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在運用時間序列模型預測新台幣兌美元匯率趨勢的研究中，陳學毅(2004) 曾使用ARIMA 模型、Garch 模型以及灰色預測 GM 模型進行模擬與比較，其 發現對於新台幣兌美元匯率而言，模擬日資料與季資料的最適模型為
ARIMA(0,1,1)，而模擬月資料之最適模型為 GM(1,1)，同時，其也發現新台幣 兌美元匯率的季資料不存在Arch 效果。
五、 利率與匯率多因子模型
Sims(1980)發明之向量自我回歸模型(Vector Autoregressive Model；VAR)，
讓後續學者能以更有效地方式估計多元變數對應變數所造成的影響。若多元變 數彼此之間擁有相互影響之作用，也能透過共整合檢定以及向量誤差修正模型 (Vector Error Correction Model；VEC)，捕捉多元變數之間的相互作用效果，以 及長期與短期下對於應變數所造成之影響。
傅澤偉、黃國安與林曼莉(2014)運用多元總體經濟變數，建立預測新台幣 兌美元匯率趨勢之模型，在其研究中，顯示總體經濟變數與新台幣兌美元匯率 存在共整合關係，並發現新台幣的定存利率在短期之下會影響新台幣兌美元之 匯率。
Tsai, Kuo, and Chen(2003)運用共整合檢定與向量誤差修正模型，建構解約 率、利率與失業率的三因子模型，其發現在短期之下，失業率變動對於壽險保 單之解約率有顯著的影響；在長期之下，失業率變動與利率變動兩者對於壽險 保單之解約率皆有顯著的影響。同時，若以衝擊效應函數評估，在長期之下，
利率變動對壽險保單之解約率將是最主要的顯著影響因子。
六、 壽險公司避險策略
隨著國際市場持續性的低利率環境，許多學者也探討壽險公司如何進行利 率避險。劉志勇(2010)採用多因子免疫模型，研究壽險公司面臨利率與長壽風 險時的避險策略。在研究中，其使用短期利率模型模擬利率之變化路徑，並以 存續期間之避險策略對利率進行避險。
蔡政憲、何憲章與鄒治華(2002)探討壽險保單的存續期間變化，在研究 中，他們發現當壽險保單採用分期繳費的方式時，存續期間的變化路徑與一般 債劵會有很大差異。也因此，他們認為利率風險對於壽險公司之影響可能比預 期假設的還要高。
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參、 研究方法 一、 研究架構
本研究欲建構台幣利率、美元利率以及新台幣兌美元匯率三種計量模型，
並運用蒙地卡羅法模擬未來五年的隨機過程，藉此評估壽險公司的資產、負債 與業主權益價值在未來可能的變化情形。
為了有效地使用計量模型，本研究也參考過去學者的研究，並在台幣利 率、美元利率與新台幣兌美元匯率選用以下模型：
(一) 利率模型
參考李曉菁等人(2006)以 Vasicek 利率模型做為短期的利率模型，並在模型 中使用Cholesky Factorization 建立台幣與美元利率的相關性；同時，也參考 Tsai et al.(2003)與陳旭昇(2007)建構台幣利率、美元利率與新台幣兌美元匯率的 三因子向量誤差修正模型，藉此捕捉三者的交互影響效果。
(二) 匯率模型
參考陳學毅(2004)，以 ARMA 建立新台幣兌美元匯率的單因子模型。並參 考傅澤偉等人(2014)與 Kuo et al.(2003)之研究，如利率模型中所提，建構台幣利 率、美元利率與新台幣兌美元匯率的三因子向量誤差修正模型。
(三) 避險策略
參考蔡政憲等人(2002)使用麥氏存續期間計算壽險保單的存續期間，並透 過免疫理論建立首年度的避險策略。同時，也藉由設計躉繳保費的保單，避免 研究中出現存續期間大幅變動的情形。
