分數除法試題關聯結構圖之分析與討論

本研究主要目的，是利用自編分數除法教材進行教學後，再以自編試題測試 學童，以了解學童學習分數除法後的認知結構。為了進一步呈現試題關聯結構圖 所隱含的訊息，除了針對學童在分數除法概念上的關聯結構作探討以外，更進一 步分析各子概念的關聯結構。

一、整體試題關聯結構圖

（一）以橫斷層面來看

根據答對率的高低約可分成三個類別（高、中、低），如表4-5所示：

表4-5分數除法試題關聯結構圖橫斷層面分析

答對率 題 號 題幹 答對率 試 題 特 性 9 3 5

112 12÷ = .9062 （同分母）分數除以分數—帶÷真 11 1 2

6 1

9÷ 9 = .875 （同分母）分數除以分數—帶÷帶 13 8 2

12 6÷ = .8438 （異分母）分數除以分數—真÷真 12 1 4

5 1

7÷ 7 = .8125 （同分母）分數除以分數—帶÷帶 高

0.81~0.90

5 6 3

12 12÷ = .8125 （同分母）分數除以分數—真÷真

（續）表4-5 分數除法試題關聯結構圖橫斷層面分析

答對率 題 號 題幹 答對率 試 題 特 性 17 2 5

24 12÷ = .7812 （異分母）分數除以分數—帶÷真

21 3

12÷ = 4 .75 整數除以分數—整÷真 10 2 5

112 12÷ = .75 （同分母）分數除以分數—帶÷真 20 2 1

4 1

3÷ 2 = .7187 （異分母）分數除以分數—帶÷帶 8 5 2

10÷110= .7187 （同分母）分數除以分數—真÷帶 19 2 1

9 2

6÷ 3= .6875 （異分母）分數除以分數—帶÷帶 14 7 3

12 8÷ = .6875 （異分母）分數除以分數—真÷真 4 3

6 2

4÷ = .6875 分數除以整數—帶÷整 23

6÷

1¹

2 = .6875 整數除以分數—整÷帶 15 7 1

8÷32 = .6563 （異分母）分數除以分數—真÷帶 6 7 3

12 12÷ = .6563 （同分母）分數除以分數—真÷真 3 4

2 2

6÷ = .6563 分數除以整數—帶÷整 2 5

10÷ = 2 .6563 分數除以整數—真÷整 中

0.65~0.78

1 4

10÷ = 2 .6563 分數除以整數—真÷整

（續）表4-5 分數除法試題關聯結構圖橫斷層面分析

答對率 題 號 題幹 答對率 試 題 特 性 18 2 1

13 2÷ = .625 （異分母）分數除以分數—帶÷真 16 5 1

6÷27= .625 （異分母）分數除以分數—真÷帶 22

3÷

²

5 = .5625 整數除以分數—整÷真 7 5 3

12÷112 = .5625 （同分母）分數除以分數—真÷帶 低

0.46~0.62

24

4÷

2²

3= .4688 整數除以分數—整÷帶

由表 4-5 可看出屬於高答對率（0.81~0.90）的有五題，其中有四題是屬於同 分母的分數除以分數，只有一題是異分母分數除以分數，可知受測學童較能掌握 同分母分數除以分數的運算。

至於低答對率（0.46~0.62）的也有五題，發現除了第七題是同分母分數除 以分數外，異分母分數除以分數和整數除以分數各有兩題，顯示這兩種題型對受 測學童而言是屬於較難的概念。

而中答對率（0.65~0.78）的有 14 題，包含全部四種主要題型。其中分數除 以整數4 題全部出現（100％），同分母分數除以分數 8 題出現 3 題（37.5％），

異分母分數除以分數8 題出現 5 題（62.5％），整數除以分數 4 題出現 2 題（50

％），顯示分數除以整數的題型對受測學童而言，是屬於難易適中的試題，沒有 特別偏難或偏容易。

整體而言，該份試題答對率介於.46 和.90 之間，對只上六堂分數除法課，不 會使用倒數相乘計算方式的五年級學童來說，已屬不易。

（二）以縱貫層面來看

在分數除法試題關聯結構圖中，原本閥值設定為 0.5，但因結果順序指向過 多，畫面較為繁複，故改以閥值0.6 來進行分析，如圖 4-1 所示：

圖4-1 分數除法試題關聯結構圖

由圖 4-1 可知整個試題關聯結構圖是由試題 5「真分數除以真分數（同分 母）」、試題8「真分數除以帶分數（同分母）」、試題 9「帶分數除以真分數（同 分母）」、試題11「帶分數除以帶分數（同分母）」、試題 15「真分數除以帶分 數（異分母）」、和試題20「帶分數除以帶分數」等基本題型形成最下位概念，

