、部分/全部。 2、子集合/集合。 3、乘法運算元。 4、等值分數。 5、整數除法的結果。 6、分數是一個數/數線上的一點。 7、平均（含速率、密度）。 8、當量。 9、比例中的比、比例尺、比值、比較量÷基準量。 10、機率。 Kieren (1976) 1、部份/整體 (part-whole) 。 2、比值。 3、商。 4、運算 (operator)。 5、度量 (measure)。

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表2-1 分數的意義（續）

Dickson, Brown and Gibson (1984) 1、全部區域的子區域。 2、子集合和母集合的比較。 3、數線上兩個整數間的一點。 4、除法運算的結果。 5、二組集合或二個度量的大小比較的方法。 82年教育部所頒布之國民小學數學科課程標準 1、表示操作：在具體物或圖像上進行「分的活動」，重視具體物操作與分數符號兩者的連結。 2、「部分/全部」：包括連續量與離散量的情境。 3、數線上的一個數值：此項意義可分成兩項，其一表示線段長，另一代表數線上的一個點。 4、整數相除的結果。 5、比例、比值 6、表示量的大小：如3 4加上名數「公尺」即為固定長度量3 4公尺。教育部編製之92年版九年一貫課程綱要 1、平分的意涵 2、測量的意涵 3、比例的意涵 4、部分/整體的意涵。綜合以上，可知分數的意義是多重的。以情境區來區分，可分成離散量情境（子集合/集合）、連續量情境（部分/全部）；也可視為是數線上的一點（一個值）；也是兩數相除的結果；在應用上，可視做是「比」、「比值」、「運算元」、「當量」、「機率」等。這種種的意義在小學階段都是學生學習的重點，由於分數意義多樣又不易掌握，因此學生在學習上常會產生挫折和迷思概念 (罕驕蘭，2004) 。

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九年一貫課程綱要(教育部，2004) 指出分數最核心的意涵為「除的意涵」，並將其意義歸納為平分的意涵、測量的意涵、比例的意涵和部分/全體的意涵四種。分數的形式是學生首次碰到兩整數並置的約定，分數計算的熟練，仰賴整數的精熟，但整數計算的經驗，有時反而會造成分數學習的錯誤。綜上所述，分數於許多情境中應用到，可見分數的學習對促進兒童數學觀念相當重要。分數以除為核心意涵，再加上各種應用情境而具有豐富的意義，更是造成學生學習困難的因素。

第二節分數概念之發展

認知發展學派主張兒童的認知發展是循序漸進的，Piaget,Inhelder & Szeminska（1960）研究4到7歲兒童對面積的分割行為，以探討兒童如何建構部分與全體的關係，來形成分數的概念，研究結果發現，兒童從無法把一個物體分為兩半，漸漸發展到有分半的能力，最後可以成功的把物體分成三等分，顯示兒童的分數概念是隨年紀增長的，因此在進行分數概念教學與教材的編排上，必須配合兒童的認知發展，才能收到學習的效果。甯自強（1992）提出“分數詞＂的概念，他根據學生對於「分數詞」的解釋、相關的運思及運算處理方式，來建構學生分數概念發展的模型，在其研究中，區隔出分數概念的前身、起始單位分數、加法性分數、巢狀分數以及有理數等五個分數概念發展階段（Ning,1992；李端明，1997）：（一）分數概念的前身這時期的兒童數概念僅止於序列性合成運思，他們透過分割活動可以把「離散量」分散，也可以把「連續量」撕裂，但是分割活動並未把子分割單位數值化，因此並未具有分數概念，稱為分數概念的前身。分數詞對這階段兒童的意義是「並置類型」(Juxtaposed Pattern)，舉例來說，分數詞1 4對這階段兒童的意義為 1 和 4，也就是說，要求兒童從 4 塊積木

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中，取出其中的1 4，兒童不是拿 1 塊積木，就是 4 塊積木，若要求兒童從 8 塊積木中，取出其中的1 4，兒童仍然是拿 1 塊積木或是 4 塊積木。（二）起始單位分數當兒童的分數概念進入累進性合成運思時，分數詞的意義是「內嵌並置類型」（embedded patterns）。此時兒童的部分-全體之關係並不明確，分子只是內嵌於分母的一部分，若是將分子自分母移出，則會造成分母的摧毀。特別注意的是，「起始單位分數」並非「單位分數」，此時期兒童仍無法進行單位分數的累積活動，例如要求兒童算出1 3+ 1 3時，兒童會回答 2 6，正因為他們同時複製了分子和分母所得到的結果。（三）加法性分數當兒童進入明顯的部份-全體運思後，子分割單位不再只是單純的起始單位分數，而是成為可以累加的單位分數。例如，要求兒童算出1 3+ 1 3時，兒童已經可以運思出2 3的答案。此階段的兒童雖然具有子分割運思，但只能運思單一的子分割活動，無法同時運思兩個以上的子分割活動，在他們的運思過程中，2 3和 4 6是不同的。（四）巢狀分數兒童進入測量運思的階段後，分數詞的意義是「巢狀分數」。此時兒童具有雙向的部分-全體運思，而且可以同時運思兩個以上的子分割活動，故能利用單位分數的再次分割，發現等值分數，了解2 3和 4 6是代表一樣的的測量值。但對於非以再次等分單位分數而產生的等值分數，則無法判定，也就是僅限於分母為倍數關係，而無法擴展至分母為非倍數關係的型態，尚未能真正具備等值分數概念，例如，他們知道2 3＝ 4 6，也知道 2 3＝ 6 9，但是無法知道 4 6＝ 6 9。