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二、 研究模型
(一) Vasicek 利率模型
Vasicek 利率模型是由 Vacisek 於 1977 年提出單因子利率模型，其最大的特 色是模型假設利率的變動具有均數迴歸(Mean Reversion)的特性，在利率的隨機 過程中，會有一股力量將利率修正至長期的平均水準，其隨機過程為：
d𝑟𝑡 = α(μ − 𝑟𝑡−1)𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡 其中，
α(μ − 𝑟𝑡−1)為模型中的飄移項(drift term) 𝜎為模型中的擴散項(diffusion term)
α 為均數回歸的係數 μ 為均數回歸的平均值 𝑑𝑊𝑡為標準布朗運動的隨機變動項
在 Vasicek 的隨機過程中，α 即是將利率修正至平均水準 μ 的力道，當利 率偏離平均值時，若 α 越大，利率回復到平均值的速度就越快。
若假設時間點 t 時的利率為 𝑟𝑡 ，在 Vasicek 模型下，則未來特定時間點 s 的利率期望值與變異數分別為：
𝐸𝑡(𝑟𝑠) = 𝑟𝑡𝑒−𝛼(𝑠−𝑡)+ 𝜇(1 − 𝑒𝛼(𝑠−𝑡)) 𝑉𝑎𝑟𝑡(𝑟𝑠) =𝜎2(1 − 𝑒−2𝛼(𝑠−𝑡))
2𝛼
我們可以運用過去的利率歷史資料，估計 Vasicek 模型之參數，其中，最 簡易的方式是使用標準最小平方法(Ordinary Least Squares)，根據 Vasicek 利率 模型的隨機過程，我們可以把Vasicek 利率模型進行如下的拆解：
d𝑟𝑡 = α(μ − 𝑟𝑡−1)𝑑𝑡 + 𝜎𝜀𝑡 d𝑟𝑡 = αμ𝑑𝑡 − 𝛼𝑟𝑡−1𝑑𝑡 + 𝜎𝜀𝑡
藉由最小化殘差的方式，可以求得模型之參數 𝛼̂ 與 𝜇̂ ，並透過計算殘差 項之標準差，求得參數 𝜎̂ 。
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(𝛼̂, 𝜇̂) = arg min
𝛼,𝜇 ∑(d𝑟𝑡− αμ𝑑𝑡 + 𝛼𝑟𝑡−1𝑑𝑡)2
𝑁−1
𝑖=1
當計算出 Vasicek 利率模型的參數後，我們便可以運用蒙地卡羅法，在風 險中立測度(P 測度)下模擬未來短期利率的隨機過程。
(二) Vasicek 債券評價模型
藉由利率模型模擬出未來短期利率的隨機過程後，我們接著可以透過 Vasicek 債券評價模型，將風險中立測度(P 測度)的利率轉換為真實測度(Q 測度) 的評價因子，評價各種到期日的零息債券價格，並估計利率的期間結構，藉此 做為資產與負債面的折現因子，其債券評價公式為：
𝑃𝑡(𝑇) = 𝐴(𝑡, 𝑇)𝑒−𝐵(𝑡,𝑇)𝑟𝑡 B(t, T) = 1
𝛼(1 − 𝑒−𝛼(𝑇−𝑡)) A(t, T) = exp [(μ − 𝜎2
2𝛼2) (B(t, T) − T + t) −𝜎2
4𝛼𝐵2(t, T)]
其中 T 為零息債券之到期日，t 為零息債券目前之年期，以𝑃5(10)為例，表 示為一十年期零息債券，在第五年時的價值。
在建構利率的期間結構時，我們可以使用固定時間點 t 的利率 r(t)，透過債 券評價公式計算不同到期日的債券價值 𝑃𝑡(1)、𝑃𝑡(2) … 𝑃𝑡(𝑇)，再透過折現公 式反向估計不同到期日的利率水準，推導公式茲說明如下：
𝑃𝑡(𝑇) = 𝑃𝑡(0) × (1 + 𝑟𝑡,1)𝑇
𝑟𝑡,𝑇 = √𝑃𝑡(𝑇) 𝑃𝑡(0)
𝑇
− 1
藉由反向估計不同期間的利率水準，我們可以建構在真實測度(Q 測度)下 的利率期間結構，並做為資產與負債面的折現因子。
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(三) 自我回歸暨移動平均模型(Autoregressive Moving Average Model)