其中試題 5、8、9、11 都是屬於同分母的分數除法，可知同分母的分數除法概念 對學童而言是比較簡單易學的，只要把分子相除即可，但試題 8 的答對率較低的 原因可能在於學童不習慣被除數小於除數，而把除數的分子除以被除數分子的結 果， 5 2 5 12 12

1 12 5

10 ÷ 10 = 10 ÷10 = ÷ = 5 = 52 2 。

至於最上位概念分別是試題7「真分數除以帶分數（同分母）」、試題 14「真

分數除以真分數（異分母）」、試題16「真分數除以帶分數（異分母）」、試題 24「整數除以帶分數」，其中試題 14、16 都是屬於異分母的分數除法，可見異 分母的分數除法對學童而言是比較複雜的觀念，計算過程包括帶分數化成假分 數、通分、和除法，容易被繁瑣的計算搞亂掉。

另外，試題1 和試題 2、試題 1 和試題 4、試題 3 和試題 4、試題 4 和試題 6、

試題19 和試題 20、試題 4 和試題 18、試題 10 和試題 17 形成等價關係。

以下就個別子概念試題關聯結構圖分析說明，並統一取閥值為0.5：

二、個別子概念試題關聯結構圖

（一）分數除以整數：

這個概念共 4 題，可分成真分數除以整數和帶分數除以整數兩個子概念，試 題之概念分析及結構圖如表4-6 及圖 4-2 所示：

表4-6 「分數除以整數」之概念分析 題

號 題 目 答對率 認知範圍

1 4

10÷ =2

1

²

5

2

¹

5

3

⁴

5

4

¹

10 .6563 真分數除以整數：

分子是除數倍數 2 5

10÷ =2

112

¹

5

3

¹

4

4

¹

2 .6563 真分數除以整數：

分子不是除數倍數 3 4

2 2

6÷ =

1

1² 3

2

2²

3

3

2¹ 3

4

1¹

3 .6563 帶分數除以整數：

分子是除數倍數 4 3

6 2

4÷ =

1

4¹ 2

2

7¹

2

3

3³ 8

4

6³

8 .6875 帶分數除以整數：

分子不是除數倍數

圖4-2 「分數除以整數」之試題關聯結構圖

（1）由結構圖 4-2 可知，此概念無明顯下位概念，幾乎兩兩互為等價關係，只 有試題1 和 3 之間彼此無順序關係，試題 2 和 4 也只呈現單向順序關係。

（2）由試題內容及答對率來看，這 4 題的答對率都很接近，均介於.65 和.70 之 間，比較令人意外的是，答對率都沒有想像的高，原本以為這4 題運用到的概念 較少，答對率應該會比較高，究其原因，試題1 可能是學生誤用約分的觀念

（ 4 4 2 10 2 10 2 5

÷ = ÷÷ =

2）；試題2 可能也是學生誤用約分的觀念，但是因為分子無

法整除而作罷，所以只除分母（ 5 5 5

10 ÷ =2 10 2÷ = 5 = ）；試題 3 則是學生保留1 整數部分，分數部分仍誤用約分的觀念（ 4 4 2

2 2 2 2

6 6 2 2 3

÷ = ÷÷ = ）；至於試題4

學生仍保留整數部分，分數部分仍誤用約分的觀念，但分子無法除，就把2 乘到

分母去（ 3 3

6 2 6 6

4 ÷ = 4 2× = 3

8）。試題4 是本子概念中較難的題目，結果答對 率反而較高，整體而言，這個子概念因為除數是整數，學生很容易把除以整數的 算法誤用為約分的算法，因此造成整體答對率不是很高的結果。

