分數概念分析

一、 分數的意義

分數在不同情境下有不同的用法及解釋，國內外許多學者對分數的意 義都有不同的分析，國外學者Kieren(1980)認為分數概念可分為部分－全 體 、 比 、 商 、 測 量 及 運 算 元 五 種 建 構 的 方 式 ， 而Dickson, Brown &

Gibson(1984)將分數的意義分成全部區域的子區域、子集合與母集合間的 比較、數線上兩個整數間的一點、除法運算的結果、兩個集合或兩個測量 物的比較方法。Nesher(1985)將分數分成五種意義，分別為部分－全體、

兩數相除的結果、比、運算子、機率。另外，Ohlsson(1988；引自劉秋木，

1996)認為從數學的建構來看，分數有四種建構：

（一） 商的函數(the quotient function)

（二） 有理數 (rational numbers)

（三） 二元向量(binary vectors)

（四） 合成函數(composite functions)

國內學者楊瑞智（2000）依據國小數學教材中分數情境的不同，提出 分數的十種意義：

（一）部分／全部（連續量）：例如：「一塊蛋糕平分成8份，每一份蛋 糕是一塊蛋糕的多少？」

（二）子集合／集合（離散量）：例如：「一箱飲料有24瓶，喝了5瓶，

是喝了幾箱飲料？」

（三）乘法運算元，例如：「一個漢堡70元，一份薯條的價格是一個漢堡 的2

1，一份薯條要多少錢？」

（四）等值分數：例如：「爸爸吃了 3

1條土司，

3

1條土司和九分之幾條土 司一樣多？」

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現行的九年一貫課程綱要數學學習領域中指出小學的有理數教學，必 須釐清、練習並連結下述有理數（表現形式為分數和小數）的四種意涵，

而有理數最核心的意涵是「除的意涵」（教育部，2003）：1.平分的意涵。2.

測量的意涵。3.比例的意涵。4.部分/全體的意涵。

二、 國小學童數概念的運思方式

在討論分數概念之前，應對兒童數概念的運思方式進行瞭解。兒童的 運思方式取決於數概念的品質，而數概念品質的提升又有賴運思發展的成 熟，也就是說，若學童能夠反覆運用某種運思方式，即代表其已熟練此階 段的數概念，而82年部編本(教育部，1993)將國小學童運思方式，依序分 為五個發展階段：

一、合成運思：此運思能將數個「1」合而為一，形成一個集聚單位（例 如：10或18）。例如學童在進行「4+5」的整數加法時，可以先做出代 表4和5的表徵物，再從1開始點數所有的表徵物。同樣的，在處理「8-4」

的整數減法時，會先做出代表8的表徵物，拿走其中4個後，再重新開 始點數所有表徵物。

二、累進性合成運思：此運思可以使用一個集聚單位，透過合成新的「1」，

而形成新的集聚單位，例如以26為起點，繼續合成3個「1」，而形成 29。例如在處理「4+5」的整數加法時，可以由4為起點，依序往下再 數5個數詞，得到答案為9。處理整數減法時也雷同。

三、部分─全體運思：此運思可以明顯區分「1」單位與以「1」為單位量 所合成的集聚單位（例如：10或100）間的部分─全體關係，故可將 數個集聚單位和數個「1」單位合而為一，形成新的集聚單位，也就 是學童在混合使用兩種以上的計數單位時，不混淆其計數的意義，發 展由多單位的觀點，來解讀數字（詞）的意義。例如，能區辨「十」

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集聚單位（或其他集聚單位）與「一」單位。計算「24+53」時，學 童能將24視為2個「十」與4個「一」，53視為5個「十」與3個「一」，

再將2個「十」和5個「十」、4個「一」和3個「一」分別進行合成，

最後再將7個「十」與7個「一」合成為77而得到答案。

四、測量運思：此運思是同時掌握兩個階層的部分─全體關係。以掌握「1」

與集聚單位（例如：「一」和「十」）間的部分─全體關係為基礎，進 而掌握集聚單位（例如：「十」）與以此集聚單位為單位量所合成的另 一個新集聚單位（例如：10個「十」，也就是「百」）間的部分─全體 關係，也就是說，可以把任何整數（例如：10或18或100）當作單位 量，而此整數成為測量單位。例如學童能將8看成是構成32的單位量，