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（五）有理數當學童可以進行等比例運思時，分數詞的意義是「有理數」，此時期的兒童不僅具備雙向部分-全部的運思，還能將兩個部份-全體重組。例如，兒童知道 4 6= 12 18，也知道 6 9= 12 18，所以 4 6＝ 6 9。本研究欲探討學童分數除法的概念，在教學上會運用到等值分數的概念，雖然在現行國小數學教材中，分數除以整數單元安排在五年級下學期，分數除以分數（同分母）、分數除以分數（異分母）以及整數除以分數則安排在六年級上學期，但是等值分數的單元安排在五上的課程，所以學童已具備「巢狀分數」乃至於「有理數」之概念，基於此理由，研究者決定嘗試以五年級為研究對象，並以等值分數為基礎發展一份分數除法教材，並把這次分數除法的教學活動安排在五上的學期末，施測的時間則安排在五下的學期初。

第三節國小分數教材探討

本研究之受測對象，是九十七學年度五年級的學童，所使用之數學課程皆依據九十年實施的九年一貫課程數學學習領域暫行綱要。以下就針對九年一貫課程暫行綱要（簡稱 89 暫綱）和九年一貫課程正式綱要（簡稱 92 正綱）各階段的分數課程作一比較，以了解其中的差異。表 2-2 89 暫綱和 92 正綱之比較年級 89 暫綱 92 正綱能力指標能力指標分年細目一二 2-n-10 能在平分的情境中，認識分母在 12 以內的單位分數，並比較不同單位分數的大小。三 N-1-7 在等分好、整體 1 能明顯出現之具體生活情境中(包含連續量、離散量)，能以真分數(分母在 20 以內)描述內容物為單一個物的幾份，並能延伸真分數的意義，進行同分母真分數的合成、分解活動(和<1)。 N-1-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。 3-n-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分數的比較與加減問題。

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（續）表 2-2 分數教材之比較年級 89 暫綱 92 正綱能力指標能力指標分年細目四 4-n-06 能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。 4-n-07 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，進行同分母分數的比較、加、減與非帶分數的整數倍的計算。 4-n-08 能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並用來做簡單分數與小數的互換。五 N-2-5 在等分好、整體 1 能明顯出現之具體情境中，能以真分數來描述單位分數內容物為多個個物的幾份，進行同分母真分數的合成、分解活動，並理解等值分數的意義。 N-2-6 在具體情境中，能以假分數或帶分數描述具體的量，並能解決分數的合成、分解以及簡單整數倍的問題。 N-2-19 能利用等分好的數段上，做出一條簡單的整數數線，並能進一步延伸至簡單的分數和小數的數線。 N-2-06 能理解分數之「整數相除」的意涵。 N-2-07 能認識真分數、假分數與帶分數，作同分母分數的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問題。 N-2-08 能理解等值分數、約分、擴分的意義。 N-2-09 能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比較與加減問題。 N-2-11 能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生活中的問題。 N-2-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。 N-2-14 能認識比、比率及其日常生活的應用。 5-n-04 能用約分、擴分處理等值分數的換算。 5-n-05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。 5-n-06 能在測量情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。 5-n-07 能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。 5-n-11 能將分數、小數標記在數線上。 5-n-12 能認識比率及其應用（含「百分率」、「折」）

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（續）表 2-2 分數教材之比較年級 89 暫綱 92 正綱能力指標能力指標分年細目六 N-3-3 在具體情境中，理解通分的意義並運用通分解決異分母分數的合成、分解問題。 N-3-4 在具體情境中，解決分數乘以分數的問題，進而形成分數倍的概念。 N-3-6 在具體情境中，能用分數、小數表示除的結果(除的結果為有限小數)。 N-3-7 能用分數倍的概念，整合以分數為除數的包含除和等分除的運算格式。 N-3-9 能理解同類量中不同單位間的關係，並作畫具活動（可以有分數、小數）。 N-3-15 能在情境中理解比、比例（包括正比例、反比例）、比值、率（百分率、ppm）的意義 A-3-8 能做分數的四則運算。 N-3-01 能認識質數、合數，並做質因數分解。 N-3-02 能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，並用來將分數約成最簡分數。 N-3-03 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活中的問題。 N-3-05 能理解比、比例、比值與正、反比的意義，並解決生活中的問題。 A-3-01 能做基本的代數運算。 6-n-01 能認識質數、合數，並做質因數分解（質數＜20，質因數＜10，被分解數＜100）。 6-n-02 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意義，理解最大公因數、最小公倍數的計算方式，並能將分數約成最簡分數。 6-n-03 能理解除數為分數的意義及其計算方法，並解決生活中的問題。 6-n-05 能作分數的兩步驟四則混合計算。 6-n-07 能認識比和比值，並解決生活中的問題。 6-n-09 能理解正比的現象，並發展正比的概念，解決生活中的問題。分數概念在九年一貫的教學領域五大主題中隸屬於「數與量」，其為日常生活中常用且重要的概念，分數的學習有其階段性，從真分數、假分數到帶分數；從同分母分數的比較加減，到異分母分數的比較加減；從約分、擴分到最簡分數；

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從分數的乘除計算，到分數的四則運算。後面概念的學習是否順利，往往奠基於先前概念的學習。在分數除法教材內容方面，主要分為四個部分，分別為分數除以整數、分數除以分數（同分母）、分數除以分數（異分母）以及整數除以分數，三大主要出版社中只有翰林把分數除以整數排在五下的課程，其他都排在六上的課程，詳如表 2-3：表 2-3 三大主要出版社分數除法的課程編排分數÷整數分數÷分數（同分母）分數÷分數（異分母）整數÷分數康軒六上第九單元六上第九單元六上第九單元六上第九單元南一六上第七單元六上第七單元六上第七單元六上第七單元翰林五下第五單元六上第七單元六上第七單元六上第七單元

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第四節分數除法概念之研究

因為分數概念本身具有多重的意義，因此常造成學童在學習上產生一些迷思概念，所以本節針對國內外分數除法之錯誤類型及相關文獻做探討。一、分數除法之錯誤類型 Brueckner（1931）、Lankford（1972）、Painter（1989）等人歸納常見分數除法錯誤情形（改編自湯錦雲，2002）： 1、計算方法錯誤（用乘法計算）。 2、計算錯誤。 3、不瞭解計算步驟。（1）被除數倒置。（2）除數及被除數均倒置。（3）加分子，乘分母。（4）忽略被除數中的分母。例如：21 4÷ 1 1 3= 9 4÷ 4 3=12，把被除數中的4給忽略了。（5）遺漏分子。 4、假分數化成帶分數，計算錯誤。 5、帶分數化成假分數，計算錯誤。 6、消去時發生錯誤。（1）分母相消。（2）分子相消。（3）相消得0。例如：21 4÷ 1 2 4= 9 4÷ 9 4=0 7、分母不變，但分子直接做除法運算。 8、帶分數除以整數時，只做整數之間的運算。 9、帶分數除以分數時，整數不變，只處理分數的部分。

