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𝑃𝑡:𝑛¬ = 𝐴𝑡 𝑎̈𝑡:𝑛¬ =
𝑀𝑡 𝐷𝑡 𝑁𝑡− 𝑁𝑡+𝑛
𝐷𝑡
= 𝑀𝑡 𝑁𝑡− 𝑁𝑡+𝑛
其中，𝑃𝑡即為期繳的平準保費因子，其代表t 歲的人在 t 歲時購買 1 元終身 壽險，並每年持續繳費的期繳保費因子；𝑃𝑡:𝑛¬則代表t 歲的人在 t 歲時購買 1 元 終身壽險，並繳費n 年的期繳保費因子，透過更改 n，我們可以得到不同繳費 年期的期繳保費因子。
Premium𝑡= Claim × 𝑃𝑡
最後，再將保險金額乘與平準保費因子，即可得到未來淨現金流入金額。
四、 利率避險策略
透過配置相同存續期間的資產與負債標的，讓我們能夠透過存續期間的利 率免疫理論，來降低業主權益受到利率影響的波動程度，以麥氏存續期間 (Maculay Duration)為例，存續期間的計算方式為：
MacD = ∑𝑁𝑡=1𝑃𝑉𝑡× 𝑡
∑𝑁𝑡=1𝑃𝑉𝑡
在麥氏存續期間的利率免疫理論中，當利率變動時，價格受到的影響為：
∆𝑃
𝑃 ≈ −𝐷 × ∆𝑟 1 + 𝑟
假設資產與負債的價值分別為 P(A)與 P(L)，當利率變動時，業主權益 P(E) 受到的影響為：
∆𝑃𝐸 = ∆𝑃𝐴− ∆𝑃𝐿 = (𝐷𝐿𝑃𝐿− 𝐷𝐴𝑃𝐴) ∆𝑟 1 + 𝑟
若我們能設計一組𝐷𝐴𝑃𝐴相近於𝐷𝐿𝑃𝐿的資產與負債，我們便能藉由利率免疫 理論，極小化業主權益受到利率的所造成的影響(∆𝑃𝐸)。
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肆、 研究設計 一、 研究流程
本研究有四個步驟，分別為配適模型、建立資產與負債假設、模擬未來五 年資產、負債與業主權益價值的隨機過程，以及分析結果，各步驟的詳細流程 茲說明如下：
(一) 配適模型
本研究使用短期利率與匯率的歷史資料，各配適兩組研究模型。短期利率 配適的模型為Vasicek 單因子利率模型，與 VEC 多因子模型；新台幣兌美元匯 率配適的模型為ARMA 單因子模型，與 VEC 多因子模型。
藉由配適單因子與多因子模型，進而比較變數間彼此交互影響的效果，並 選用較為適合的模型，做為模擬的假設模型。
(二) 建立資產與負債假設
1. 資產面
本研究假設資產面的投資標的長期的零息債券，並對投資於美元區與國內的 比率配適三組不同的權重，進而比較壽險公司將資產配置於美元區與國內的 影響，三組投資策略分別為：
表4.1 資產配置策略
資產配置策略 美元區 國內
一：偏重美元 70% 30%
二：平均投資 50% 50%
三：偏重國內 30% 70%
2. 負債面
本研究假設負債面的商品分別為30 歲男性購買之終身壽險、十年期定期壽 險，與二十年期定期壽險，保單預定利率為2017 年 3 月的短期利率
0.70%。同時，本研究也假設保單以躉繳的方式繳付保費，以避免壽險保單 的存續期間出現小於零或是大於到期日的情形，
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3. 整體設計
本研究假設壽險公司為了極小化業主權益受到利率變動所造成的影響，在首 年度皆會透過利率免疫理論，從負債面的需求出發，配適存續期間與保單商 品相符的資產投資標的。本研究負債面的保單產品假設如下：
表4.2 負債面保單商品
30 歲男性 期初保費 保費係數 給付金額 Duration 10 年定期壽險 100 0.01 6,934 6.06 20 年定期壽險 100 0.04 2,294 12.78
終身壽險 100 0.72 140 47.02 為了達到利率避險策略，資產面零息債券的價值與期初保費相同，到期日亦 分別對應負債面的存續期間，並考量真實世界的債券商品，將最長的到期日 假設為三十年期。整體的資產與負債配置策略共有九組，茲表述如下：
表4.3 整體資產與負債配置策略
配置策略 負債面 資產面
30 歲男性 期初保費 保單存續期間 價值 到期日 投資策略 1
10 年定期壽險 100 6.06 100 6
偏重美元
2 平均投資
3 偏重國內
4
20 年定期壽險 100 12.78 100 13
偏重美元
5 平均投資
6 偏重國內
7
終身壽險 100 47.02 100 30
偏重美元
8 平均投資
9 偏重國內
因真實世界長年期債券的最長年期約為三十年期，故本研究在終身壽險的 避險策略中，僅使用三十年期的債券做為資產配置，以符合市場的真實狀況。