（3）由以上可知受測學童在分數除以整數的概念發展上沒有明顯的先後順 序。

（二）分數除以分數：同分母

這個概念共 8 題，可分成真分數除以真分數、真分數除以帶分數、帶分數除 以真分數和帶分數除以帶分數四個子概念。試題之概念分析及結構圖如表4-7 及 圖4-3 所示：

表4-7 「分數除以分數：同分母」之概念分析

（1）由結構圖 4-3 可知，試題 9 和試題 11 為下位概念，最後都指向最上位 的概念試題 7。原本的認知試題5 應該也居下位，但施測結果並非在最下位，出 現一點落差，經過檢試學童的計算過程發現，有部分學童在計算時，和分數加減 法混淆了（ 6 3 6 3 2 1

12 12 12 12 6

÷ = ÷ = = ）。

（2）由試題內容及答對率來看，試題 9 為「帶分數除以真分數」概念，試 題11 為「帶分數除以帶分數」概念，兩題的答對率都很高，接近.90，而共同指 向的試題7 為「真分數除以帶分數」概念，答對率只有.5625，檢視學生算則發 現，學生尚未熟練被除數比除數小，而錯把數值比較大的除數分子除以數值比較 小的被除數分子。

（3）由以上可知受測學童在「分數除以分數：同分母」的概念發展順序為：

「帶分數除以真分數」Î「帶分數除以帶分數」Î「真分數除以真分數」Î「真 分數除以帶分數」。

（三）分數除以分數：異分母

圖4-4 「分數除以分數：異分母」之試題關聯結構圖

（1）由結構圖 4-4 可知，試題 13 為最下位概念，最終皆指向上位概念試題 16 和 18。而試題 14 和 20、試題 16 和 19、試題 18 和 19、試題 19 和 20 為等價 關係。

（2）由試題內容及答對率來看，試題 13 為「真分數除以真分數」概念，整 體答對率.8438，是這個概念 8 題試題中唯一超過.80 的。答對率較高的原因在於 就算學生用錯方法，也能找出正確答案（ 8 2 8 2 4

12 6 12 6 2 2

÷ = ÷÷ = = ）。試題16「真

分數除以帶分數」和試題18「帶分數除以真分數」的答對率最低，都只有.625，

經檢視學童計算過程發現，這和解題所需概念增多有關，使得學童的計算失誤率 相對提高。

（3）由以上可知受測學童在「分數除以分數：異分母」的概念發展順序為：

「真分數除以真分數」Î「帶分數帶分數」Î「帶分數除以真分數」Î「真分 數除以帶分數」。

（四）整數除以分數：

這個子概念共4 題，可分成整數除以真分數和整數除以帶分數兩個子概 念。試題之概念分析及結構圖如表4-9 及圖 4-5 所示：

表4-9 「整數除以分數」之概念分析 題

號 題 目 答對

率 認知範圍

21 3

12÷ =4

1

⁴

3

2

³

4

31416

.75 整數除以真分數：

通分後分子是倍數關係 22

3÷

²

5 =

1

⁵

6

2

²

15

3

7¹ 2

4

1¹

5 .5625 整數除以真分數：

通分後分子不是倍數關係 23

6÷

1¹

2=

1

6¹ 3

2

²

3

3144

.6875 整數除以帶分數：

通分後分子是倍數關係 24

4÷

2²

3=

1

2² 3

2

²

3

3

¹²

8

4

⁸

12 .4688 整數除以帶分數：

通分後分子不是倍數關係

圖4-5 「整數除以分數」之試題關聯結構圖

（1）由結構圖 4-5 可知，試題 21、23 為等價關係，且為下位概念，都共同 指向試題22 和試題 24，而試題 24 為最上位概念。

（2）由試題內容及答對率來看，在這個子概念中，當「被除數」的分子剛 好可以被「除數」的分子整除時，答對率相對較高，如試題21 和試題 23。反之，

當「被除數」的分子不能被「除數」的分子整除時，本班學童的整體答對率就大 幅降低如試題22 和試題 24。

（3）由以上可知受測學童在「整數除以分數」的概念發展順序為：「被除數」

的分子剛好可以被「除數」的分子整除Î「被除數」的分子不能被「除數」的分 子整除。

在文檔中 國小五年級學童分數除法概念結構分析之研究 (頁 63-76)