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10、未求出第二個分數的倒數，而直接做乘法運算。例如：1 4÷ 2 3= 1 4× 2 3= 2 12 11、帶分數除以帶分數時，整數與分數分別運算。例如：41 3÷ 2 2 5= 5 2 6 12、除數沒有先求出其倒數，便直接計算。例如：4 5÷ 2 5= 2 25 13、帶分數除以整數時，只以分子除以整數，其餘都不變。 14、分母不變，但分子相減。劉天民（1993）針對高雄地區的國一學生在分數四則運算的錯誤類型研究結果歸納如下： 1、整數運算的錯誤。 2、帶分數化成假分數的錯誤。 3、通分的錯誤。 4、約分的錯誤。 5、直接計算的錯誤。 6、除法改為乘法，除數未倒置的錯誤。-13 5÷3= 8 5 − ×3＝ 24 5 − 7、學生誤認A A＝0。 8、運算不完全。柳賢、李浩然（2003）將高雄地區國中一年級學童分數乘除法錯誤類型整理如下： 1、乘法運算的錯誤類型：（1）分子和分母同時乘上整數。（2）先通分再相乘。（3）同分母時分母不變分子相乘。（4）乘上被乘數的倒數。（5）帶分數拆成整數乘以分數再運算。

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（6）帶分數乘以帶分數時，整數相加後再加上分數相乘。 2、除法運算的錯誤：（1）分子和分母同時除以整數。（2）先通分再把分子相除。（3）直接將除法換成乘法。（4）乘上被除數的倒數。（5）乘上被除數與乘數的倒數。（6）帶分數拆成整數乘以分數再運算。（7）帶分數拆成整數加分數再運算。（8）整數相除加上分數相除。（9）分數除法當作是整數除法。（10）帶分數除以整數時整數相除分數留做餘數。（11）商是帶分數時整數是商分數是餘數。 3、乘除法文字題的錯誤類型：（1）運算過程錯誤。（2）語意解釋錯誤。（3）大數除以小數。（4）前項除以後項。蘇聖峰（2005）將屏東地區國中一年級學生分數四則運算錯誤類型整理如下： 1、對帶分數化成假分數的概念不清，導致受到約分或乘法規則影響，產生錯誤。 2、未充分瞭解通分概念，僅將分母變成相同，而以自行建構的觀念進行分子運算，產生錯誤。 3、約分概念的過度類推，在不可約分的運算中進行約分。 4、不清楚分數運算概念，而將小數運算的規則類推到分數，產生直接將整數、分母、分子分開計算的錯誤。

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5、加減法運算時，受乘除法運算規則影響，產生分母相乘或交叉約分的錯誤。 6、乘法運算受加、減、除法運算規則影響，出現通分或乘數倒置的錯誤。 7、除法運算規則的錯誤。 8、帶分數化為倒數時，有保留整數後將真分數化為倒數計算的錯誤。林榮煌（2006）以台中縣國小六年級學童為對象，進行分數乘除法概念與運算錯誤類型之研究，學生在分數除法概念與運算上的錯誤類型與原因，依作答錯誤率由高到低排列： 1、對題目意思不清楚、對部分-全體的概念不清楚及用關鍵字解題。另外有學生以舊經驗，直接大數除小數。 2、商與餘數觀念混淆。 3、未符合題目答題要求作答。 4、同分母分數相除，只有分子相除，分母不變。 5、未注意單位量改變。 6、與約分混淆。 7、基本概念錯誤。 8、將分數除法當成分數乘法。 9、帶分數以分配率分成整數加分數後，去括號沒注意，直接運算。 10、將被除數轉成倒數，除數反而未轉成倒數就計算。 11、除數倒數轉的結果錯誤。 12、過度類化算則。 13、帶分數除整數，只有整數相除，分數未進行除法計算。 14、帶分數以分配率分成整數加分數後，只計算整數除整數，分數除分數。 15、被除數和除數皆轉成倒數後計算。陸雅林 (2007) 以台東縣200位國小六年級學童進行分數運算概念的研究發現，六年級學童在分數除法運算錯誤類型有：（1）擴分與分數乘法概念混淆，導致進行分數乘以某數時，產生先擴分再進行乘法運算的錯誤。

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（2）乘法與除法運算規則混淆不清，尤其當除數是帶分數時，產生僅將帶分數化為假分數，而忽略倒數處理的錯誤。綜合以上，學童在分數除法的學習過程中存在著眾多的錯誤類型，且多與之前的學習經驗息息相關而，包括帶分數化成假分數；約分、擴分、通分問題；乘法運算規則的干擾等；本研究為了去除學生死背公式，以及乘法運算的干擾，選擇以等值分數為基礎，運用圖形表徵配合單位量轉換的方式進行分數除法教學，希望藉此教學模式，減少學童學習分數除法時錯誤概念的產生，以降低學童學習的挫折感，並進而提高學習的興趣，提升學童之學習成就。二、分數除法之相關研究 Greer (1987) 指出對於乘除運算的概念化，兒童強烈地受到問題中所牽涉的「數的類型」 (如分數或小數，尤其是小於 1 的數) 、「問題的情境模式」及「它們之間的互動」所影響。 Aksu（1997）以小六學生為對象，研究其在「分數的意義」、「分數的計算」及「分數的文字題」的表現情形，結果發現： 1.表現最好的是分數的計算，表現最差的是分數的文字題。 2.學生在分數的加、減、乘、除計算表現並無差異。 3.文字題中，以分數加法測驗最簡單，而分數乘法測驗最難。 Warrington（1997）以一個由五、六年級學生所組成的混合班級，用分組討論的教學方式，引導學生發展出自己的策略來解決分數除法的運算。陳建宏（2008）應用模糊取向的詮釋結構模式，分析國小六年級學童的分數乘除法概念階層結構，以自編的「分數乘除法測驗」為研究工具，針對457 名六年級學童進行施測，探討其個人化的分數乘除法概念階層結構，圖繪出低、中、高能力者的分數乘除法概念階層結構圖。楊雅芬（2008）以後設認知教學模式為導向，深入探討六年級學童分數除法概念建立的歷程和成效。研究者引導學童以舊有知識為基礎，透過後設認知理解分數除法的計算，發展出各種算則，進而推論出除數顛倒相成的成人算則。