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(三) 使用蒙地卡羅法，模擬未來五年，資產與負債的價值變動
接著，本研究使用蒙地卡羅法，並選用步驟一所估計之模型，模擬 10,000 次未來五年利率與匯率的隨機過程。透過Vasicek 債券模型，將風險中立測度(P 測度)的模擬利率轉換為真實測度(Q 測度)的債券價值，並反向估計利率期間結 構，做為負債面準備金的折現因子，藉此模擬未來五年，資產、負債與業主權 益價值的隨機過程。
(四) 分析資產、負債與業主權益受利率與匯率的影響
最後，評估資產、負債與業主權益在第一年度末、第三年度末與第五年度 末模擬資料的平均值、標準差、風險值與分布趨勢，從資產面比較壽險公司將 資產配置於國內與美元區權重所造成的影響，以及從負債面比較不同保單商 品，在利率變動時對負債準備金的影響。並結合資產與負債之結果，整體分析 在利率與匯率的隨機過程中，對壽險公司的業主權益所造成的影響。
整體的研究流程如下圖所述：
圖4.1 研究流程圖 Step1
配適模型
Step2
建立資產與負債假設
Step3 使用蒙地卡羅法
模擬10,000次
未來五年的資產與負債價值變動
Step4
分析資產、負債與業主權益受利率與匯率的影響
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二、 資料說明
本研究使用的資料包含台灣市場短期利率、美國市場短期利率、新台幣兌 美元匯率，以及壽險業的經驗生命表，使用資料的期間介於2000 年 1 月至 2017 年 3 月，頻率為月資料，每組資料總共 207 筆，茲詳細說明如下：
(五) 資料選取
台幣利率：使用台灣次級市場之商業本票利率(三個月期；CBS3M)。
美元利率：使用美國次級市場之國庫券利率(三個月期；TBS3M)。
匯率資料：使用新台幣兌美元匯率(NTDUSD)。
生命表資料：使用台灣壽險業第五回經驗生命表
資料來源分別透過：央行統計資料、台灣經濟新報資料庫 TEJ、Federal Reserve Economic Data 以及中華民國人壽保險商業同業公會。
(六) 資料敘述統計
表4.4 資料敘述統計
項目 CBS3M TBS3M NTDUSD
平均數 1.42% 1.59% 32.03
中間值 0.85% 0.88% 32.23
標準差 1.18% 1.88% 1.66
變異數 0.01% 0.04% 2.77
峰度 2.82
(0.33) (0.99)
偏態 1.87 1.03
(0.04)
範圍 4.75% 6.16% 6.25
最小值 0.40% 0.01% 28.81
最大值 5.15% 6.17% 35.07
個數 207 207 207
從2000 年 1 月至 2017 年 3 月，美元利率之平均值 1.59% 較台幣利率之平 均值1.42% 高約 0.17%，美元利率之標準差 1.88% 亦較台幣利率之標準差 1.18% 高約 0.71%。其中，美元利率的範圍介於 0.01%至 6.17%，相差 6.16%；
台幣利率的範圍介於0.40%至 5.15%，相差 4.75%。
透過比較美元利率與台幣利率之平均值、標準差及波動範圍，可以發現美 元利率比起台幣利率是較為高風險與高報酬的投資標的。
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圖4.2 台幣與美元短期利率歷史資料(2000 年 1 月至 2017 年 3 月)
圖4.3 台幣與美元短期利率歷史資料(一階差分，2000 年 1 月至 2017 年 3 月)
由美元與台幣短期利率的歷史資料可以發現，美元短期利率的表現在經濟 蕭條的環境時較台幣短期利率疲弱(2001 至 2004 年，與金融海嘯(2008)以後)；
相反地，在經濟成長的環境，美元短期利率的表現較台幣短期利率強勁(2004 至 2008 年，與 2016 年 6 月以後)。綜觀 2000 年至 2017 年 3 月的歷史期間，兩者 的相關係數為0.7802；同時，若將美元與台幣短期利率分別取一階差分，兩者 差分值的相關係數則為0.2422。
0.00%
1.00%
2.00%
3.00%
4.00%
5.00%
6.00%
7.00%