自我回歸暨移動平均模型(ARMA)結合自我回歸模型與移動平均模型，讓 我們在配適時間序列資料時能同時考量自我落後期以及殘差向落後期的影響，
其一般化的函數表示方式為ARMA(p,q)，模型為：
𝑦𝑡= 𝛽1𝑦𝑡−1+ ⋯ + 𝛽𝑝𝑦𝑡−𝑝+ 𝜀𝑡+ 𝜃1𝜀𝑡−1+ ⋯ + 𝜃𝑞𝜀𝑡−𝑞 其中，𝜀𝑡符合維納過程(Wiener Process)的隨機漫步走勢，即
𝜀𝑡~𝑊𝑁(0, 𝜎2)
p 為自我回歸模型(AR)的落後期數，q 為移動平均模型(MA)的落後期數，
當模型為ARMA(p,0)時即回復為 AR(p)模型；相反地，當模型為 ARMA(0,q)時 即回復為MA(q)模型。
與 Vasicek 模型類似，我們可以運用過去的利率歷史資料，估計
ARMA(p,q)模型之參數。不過，由於 ARMA 模型必須同時考量自我相關(𝛽𝑝)與 殘差項自我相關(𝜃𝑞)的係數，我們在 ARMA 模型是使用非線性最小平方法 (Nonlinear Least Squares)來進行估計，估計方式如下：
(𝛽̂𝑚𝑙, 𝜃̂𝑚𝑙) = arg min ∑(𝑦𝑡− 𝛽1𝑦𝑡−1− ⋯ − 𝛽𝑝𝑦𝑡−𝑝− 𝜃1𝜀𝑡−1(𝛽, 𝜃) − ⋯
𝑁
𝑡=1
− 𝜃𝑞𝜀𝑡−𝑞(𝛽, 𝜃))2 其中，
𝜎̂2𝑚𝑙 = 1
𝑇∑ 𝜀̂𝑡(𝛽̂, 𝜃̂)2
𝑁
𝑡=1
相同地，當計算出 ARMA 模型的參數後，我們便可以運用蒙地卡羅法，在 風險中立測度(P 測度)下模擬未來短期利率的隨機過程。
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(四) 向量自我回歸模型(Vector Autoregressive Model)
Vasicek 與 ARMA 模型僅考量單因子時間序列的隨機過程，然而在真實世
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(五) 向量誤差修正模型(Vector Error Correction Model)
藉由向量自我回歸模型(VAR)，我們可以捕捉多元變數內彼此交互影響的
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2. 共整合分析：Johansen 檢定
我們可以運用 Johansen 檢定來判斷變數間是否具有共整合關係，Johansen 檢定有兩種檢定統計方式，分別為跡檢定(Trace Test)與最大特性根檢定(Max Test)，茲分別說明如下：
(1) 跡檢定
檢定假設為：
𝐻0：最大共整合階次為 r 𝐻1：最大共整合階次為 k 檢定統計量為：
𝜆𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒(𝑟) = −𝑇 ∑ ln (1 − 𝜆̂𝑖)
𝑘
𝑖=𝑟+1
其中，λ 為 VEC 模型 Π 矩陣的特性根。
(2) 最大特性根檢定 檢定假設為：
𝐻0：最大共整合階次為 r 𝐻1：最大共整合階次為 r + 1 檢定統計量為：
𝜆𝑚𝑎𝑥(𝑟, 𝑟 + 1) = −𝑇ln (1 − 𝜆̂𝑟+1)
若跡檢定與最大根檢定的檢定結果不同時，Johansen 認為最大根檢定是較 準確的檢定結果。
(3) 檢定步驟
Johansen 的檢定步驟為一循環的過程。以最大特性根檢定為例，首先，我 們必先設定第一個檢定假設r=0，檢定假設 H10 與 H11 分別為 r=0 與 r=1，若我 們無法拒絕第一個檢定假設H10，表示變數間彼此不存在共整合關係，檢驗即 可完成；相反地，若我們拒絕第一個檢定假設H10，則表示變數間至少存在 1 階共整合關係。