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王志銘（2008）在探討運用資優兒童當量除自發性解法為鷹架引導基礎的個案研究中，發現線段表徵有助於學生掌握當量除問題，而引導學生掌握等分線段表徵圖與分數化聚的關係，可以幫助學生找出子單位。黃月平（2004）以台中縣海線地區之國小六年級學童，共 480 人為研究對象，採用自編的「數學擬題測驗」進行筆測，再從中抽取十八人進行半結構性晤談。分析學生將算式表徵轉換成文字表徵的數學擬題能力，及其後設認知的能力，並探討學生所擬出之數學題目的乘除類型及錯誤類型。發現不同數字形式的被乘數或被除數的擬題能力表現具有顯著差異，以被乘數或被除數為「整數」時表現最佳，其次為「真分數」、「帶分數」。胡蕙芬、李源順（2005）以六年級為研究對象，採實驗教學法，強調分數除法的概念性知識、程序性知識與解題性知識。在概念性知識方面運用圖形表徵配合單位量轉換的觀點來協助學生理解分數除法概念；在程序性知識方面，利用各種題型讓學生利用課餘時間練習；在解題性知識方面，布題兼顧語意結構與情境結構，以及非例行性的問題。罕驕蘭 (2005)在進行六年級分數教學行動研究中，對「分數的加減」、「分數的乘法」、「分數的除法」和「分數四則」四個單元，提出具體的教學處理策略，並提出三點建議： 1、「分數」的教學方面：要多利用學生的舊經驗協助學習、提供豐富且多元的佈題情境。 2、教師教學行動策略：教學者應主動學習並尋求可以進行專業對話的團體或夥伴的支援，以及在教學時結合學生的學習反應與需求。 3、對未來的研究建議是：可以將此行動模式延伸到其他的數學概念教學，並在察覺「分數成人算則」的模式上能找出更為「連貫」的教學路徑，以做為後續探究之路。顏宗斌（2006）以兩位國小六年級學生為對象，採個案研究法，探究兩位學生在分數除法學習過程，基準化問題的解題活動類型與理解層次。他依據學生在

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工作單問題的解題表現進行訪談。發現圖形表徵能力的差異是影響兩位學生解題表現的關鍵。由以上可知，關於「分數除法」的主題已有諸多面向的研究，但著重於學童知識結構的研究則相對較少，因此本研究擬編製一份「分數除法」的試題來作為施測工具，進行資料的收集，再應用試題關聯結構分析法，形成學童在分數除法概念的學習結構圖，並進行分析，藉以瞭解學童分數除法概念其知識結構的發展。

第五節試題關聯結構分析法

一、試題關連結構分析法的由來及功能教師在經過教學活動後，對於學童概念能力在結構上的變化，並無法得知。直到美國學者 P.W. Airasian 與 W.M. Bart 於 1973 年首先揭開次序理論（ordering theory）在教育工學的功用。1977 年日本學者竹谷誠參加美國威斯康辛大學的研討會，經由Baker F.B.的介紹而接觸到次序理論，竹谷誠返回日本之後，致力於改良次序理論的缺點。三年後，竹谷誠提出以測驗試題的結果，按題目彼此間反應所得的順序關係，製成具有指向性的圖形結構，來分析試題的特

性，此種方法稱之為「試題關聯結構分析法」（Item relational structure

analysis），簡稱IRS分析法（引自許天維，1995）。經過七、八年在教育現場實驗，證明試題關聯結構分析法在分析兒童學習情況與教學成果上，是一個有效的工具。以下是它的五種功能：（一）、教學設計之運用教師在進行單元教學活動之前，可以將欲進行的課程內容之先備知識概念，作知識結構分析，再依分析結果出題施測，所得的結果以「試題關聯結構分析法」進行分析，可以發現出學童先備知識概念不足之處，以作為進行設計教學歷程的參考。（二）、形成性評量之運用經過單元教學活動後，教師欲知學童的學習成果，亦可以利用知識結構分析

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編製形成性評量加以施測，所得的結果同樣以「試題關聯結構分析法」進行分析，就可以知道兒童學習後的知識結構，以便針對兒童學習困難之處，進行補救教學。（三）、認知學習構造之分析形成性評量的結果，亦可利用佐藤 S-P 表獲得注意係數，從而偵測出異質性的兒童，此類兒童所畫出結構圖與班上的結構圖可以互為比較，即可知道此類兒童異質的原因，從而加強輔導教學。（四）、概念形成過程之考驗對縱貫研究而言，兒童概念的形成過程有層次之分，例如山田完對教師進行評定兒童設有四層次，即操作經驗層次、知覺內化層次、言語抽象層次、因果論理層次，如果以此四層次來評定各年級班上學童的形成過程，並建立各年級的結構圖，即可知學童的概念形成過程的發展。對橫斷研究而言，亦可知班上學童的概念形成過程的分布。（五）、課程教材構造之解析由母群體隨機抽出樣本進行測驗後，透過「試題關聯結構分析法」以繪製結構圖，可得一般兒童的學習構造，對教科書的編者而言，能夠檢視教學目標的達成狀況，是非常貴重的資料，而且對於分析典範教師的學習指導構造圖的特質，都有很大的作用。二、試題關連結構法理論以下就試題關連結構分析理論上直觀的意義略做說明。假設有 A、B 兩組學生各有 10 位，均參加試題共為六題的同一種測驗，若答對者得一分，答錯者得零分，其得分情況如下表所示（許天維，1995）：

