SS分析應用於分數除法文字題之研究-以國小六年級學童為例-
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(2) SS 分析應用於分數除法文字題之研究 －以國小六年級學童為例－ 摘. 要. 本研究主要探討六年級學童在分數除法文字題的概念結構。研究者自 編分數除法文字題試題，分成「分數除以分數（同分母） 」、 「整數除以分 數」、 「分數除以分數（異分母）」三種分數形式及「包含除」、 「當量數未 知」 、 「單位當量未知」三種問題情境，以臺中市四班國小六年級學童為研 究對象，藉由 SS 分析法對施測結果加以分析形成結構圖，以探討分數除 法文字題之概念結構。 依據結構圖，獲得以下結論： 一、 包含除中，分數除以分數（同分母）與整數除以分數是獨立的概念， 分數除以分數（同分母）平均得分略高於整數除以分數。 二、 當量除中，當量數未知類型，分數除以分數（同分母）及整數除以分 數為下位概念，分數除以分數（異分母）為上位概念。 三、 當量除中，單位當量未知類型，帶分數除以真分數及真分數除以真分 數為下位概念，真分數除以帶分數及帶分數除以帶分數為上位概念。 四、 包含除為最下位概念，其次是當量數未知，單位當量未知是最上位概 念。 五、 在三種問題情境下，各類分數形式中，帶分數除以真分數為最下位概 念，接著依序為整數除以分數，真分數除以真分數，帶分數除以帶分 數，而真分數除以帶分數為最上位概念。. 關鍵字：SS 分析法、包含除、當量除、文字題. I.
(3) A Study of Fractional Division Word Problems by Using Semantic Structure Analysis for Sixth Grade Students Abstract This study focused on sixth grade students in the concept of fraction division word problems of structure. The researcher developed a test about fraction division word problems, divided into three fractional forms, "fractions divided by fraction (by same denominators)", "integers divided by fraction," " fractions divided by fraction (by different denominators)" and three kinds of problem situations, " measurement division ", "basic quantity unknown "," ratio quantity unknown ". Taichung City four classes in the sixth grade students were tested for the study, by SS analysis to analyze the results of the test facilities diagram form in order to research the concept structure of fraction division word problems. According to the structure graph, the conclusions of the study were as follows： 1. In Measurement division word problems, the fractions divided by the fraction (by same denominator) and integers divided by the fraction are independent concepts. The average score of fractions divided by the fraction (by same denominator) problems is slightly higher than that of integers divided by the fraction. 2. In extended partitive division word problems, the basic quantity unknown type, the fractions divided by the fraction (by same denominator) and integers divided by the fraction are the lower concepts. Fractions divided by fraction (by different denominators) are the upper concept. 3. Extended partitive division word problems in ratio quantity unknown type, mixed fractions divided by proper fraction and proper fractions divided by proper fraction are the lower concepts. Proper fractions divided by proper fraction and proper fractions divided by mixed fraction are the upper concepts. 4. Measurement division type is the lowest concept. Basic quantity unknown type is the next and ratio quantity unknown type is the uppest concept. 5. The issue in three situations, all kinds of fractions, mixed fractions divided by proper fraction is the lowest concept, and then intergers divided by fraction, proper fractions divided by proper fraction, mixed fractions divided by mixed fractions, and proper fractions divided mixed fraction is the uppest concept.. Keywords：semantic structure analysis, measurement division, extended partitive division, word problems II.
(4) 目錄 第一章 緒論 第一節 研究動機------------------------------------------1 第二節 研究目的與待答問題--------------------------------3 第三節 名詞解釋------------------------------------------4 第四節 研究範圍與限制------------------------------------5. 第二章 文獻探討 第一節 SS 分析法-----------------------------------------6 第二節 分數概念分析 ------------------------------------12 第三節 分數除法概念分析---------------------------------18. 第三章 研究方法 第一節 研究架構-----------------------------------------29 第二節 研究對象-----------------------------------------30 第三節 研究工具-----------------------------------------31 第四節 研究流程-----------------------------------------38 第五節 資料處理-----------------------------------------39. 第四章 研究結果 第一節 試題性質分析-------------------------------------40 第二節 分數除法文字題之 SS 分析--------------------------43. 第五章 結論與建議 第一節 研究結論-----------------------------------------60 第二節 研究建議-----------------------------------------62. III.
(5) 參考文獻 一、 中文部分--------------------------------------------64 二、 英文部分--------------------------------------------67. 附錄 附錄一 分數除法文字題測驗專家審核問卷-------------------68 附錄二 國小六年級學童分數除法文字題測驗試卷-------------72. IV.
(6) 表目次 表2-1. A組、B組得分情況-------------------------------------8. 表2-2. A組、B組得分整理-------------------------------------8. 表2-3. 九年一貫課程綱要分數能力指標彙整--------------------18. 表2-4. 九年一貫課程綱要分數分年細目彙整--------------------20. 表3-1. 分數除法題型與試題對照------------------------------32. 表3-2. 預試刪除各試題Cronbachα係數分析--------------------33. 表3-3. 預試試題難度及鑑別度--------------------------------34. 表3-4. 正式施測試題內容------------------------------------35. 表4-1. 刪除各試題Cronbachα係數分析------------------------40. 表4-2. 分數除法文字題命題雙向細目--------------------------41. 表4-3. 試題難度及鑑別度------------------------------------42. 表4-4. 包含除文字題類型------------------------------------44. 表4-5. 當量除文字題分數除以分數（同分母）類型--------------46. 表4-6. 當量除文字題整數除以分數類型------------------------48. 表4-7. 當量除文字題分數除以分數（異分母）類型--------------49. V.
(7) 圖目次 圖 2-1. 試題 Ij 與 Ik 得分雙向細目-------------------------------7. 圖 2-2. SS分析結構------------------------------------------10. 圖 3-1. 研究架構--------------------------------------------29. 圖 3-2. 研究流程--------------------------------------------38. 圖 4-1. 包含除文字題 SS 分析----------------------------------45. 圖 4-2. 當量除文字題分數除以分數（同分母）SS 分析------------47. 圖 4-3. 當量除文字題整數除以分數 SS 分析----------------------48. 圖 4-4. 當量除文字題分數除以分數（異分母）SS 分析------------50. 圖 4-5. 當量除文字題分數除以分數（同分母）與整數除以分數 SS 分析 ----------------------------------------------------51. 圖 4-6. 當量除文字題整數除以分數與分數除以分數（異分母）SS 分析 ----------------------------------------------------52. 圖 4-7. 當量除文字題分數除以分數 SS 分析---------------------54. 圖 4-8. 當量除文字題 SS 分析---------------------------------56. 圖 4-9. 當量除文字題上下位概念------------------------------57. 圖 4-10. 分數除法文字題上下位概念----------------------------59. VI.
(8) 第一章 緒論 教師是教育的最前線，如何提升本身的教學成效，是最重要的課題， 因此對於學生的知識結構，需要有清楚的認識，而要想診斷學生的知識結 構及概念發展，評量有其必要性。教學和評量是相輔相成的，透過評量活 動，可以瞭解學生的認知結構，進而調整教學策略，研擬補救教學，因此 本研究藉由編製一份分數除法文字題試題，應用 SS 分析法(Semantic structure analysis)，以國小六年級學童為研究對象，進行分數除法概念結構 的探討，以瞭解學童分數除法概念知識結構。 本章共分為四節，第一節為研究動機，第二節為研究目的與待答問 題，第三節為名詞解釋，第四節為研究範圍與限制。. 第一節 研究動機 有理數是小學的核心課程之一，也是小學數學教育中，最有挑戰性的 教學主題（教育部，2003）。分數的學習是許多國小學生的夢魘，某些國 小教師也視分數教學為一難題，如 Behr, Harel, Post & Lesh（1992）所說的： 「學習分數為兒童數學發展上的嚴重障礙。」但分數的學習卻是國小數學 中最重要的部分之一，根據楊瑞智（2000）談分數的重要性可從不同層面 觀之： （a）從實際層面，有效的處理分數概念可以增進瞭解與掌握現實生 活問題的能力； （b）從心理層面，分數提供了豐富的領域可用以發展兒童 智力及擴展心智結構；（c）從數學層面，分數的瞭解提供小數、比、機率 及基本代數運算等的學習基礎（Behr et al., 1992） 。由此可知，分數的學習 不僅能幫助兒童處理生活中面臨的問題，更可以提升兒童的心智能力，更 是未來數學學習的基礎，分數的重要性可見一斑。 現行九年一貫課程綱要與暫行綱要相比，在分數課程的進度安排，至 1.
(9) 少都提早了一年，而其中分數除法「除數為分數」的部分，更是提早到六 年級來學習。研究者在進行教學的過程中發現，現行六年級教材是從整數 除以分數開始引入，再進行同分母除法，最後是異分母分數的除法。對於 除數為分數的計算方法，學童最常用的是將除數的分子和分母顛倒與被除 數相乘，大部分學童都能十分熟練操弄，但真正能解釋其意義的學童卻非 常少。能力指標中指出，學童需能理解除數為分數的意義及計算方法，並 解決生活中的問題，因此解決文字題亦是教學中相當重要的一環，學童除 了需具備計算能力外，還要有理解題意的能力；換句話說，學童雖然有了 計算能力這項工具，但不知道文字題題目的意思，也無法理解題目的要 求，還是沒辦法成功的解題，所以文字題的困難度往往比計算題要難得 多，這也是分數教學中最具挑戰性的部分。分數除法文字題依據不同概 念、不同分數形式、不同問題情境、不同的語句可以分成許多類型，若教 師能夠瞭解各項類型試題的難易及學生的答題表現，相信對於教材設計及 教學會有很大的幫助。 基於以上所述，研究者依據教材，編製不同問題情境、不同分數形式 的試題，並根據答題結果來分析學童的概念結構，作為教師在設計教材時 的參考，也提供補救教學可進行的方向。. 2.