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
TBS3M CBS3M
-1.00%
-0.80%
-0.60%
-0.40%
-0.20%
0.00%
0.20%
0.40%
0.60%
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017
dTBS dCBS
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2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016
NTDUSD dNTDUSD
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透過 ADF 單根檢定，我們發現台幣短期利率、美元短期利率，以及新台幣 兌美元匯率在一階差分後擁有較穩定的定態檢定結果，在原始資料的零階檢定 中，僅零星地通過定態檢定的結果。為了增強本研究的穩定性，本研究藉由 ADF 定態檢定的結果，推論台幣短期利率、美元短期利率，以及新台幣兌美元 匯率皆為一階定態的時間序列資料I(1)，並以此假設估計後續的模型參數。
四、 模型參數估計
(一) Vasicek 短期利率模型參數
d𝑟𝑡 = α(μ − 𝑟𝑡−1)𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡
本研究使用 2000 年 1 月至 2017 年 3 月份的國內與美元區短期利率月資 料，並藉由最小平方法，估計Vasicek 模型(式 1)的參數。
表4.6 Vasicek 利率模型參數
項目 α μ 𝜎
台幣利率 CBS3M 0.2833 0.58% 0.11%
美元利率 TBS3M 0.1794 0.05% 0.18%
在模型的參數中，本研究發現台幣短期利率的長期均數水準為 0.58%，較 美元利率短期利率的長期均數水準0.05%高；同時，台幣短期利率的修復力道 (α)為 0.2833，亦較美元利率短期利率的修復力道(α)0.1794 強。本研究推論會有 此現象出現的原因，主要是因美元短期利率在金融海嘯後有很長的時間都介於 非常低的水準。此點也造成美元短期利率模擬後的數值有偏低的情形。
(二) ARMA 匯率模型參數
本研究使用 2000 年 1 月至 2017 年 3 月份的新台幣兌美元匯率月資料，首 先藉由AIC 與 BIC 檢定，選擇最適合的 ARMA(p,q)模型，並估計該模型的參 數。在AIC 與 BIC 檢定中，皆顯示最適合匯率資料的模型為 ARMA(0,1)，如圖 4.5 與表 4.7 所示，故我們亦選用 ARMA(0,1)做為匯率的單因子模型，其模型參 數分別為：
表4.7 ARMA(0,1)匯率模型參數
項目 C MA(1) Sigma Variance Adj 𝑅2 SSE
匯率
(0.0008)
0.42 0.34 0.12 0.16 24.23319‧ 國
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圖4.5 ARMA(p,q)模型：AIC 與 BIC 檢定
表4.8 ARMA(p,q)模型：AIC 與 BIC 檢定
ARMA(p,q) AIC BIC ARMA(p,q) AIC BIC (0,1) 0.7278 0.7763 (4,0) 0.7509 0.8478 (1,0) 0.7438 0.7922 (3,1) 0.7521 0.8490 (0,2) 0.7329 0.7975 (2,3) 0.7378 0.8509 (2,0) 0.7334 0.7981 (1,4) 0.7426 0.8557 (1,1) 0.7335 0.7981 (3,2) 0.7428 0.8559 (1,2) 0.7363 0.8171 (4,1) 0.7528 0.8658 (0,3) 0.7409 0.8217 (3,3) 0.7479 0.8771 (2,1) 0.7424 0.8232 (2,4) 0.7481 0.8773 (3,0) 0.7426 0.8233 (4,3) 0.7386 0.8840 (1,3) 0.7330 0.8299 (4,2) 0.7618 0.8911 (2,2) 0.7331 0.8300 (3,4) 0.7519 0.8973 (0,4) 0.7473 0.8443 (4,4) 0.7439 0.9054 (三) VEC 利率與匯率多因子模型參數