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表 2-4 A、B 組學生得分情形表 A 組試題1 試題2 試題3 試題4 試題5 試題6 學生 1 1 1 1 1 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 0 1 0 1 0 0 4 0 1 0 1 0 0 5 0 1 0 1 1 1 6 0 0 0 1 1 1 7 0 0 1 1 1 1 8 0 0 1 0 1 1 9 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 3 0 0 0 1 0 0 4 0 0 0 0 0 0 5 0 1 1 1 1 1 6 0 1 0 1 1 1 7 0 1 1 1 1 1 8 0 0 0 1 1 1 9 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 1 1 學生 2 1 1 1 1 1 1 學生 3 0 1 0 1 0 0 學生 4 0 1 0 1 0 0 學生 5 0 1 0 1 1 1 學生 6 0 0 0 1 1 1 學生 7 0 0 1 1 1 1 學生 8 0 0 1 0 1 1 學生 9 0 0 0 0 0 0 學生 10 0 0 0 0 0 0 答對者數 2 5 4 7 6 6 由表可知兩組測驗後，各組各試題之答對者人數均相同，為方便起見，可以改成下表：表 2-5 A、B 學生得分情形簡表 A 組試題 B 組試題學學 B 組試題1 試題2 試題3 試題4 試題5 試題6 學童 1 1 1 1 1 1 1 學童 2 1 1 1 1 1 1 學童 3 0 0 0 1 0 0 學童 4 0 0 0 0 0 0 學童 5 0 1 1 1 1 1 學童 6 0 1 0 1 1 1 學童 7 0 1 1 1 1 1 學童 8 0 0 0 1 1 1 學童 9 0 0 0 0 0 0 學童 10 0 0 0 0 0 0 答對者數 2 5 4 7 6 6 生生

答對者數 2 5 7 4 6 6 答對者數 2 5 7 4 6 6 其次，依照每位學生試題所得的總分高低，由上而下排序可得下表：

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表 2-6 A、B 組學生試題得分排序表 A 組試題 B 組試題 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 0 1 0 1 1 1 7 0 0 1 1 1 1 6 0 0 0 1 1 1 8 0 0 1 0 1 1 3 0 1 0 1 0 0 4 0 1 0 1 0 0 9 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 0 1 1 1 1 1 7 0 1 1 1 1 1 6 0 1 0 1 1 1 8 0 0 0 1 1 1 3 0 0 0 1 0 0 4 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 學學生生答對者數 2 5 7 4 6 6 答對者數 2 5 7 4 6 6 4 5 6 2 3 4 5 6 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 0 0 7 1 1 1 0 1 0 6 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 1 5 1 1 1 1 1 0 7 1 1 1 1 1 0 6 1 1 1 1 0 0 8 0 1 1 0 1 0 8 1 1 1 0 0 0 接著，以學生在各試題答對人數的多寡順序，由左而右排列，可得佐藤S-P 表（引自許天維，1995）。表 2-7 A、B 組學生試題得分、人數排序表 A 組試題 B 組試題學學 3 1 0 0 1 0 0 3 1 0 0 0 0 0 4 1 0 0 1 0 0 生生 4 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 答對者數 7 6 6 5 4 2 答對者數 7 6 6 5 4 2 多少多少

(35)

由上表知兩組學生的總分順序及答對者人數的試題次序都相同；亦即二組之試題難易分配與試題號碼之對應完全一致，但如果著眼於考慮順序結構圖，依下列方法細加分析，就會有顯著的不同。 A 組中，答對試題 1 的學生是 1 號及 2 號，他們亦同時答對了試題 3，亦即答對試題 1 的學生亦答對試題 3，此時就有試題 3 到試題 1 的箭頭，記作 3→1；同理，答對試題 3 的學生是 1 號、2 號、7 號及 8 號，他們亦同時答對了試題 5、 6，所以分別有 5→3、6→3；另一方面，答對試題 1 的學生是 1 號及 2 號，他們亦同時答對了試題 2，答對試題 2 的學生是 1 號、2 號、3 號、4 號及 5 號，他們亦同時答對了試題 4，所以分別有 2→1、4→2；此外，答對試題 3 的學生有 7 號沒答對試題 2，故沒有試題 2 到試題 3 的箭頭，其餘均依此類推。同法，在 B 組中，答對試題 1 的學生是 1 號及 2 號亦答對了試題 3，亦即答對試題 1 的學生亦答對試題 3，此時就有試題 3 到試題 1 的箭頭，記作 3→1；答對試題 3 的學生是 1 號、2 號、5 號及 7 號亦答對了試題 2，所以有 2→3；答對試題 2 的學生是 1 號、2 號、5 號、6 號及 7 號分別答對了試題 5、6，所以分別有 5→2、6→2；答對試題 5、6 的學生有 1 號、2 號、5 號、6 號、7 號及 8 號亦答對了試題 4，故有 4→5、4→6；其餘均依此類推。從以上分析，如果定義答對率為試題答對率＝受試學生答對的人數÷受試全體學生的人數則以答對率為縱座標，可將所有相關的指向箭頭標示出來，成為完整的試題關聯結構圖，如下圖所示：

(36)