(10) 第二節 研究目的與待答問題 綜合以上，本研究利用 SS 分析法，將試題運用五點計分表示，來完 成國小六年級學童的分數除法試題 SS 分析圖，探討分數除法概念結構， 來作為教師教學參考的依據，研究目的如下： 運用 SS 分析法，分析國小六年級學童的分數除法學習階層及概念間 的發展順序。 依據研究目的，本研究待答問題如下： 一、 國小六年級學童分數除法包含除文字題之概念結構發展為何？ 二、 國小六年級學童分數除法當量除文字題之概念結構發展為何？ 三、 國小六年級學童分數除法文字題之概念結構發展為何？. 3.
(11) 第三節 名詞解釋 一、 SS 分析法 學者竹谷 誠為改良 Guttman（1944）量尺分析法（Scalogram analysis, 簡稱 SA 法）以及 Lingoes（1963）多重尺度分析法（Multiple scalogram analysis,簡稱 MSA 法），於 1987 年提出 SS 分析法（Semantic structure analysis） ，應用於分析屬於情抑或態度方面之資料。SS 分析法除了應用於 問卷調查，經過改善後也能適用於多點計分診斷測驗（胡豐榮，2001）。 二、 分數除法文字題 本研究依據施測學校的教材版本，對情境類型及分數形式加以分類， 分成包含除及當量除兩種情境，當量除情境細分為當量數未知及單位當量 未知兩類型。再依據被除數及除數分數形式的不同，分成分數除以分數（同 分母）、整數除以分數、分數除以分數（異分母）三大類，並細分成十五 類分數形式。. 4.
(12) 第四節 研究範圍與限制 本研究藉由 SS 分析法，以國小六年級學生為研究對象，探討學童分 數除法概念的知識結構。 一、研究範圍 本研究之測驗工具主要內容為南一版國小六年級數學的分數除法教 材。 二、研究限制 本研究針對國小六年級學童於分數除法的答題表現進行分析，受限於 人力、時間、經費等因素，樣本僅以臺中市某公立國小六年級四個班級的 學生為研究對象，因此研究結果可供施測學校瞭解六年級學童對分數概念 的知識結構，但研究結果未必能夠代表全市所有六年級的分數除法概念。. 5.
(13) 第二章 文獻探討 第一節 SS 分析法 一、SS分析法 本研究法是日本學者竹谷誠教授於 1987 年提出，利用意味結構分析 法（semantic structure analysis，簡稱 SS 分析法）來繪製關聯結構圖，此法 乃其論點在改良量尺分析法（scalogram analysis，簡稱 SA 法）及多重尺 度分析法（multiplescalogram analysis，簡稱 MSA 法） 。SS 分析法主要應用 於分析情意或態度方面之資料，除此以外，經過改善之後，SS 分析法也能 適用於多點計分診斷測驗（胡豐榮，2001）。 假設受試者有 N 位，每個試題有 m 個等第分數，則在 SS 分析法中， 定義第 j 題至第 k 題本質同於再現性（Reproducibility，簡稱 Rep）之係數 rjk 如下： m −1. m. ∑ ∑ (q − r ) N. jk. rjk＝1－ 其中 N. jk. ( q, r ). r =1 q = r +1. N (m − 1). ( q , r )表示第 j 題得 q 分且第 k 題得 r 分之人數。竹谷誠教. 授提出的係數 rjk 是固定的兩試題 j、k 下計算出的量，並根據 rjk 之值的大 小來決定試題 j 與試題 k 之順序關聯。根據資料模擬，竹谷誠教授計算出 係數 rjk 之值若大於一閥值 0.93 時，則試題 j、k 幾近滿足「若 xj.＞xk.則 xjl ＞xkl， ∀ l＝1,2,…,n；若 xj. ＝ xk. 則 xjl＞xkl」之條件，表示如下： Ij → Ik ⇔ rjk ≥ 0.93 其中 n 表示試題總數，xj.＝. 1 n 1 n xjl ，xk.＝ ∑ xkl 。 ∑ n l =1 n l =1. 係數 rjk 公式之由來，主要是根據固定兩試題後，再分析雙向細目表而 來。以五點計分為例，任意固定測驗試題 j 與試題 k 之得分雙向細目表 6.
(14) 後，可得到 25 個組合，如圖 1-1，即（1,1） ， （1,2） ，…， （1,5） ， （2,1） ， （2,2） ，…， （2,5） ，…， （5,1） ， （5,2） ，…， （5,5） 。這 25 個組合為得分的雙向細目表， 每個組合代表一個細格。接著逐一計算每一細格之人數，以 Njk（q,r）表 示第 q 列第 r 行細格之人數。若試題 j 到試題 k 有順序關聯時，最佳情況 即為圖 1-1 塗色部分之人數均為零的情形，也就是說試題 j 的得分比試題 k 得分高的人數均為零。亦即： Njk（q,r）= 0, ∀ q＞r。. 試題 Ik 1. 2. 3. 4. 5. 1 2 試. 3. 題 4 Ij 5 圖 2-1 試題 Ij 與 Ik 得分雙向細目. SS 分析法由於計算容易，又能分析 Rep 之值低的資料，更具有 MSA 所列之基準性質，因此本研究採用 SS 分析法來分析測驗結果。. 二、SS 分析法的理論 在進行SS分析法之前，先以下例來解釋SS分析法如何解讀測驗試題中 的順序關係。 假設有A、B兩組學生，每組各有十位，均參加試題共為五題的同一種 測驗，以五點計分為例，假設其得分情況如下表所示：. 7.
(15) 表2-1 A組、B組得分情況 A組. 試題1. 試題2. 試題3. 試題4. 試題5. 總分. B組. 試題1. 試題2. 試題3. 試題4. 試題5. 總分. 學生1. 5. 5. 5. 4. 4. 23. 學生1. 5. 5. 4. 5. 4. 23. 學生2. 5. 5. 4. 4. 4. 22. 學生2. 5. 4. 5. 2. 5. 21. 學生3. 5. 4. 4. 4. 3. 20. 學生3. 5. 3. 5. 2. 5. 20. 學生4. 5. 4. 4. 3. 3. 19. 學生4. 5. 5. 2. 4. 2. 18. 學生5. 5. 4. 3. 3. 2. 17. 學生5. 5. 5. 2. 3. 1. 16. 學生6. 4. 3. 2. 2. 2. 14. 學生6. 4. 4. 2. 3. 1. 14. 學生7. 4. 3. 2. 2. 1. 12. 學生7. 4. 2. 4. 2. 1. 13. 學生8. 3. 2. 2. 2. 1. 10. 學生8. 3. 2. 3. 2. 1. 11. 學生9. 3. 2. 2. 1. 1. 9. 學生9. 3. 3. 1. 2. 1. 10. 學生10. 3. 2. 1. 1. 1. 8. 學生10. 3. 1. 2. 1. 1. 8. 總分. 42. 34. 30. 26. 22. 總分. 42. 34. 30. 26. 22. 由上表可知兩組測驗後，各組各試題之得分總和均相同，為方便起 見，可簡化成下表，表中學生得分由高至低、由上往下排列排列，試題總 分由高至低、由左往右排列： 表2-2 A組、B組得分整理 A組 試 題. B組. 2. 3. 4. 5. 1. 5. 5. 4. 5. 4. 23. 2. 5. 4. 5. 2. 5. 21. 3. 5. 3. 5. 2. 5. 20. 19. 4. 5. 5. 2. 4. 2. 18. 2. 17. 5. 5. 5. 2. 3. 1. 16. 2. 2. 14. 6. 4. 4. 2. 3. 1. 14. 2. 2. 1. 12. 7. 4. 2. 4. 2. 1. 13. 2. 2. 2. 1. 10. 8. 3. 2. 3. 2. 1. 11. 3. 2. 2. 1. 1. 9. 9. 3. 3. 1. 2. 1. 10. 3. 2. 1. 1. 1. 8. 10. 3. 1. 2. 1. 1. 8. 試題總分 42. 34. 30. 26. 22. 試題總分. 42. 34. 30. 26. 22. 生. 2. 3. 4. 5. 1. 5. 5. 5. 4. 4. 23. 2. 5. 5. 4. 4. 4. 22. 3. 5. 4. 4. 4. 3. 20. 4. 5. 4. 4. 3. 3. 5. 5. 4. 3. 3. 6. 4. 3. 2. 7. 4. 3. 8. 3. 9 10. 題. 1. 學. 1. 試. 高分 學. 生. 低分. 高分. 低分. 由上表可以得知A、B組學生的總分順序及試題總分的試題次序完全一 8.
(16) 樣；亦即二組之試題難易度分配與試題號碼的對應完全一致，因此教師往 往會根據此結果，判斷「兩個班級的學生對這份試卷的學習表現是一樣 的」，但如果依照SS分析法，進行分析並繪製順序結構圖，則呈現出來的 結果會有顯著的不同。 A組中，任何一位學生在試題1的得分都大於或等於試題2的得分，此 時就有試題1到試題2的順序關聯，用箭頭來標記，記作1→2，解釋成「具 有概念1的學童才能解決包含概念2的試題」；同理，所有學生在試題2的 得分都大於等於試題3，所以有2→3。依此類推，可以得到3→4、4→5。 用相同的方法對B組進行分析，任何一位學生的得分在試題1都大於或 等於試題2和試題3的得分，因此有1→2、1→3；試題2的得分都大於或等 於試題4，因此有2→4；同理，可得到3→5。需注意的是，學生2在試題2 的得分小於試題3的得分，因此兩試題之間沒有順序關聯。 若定義平均得分為：. 試題平均得分＝. 受試學生得分總分 受試學生總人數. 依以上分析，以平均得分為縱座標，將所有結果用箭頭標示出來，箭 頭指向越高，表示概念的層次越高，分別做出A、B兩組的SS分析圖，如 下所示：. 9.