在建構 VEC 多因子模型時，本研究同時考量國內短期利率、美元區短期利 率，以及新台幣兌美元匯率三個因子。建構VEC 模型的步驟主要有三步，首先 配適最佳落後期的VAR(q)模型，接著對變數進行 Johansen 共整合檢定，並在 最後建構VEC 模型，詳細的流程茲說明如下：
0.7000 0.7500 0.8000 0.8500 0.9000 0.9500
(0,1) (1,0) (0,2) (2,0) (1,1) (1,2) (0,3) (2,1) (3,0) (1,3) (2,2) (0,4) (4,0) (3,1) (2,3) (1,4) (3,2) (4,1) (3,3) (2,4) (4,3) (4,2) (3,4) (4,4) (0,0)
AIC BIC
‧
‧
The Trace TestNull Alternative 𝜆̂𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒 95% Critical Value Prob r = 0 r ≥ 1 45.10*** 29.80 0.0004 r ≤ 1 r ≥ 2 21.40*** 15.49 0.0057 r ≤ 2 r = 3 2.23 3.84 0.1353
The Maximal Eigenvalue Test
Null Alternative 𝜆̂𝑚𝑎𝑥 95% Critical Value Prob
16.912 −74.398 0.437 ∗ ] [
10.014 −35.242 −0.110 ∗
] [
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五、 蒙地卡羅模擬結果
(一) 利率模型
從過去的歷史資料，我們發現台幣短期利率與美元短期利率具有一定程度 的相關性，同時，在VEC 模型的參數中，我們亦發現台幣短期利率的變動會受 到美元短期利率變動的影響。為了讓Vasicek 利率模型能更真確地反應台幣與 美元利率之間的相關性，本研究運用Cholesky Factorization 的方式，在 Vasicek 利率模型的隨機漫步項中，建立台幣短期利率與美元短期利率的相關性，並進 行蒙地卡羅模擬，其加入相關性(ρ = 0.2422)後的模擬模型分別為：
1. 美元利率(TBS)
∆𝑇𝐵𝑆𝑟𝑡= α𝑇𝐵𝑆(μ𝑇𝐵𝑆− 𝑇𝐵𝑆𝑟𝑡−1)𝑑𝑡 + 𝜎𝑇𝐵𝑆× ∆𝑊1𝑡 2. 台幣利率
∆𝐶𝐵𝑆𝑟𝑡= α𝐶𝐵𝑆(μ𝐶𝐵𝑆 − 𝐶𝐵𝑆𝑟𝑡−1)𝑑𝑡 + 𝜎𝐶𝐵𝑆 ×
𝜌
× ∆𝑊1𝑡+ 𝜎𝐶𝐵𝑆(1 − 𝜌2) × ∆𝑊2𝑡 其中，初始利率為 2017 年 3 月份的月底數值(台幣短期利率：0.7%、美元 短期利率：0.8%)。表4.12 蒙地卡羅模擬結果：利率模型(一階差分)
項目 美元利率 ∆TBS3M 台幣利率 ∆CBS3M 模型 原始資料 Vasicek VEC 原始資料 Vasicek VEC 平均數 -0.02% -0.01% -0.01% -0.02% 0.00% 0.00%
標準差 0.18% 0.18% 0.17% 0.11% 0.11% 0.10%
變異數 0.0003% 0.0003% 0.0003% 0.0001% 0.0001% 0.0001%
峰度 5.31 2.90 2.85 8.27 2.90 2.86
偏態
(1.85)
0.00(0.00) (1.85)
0.00(0.00)
範圍 1.30% 1.61% 1.58% 1.05% 1.04% 0.99%
最小值 -0.86% -0.79% -0.82% -0.60% -0.54% -0.49%
最大值 0.44% 0.81% 0.76% 0.45% 0.50% 0.50%
個數 206 59 59 206 59 59
使用 Vasicek 模型與 VEC 模型模擬後的短期利率，其利率變動(一階差分) 的平均值與標準差皆與原歷史資料相符，模擬後的短期利率與原始短期利率具 有一定的配適程度。
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圖4.7 Vasicek 模型利率模擬過程
圖4.8 VEC(2)模型利率模擬過程