答對率 A 組結構圖 B 組結構圖 0.2 0.4 0.5 0.6 0.7 1 3 2 5 4 6 1 3 2 5 6 4 圖 2-1 A、B 組學生試題關聯結構圖在此值得注意的是上面兩個試題關聯結構圖截然不同，僅管兩個表的試題答對率相同，然而兩組學童的理解結構卻不相同。左圖顯示 A 組有兩個系列存在，即試題 1,2,6 的系列以及試題 1,3,5,4 系列，而右圖顯示 B 組的試題形成一個單純的一元化系列，概念結構圖中的彼此聯結較為堅強。另一方面，左圖亦可改為兩個理解不同的結構而答對率均質的 S-P 表（試題 1,2,6 及試題 1,3,5,4）。由上述可知，試題關聯結構圖可看出在 S-P 表所觀察不到的各試題間的順序關係，可作有方向性的圖性判讀。三、試題關連結構的分析順序試題關聯結構分析是將兩測驗題目之間的順序性係數建立起來，作為試題高低概念層次之基礎，然後利用此種關係建立起試題關聯結構構造圖，茲將試題關聯結構的分析順序敘述如下（許天維，1995；蔡長添，1993）：（一）、建立項目順序性係數試題間的順序程度，用順序性係數來表示，順序性係數的求法，茲說明如下：

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表 2-8 試題 i、j 答對與答錯人數統計表試試題 _j 1 0 總計題 i 1 A B A＋B 0 C D C＋D 總計 A＋C B＋D N 表中係指 N 個受試者在試題 i 及試題 j 上的答對與答錯人數。其中 1 代表答對，0 代表答錯，順序性係數的數學公式表示法如下（引自許天維，1995）： ) )( ( 1 * D C C A CN r_ij + + − = 順序性係數 r * 表示試題 i 指向試題 j 的順序性程度，亦即「相對而言，試題 i 為下位概念（lower concept），而試題 j 為上位概念（upper concept）的程度」。 * r 項目順序係數是一個數值，若此數值超過閥值，則表示順序性存在，反之 則否。根據竹谷誠（1991）的研究，此閥值為 0.5（引自許天維，1995），亦即 * ij r ＜0.5，則試題 i 及試題 j 沒有順序關係 * ij r ＞0.5，則有試題 i 指向試題 j 之順序關係（二）、建立試題間的順序關係根據試題間之順序性係數，可以整理出所有試題兩兩間的有順序關係。舉例如表 2-7 所示：

(38)

表 2-9 試題順序性係數舉例試試題 _j i 1 題 2 3 4 5 6 1 .22 .31 .08 .14 .43 2 .65* .41 .39 .24 .25 3 .55* .67* .37 .35 .15 4 .64* .32 .18 .16 .23 5 .72* .41 .37 .71* .53* 6 .62* .12 .27 .52* .55* *表示順序性係數大於 0.5 表 2-8 表示試題 i 指向試題 j 的順序性係數，若以閥值 0.5 為標準，順序性係數 r ij * ＜0.5，則以 0 表示；順序性係數 r ij * ＞0.5，則以 1 表示，如此簡化試題的順序，則可表示成表 2-8：表 2-10 試題的順序關係 0-1 矩陣表舉例試試題 _j i 1 2 3 4 5 6 題 1 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 3 1 1 0 0 0 4 1 0 0 0 0 5 1 0 0 1 1 6 1 0 0 1 1 （三）、根據試題間順序性關係，畫出試題關聯結構圖以通過率為縱軸座標，在平面上標示出試題位置。並以「→」箭號來表示兩者之間的關係，若兩試題間有順序關係，亦即上列之矩陣表為 1，則有「→」箭

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號；若兩試題間沒有順序關係，亦即上列之矩陣表為 0，則無「→」箭號。例如根據上列之矩陣表，則畫出如圖 2-2。 1 2 4 3 5 6 圖 2-2 試題關聯結構圖舉例竹谷誠認為在構圖時，有兩點必須要注意（引自林原宏，1994）：（一）、簡化試題關聯結構圖兩試題間若能以直接或間接相連結時，則應除去連結的箭號，以簡化試題關聯結構圖，增加可讀性，如圖 2-3 之（一）所示。（二）、對等群性如圖 2-3（一）之試題關聯結構圖所示，試題 5 和試題 6 有相互連結影響之關係，此現象則表示試題 5 和試題 6 高度相關，而且試題 4 同時與試題 5 和試題 6 均有直接的上下位概念關係，因此試題 5 和試題 6 可視為同一性質之試題，於是又可把試題關聯結構圖更簡化如圖 2-3 之（二）。

(40)

（一）（二）圖 2-3 試題關聯結構圖之簡化舉例因此，本研究之測驗資料採用試題關聯結構分析法來分析，繪出群體試題關聯結構圖，藉以了解受試者的認知結構。 6 ₆ 5 5 3 3 4 4 2 1 1 2

(41)

第三章研究方法和步驟

本章主要分為研究架構、研究對象、研究工具、研究流程及資料分析五部分，以下將依序分別敘述。

第一節研究架構

本研究依據研究目的與文獻資料，提出以下之研究架構，如圖 3-1 所示，以利於描述整個研究過程：國小分數除法教科書圖 3-1 研究架構圖（康軒、翰林、南一）九年一貫課程綱要編製分數除法試題分數除法概念圖預試並修定題目正式施測抽樣班級 IRS 分析繪製試題關聯結構圖分數除法相關文獻分數除法教材試題細目表解釋概念結構圖

(42)

第二節研究對象

本研究採用試題關聯結構分析法（IRS）來分析資料，施測的對象為研究者所任教的彰化縣某小學，該校屬仁類小學，全校共 18 個班級，每個年級有三班。研究者本身任教於五年級，研究者先自行發展一份分數除法教材，在五上期末考後，研究者先跟配合預試的隔壁班老師討論教材內容以及教學方法，取得共識後即進行六堂課的教學，透過該份教材建構學童分數除法的概念性知識，課程教學結束後，再利用練習卷複習相關的程序性知識。同時，為了避免受測時學童是剛學習完的記憶知識，因此施測時間選在五下學期初對五年級隔壁班的學童進行預試，由預試的結果進行信度、難度，鑑別度分析，在修正題目之後，以自己班級學童作為正式施測對象，人數一樣是 3 2 人。施測前，研究者先說明評量目的與答題的方式，並鼓勵學童認真作答。學童作答時間約為一節課 40 分鐘。