(17) 平均得分. A組. B組. 2.2. 5. 2.6. 4. 3.0. 3. 3.4. 2. 4.2. 1. 5 4 3 2 1. 圖2-2 SS分析結構. 觀察A、B兩組的SS分析圖，可發現結構圖完全不同。雖然兩組在每 道試題的平均得分皆相同，但在結構圖上呈現出來的層次卻是大相逕庭。 A組的結構圖則呈現出簡單的一元化系列；B組的SS分析結構圖呈現出有 兩個系列，一個系列是試題1、2、4，另一個則是試題1、3、5系列。除了 結構圖不同外，我們更可以觀察到各試題間的順序關係，作有方向性的判 讀，這也使我們能對學童的概念層次作更進一步的分析，瞭解其概念如何 發展。. 三、SS分析法的功能 SS 分析法具有以下優點（胡豐榮，2001；胡豐榮、許天維，2002）： （1） 可分析多點計分測驗。 （2） 為了在判讀上較為清楚，順序用「→」來表示關聯。 （3） 以 SS 分析法分析試題數較多的資料，仍能轉換成一目了然的圖形。 （4） SS 分析結構圖展現學童學習概念，與教材結構圖比較，可以作診斷 教學之用。 10.
(18) （5） 以順序關聯結構圖來呈現資料分析的結果，容易得到共識與認同。 本研究在應用 SS 分析法時，採下列步驟進行： （1） 依順序性係數公式來建立試題間的順序關係。 （2） 依據試題間的順序性係數，整理試題間之順序關聯。在本研究中， 閥值定為 0.9，即順序性係數大於 0.9 時，則試題間有順序關係。 （3） 以 Word 繪製 SS 分析結構圖。. 11.
(19) 第二節 分數概念分析 一、 分數的意義 分數在不同情境下有不同的用法及解釋，國內外許多學者對分數的意 義都有不同的分析，國外學者Kieren(1980)認為分數概念可分為部分－全 體 、 比 、 商 、 測 量 及 運 算 元 五 種 建 構 的 方 式 ， 而 Dickson, Brown & Gibson(1984)將分數的意義分成全部區域的子區域、子集合與母集合間的 比較、數線上兩個整數間的一點、除法運算的結果、兩個集合或兩個測量 物的比較方法。Nesher(1985)將分數分成五種意義，分別為部分－全體、 兩數相除的結果、比、運算子、機率。另外，Ohlsson(1988；引自劉秋木， 1996)認為從數學的建構來看，分數有四種建構： （一） 商的函數(the quotient function) （二） 有理數 (rational numbers) （三） 二元向量(binary vectors) （四） 合成函數(composite functions) 國內學者楊瑞智（2000）依據國小數學教材中分數情境的不同，提出 分數的十種意義： （一）部分／全部（連續量）：例如：「一塊蛋糕平分成8份，每一份蛋 糕是一塊蛋糕的多少？」 （二）子集合／集合（離散量）：例如：「一箱飲料有24瓶，喝了5瓶， 是喝了幾箱飲料？」 （三）乘法運算元，例如：「一個漢堡70元，一份薯條的價格是一個漢堡 1 2. 的 ，一份薯條要多少錢？」 1 3. 1 3. （四）等值分數：例如：「爸爸吃了 條土司， 條土司和九分之幾條土 司一樣多？」 12.
(20) （五）整數除法的結果：例如：「3公尺的緞帶，平分成5段，每一段是幾 公尺？」 1 4. （六）分數是一個數／數線上的一個點：例如：「大寶家距離學校8 公里， 1 2. 換成小數是多少公里？」；「 在數線上的位置。」 1 2. 1 5. （七）平均（含速率、密度）：例如：「胖福 小時可走2 公里，平均每 小時走多少公里？」 4 9. 1 5. （八）當量：例如：「有 公升的牛奶，媽媽把 公升裝成一杯，全部裝 完，相當於裝成多少杯？」 （九）比例尺中的比／比例尺／比值／比較量÷基準量：「大賣場平面圖 的比例尺是1：100，也可寫成. 1 。」；「15個榮譽章可換2張禮券， 100. 榮譽章對禮券的比可寫成15：2，比值為. 15 2 。」；「許家有 公頃 2 5. 3 8. 的土地，張家有 公頃的土地，許家土地是張家土地的多少倍？」 （十）機率：「盒子裡有大小、材質都相同的號碼球49顆，分別標上1～ 49號，從盒子中隨意取出一顆號碼球，取出28號的機率是多少？」 教育部民國八十二年所頒佈的國小數學課程標準，亦歸納出下列六種 意義（教育部，1993）： （一） 表示操作：即在具體物或圖像上進行「分的活動」，重視具體物 操作與分數符號兩者的連結。 （二） 部分／全體：包括連續量與離散量的情境。 （三） 數線上的一數值：(1)表示線段長。(2)表徵為數線上一點。 （四） 整數相除的結果。 （五） 比例、比值。 （六） 表示量的大小：如. 1 1 加上名數「公尺」，即為固定長度量 公尺。 10 10 13.
(21) 現行的九年一貫課程綱要數學學習領域中指出小學的有理數教學，必 須釐清、練習並連結下述有理數（表現形式為分數和小數）的四種意涵， 而有理數最核心的意涵是「除的意涵」 （教育部，2003） ：1.平分的意涵。2. 測量的意涵。3.比例的意涵。4.部分/全體的意涵。. 二、 國小學童數概念的運思方式 在討論分數概念之前，應對兒童數概念的運思方式進行瞭解。兒童的 運思方式取決於數概念的品質，而數概念品質的提升又有賴運思發展的成 熟，也就是說，若學童能夠反覆運用某種運思方式，即代表其已熟練此階 段的數概念，而82年部編本(教育部，1993)將國小學童運思方式，依序分 為五個發展階段： 一、合成運思：此運思能將數個「1」合而為一，形成一個集聚單位（例 如：10或18） 。例如學童在進行「4+5」的整數加法時，可以先做出代 表4和5的表徵物，再從1開始點數所有的表徵物。同樣的，在處理「8-4」 的整數減法時，會先做出代表8的表徵物，拿走其中4個後，再重新開 始點數所有表徵物。 二、累進性合成運思：此運思可以使用一個集聚單位，透過合成新的「1」， 而形成新的集聚單位，例如以26為起點，繼續合成3個「1」，而形成 29。例如在處理「4+5」的整數加法時，可以由4為起點，依序往下再 數5個數詞，得到答案為9。處理整數減法時也雷同。 三、部分─全體運思：此運思可以明顯區分「1」單位與以「1」為單位量 所合成的集聚單位（例如：10或100）間的部分─全體關係，故可將 數個集聚單位和數個「1」單位合而為一，形成新的集聚單位，也就 是學童在混合使用兩種以上的計數單位時，不混淆其計數的意義，發 展由多單位的觀點，來解讀數字（詞）的意義。例如，能區辨「十」 14.
(22) 集聚單位（或其他集聚單位）與「一」單位。計算「24+53」時，學 童能將24視為2個「十」與4個「一」 ，53視為5個「十」與3個「一」， 再將2個「十」和5個「十」、4個「一」和3個「一」分別進行合成， 最後再將7個「十」與7個「一」合成為77而得到答案。 四、測量運思：此運思是同時掌握兩個階層的部分─全體關係。以掌握「1」 與集聚單位（例如： 「一」和「十」 ）間的部分─全體關係為基礎，進 而掌握集聚單位（例如： 「十」）與以此集聚單位為單位量所合成的另 一個新集聚單位（例如：10個「十」 ，也就是「百」）間的部分─全體 關係，也就是說，可以把任何整數（例如：10或18或100）當作單位 量，而此整數成為測量單位。例如學童能將8看成是構成32的單位量， 也能將4看成是構成8的單位量，8不僅是構成32的一部分，同時也是 由4所構成的整體。 五、比例運思：學童能掌握兩個集聚單位間關係，形成新的單位來描述此 關係，也就是掌握有理數或比值的概念。82年版部編本預估學童在國 中階段發展比例運思，非小學階段，因此不再贅述。 82年版部編本預估部分─全體運思的發展在三年級，測量運思的發展 在五年級。. 三、 兒童分數概念發展 Piaget, Inhelder & Szeminska(1960)為探討兒童如何建立部分─全體間 的關係來形成分數概念，因此使用連續量的具體物，研究4到7歲兒童對面 積的分割行為，其研究發現兒童的分數概念發展可以分為： 一、四歲到四歲半的兒童，對一物分為兩半甚為困難，在分割之前沒有預 想的計畫或基模。缺少部分與全體之間的任何關聯，是此一階段的最 大特徵。例如將長方形平分之後，將其中一份呈現在兒童面前，兒童 15.