也能將4看成是構成8的單位量，8不僅是構成32的一部分，同時也是 由4所構成的整體。

五、比例運思：學童能掌握兩個集聚單位間關係，形成新的單位來描述此 關係，也就是掌握有理數或比值的概念。82年版部編本預估學童在國 中階段發展比例運思，非小學階段，因此不再贅述。

82年版部編本預估部分─全體運思的發展在三年級，測量運思的發展 在五年級。

三、 兒童分數概念發展

Piaget, Inhelder & Szeminska(1960)為探討兒童如何建立部分─全體間 的關係來形成分數概念，因此使用連續量的具體物，研究4到7歲兒童對面 積的分割行為，其研究發現兒童的分數概念發展可以分為：

一、四歲到四歲半的兒童，對一物分為兩半甚為困難，在分割之前沒有預 想的計畫或基模。缺少部分與全體之間的任何關聯，是此一階段的最 大特徵。例如將長方形平分之後，將其中一份呈現在兒童面前，兒童

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並不會注意到他所接觸的是由長方形平分而來的其中一部份。對於不 同形狀之分割，正方形屬較難的部分，其次為圓形，長方形則較為容 易。

二、四到六歲的兒童對於規則的物品已有分半的能力，但三等分物體的能 力尚未表現。學童比較容易解決長方形的圖形分割。

三、六到七歲的兒童已經能夠成功的三等分物品，而不必利用試誤的方 法，但對操作的了解依然在具體操作期，而此階段的兒童具有整體性 保留概念。

四、十歲左右的兒童能進行六等分的分法。

學者甯自強（1993）則是依據兒童不同階段的運思方式所呈現的數概 念與分割活動基準，利用分數詞作為區分，而將兒童的分數概念分為五個 層次，茲說明如下：

（一）分數概念的前身

此時的兒童雖具備數概念與分割活動，但其數概念是序列性合成運思 階段，而分割活動無法將子分割單位數值化，因此，此階段的兒童並未具 有分數概念，故稱為分數概念的前身。例如給兒童六個積木，請兒童拿出 其中的3

1，兒童不是拿出「1個」，就是「3個」。

（二）起始單位分數

當兒童引入累進性合成運思於分數的情境，兒童便如同在整數情境中 連絡兩整數一樣，將由子分割單位構成的分子部份內嵌於由子分割單位構 成的分母部份，此時的分數詞意義稱之為「內嵌並置類型」(embedded patterns)，顯現出無法進行單位分數累積活動的特徵。

（三）加法性分數

因部份—全體運思引入子分割活動中，造成子分割單位的質變。此時 子分割活動的結果是可集聚的計數單位，也是用子分割單位集聚而成的集

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聚單位中的獨立部份單位。子分割單位自此開始成為所謂的單位分數單位 (unit fraction unit)。雖然此時兒童已具有子分割運思，與單向的部份－全體 運思時的分數概念，但此階段的兒童仍無法聯絡兩個以上的子分割活動。

（四）巢狀分數

巢狀分數是指兒童具有雙向的部份－全體運思，與具有子分割單位數 值化的分數概念。因此時兒童能同時運思兩個分數，所以稱為巢狀分數。

巢狀分數則是測量運思下的產物。此階段的兒童具有雙向的部份－全體運 思，故能理解等值分數與分數的次序比較，但無法使用共測單位的概念來 確定分數等值，兒童只能以等分割的方式來進行。

（五）有理數概念

有理數是巢狀分數的重組，也就是兩個部份全體的重新組合。兒童不 僅具有巢狀分數，更能將分數當作測量單位。例如學童知道

6 2 和

9 3皆是

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6 ，因為能以 18

1 為測量單位進行比較，所以 6 2等於

9 3。

綜合以上文獻，分數的意義十分廣泛，且在生活中應用的範圍很廣。

而分數概念的學習，更是未來學習比、比值、速率、基本代數運算的基礎，

佔有相當重要的地位。但分數概念非常抽象，在教學中常常需要透過具體 物或半具體物來協助學童建立分數概念，因此瞭解分數概念建立的順序便 相當重要。本研究欲透過SS分析法，探討兒童分數除法概念的發展，使教 師能提升教學成效，也能提高學生的學習成就。

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