第三節研究工具

本研究先以研究者自行發展之分數除法教材進行教學，教學後，再以自編的「國小學童分數除法計算試題」進行施測，然後以相關的統計軟體進行分析，茲說明如下：一、國小學童分數除法教材與計算試題（一）分數除法概念圖研究者參考九年一貫數學領域課程綱要，以及康軒、南一、翰林等版本有關分數除法教材和教師手冊內容，再參酌分數除法概念的相關研究文獻，配合學童的認知發展，架構出如圖 3-2 之分數除法概念圖，並據以編製如圖 3-3 之分數除法試題架構圖。

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圖 3-2 分數除法概念圖整數除以分數分數除以分數（異分母）分數除以分數（同分母）分數除以整數真分數除以整數帶分數除以整數真分數除以真分數真分數除以帶分數有公因數帶分數除以真分數帶分數除以帶分數真分數除以真分數真分數除以帶分數帶分數除以真分數帶分數除以帶分數真分數除以真分數真分數除以帶分數整數除以真分數整數除以帶分數

(44)

分數除法概念分數除以分數（同分母）分數除以分數（異分母）分數除以整數整數除以分數真分數除以真分數真分數除以帶分數帶分數除以真分數帶分數除以帶分數真分數除以真分數真分數除以帶分數帶分數除以真分數帶分數除以帶分數真分數除以整數帶分數除以整數整數除以真分數整數除以帶分數分子不是除數倍數關係圖 3-3 分數除法試題架構圖分子是除數倍數關係分子不是除數倍數關係分子是除數倍數關係被除數分子是除數分子倍數關係被除數分子不是除數分子倍數關係被除數分子是除數分子倍數關係被除數分子不是除數分子倍數關係帶分數化成假分數、分子除以分子被除數分子是除數分子倍數關係被除數分子不是除數分子倍數關係帶分數化成假分數、分子除以分子帶分數化成假分數、分子除以分子被除數分子是除數分子倍數關係被除數分子不是除數分子倍數關係被除數分子是除數分子倍數關係被除數分子不是除數分子倍數關係被除數分子是除數分子倍數關係被除數分子不是除數分子倍數關係帶分數化成假分數、通分、分子除以分子帶分數化成假分數、通分、分子除以分子帶分數化成假分數、通分、分子除以分子帶分數化成假分數、通分、分子除以分子整數化成假分數、分子除以分子被除數分子是除數分子倍數關係被除數分子不是除數分子倍數關係被除數分子是除數分子倍數關係被除數分子不是除數分子倍數關係整數化成假分數、分子除以分子整數、帶分數化成假分數、分子除以分子整數、帶分數化成假分數、分子除以分子分子除以整數擴分＋分子除以整數帶分數化成假分數、分子除以整數帶分數化成假分數、擴分、分子除以整數分子除以分子分子除以分子帶分數化成假分數、分子除以分子帶分數化成假分數、分子除以分子帶分數化成假分數、分子除以分子通分、分子除以分子通分、分子除以分子帶分數化成假分數、通分、分子除以分子除數分子不是被除數分子倍數關係除除數分子是被除數分子倍數關係除數分子是被除數分子倍數關係數分子不是被除數分子倍數關係帶分數化成假分數、通分、分子除以分子

(45)

（二）試題編製為了解學生的知識結構，研究者在編製試題時，依序編製分數除以整數試題細目表（表 3-1）、分數除以分數（同分母）試題細目表（表 3-2）、分數除以分數（異分母）試題細目表（表 3-3）及整數除以分數試題細目表（表 3-4），再編製分數除法知識結構圖（圖 3-5）。共有 24 道選擇題。最後編製解題所需概念表（表 3-5）完成命題。完整試題內容請參閱附錄一。表 3-1 分數除以整數試題細目表學習概念學習目標題號倍數分子除法被除數的分子為除數的倍數關係時，學童能運用分子除以整數的技巧來解題。 1 真分數除以整數倍數擴分公倍數分子除法被除數的分子不是除數的倍數關係時，學童能運用擴分使分子為除數的倍數，再運用分子除以整數的技巧來解題。 2 帶分數化成假分數倍數分子除法能把帶分數化成假分數，當假分數的分子為除數的倍數關係時，學童能運用分子除以整數的技巧來解題。 3 帶分數除以整數帶分數化成假分數倍數擴分公倍數分子除法能把帶分數化成假分數，分子不是除數的倍數關係時，學童能運用擴分使分子為除數的倍數，再運用分子除以整數的技巧來解題。 4

(46)

表 3-2 分數除以分數（同分母）試題細目表學習概念學習目標題號整數倍的整數除法被除數和除數同單位分數，被除數分子是除數分子的倍數關係時，學童能運用被除數分子除以除數分子的技巧來解題。 5 真分數除以真分數分數倍的整數除法被除數和除數同單位分數，被除數分子不是除數分子的倍數關係時，學童能運用被除數分子除以除數分子的技巧來解題。 6 真分數除以帶分數帶分數化成假分數分數倍的整數除法被除數和除數同單位分數時，學童能把帶分數化成假分數，並運用被除數分子除以除數分子的技巧來解題。 7、8 帶分數化成假分數整數倍的整數除法被除數和除數同單位分數時，學童能把帶分數化成假分數，當被除數分子是除數分子的倍數關係時，並運用被除數分子除以除數分子的技巧來解題。 9 帶分數除以真分數帶分數化成假分數分數倍的整數除法被除數的分子不是除數的倍數關係時，學童能運用擴分使分子為除數的倍數，再運用分子除以整數的技巧來解題。 10 帶分數化成假分數整數倍的整數除法被除數和除數同單位分數時，學童能把帶分數化成假分數，當被除數分子是除數分子的倍數關係時，並運用被除數分子除以除數分子的技巧來解題。 11 帶分數除以帶分數帶分數化成假分數分數倍的整數除法被除數的分子不是除數的倍數關係時，學童能運用擴分使分子為除數的倍數，再運用分子除以整數的技巧來解題。 12

(47)