(23) 並不會注意到他所接觸的是由長方形平分而來的其中一部份。對於不 同形狀之分割，正方形屬較難的部分，其次為圓形，長方形則較為容 易。 二、四到六歲的兒童對於規則的物品已有分半的能力，但三等分物體的能 力尚未表現。學童比較容易解決長方形的圖形分割。 三、六到七歲的兒童已經能夠成功的三等分物品，而不必利用試誤的方 法，但對操作的了解依然在具體操作期，而此階段的兒童具有整體性 保留概念。 四、十歲左右的兒童能進行六等分的分法。 學者甯自強（1993）則是依據兒童不同階段的運思方式所呈現的數概 念與分割活動基準，利用分數詞作為區分，而將兒童的分數概念分為五個 層次，茲說明如下： （一）分數概念的前身 此時的兒童雖具備數概念與分割活動，但其數概念是序列性合成運思 階段，而分割活動無法將子分割單位數值化，因此，此階段的兒童並未具 有分數概念，故稱為分數概念的前身。例如給兒童六個積木，請兒童拿出 1 3. 其中的 ，兒童不是拿出「1個」，就是「3個」。 （二）起始單位分數 當兒童引入累進性合成運思於分數的情境，兒童便如同在整數情境中 連絡兩整數一樣，將由子分割單位構成的分子部份內嵌於由子分割單位構 成的分母部份，此時的分數詞意義稱之為「內嵌並置類型」(embedded patterns)，顯現出無法進行單位分數累積活動的特徵。 （三）加法性分數 因部份—全體運思引入子分割活動中，造成子分割單位的質變。此時 子分割活動的結果是可集聚的計數單位，也是用子分割單位集聚而成的集 16.
(24) 聚單位中的獨立部份單位。子分割單位自此開始成為所謂的單位分數單位 (unit fraction unit)。雖然此時兒童已具有子分割運思，與單向的部份－全體 運思時的分數概念，但此階段的兒童仍無法聯絡兩個以上的子分割活動。 （四）巢狀分數 巢狀分數是指兒童具有雙向的部份－全體運思，與具有子分割單位數 值化的分數概念。因此時兒童能同時運思兩個分數，所以稱為巢狀分數。 巢狀分數則是測量運思下的產物。此階段的兒童具有雙向的部份－全體運 思，故能理解等值分數與分數的次序比較，但無法使用共測單位的概念來 確定分數等值，兒童只能以等分割的方式來進行。 （五）有理數概念 有理數是巢狀分數的重組，也就是兩個部份全體的重新組合。兒童不 2 6. 3 9. 僅具有巢狀分數，更能將分數當作測量單位。例如學童知道 和 皆是 6 1 2 3 ，因為能以 為測量單位進行比較，所以 等於 。 18 18 6 9. 綜合以上文獻，分數的意義十分廣泛，且在生活中應用的範圍很廣。 而分數概念的學習，更是未來學習比、比值、速率、基本代數運算的基礎， 佔有相當重要的地位。但分數概念非常抽象，在教學中常常需要透過具體 物或半具體物來協助學童建立分數概念，因此瞭解分數概念建立的順序便 相當重要。本研究欲透過SS分析法，探討兒童分數除法概念的發展，使教 師能提升教學成效，也能提高學生的學習成就。. 17.
(25) 第三節 分數除法概念分析 一、 九年一貫課程綱要分數能力指標分析 本研究欲探討國小六年級學童分數除法概念，而現行國小教材是依據 教育部民國九十二年公佈的國民中小學九年一貫課程數學領域課程綱要 所編製，因此將其中有關分數概念的階段能力指標整理如下： 表2-3 九年一貫課程綱要分數能力指標彙整 年級 代碼 能力指標 階段一 N-1-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母 一至三年級 分數的比較與加減問題。 階段二 N-2-06 能理解分數之「整數相除」的意涵。 四、五年級 N-2-07 能認識真分數、假分數與帶分數，作同分母分數 的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問 題。 N-2-08 能理解等值分數、約分、擴分的意義。 N-2-09 能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比 較與加減問題。 N-2-11 能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生活 中的問題。 N-2-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。 N-2-14 能認識比率及其在生活中的應用。 階段三 N-3-02 能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意 六、七年級 義，並用來將分數約成最簡分數。 N-3-03 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生 活中的問題。 N-3-05 能理解比、比例、比值與正、反比的意義，並解 決生活中的問題。 N-3-06 能理解速度的概念與應用，認識速度的普遍單位 及換算，並處理相關的計算問題。 N-3-07 能熟練比例式的基本運算。. 18.
(26) 由能力指標可知，分數概念最初步的學習，是透過具體的情境來建 立，學會分數的記號，更進一步認識真分數、假分數和帶分數，進而理解 等值分數、約分、擴分和通分的意義，並逐步從同分母分數、異分母分數 的比較和加減運算，學習至分數乘除法，理解分數、小數間的關係，並應 用至生活中，例如比例、速度等。其中，除數為分數的分數除法運算在階 段三進行學習。 分段能力指標是依主題及階段學習能力而訂定，但多數指標須採分年 進階式教學方能達成其教學目標。因此，九年一貫課程綱要由階段能力指 標演繹出更細緻的分年細目及詮釋，以利分年進階式教學進度目標的明確 掌握。國小一至六年級分年細目整理如下表2-4。 分年細目明確的寫出每個年級應完成的概念學習，且更進一步指出分 數的學習要從平分的情境中開始，認識單位分數，三年級透過平分及部分 －全體活動認識分數意義，但並未限制在真分數。四年級認識真分數、假 分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，並理解等值分數。五年級學 習約分、擴分及通分，進行簡單異分母的加減比較與運算，並學習分數乘 法。六年級學習將分數約成最簡分數及除數為分數的分數除法，並應用至 比、比值、比率、速度等。 由以上可知，國小四年級學童需在平分情境中，理解分數之「整數相 除」的意涵，五年級則在測量情境中理解分數之「整數相除」的意涵，六 年級時理解除數為分數的意義及計算方法，因此本研究將分數除法文字題 分為三大類：分數除以分數（同分母） 、整數除以分數、分數除以分數（異 分母） 。. 19.
(27) 表2-4 九年一貫課程綱要分數分年細目彙整 年級 代碼 分年細目 二年級 2-n-10 能在平分的情境中，認識分母在 12 以內的單位分 數，並比較不同單位分數的大小。 三年級 3-n-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分 數的比較與加減問題。 四年級 4-n-06 能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶 4-n-07 分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與 非帶分數的整數倍的計算。 能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並 4-n-08 用來做簡單分數與小數的互換。 五年級 5-n-04 能用約分、擴分處理等值分數的換算。 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。 5-n-05 能在測量情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。 5-n-06 能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活 5-n-07 中的問題。 能將分數、小數標記在數線上。 5-n-11 六年級 6-n-02 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質 的意義，理解最大公因數、最小公倍數的計算方式， 並能將分數約成最簡分數。 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活 6-n-03 中的問題。 能認識比和比值，並解決生活中的問題。 6-n-07 能理解速度的概念與應用，認識速度的普遍單位及 6-n-08 換算，並處理相關的計算問題。 能理解正比的現象，並發展正比的概念，解決生活 6-n-09 中的問題。. 20.
(28) 二、 分數除法文字題類型分析 分數除法文字題的類型相當的多，除了連續量、離散量等分類方式 外，被除數、除數及商也都是影響學童解題的因素，因此研究者將分數除 法文字題的類型依照「分數形式」和「問題情境」來分析，命題時則以此 兩種類型進行交叉編排，茲將分數除法的問題類型敘述如下： （一）以「分數形式」來分類 民國82年版部編本（教育部，1993）依照分數形式的不同，安排分數 除法解題活動的順序，順序如下：（1）整數÷整數＝分數（2）分數÷分數 ＝整數（包含除）（3）分數÷整數＝分數（等分除）（4）分數÷分數＝分 數（當量除）。其中整數÷整數＝分數（商包含真分數、帶分數）、分數 （整數）÷分數＝整數在五年級進行，分數÷整數＝分數及分數除以分數＝ 分數在六年級實施教學。 九年一貫數學課程綱要（教育部，2003）明訂國小四年級學童需在平 分的情境中，理解分數之「整數相除」的意涵，五年級則在測量情境中理 解分數之「整數相除」的意涵，六年級時理解除數為分數的意義及計算方 法。在分年細目的解釋中提到，教師在教學時，可先處理分數除以整數的 問題，再處理整數除以分數的情況，最後處理除數為一般分數的情形，最 好在「除數為單位分數」的情形下開始處理。從以上所述，整理九年一貫 數學課程分數除法解題活動的順序如下：（1）整數÷整數（2）分數÷整數 （3）整數÷分數（4）分數÷分數。 研究者正式施測學校所使用數學版本為南一版，因此分析九十九學年 南一版數學教材內容，將分數除法分為五種，並按照課本安排的教學順序 依序排列：（1）整數÷整數（2）分數÷整數（3）整數÷分數（4）分數÷分 數（同分母）（5）分數÷分數（異分母）。在教學順序的編排上，南一版 是依照九年一貫課程綱要去設計，因此與綱要相同。分數除法的教學，透 21.