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在後者的情況下，為了確定變數間精確的共整合階次，我們接著必須設定 第二個檢定假設r=1，檢定假設 H20 與 H21 分別為 r=1 與 r=2，並重覆執行上 述的檢定流程，若無法拒絕第二個假設的檢定H20，表示變數間的共整合階次 為1 階，檢驗即可完成；相反地，若拒絕第二個假設的檢定 H20，則代表變數 間至少存在2 階共整合關係，並且須在進行第三次的檢定假設。藉由重複上述 的檢定流程，直到我們估計出精確的共整合階次為止。
整體而言，Johansen 檢定透過對 VEC 模型矩陣Π的秩(rank)進行評估，來確 定變數之間是否具有共整合關係，以及共整合關係的階次，並決定是否需要建 立向量誤差修正模型(VEC)，其檢定結果主要有以下三種情形：
(1) rank(Π) = k
k 個變數間彼此擁有 k 個共整合關係(滿秩；full rank)，此情形代表無論變數 之間如何組合，新序列恆為定態時間序列，即𝑌𝑡~𝐼(0)。在此情形下，雖然 變數間存在共整合關係，然而因新序列恆為定態時間序列，我們藉由運用 𝑌𝑡 配適 VAR 模型，即可得到有效的估計模型。
(2) rank(Π) = 0
k 個變數間彼此不存在共整合關係，此情形代表無論變數之間如何組合，新 序列皆不會成為定態時間序列，即𝑌𝑡~𝐼(1)。因變數之間並不存在共整合關 係，在此情形下，我們將新序列取一階差分取得定態之時間序列，再以 ∆𝑌𝑡 配適VAR 模型，即可得到有效的估計模型。
(3) rank(Π) = r < k
k 個變數間彼此擁有 r 個共整合關係，此情形代表變數透過特定的組合，可 以讓新序列符合定態時間序列。在此情形下，我們必須對VAR 模型中的向 量誤差進行修正，估計變數之間能讓新序列符合定態時間序列的關係，並建 構向量誤差修正模型(VEC)，以取得更精確的預測結果。
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三、 負債準備金計算方式
我們使用精算數學的未來現金流量法，評價負債面的準備金價值，茲說明 公式如下：
(一) 保單準備金
𝑉𝑡= 𝐸(𝑃𝑉 𝑜𝑓 𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑡𝑠) − 𝐸(𝑃𝑉 𝑜𝑓 𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑢𝑚𝑠) 其中，𝑉𝑡為時間點t 時的準備金金額，
Future Benefits 是未來的淨現金流出，如保單的理賠支出與佣金費用；
Future Premiums 是未來的淨現金流入，如保費收入。
(二) 淨現金流出現值
𝐸(𝑃𝑉 𝑜𝑓 𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑡𝑠) = ∑ Claim × SurvivorRate𝑡−1× 𝐷𝑒𝑎𝑡ℎ𝑅𝑎𝑡𝑒𝑡× 𝐷𝐹𝑡
若不考慮費用與解約率，保單的淨現金流出現值即為未來預期給付的現值 之總合，亦為保單設計時的淨成本。其中，Claim 為保單的保險金額；
SurvivorRate𝑡−1為上期的殘存率(1 − 𝐷𝑒𝑎𝑡ℎ𝑅𝑎𝑡𝑒𝑡−1)；𝐷𝑒𝑎𝑡ℎ𝑅𝑎𝑡𝑒𝑡為當期的死亡 率，以及𝐷𝐹𝑡為當期的折現因子。
(三) 淨現金流入現值
𝐸(𝑃𝑉 𝑜𝑓 𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑢𝑚𝑠) = ∑ 𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑢𝑚𝑡× 𝐷𝐹𝑡
1. 躉繳保費
未來的淨現金流入現值即為保單的保費收入，以終身壽險為例，躉繳保費
未來的淨現金流入現值即為保單的保費收入，以終身壽險為例，躉繳保費