第二章 文獻探討
第三節 分數除法概念分析
一、 九年一貫課程綱要分數能力指標分析
本研究欲探討國小六年級學童分數除法概念，而現行國小教材是依據 教育部民國九十二年公佈的國民中小學九年一貫課程數學領域課程綱要 所編製，因此將其中有關分數概念的階段能力指標整理如下：
表2-3
九年一貫課程綱要分數能力指標彙整 年級 代碼 能力指標 階段一
一至三年級
N-1-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母 分數的比較與加減問題。
階段二 N-2-06 能理解分數之「整數相除」的意涵。
四、五年級 N-2-07 能認識真分數、假分數與帶分數，作同分母分數 的比較、加減與整數倍計算，並解決生活中的問 題。
N-2-08 能理解等值分數、約分、擴分的意義。
N-2-09 能理解通分的意義，並用來解決異分母分數的比 較與加減問題。
N-2-11 能理解分數乘法的意義及計算方法，並解決生活 中的問題。
N-2-13 能做分數與小數的互換，並標記在數線上。
N-2-14 能認識比率及其在生活中的應用。
階段三 六、七年級
N-3-02 能理解最大公因數、最小公倍數與兩數互質的意 義，並用來將分數約成最簡分數。
N-3-03 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生 活中的問題。
N-3-05 能理解比、比例、比值與正、反比的意義，並解 決生活中的問題。
N-3-06 能理解速度的概念與應用，認識速度的普遍單位 及換算，並處理相關的計算問題。
N-3-07 能熟練比例式的基本運算。
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由能力指標可知，分數概念最初步的學習，是透過具體的情境來建 立，學會分數的記號，更進一步認識真分數、假分數和帶分數，進而理解 等值分數、約分、擴分和通分的意義，並逐步從同分母分數、異分母分數 的比較和加減運算，學習至分數乘除法，理解分數、小數間的關係，並應 用至生活中，例如比例、速度等。其中，除數為分數的分數除法運算在階 段三進行學習。
分段能力指標是依主題及階段學習能力而訂定，但多數指標須採分年 進階式教學方能達成其教學目標。因此，九年一貫課程綱要由階段能力指 標演繹出更細緻的分年細目及詮釋，以利分年進階式教學進度目標的明確 掌握。國小一至六年級分年細目整理如下表2-4。
分年細目明確的寫出每個年級應完成的概念學習，且更進一步指出分 數的學習要從平分的情境中開始，認識單位分數，三年級透過平分及部分
－全體活動認識分數意義，但並未限制在真分數。四年級認識真分數、假 分數與帶分數，熟練假分數與帶分數的互換，並理解等值分數。五年級學 習約分、擴分及通分，進行簡單異分母的加減比較與運算，並學習分數乘 法。六年級學習將分數約成最簡分數及除數為分數的分數除法，並應用至 比、比值、比率、速度等。
由以上可知，國小四年級學童需在平分情境中，理解分數之「整數相 除」的意涵，五年級則在測量情境中理解分數之「整數相除」的意涵，六 年級時理解除數為分數的意義及計算方法，因此本研究將分數除法文字題 分為三大類：分數除以分數（同分母）、整數除以分數、分數除以分數（異 分母）。
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表2-4
九年一貫課程綱要分數分年細目彙整 年級 代碼 分年細目
二年級 2-n-10 能在平分的情境中，認識分母在 12 以內的單位分 數，並比較不同單位分數的大小。
三年級 3-n-09 能在具體情境中，初步認識分數，並解決同分母分 數的比較與加減問題。
四年級 4-n-06 能在平分情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。
4-n-07 能認識真分數、假分數與帶分數，熟練假分數與帶 分數的互換，並進行同分母分數的比較、加、減與 非帶分數的整數倍的計算。
4-n-08 能理解等值分數，進行簡單異分母分數的比較，並 用來做簡單分數與小數的互換。
五年級 5-n-04 能用約分、擴分處理等值分數的換算。
5-n-05 能用通分作簡單異分母分數的比較與加減。
5-n-06 能在測量情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。
5-n-07 能理解乘數為分數的意義及計算方法，並解決生活 中的問題。
5-n-11 能將分數、小數標記在數線上。
六年級 6-n-02 能認識兩數的最大公因數、最小公倍數與兩數互質 的意義，理解最大公因數、最小公倍數的計算方式，
並能將分數約成最簡分數。
6-n-03 能理解除數為分數的意義及計算方法，並解決生活 中的問題。
6-n-07 能認識比和比值，並解決生活中的問題。
6-n-08 能理解速度的概念與應用，認識速度的普遍單位及 換算，並處理相關的計算問題。
6-n-09 能理解正比的現象，並發展正比的概念，解決生活 中的問題。
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二、 分數除法文字題類型分析