(29) 過算式及圖像表徵的引導，以生活中的情境為例，讓學生能夠容易理解。 綜合以上所述，民國82年版部編本與九年一貫課程綱要對分數除法解 題活動的順序安排略有不同。民國82年版部編本先處理分數÷分數＝整數 類型的問題，接著再處理分數÷整數＝分數，而九年一貫課程綱要正好相 反。本研究透過SS分析法，分析學童分數除法概念，可與兩版本的教學編 排順序作一對照。 （二）以「問題情境」來分類 Greer(1992)認為當解題的運算觀點不再以計算為考慮，而是以問題的 情境模式來考量時，更加顯示出解題運算的心理複雜度（王志銘，2007）。 因此研究者整理相關文獻（教育部，2001；王志銘，2007；吳麗梅，2008； 陳慧君，2009），將分數除法問題情境分成以下五種： 1. 包含除情境(measurement division) 在分年細目詮釋中，包含除情境為除數為分數的除法中最先處理的課 題，從單位分數開始。因為在包含除情境同分母的分數除法中，學童要具 備解決整數範圍內包含除問題的經驗及解決同分母分數的合成、分解或分 數的整數倍問題的經驗。學童可以用總量減去分量的策略來解題，也就是 使用總量逐次減去分量的方式，或者使用分量整數倍的策略來解題（教育 部，2001），這樣的方式較貼近學童的生活經驗，也較容易理解。包含除 異分母分數除法要順利解題，學童需具備以下經驗（教育部，2001）：(1) 解決整數範圍內包含除問題的經驗。(2)解決異分母分數的合成、分解、整 數的分數倍及整數倍問題的經驗。(3)解決被除數與除數為同分母的包含除 問題的經驗。學童可能的解題策略則有：(1)訴諸於內容物的策略。(2)從總 量逐次減去分量。(3)使用分量的整數倍累積逼近總量。(4)使用算則。學童 在教學過程中，會認為商一定比被除數小，此乃基於整數計算經驗的錯誤 類推，也是最要注意的錯誤類型。 2. 等分除情境(partitibe division) 22.
(30) 呂玉琴（1998）指出等分除是新單位量未知的單位量轉換問題，可用 「總量÷新單位數＝新單位量」此一式子來表示。等分除的情境，在整數 除法的運算中時常使用，也是學童最熟悉的生活情境之一，因此分數等分 除是由整數的等分除延伸而來。在分年細目也有規定，四年級要能在平分 1 8. 情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。例如：有6 公升的紅茶，平均 1 8. 倒成10杯，每一杯有多少公升？由上述式子解釋，6 公升即為總量，新單 位數是4包，等分除就是要求出每一新的單位數所分得的新的單位量。 3. 當量除情境(extended partitive division) 在一般的情境中，整數的除法可以用包含除或等分除的觀點來理解， 但是將除法運算推廣至分數或小數的範圍時，上述的觀點已不足以說明除 法的意義（呂玉琴，1998）。此時需以當量轉換的觀點將原先單位量轉換 的觀點擴充，來彌補意義解釋上的不足，此為當量除問題（呂玉琴，1998）。 1 6. 以「 瓶牛奶重4公斤，1瓶牛奶重幾公斤？」為例，用當量轉換的觀點來 1 6. 看，是以1瓶為單位，4公斤的牛奶相當於 瓶，來求出1瓶牛奶相當於多少 公斤。在這樣的意義的擴充之下，可將包含除及等分除的兩個式子進行改 寫（呂玉琴，1998）： 包含除：總量÷新單位量＝新單位數 → 當量除：當量值÷單位當量＝當量數 等分除：總量÷新單位數＝新單位量 → 當量除：當量值÷當量數＝單位當量 1 6. 1 6. 1 6. 以剛剛舉的問題為例， 瓶牛奶代表 個當量數，而 個當量數的當 量值為4公斤，所以1瓶牛奶是24公斤，此類問題本質上是比值問題，1瓶 是一個單位的當量測度，而4公斤則是此單位下量得的測度值，故單位當 量是「24公斤/瓶」，而不是24公斤（呂玉琴，1998），所以可看出單位當 23.
(31) 量是兩個測度所聯合的量。根據以上當量除的兩個式子，可以將當量除再 細分為當量數未知及單位當量未知兩類。 4. 乘法的反運算 1 5. 「爸爸的體重是68公斤，是媽媽的1 倍，請問媽媽的體重是多少？」 此一類型的問題，就是乘法的反運算。在教學中，先請學童列出乘法算式 1 5. 填充題，用（）或□來代表媽媽的體重，列出「□×1 ＝68」，接著再從 乘法的反運算中，運用除法的運算，求出媽媽的體重，也就是「□＝68÷ 1. 1 」 。 另 外 值 得 一 提 的 是 笛 卡 兒 積 的 逆 運 算 (inverse of a Cartesian 5. production)。笛卡兒積是相當不同的乘法情境（教育部，2001）。例如：有. 4個男生與5個女生一起跳舞，問有多少種不同的配對（一位男生與一位女 生的配對）？王志銘（2007）亦提到笛卡兒積是由兩個度量空間的乘積， 所產生另一度量空間，相當於Vergunaud(1983)的量數叉積，例如：「一個 4 5. 長方形的長是 公分，面積是. 16 平方公分，請問長方形的寬是多少？」若 30 4 5. 以算式填充題列式，可表示為 ×□＝ 是□＝. 16 ，而寬即可由逆運算求得，也就 30. 16 4 ÷ ，此為笛卡兒積逆運算。研究者將笛卡兒積歸類為乘法的反 30 5. 運算，因為在國小階段只有面積或體積屬笛卡兒積，在教材中題目類型較 少，且與乘法反運算一樣透過逆運算來求出答案，因此研究者將笛卡兒積 歸於乘法的反運算的分類下。 由以上文獻，研究者從分數形式中，挑選除數為分數的類型，分成三 大類，即分數除以分數（同分母）、整數除以分數、分數除以分數（異分 母），再從問題情境中挑選，為避免過多的變項干擾，因此選定包含除及 當量除兩種情境，其中當量除包含當量數未知及單位當量未知情境。以三 大類分數形式與三種問題情境交叉進行配對命題，進行施測。 24.
(32) 三、 分數除法文字題類型分析 在數學科的教學中，學童對分數除法在概念及算式的理解上是較為困 難的項目，Fendel (1987) 指出分數的除法在小學階段通常是被視為最機械 式、最難理解的主題，因為分數概念是一個在問題情境中兼具多重意義的 數學概念（陳慧君，2009）。除了分數的形式會影響學童解題外，問題情 境與學童生活經驗之間的結合，也是成功解題的重要一環。在Tirosh（2000） 「分數的除法」研究中，發現學童常發生的錯誤類型有： （一）因演算而犯的錯誤(Algorithmically based mistakes) Ashlock (1990)提到，因演算而犯的錯誤中，最常見的是將被除數的分 子和分母顛倒，而不是除數，或者是換成乘法之前，就將被除數與除數的 分子和分母一起顛倒。這些錯誤顯示學童在計算時是使用死背的方式而導 致錯誤，並不是真正的瞭解運算的概念。也就是說，計算的過程對學童來 講，只是一連串無意義的符號，容易因某方面改變或計算缺少某些步驟而 產生錯誤。 （二）因直覺而犯的錯誤(Intuitively based mistakes) Fischbein, Deri, Nello & Marino(1985)在除法運算研究中指出，學童由 於對除法的直覺而產生錯誤，學童將正整數運算的特性套用在分數上，認 為分數也是一樣，因此用「等分除」來解釋除法。在正整數的「等分除」 中，有三項限制：被除數必須大於除數、除數必須是整數及商必須小於被 除數。平分的情境是學童最熟悉的問題情境，因此在等分除的模式下，解 決分數除法的文字題時，會嚴重影響到其正確的反應能力。 （三）因形式認知不足而犯的錯誤(mistakes based on formal knowledge) Hart(1981)指出，學生認為除法如同乘法中的交換律一樣，被除數和除 1 6. 1 6. 1 6. 數是可以互換的，例如：有學童認為1÷ ＝ ÷1＝ 。 由以上文獻可知，學童在學習分數除法時，所以要理解的意義十分複 25.
(33) 雜，分數除法關係到問題情境、分數的形式等，甚至一般分數除法的計算 方法也難以理解（即將除數顛倒相乘）。在教學時，為求教學成效，往往 都會讓學童背誦計算的方法，但在課堂上可能只解釋過一兩次算法的原 理，即使是教師，可能也有少部分教師沒有真正瞭解分數除法的算則意 涵。若再牽扯到分數除法文字題，學童就更難處理了，因此國內學者對分 數除法概念的研究很多，以作為提升教學成效及兒童解題能力之參考。 李浩然（2003）分析高雄市國一學生分數乘除法運算錯誤類型，得到 以下結果：（1）除法直接換成乘法。（2）同分母時分子相除分母不變。 （3）乘上被除數的倒數或被除數與除數的倒數。（4）帶分數除以分數或 整數，帶分數中分數與除數相除，整數不變。（5）帶分數除以帶分數時 整數與分數分開運算。（6）分母相約或分子相約。（7）帶分數拆成整數 乘以分數或整數加分數再計算。（8）分母、分子同除以整數。（9）分數 除法當成整數除法。 林榮煌（2006）在國小六年級學童分數乘除概念與運算錯誤類型之研 究中發現，學生在分數除法概念與運算上錯誤類型與原因有：（1）對題 目意思不明白、用關鍵字解題；以舊經驗解題，直接大數除以小數。（2） 未符合題目答題要求作答。（3）同分母分數相除，只有分子相除，分母 不變。（4）與約分混淆。（5）基本概念錯誤。（6）將分數除法當成分 數乘法。（7）帶分數以分配律分成整數加分數後，去括號後直接運算。 （8）被除數轉成倒數。（9）除數轉成倒數結果錯誤。（10）過度類化算 則。（11）帶分數除以整數，只有整數相除，分數未進行除法計算。（12） 被除數和除數皆轉成倒數。 吳麗梅（2008）於潛在類別分析在國小六年級學生「分數除以分數」 之研究中發現，「分數除以分數」在計算題部分比文字題表現要好；不管 是文字題或計算題，「分數除以分數（異分母）」的概念對學童來說較為 困難，而文字題則以當量除情境最不熟練。 26.