表 3-3 分數除以分數（異分母）試題細目表學習概念學習目標題號通分整數倍的整數除法被除數和除數不同單位分數時，被除數和除數先通分成為同單位分數，當被除數分子是除數分子的倍數關係時，學童能運用被除數分子除以除數分子的技巧來解題。 13 真分數除以真分數通分分數倍的整數除法被除數和除數不同單位分數時，被除數和除數先通分成為同單位分數，當被除數分子不是除數分子的倍數關係時，學童能運用被除數分子除以除數分子的技巧來解題。 14 真分數除以帶分數帶分數化成假分數通分分數倍的整數除法被除數和除數不同單位分數時，學童能先把帶分數化成假分數，再把被除數和除數先通分成為同單位分數，最後利用被除數分子除以除數分子的技巧來解題。 15、16 帶分數化成假分數通分整數倍的整數除法被除數和除數不同單位分數時，學童能先把帶分數化成假分數，再把被除數和除數先通分成為同單位分數，當被除數分子是除數分子的倍數關係時，並運用被除數分子除以除數分子的技巧來解題。 17 帶分數除以真分數帶分數化成假分數通分分數倍的整數除法被除數和除數不同單位分數時，學童能先把帶分數化成假分數，再把被除數和除數先通分成為同單位分數，當被除數分子不是除數分子的倍數關係時，再利用被除數分子除以除數分子的技巧來解題。 18 帶分數化成假分數通分整數倍的整數除法被除數和除數不同單位分數時，學童能先把帶分數化成假分數，再把被除數和除數先通分成為同單位分數，當被除數分子不是除數分子的倍數關係時，再利用被除數分子除以除數分子的技巧來解題。 19 帶分數除以帶分數帶分數化成假分數通分分數倍的整數除法被除數和除數不同單位分數時，學童能先把帶分數化成假分數，再把被除數和除數先通分成為同單位分數，當被除數分子不是除數分子的倍數關係時，再利用被除數分子除以除數分子的技巧來解題。 20

(48)

表 3-4 整數除以分數試題細目表學習概念學習目標題號整數化成假分數倍數整數倍的整數除法把被除數化成和除數同單位分數的假分數，當被除數的分子是除數的倍數關係時，學童能運用被除數分子除以除數分子的技巧來解題。 21 整數除以真分數整數化成假分數倍數分數倍的整數除法把被除數化成和除數同單位分數的假分數，當被除數的分子不是除數的倍數關係時，學童能運用被除數分子除以除數分子的技巧來解題。 22 整數化成假分數帶分數化成假分數倍數整數倍的整數除法把被除數和除數化成同單位分數的假分數，當被除數的分子是除數的倍數關係時，學童能運用被除數分子除以除數分子的技巧來解題。 23 整數除以帶分數整數化成假分數帶分數化成假分數倍數分數倍的整數除法把被除數和除數化成同單位分數的假分數，當被除數的分子不是除數的倍數關係時，學童能運用被除數分子除以除數分子的技巧來解題。 24

(49)

8 12 9 9 9 （三）選擇題命題指導原則（Haladyna,1999; Osterlind,1998） 1.內容要項 (1)每題應有確定目的：試題的編製，應落在確定的內容範圍向度與確定的心智活動向度，如記憶、理解、批判思考或問題解決等。 (2)在確定的內容向度上，題與題間要互為獨立，尤其題組易發生相互依賴

(52)

的內容。 (3)試題中的內容取材，避免使用過度特定或過度一般性的材料。 (4)在心智活動向度上，凝聚在單一心智活動，而不是一連串的心智活動 (5)避免以眾人意見為基礎的答案，來形成的試題。 (6)避免佈設陷阱於試題之中，包括刻意的陷阱與無心的陷阱。 2.題幹要項 (1)使用有問題的題幹或是未完句。 (2)確定題幹的指示是非常清楚的。 (3)試題的中心概念出現在題幹，而不是在選項。 (4)題幹中避免無關的修飾語與冗長的贅語。 (5)使用肯定句，避免否定用語或除此以外的用語。 3.選項要項 (1)採用四選一的單選題，即題所列答案數目為四個。 (2)確定選項中只有一個是正確的。 (3)根據選項數目，變化正確所在的位置。 (4)文字力求淺顯簡短，題意明確，解題所依據的必要條件避免遺漏。 (5)保持選項內容的同質性。 (6)保持選項的長度一致性。 (7)避免「以上皆非」、「以上皆是」、「不知道」的答案。 (8)選項採用正面陳述，避免負面陳述。 (9)試題內容避免使用具有暗示性的字詞。 (10)應使所有選項具誘答力。 (11)應用考生典型的錯誤作為選項。 (12)避免使用幽默選項。根據以上選擇題命題指導原則，另編製「試題檢核表」，提供命題者逐一檢查其所命試題，以期提升命題品質。「試題檢核表」如附錄二所示。

國小五年級學童分數除法概念結構分析之研究

國立臺中教育大學數學教育學系

在職進修教學碩士學位班碩士學位論文

指導教授：胡豐榮 博士

國小五年級學童分數除法概念

結構分析之研究

研究生：鄭光明 撰

中 華 民 國 九 十 八 年 六 月

國小五年級學童分數除法概念結構分析之研究

論 文 摘 要

Study of the Structural Analysis of the Fractional Division

Concepts for Pupils at Elementary Grade 5

Abstract

目 次

第一章 緒論………

1

第二章 文獻探討………

6

第三章 研究設計與實施………

31

第四章 研究結果與分析………

47

第五章 結論與建議………

參考文獻………

附錄………

表 目 次

圖 目 次

第一章

緒論

第一節 研究動機

第二節 研究目的

第三節 名詞釋義

第四節 研究範圍與限制

第二章 文獻探討

第一節 分數的意義

第二節 分數概念之發展

第三節 國小分數教材探討

第四節 分數除法概念之研究

第五節 試題關聯結構分析法

第三章 研究方法和步驟

第一節 研究架構

第二節 研究對象

第三節 研究工具

1

2

3

4

112

3

4

1

2

3

4

1

2

3

4

1

223

43

1

2

3

4

1

2

3344

1

2

3

4

1

233

4

1

2

3

4

1