分數除法文字題的類型相當的多，除了連續量、離散量等分類方式 外，被除數、除數及商也都是影響學童解題的因素，因此研究者將分數除 法文字題的類型依照「分數形式」和「問題情境」來分析，命題時則以此 兩種類型進行交叉編排，茲將分數除法的問題類型敘述如下：
（一）以「分數形式」來分類
民國82年版部編本（教育部，1993）依照分數形式的不同，安排分數 除法解題活動的順序，順序如下：（1）整數÷整數＝分數（2）分數÷分數
＝整數（包含除）（3）分數÷整數＝分數（等分除）（4）分數÷分數＝分 數（當量除）。其中整數÷整數＝分數（商包含真分數、帶分數）、分數
（整數）÷分數＝整數在五年級進行，分數÷整數＝分數及分數除以分數＝
分數在六年級實施教學。
九年一貫數學課程綱要（教育部，2003）明訂國小四年級學童需在平 分的情境中，理解分數之「整數相除」的意涵，五年級則在測量情境中理 解分數之「整數相除」的意涵，六年級時理解除數為分數的意義及計算方 法。在分年細目的解釋中提到，教師在教學時，可先處理分數除以整數的 問題，再處理整數除以分數的情況，最後處理除數為一般分數的情形，最 好在「除數為單位分數」的情形下開始處理。從以上所述，整理九年一貫 數學課程分數除法解題活動的順序如下：（1）整數÷整數（2）分數÷整數
（3）整數÷分數（4）分數÷分數。
研究者正式施測學校所使用數學版本為南一版，因此分析九十九學年 南一版數學教材內容，將分數除法分為五種，並按照課本安排的教學順序 依序排列：（1）整數÷整數（2）分數÷整數（3）整數÷分數（4）分數÷分 數（同分母）（5）分數÷分數（異分母）。在教學順序的編排上，南一版 是依照九年一貫課程綱要去設計，因此與綱要相同。分數除法的教學，透
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過算式及圖像表徵的引導，以生活中的情境為例，讓學生能夠容易理解。
綜合以上所述，民國82年版部編本與九年一貫課程綱要對分數除法解 題活動的順序安排略有不同。民國82年版部編本先處理分數÷分數＝整數 類型的問題，接著再處理分數÷整數＝分數，而九年一貫課程綱要正好相 反。本研究透過SS分析法，分析學童分數除法概念，可與兩版本的教學編 排順序作一對照。
（二）以「問題情境」來分類
Greer(1992)認為當解題的運算觀點不再以計算為考慮，而是以問題的 情境模式來考量時，更加顯示出解題運算的心理複雜度（王志銘，2007）。
因此研究者整理相關文獻（教育部，2001；王志銘，2007；吳麗梅，2008；
陳慧君，2009），將分數除法問題情境分成以下五種：
1. 包含除情境(measurement division)
在分年細目詮釋中，包含除情境為除數為分數的除法中最先處理的課 題，從單位分數開始。因為在包含除情境同分母的分數除法中，學童要具 備解決整數範圍內包含除問題的經驗及解決同分母分數的合成、分解或分 數的整數倍問題的經驗。學童可以用總量減去分量的策略來解題，也就是 使用總量逐次減去分量的方式，或者使用分量整數倍的策略來解題（教育 部，2001），這樣的方式較貼近學童的生活經驗，也較容易理解。包含除 異分母分數除法要順利解題，學童需具備以下經驗（教育部，2001）：(1) 解決整數範圍內包含除問題的經驗。(2)解決異分母分數的合成、分解、整 數的分數倍及整數倍問題的經驗。(3)解決被除數與除數為同分母的包含除 問題的經驗。學童可能的解題策略則有：(1)訴諸於內容物的策略。(2)從總 量逐次減去分量。(3)使用分量的整數倍累積逼近總量。(4)使用算則。學童 在教學過程中，會認為商一定比被除數小，此乃基於整數計算經驗的錯誤 類推，也是最要注意的錯誤類型。
2. 等分除情境(partitibe division)
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呂玉琴（1998）指出等分除是新單位量未知的單位量轉換問題，可用
「總量÷新單位數＝新單位量」此一式子來表示。等分除的情境，在整數 除法的運算中時常使用，也是學童最熟悉的生活情境之一，因此分數等分 除是由整數的等分除延伸而來。在分年細目也有規定，四年級要能在平分 情境中，理解分數之「整數相除」的意涵。例如：有6
8
1公升的紅茶，平均
倒成10杯，每一杯有多少公升？由上述式子解釋，6 8
1公升即為總量，新單 位數是4包，等分除就是要求出每一新的單位數所分得的新的單位量。
3. 當量除情境(extended partitive division)
在一般的情境中，整數的除法可以用包含除或等分除的觀點來理解，
但是將除法運算推廣至分數或小數的範圍時，上述的觀點已不足以說明除 法的意義（呂玉琴，1998）。此時需以當量轉換的觀點將原先單位量轉換 的觀點擴充，來彌補意義解釋上的不足，此為當量除問題（呂玉琴，1998）。
以「6
1瓶牛奶重4公斤，1瓶牛奶重幾公斤？」為例，用當量轉換的觀點來
看，是以1瓶為單位，4公斤的牛奶相當於 6
1瓶，來求出1瓶牛奶相當於多少 公斤。在這樣的意義的擴充之下，可將包含除及等分除的兩個式子進行改 寫（呂玉琴，1998）：
包含除：總量÷新單位量＝新單位數
→ 當量除：當量值÷單位當量＝當量數
→ 當量除：當量值÷單位當量＝當量數