(34) 蘇文君（2008）在研究中整理出分數除法之錯誤類型：（1）數字計 算錯誤。（2）應用題不懂題意。（3）只用分母相除。（4）只用分子相 除。（5）假分數、帶分數轉化錯誤。（6）帶分數先算分數再加整數。（7） 被除數與除數對調。（8）帶分數除以帶分數時，整數與分數分別運算。 （9）帶分數和整數相除時，只做整數之間的運算。（10）除法改乘法時， 未將除數倒置。（11）除法改乘法時，將被除數倒置。（12）除法改乘法 時，將被除數倒置，除數為倒置。（13）直接把答案的分數部分當餘數。 （14）無法由除數的大小判斷被除數與傷的關係（直接以計算結果比較）。 許璋銜（2009）在國小六年級學童分數除法概念之探究中，歸納分數 除法結構可分三個層次： 層次1：1-1整數÷整數結果為分數。1-2同分母分數除法。1-3整數÷單 位分數。1-4分數÷整數（分子能被整數整除） 層次2：2-1整數÷分數、分數÷整數（分子不能被整數整除）。2-2異分 母分數除法。 層次3：逆運算及有餘數問題。 鄭光明（2009）針對五年級學童分數除法概念進行研究，將分數除法 分為分數除以整數、同分母分數除法、異分母分數除法和整數除以分數四 個概念，發現同分母分數除法是概念的最下位，異分母的分數除法是最上 位概念。同分母分數除法的發展順序為帶分數除以真分數、帶分數除以帶 分數、真分數除以真分數、真分數除以帶分數；異分母分數除法則是真分 數除以真分數、帶分數除以帶分數、帶分數除以真分數、真分數除以帶分 數。 綜合以上文獻，學童在學習分數除法概念時，在運算上發生的錯誤類 型非常多，而由整數的四則運算進入分數的運算，對學童來說更是一大難 題，在為求教學成效的情況下，利用背誦口訣的方式進行教學是屢見不 鮮。雖然分數除法的一般計算方式非常容易透過不斷的練習而精熟，但對 27.
(35) 大部分學童來說是只記憶算法卻不懂其中意義，而搭配各種問題情境及分 數型式的文字題，更是棘手。有更多的學童只懂計算卻無法理解題意，因 此本研究針對分數除法文字題，將分數形式分為分數除以分數（同分母）、 整數除以分數、分數除以分數（異分母），並配合包含除、當量除當量數 未知、當量除單位當量未知三種情境，試圖從學童的測驗結果進行SS分 析，繪製上下位概念圖，以利未來教師在教學設計及補救教學方面的進 行，期能提高學童的學習成就及教師的教學成效。. 28.
(36) 第三章 研究方法 依據文獻探討，本章針對研究架構、研究對象、研究工具、研究流程 及資料處理等逐一說明。. 第一節 研究架構 依據研究目的及文獻探討，提出以下研究架構，如圖3-1所示： 閱讀分數相關文獻 整理分數除法概念 編製分數除法概念試題 進行預試 正式施測試題 正式施測 SS 分析 繪製 SS 分析圖 解釋 SS 分析圖 圖 3-1 研究架構. 29.
(37) 第二節 研究對象 本研究受限於人力、時間、經費等因素，正式施測對象僅選取臺中市 某公立小學的六年級學童，4個班級，共100人，在臺中市係歸屬於仁類學 校，各個班級都採行常態編班。 由學生過去數學成績資料中得知此四班成績分佈相近，數學科定期評 量成績平均也十分接近，因此為減少外在環境對學童產生影響，由原班導 師監考，在原班教室進行施測，讓學童能在熟悉的環境中作答。分數除法 單元已在六年級上學期學習完畢，因此正式施測時間選定於六年級下學期 進行，以記憶方式來學習的學童應已大多遺忘，也較能測出學童真正的概 念。. 30.
(38) 第三節 研究工具 本研究之主要研究工具為「國小六年級學童分數除法概念測驗」及相 關的統計軟體，說明如下： 一、 國小六年級學童分數除法概念測驗 （一）試題編製依據 正式施測學校六年級數學教材為南一版，因此依照課本文字題敘述的 方式來命題。 在設計題目時，為了儘量減少干擾因素的影響，因此依據下列原則編 製試題： （1） 依問題情境來區分，分數除法中，除數為分數的題型不適合以「等 分除」情境來命題，因此分為「包含除」及「當量除」兩類，其 中分數除以分數（異分母）的部份，因南一版課本中文字題大部 分皆為當量除情境，因此不設計包含除情境的問題。 （2） 在分數形式方面分為三大類，分別是分數除以分數（同分母）、 整數除以分數、分數除以分數（異分母），而在這三大類底下依 據被除數及除數的分數形式再細分，如表3-1，其中假分數的計 算方式與真分數類似，且南一版並沒有特別強調假分數的部分， 但課本及習作都有出現假分數的形式，因此第1題及第19題以假 分數取代真分數出題。另外，包含除情境問題無法用真分數除以 帶分數的方式出題，因此予以省略。 （3） 分析南一版的分數除法單元文字題問題類型，從中取出兩種類型 進行施測，分別是當量數未知與單位當量未知。命題時敘述方式 皆與課本類似，但不同的是，研究者將題目中包含除數的語句放 在前面，而包含被除數的語句放在後面。. 31.
(39) 表3-1 分數除法題型與試題對照 情境 分數除法類型 分數形式 包含除 分數除以分數 真分數除以真分數 （同分母） 帶分數除以真分數 帶分數除以帶分數 整數除以分數 整數除以真分數 整數除以帶分數 當量除 分數除以分數 真分數除以真分數 （同分母） 帶分數除以真分數 真分數除以帶分數 帶分數除以帶分數 整數除以分數 整數除以真分數 整數除以帶分數 分數除以分數 真分數除以真分數 （異分母） 帶分數除以真分數 真分數除以帶分數 帶分數除以帶分數. 試題代號 1、2 3、4 5、6 15、16 17、18 7、8 9、10 11、12 13、14 19、20 21、22 23、24 25、26 27、28 29、30. 試卷題號 1-1、2-1 2-2、1-2 1-3、2-3 2-8、1-8 1-9、2-9 2-4、1-4 1-5、2-5 2-6、1-6 1-7、2-7 2-10、1-10 1-11、2-11 2-12、1-12 1-13、2-13 2-14、1-14 1-15、2-15. 註：試卷題號1-1表示試卷一的第一題。當量除情境中，試題代號奇數題為 當量數未知，偶數題為單位當量未知。 （二）計分方式 測驗試題運用五點計分方式表示，單一題目最高可得4分，最低為0 分，將計分方式敘述如下： （1） 能將算式正確列出，給1分。 （2） 計算過程沒有任何錯誤，給1分。 （3） 能將答案正確算出，給1分。 （4） 能將算出的答案寫成正確的答，給1分。 在批改時，需依照以上順序給定分數，也就是說，學童能將算式正確 列出，即獲得第一分，計算過程沒有任何錯誤，獲得第二分，以此類推。 將批改時的幾種情況列出： （1） 學童列了錯誤的算式，即使接下來依照錯誤算式所做的計算過程沒 32.
(40) 有錯誤，答案正確，得到的分數是0分。 （2） 學童列出正確算式，但接下計算過程寫錯，得到的分數是1分。 （3） 學童列出正確算式，計算過程正確列出，但答案計算錯誤，得到的 分數是2分。學童列出正確算式，計算過程正確列出，答案也算對， 但最後的答寫錯，得到的分數是3分。 （4） 完整無誤得4分。 （三）信度分析 信度又稱為可靠性，指施測結果的穩定性。本研究採用Cronbach’s α 係數來求試題的內部一致性。預試結果得到的α值為.960，代表本測驗試題 具有相當高的信度。再觀察表3-2刪除各試題後的Cronbach’s α係數，測驗 試題並沒有因為刪除某一題之後變得特別高或特別低，因此無須刪除任何 試題。 表3-2 預試刪除各試題Cronbach’s α係數分析 題號 項目刪除時的 Cronbach’s α 值 題號 1 0.962 16 2 0.963 17 3 0.959 18 4 0.962 19 5 0.961 20 6 0.960 21 7 0.958 22 8 0.958 23 9 0.960 24 10 0.962 25 11 0.959 26 12 0.961 27 13 0.959 28 14 0.961 29 15 0.959 30. 33. 項目刪除時的 Cronbach’s α 值 0.960 0.960 0.961 0.960 0.960 0.962 0.961 0.960 0.960 0.959 0.962 0.962 0.959 0.959 0.960.
(41) （四）效度分析 效度又稱正確性，指一份測驗能準確的測量到研究者對施測者所要測 的能力或潛在特質程度。本研究測驗試題的效度採內容效度及專家效度。 本研究使用雙向細目表來判斷試題的內容效度；專家效度則請六位擔任六 年級的導師，並擁有十年以上資深教學經驗的教師，協助審題並修改測驗 試題的語句，再與兩位教育大學之數學教育教授進行討論與修正，專家審 核表請見附錄一。 （五）難度與鑑別度分析 將所有受試者的成績由高至低排列，由最高成績向下取全體受試人數 的31％為高分組，再從最低成績向上取全體受試人數的31％為低分組，算 出高分組及低分組的答對率相加除以二((PH＋PL)/2)來表示難度指標。接 著將其答對率相減(D＝PH－PL)算出題目的鑑別度。. 表3-3 預試試題難度及鑑別度 難度 難度 鑑別度 鑑別度 題號 題號 P (PH+PL)/2 D=PH-PL P (PH+PL)/2 D=PH-PL 1 0.82 0.73 0.53 16 0.75 0.63 0.71 2 0.75 0.67 0.66 17 0.74 0.62 0.69 3 0.78 0.65 0.60 18 0.73 0.67 0.68 4 0.82 0.76 0.46 19 0.64 0.60 0.69 5 0.84 0.76 0.42 20 0.32 0.37 0.54 6 0.75 0.61 0.60 21 0.52 0.47 0.72 7 0.64 0.57 0.88 22 0.36 0.39 0.73 8 0.46 0.48 0.70 23 0.53 0.56 0.81 9 0.57 0.52 0.73 24 0.34 0.45 0.81 10 0.58 0.51 0.80 25 0.47 0.49 0.83 11 0.49 0.44 0.84 26 0.58 0.53 0.82 12 0.25 0.34 0.54 27 0.41 0.47 0.71 13 0.50 0.50 0.75 28 0.26 0.36 0.70 14 0.29 0.37 0.57 29 0.51 0.46 0.73 15 0.73 0.64 0.66 30 0.29 0.42 0.72 34.
(42) 由表3-3可知，每一題試題的鑑別度都在0.42以上，鑑別度良好。測驗 試題的難度介於0.34到0.76之間，難易度適中。 （六）正式施測 經過信度、效度、難度及鑑別度分析，並修正預試試題後，正式施測 於民國一百年三月進行，以班級為單位實施，由該班導師說明測驗目的及 作答注意事項，施測時並未告訴學童是測驗分數除法概念，讓受測的學童 完全依照自己對題目的解讀進行作答，不提供其他的訊息。正式施測題目 為三十題，施測時間為兩節課，共八十分鐘，中間休息十分鐘。正式施測 題目如表3-4。 表3-4 正式施測試題內容 問題類型 包 分 真分數除 含 數 以真分數 除 除 以 分 數 ︵ 帶分數除 同 以真分數 分 母 ︶. 帶分數除 以帶分數. 題號 題目. 6 48 盒餅乾，家裡有 盒餅乾，幾天後會全部吃完？ 19 19. 1-1. 爸爸每天吃. 2-1. 每. 2-2. 3 4 媽媽把 盒鳳梨酥裝成一盤，現有2 盒鳳梨酥，可以分裝成多少盤？ 7 7. 1-2. 3 5 每個農夫有耕地 公頃，大地主有5 公頃的地分租給農夫，全部租 8 8 完，農夫總共有幾個？. 1-3. 4 4 1 公尺的彩繩可編成一個蝴蝶結，一條彩繩長6 公尺，可編成幾個 6 6 蝴蝶結？. 2-3 整 整數除以 數 真分數 除 以 分 數 整數除以 帶分數. 備註. 3 9 公斤冬瓜糖裝成一包， 公斤可裝成幾包？ 10 10. 9 3 公升牛奶，冰箱裡有8 公升，如果把牛 12 12 奶全部喝完，共可分給幾個人喝？ 老師規定每個人可以喝2. 2-8. 2 每 公斤麵粉裝成1包，一袋麵粉有4公斤，共可裝成幾包？ 7. 1-8. 8 媽媽將 臺斤的蘋果裝成一袋，8臺斤的蘋果共可裝成幾袋？ 9. 1-9. 1 每1 公升柳橙汁裝成1杯，9公升柳橙汁可裝成幾杯？ 8 35.
(43) 2-9 當 分 真分數除 量 數 以真分數 除 除 以 分 數 ︵ 同 分 帶分數除 母 以真分數 ︶. 真分數除 以帶分數. 帶分數除 以帶分數. 整 整數除以 數 真分數 除 以 分 數 整數除以 帶分數. 分 數 除 以 分 數 ︵ 異 分 母 ︶. 真分數除 以真分數. 2-4. 13 公斤裝成一包，27公斤可裝成幾包？ 14. 5 9 公升汽水裝成1杯，瓶子裡有 公升汽水，全部裝完，可裝成幾 當量數 14 14 未知 杯？ 每. 1-4. 2 5 瓶牛奶是 公升，1瓶牛奶是幾公升？ 6 6. 1-5. 每. 2-5. 2 2 公尺的鐵絲重1 公斤，1公尺的鐵絲重幾公斤？ 5 5. 2-6. 果汁每1. 1-6. 5 7 1 罐可樂重 公斤，1罐可樂的重量是幾公斤？ 8 8. 1-7. 每1. 2-7. 4 2 每2 公升的汽油，可讓汽車跑1 公里，1公升汽油可讓汽車跑幾公 9 3 里？. 5 2 公斤肉乾裝成一包，4 公斤的肉乾，共可裝成幾包？ 11 11. 3 7 公升裝成一瓶， 公升可裝成幾瓶？ 13 13. 6 4 盒糖果裝成1包，爸爸有3 盒糖果，共可裝成幾包？ 12 12. 單位當 量未知 當量數 未知 單位當 量未知 當量數 未知 單位當 量未知 當量數 未知 單位當 量未知. 5 2-10 醬油每 公升裝成一瓶，7公升的醬油可以裝成幾瓶？ 3. 當量數 未知. 3 1-10 哥哥去大湖採草莓，每採 公斤要40元，1公斤要多少錢？ 5. 單位當 量未知. 1 1-11 每2 公斤麵粉裝成一包，2公斤的麵粉可以裝成幾包？ 5. 當量數 未知. 3 2-11 4 瓶醬油重3公斤，1瓶醬油重幾公斤？ 8. 單位當 量未知. 3 7 2-12 每 公升裝成一瓶，有 公升的果汁，共可裝成幾瓶？ 4 9. 當量數 未知. 1-12 帶分數除 以真分數. 砂糖每1. 3 2 條繩子長 公尺，1條繩子全長是幾公尺？ 4 7. 單位當 量未知. 5 1 1-13 每 公升沙拉油裝成一瓶，現有4 公升，共可裝成幾瓶？ 6 7. 當量數 未知. 1 4 2-13 小華家這星期吃了 包米，重量是3 公斤，1包米有多少公斤？ 5 15. 單位當 量未知. 36.
(44) 真分數除 以帶分數. 帶分數除 以帶分數. 1 4 2-14 工人一天鋪路1 公里，路長 公里，需要幾天才能鋪完？ 4 5. 當量數 未知. 1 6 1-14 1 包鹽重 公斤，1包鹽重幾公斤？ 3 7. 單位當 量未知. 1-15 2. 3 3 個柳丁可以榨成1杯柳橙汁，6 個柳丁可榨成幾杯？ 11 7. 5 3 2-15 3 公尺鐵條的重量是2 公斤，同樣的鐵條1公尺重多少公斤？ 5 6. 二、 相關的統計軟體 SPSS 12.0 中文視窗版：用來進行試題的信度、難度及鑑別度分析。. 37. 當量數 未知 單位當 量未知.
(45) 第四節 研究流程 本研究流程先蒐集並閱讀相關文獻，確立欲施測之分數除法概念，然 後設計分數除法概念試題。透過預試，依預試結果修訂施測試題來完成正 式施測試題。選取臺中市某公立國小四班六年級學生進行施測，經SS分析 法分析結果，解釋學童分數除法概念結構。 蒐集並閱讀分數相關文獻 整理欲分析之分數除法概念 編製分數除法概念試題 修訂施測試題 進行預試 試題性質分析 正式施測 SS 分析 繪製 SS 分析圖 研究結果分析 完成論文 圖 3-2 研究流程. 38.
(46) 第五節 資料處理 本研究採取量化研究的分析方式，來研究國小六年級學童分數除法概 念結構。在測驗試題的分析處理上，使用 Excel 及 SPSS 統計軟體進行試 題性質分析，包含信度、難度及鑑別度。 利用 SS 分析法，運用五點計分方式表示，進行受試者 SS 分析圖之分 析，繪圖工具為 Word，繪出 SS 分析圖，便於研究者分析受試者概念間的 關聯。. 39.
(47) 第四章 研究結果 本研究將測驗試題所獲得的資料運用五點計分方式表示，透過SS分 析，計算出各題間的順序性係數，以係數大於等於0.9為標準，以縱座標為 平均得分，得分由低排至高，從上到下找出概念之間的關聯，概念間若有 關聯，則加上箭頭，繪製成SS分析圖。. 第一節 試題性質分析 一、 信度分析 本研究採用 Cronbach’s α 係數來求試題的內部一致性。正式施測得到 的 α 值為.961，代表本測驗試題具有相當高的信度。再觀察表 4-1 刪除各 試題後的 Cronbach’s α 係數，測驗試題並沒有因為刪除某一題之後變得特 別高或特別低。 表4-1 刪除各試題Cronbach’s α係數分析 項目刪除時的 題號 Cronbach’s α 值 1 0.960 2 0.960 3 0.959 4 0.960 5 0.960 6 0.960 7 0.958 8 0.960 9 0.959 10 0.960 11 0.960 12 0.961 13 0.959 14 0.961 15 0.959. 題號 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 40. 項目刪除時的 Cronbach’s α 值 0.959 0.959 0.959 0.959 0.961 0.960 0.961 0.960 0.960 0.959 0.960 0.960 0.960 0.959 0.960.
(48) 二、 效度分析 本研究測驗試題的效度採內容效度及專家效度。本研究使用雙向細目 表來判斷試題的內容效度；專家效度則請六位擔任六年級的導師，並擁有 十年以上資深教學經驗的教師擔任學科專家，協助審題並修改測驗試題的 語句，測驗專家部分則與兩位教育大學之數學教育教授進行討論與修正。 分數除法文字題命題雙向細目表如下： 表 4-2 分數除法文字題命題雙向細目. 教材內容 包含除，分數除以分數（同分母） 包含除，整數除以分數. 批判性思考. 應用. 理解. 知識. 教學目標. 1、2、3、 4、5、6 15、16、 17、18 7、9、 11、13 19、21. 當量數未知，分數除以分數（同分母） 當量數未知，整數除以分數. 23、25、 27、29. 當量數未知，分數除以分數（異分母）. 8、10、 12、14 20、22. 單位當量未知，分數除以分數（同分母） 單位當量未知，整數除以分數. 24、26、 28、30. 單位當量未知，分數除以分數（異分母）. 三、 難度與鑑別度分析 將所有受試者的成績由高至低排列，由最高成績向下取全體受試人數 的31％為高分組，再從最低成績向上取全體受試人數的31％為低分組，算 出高分組及低分組的答對率相加除以二((PH＋PL)/2)來表示難度指標。接 著將其答對率相減(D＝PH－PL)算出題目的鑑別度。 41.
(49) 由表 4-3 可知，每一題試題的鑑別度都在 0.45 以上，鑑別度良好。 測驗試題的難度介於 0.31 到 0.77 之間，難易度適中。 表4-3 試題難度及鑑別度 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30. P 0.83 0.77 0.79 0.84 0.85 0.76 0.63 0.44 0.57 0.61 0.52 0.20 0.51 0.28 0.75 0.75 0.73 0.75 0.61 0.26 0.49 0.38 0.56 0.33 0.46 0.56 0.39 0.23 0.55 0.28. 難度 (PH+PL)/2 0.74 0.66 0.66 0.77 0.77 0.63 0.55 0.45 0.52 0.53 0.44 0.31 0.52 0.32 0.68 0.61 0.61 0.66 0.61 0.32 0.44 0.42 0.56 0.44 0.47 0.50 0.40 0.34 0.52 0.40 42. 鑑別度 D=PH-PL 0.52 0.68 0.61 0.45 0.45 0.61 0.90 0.71 0.77 0.81 0.87 0.61 0.71 0.58 0.65 0.71 0.71 0.68 0.71 0.52 0.74 0.71 0.81 0.81 0.81 0.81 0.74 0.68 0.77 0.74.
(50) 第二節 分數除法文字題 SS 分析 一、包含除文字題SS分析 包含除文字題中，主要分為分數除以分數（同分母）及整數除以分數 兩種，再依據分數形式分成五種類型，其類型一覽表及SS分析圖如表4-1 及圖4-1所示。由包含除文字題SS分析圖分析，可獲得以下結論： （1） 對六年級學童而言，整數除以真分數（試題15、16）分別與整數除 以帶分數（試題17、18）呈現等價關係，表示這兩類型題目對學童 來說所需具備的能力是相似的，而整數除以真分數的平均得分比整 數除以帶分數稍高一些。 （2） 在分數除以分數（同分母）類型中，真分數除以真分數（試題1）、 帶分數除以真分數（試題4）與帶分數除以帶分數（試題5）之間呈 等價關係，且試題1至試題6的平均得分皆在3.1以上，以滿分4分來 說，平均得分頗高，因此對學生來說，此三種類型的問題需具備的 能力是相似的。從各類型平均得分來看，真分數除以真分數的平均 得分最低。從答題過程中得知，學童在處理此類型問題時，有部分 不使用顛倒相乘來計算，因此計算錯誤而導致平均得分較低，以試 題2為例，. 9 3 9÷3 3 ÷ ＝ ＝ 為其錯誤類型。 10 10 10 10. （3） 觀察分析圖，可知整數除以分數與分數除以分數（同分母）是兩個 獨立的概念，且整數除以分數的難度比分數除以分數（同分母）為 高。. 43.
(51) 表4-4 包含除文字題類型 問題類型 真分數 除以真 分數 分 數 除 以 帶分數 分 除以真 數 ︵ 分數 同 分 母 ︶ 包 帶分數 含 除以帶 除 分數. 整數除 整 以真分 數 數 除 以 分 整數 數 除以 帶分數. 題號. 1 2 3. 4. 5. 6. 15. 16 17 18. 題目 爸爸每天吃. 6 48 盒餅乾，家裡有 盒餅乾，幾天後會 19 19. 全部吃完？ 3 9 每 公斤冬瓜糖裝成一包， 公斤可裝成幾包？ 10 10 3 4 媽媽把 盒鳳梨酥裝成一盤，現有2 盒鳳梨酥，可以 7 7 分裝成多少盤？ 3 5 每個農夫有耕地 公頃，大地主有5 公頃的地分租給 8 8 農夫，全部租完，農夫總共有幾個？ 4 4 1 公尺的彩繩可編成一個蝴蝶結，一條彩繩長6 公 6 6 尺，可編成幾個蝴蝶結？ 9 3 老師規定每個人可以喝2 公升牛奶，冰箱裡有8 12 12 公升，如果把牛奶全部喝完，共可分給幾個人喝？ 2 每 公斤麵粉裝成1包，一袋麵粉有4公斤，共可裝成 7 幾包？ 8 媽媽將 臺斤的蘋果裝成一袋，8臺斤的蘋果共可裝成 9 幾袋？ 1 每1 公升柳橙汁裝成1杯，9公升柳橙汁可裝成幾杯？ 8 13 砂糖每1 公斤裝成一包，27公斤可裝成幾包？ 14. 44. 平均得分. 3.35 3.1 3.22. 3.38. 3.44. 3.13. 3.03. 3.02 2.94 3.
(52) 17 ○. 2.94 3. 18 ○ 16 ○. 3.02 3.03. 15 ○ 2 ○. 3.1. 6 ○. 3.13 3.22. 3 ○. 3.35. 1 ○ 4 ○. 3.38 3.44. 5 ○. 圖4-1 包含除文字題SS分析 二、當量除文字題分數除以分數（同分母）SS分析 當量除文字題分數除以分數（同分母）依分數形式可分為四種類型， 其類型一覽表及SS分析圖如表4-2及圖4-2所示。由當量除文字題分數除以 分數（同分母）SS分析圖分析，可獲得以下結論： （1） 由分析圖可知，真分數除以真分數（試題7，當量數未知）及帶分數 除以真分數（試題9，當量數未知）此兩種類型為下位概念，再來是 帶分數除以帶分數（試題13，當量數未知） ，帶分數除以帶分數（試 題14，單位當量未知）及真分數除以帶分數（試題12，單位當量未 知）為上位概念，對學童而言也最為困難。 （2） 單位當量未知的題型中，真分數除以真分數（試題8）為下位概念， 真分數除以帶分數（試題12）為上位概念，也就是說，被除數同樣 為真分數時，學童需先理解除數為真分數的概念，才能發展到除數 為帶分數的概念，且這兩類型試題難度較高，因平均成績較低。 （3） 依當量數未知（試題7、9、11、13）及單位當量未知兩種類型來分 45.
(53) （試題8、10、12、14），可以發現除了試題11之外，當量數未知的 題目皆比單位當量未知的平均得分低，換句話說，單位當量未知的 題型比當量數未知困難。此外，兩類型的平均得分由高到低皆為帶 分數除以真分數、真分數除以真分數、帶分數除以帶分數、真分數 除以帶分數，顯示學童解題時會因為分數的形式而影響，習慣將較 大的分數當成被除數。. 表4-5 當量除文字題分數除以分數（同分母）類型 問題類型 真分數 除以 真分數. 分 數 除 以 當 分 量 數 除 ︵ 同 分 母 ︶. 帶分數 除以 真分數. 真分數 除以 帶分數. 帶分數 除以 帶分數. 題號. 7 8 9. 10 11 12 13. 14. 題目. 5 9 公升汽水裝成1杯，瓶子裡有 公升汽水， 14 14 全部裝完，可裝成幾杯？ 2 5 瓶牛奶是 公升，1瓶牛奶是幾公升？ 6 6 5 2 每 公斤肉乾裝成一包，4 公斤的肉乾，共可 11 11 裝成幾包？ 2 2 公尺的鐵絲重1 公斤，1公尺的鐵絲重幾公 5 5 斤？ 7 3 果汁每1 公升裝成一瓶， 公升可裝成幾瓶？ 13 13 5 7 1 罐可樂重 公斤，1罐可樂的重量是幾公斤？ 8 8 6 4 每1 盒糖果裝成1包，爸爸有3 盒糖果，共可 12 12 裝成幾包？ 4 2 每2 公升的汽油，可讓汽車跑1 公里，1公升汽 9 3 油可讓汽車跑幾公里？ 每. 46. 平均得分. 備註. 2.81. 當量數 未知. 1.79. 單位當 量未知. 2.84. 當量數 未知. 2.52. 單位當 量未知. 2.08 0.8. 當量數 未知 單位當 量未知. 2.67. 當量數 未知. 1.12. 單位當 量未知.
(54) 12 ○. 0.8. 14 ○. 1.12 8 ○. 1.79 2.08. 11 ○. 2.52. 10 ○ 13 ○. 2.67. 7 ○. 2.81 9 ○. 2.84. 圖4-2 當量除文字題分數除以分數（同分母）SS分析 三、當量除文字題整數除以分數SS分析 當量除文字題整數除以分數依分數形式可分為兩種類型，其類型一覽 表及SS分析圖如表4-3及圖4-3所示。由當量除文字題整數除以分數SS分析 圖分析，可獲得以下結論： （1） 整數除以真分數（試題19）為下位概念，整數除以帶分數（試題22） 為其上位概念。 （2） 當量數未知題型（試題19、21）比單位當量未知題型（試題20、22） 的平均得分還高，單位當量未知的題型較難。從答題過程中得知， 3 5. 答錯的學童在試題20大部分採用乘法，應是受題目「每採 公斤要 40元」敘述影響，因此平均得分不高。. 47.
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