壽險公司資產與負債管理：時間序列模型應用 - 政大學術集成

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(1)國立政治大學風險管理與保險學系碩士班碩士學位論文. 壽險公司資產與負債管理：. 政治大時間序列模型應用. 立. Asset and liability management of life insurance：. ‧ 國. 學. the application of time series model. ‧. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 指導教授：蔡政憲博士研究生：楊家寧撰. 中華民國一零六年六月.

(2) 致謝. 碩士班的學生生活於剎那間即邁入尾聲，學習的過程中，很謝謝系所教授們的用心指導，讓學生獲得非常充實的理論知識與實務經驗，也與教授及同學們留下非常美好且難忘的回憶。其中，非常謝謝蔡政憲教授的專任指導，無論是於課程學習與論文撰寫的過程中，教授都非常細心地教導學生，並適時地引導學生學習更深入的研究內容。藉由教授的指點，讓學生學習在研究的過程中持續地精進自己的專業能力，並培養學生保持積極主動的學習態度。同時，也很謝謝教授於人生規劃與職涯發展給予學生的建議，讓學生得以確信自己的目標，並勇敢的向前邁進。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. 最後，非常謝謝家人與女友在碩士班期間給予我的照顧與陪伴，因為有你們的支持，讓我得以全心全意的投入學習與研究。在未來，我會保持樂觀積極的心態，努力地學習與成長，期許自己能成為值得你們依靠與驕傲的家人。. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i. i n U. v.

(3) 摘要. 本研究運用 Vasecik、ARMA 與 VEC 三種時間序列模型，以蒙地卡羅法，模擬未來五年台幣利率、美元利率與新台幣兌美元匯率的隨機漫步過程，並分析壽險公司的資產、負債與業主權益價值，在利率與匯率的隨機過程中所受到的影響。藉由蒙地卡羅模擬之隨機漫步過程，本研究發現在利率模型方面，Vasicek 利率模型因具有均數回歸的特性，較 VEC 模型擁有更穩定的隨機漫步過程；在匯率模型方面，VEC 模型因同時考量長期影響與短期影響的效果，較 ARMA 模型擁有較穩定的漫步過程。. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. 在負債面的模擬結果中，當利率下跌時，保單應提列準備金價值的成長速度較利率上升時快，此點反應壽險公司在低利率的環境下，將面臨較嚴峻的資本要求；同時，藉由歷史資料以 Vasicek 債券評價模型估計之利率期間結構，整體結構呈現負斜率與凹口向上的走勢，在此情形下，短期利率的值較長期利率的值高，保單應提列的準備金價值較原始估計時更高。. Nat. y. sit. er. io. 在長期的低利率環境中，上述現象反應於長期保單的價值變化尤為明顯。本研究建議在進行保單的精算訂價時，不應僅以預定利率做為保單全期的折現因子，而應將長期的利率風險納入考量。. al. n. v i n Ch 同時，匯率的變化亦嚴重衝擊壽險公司的業主權益，在模擬結果中，當匯 engchi U 率落於風險值時，壽險公司配置於美元資產的減損將造成業主權益呈現虧損，此點亦反應當壽險公司將資產配置於海外時，必須謹慎地評估外匯避險的相關策略。整體而言，在本研究中，將資產配置偏重台幣的投資策略擁有較穩定的業主權益價值，並在短期擁有較佳的風險轉換報酬能力；另一方面，將資產配置偏重美元的投資策略在長期擁有較佳的風險轉換報酬能力，然而，也因其擁有較高的風險值，壽險公司可能面臨較嚴重的損失。本研究建議壽險公司在進行海外資產配置時，應謹慎地將利率風險與匯率風險納入考量。. 關鍵字：資產負債管理、時間序列模型、利率與匯率風險 ii.

(4) Abstract. This article uses Monte Carlo simulation method to forecast the random walk process of Taiwan interest rate, US interest rate, and Taiwan US dollar exchange rate between next five years. The simulation base on three time series model：Vasecik, ARMA and VEC. Through the random walk process, this article aims to analyze the influence in asset, liability and equity by the change of interest rate and exchange rate. In this paper, we find that the Vasicek interest rate model has a more stable stochastic process than the VEC model, which because of the effect by mean reversion. On the other hand, because the VEC exchange rate model takes both longterm and short-term impact in concern, it has a more robust stochastic process than. 立. the ARMA model.. 政治大. ‧ 國. 學. ‧. Through the simulation results of the liabilities, we find that when the interest rate fell, the reserve value of insurance policy will rise faster, which makes life insurance companies face more severe capital requirements in the low interest rate environment. Besides, we also find that the interest rate term structure in the Vasicek. Nat. y. sit. n. al. er. io. Bond Pricing Model displays negative slopes with concave upward, which means the value of short-term interest rate higher than the value of long-term interest rate. In this situation, the reserve value of insurance policy will become much higher than the value original priced.. Ch. engchi. i n U. v. In the long-term low interest rate environment, the impact of interest rate risk has more effect in the long-term insurance policy. This paper suggests that when pricing the costs of insurance policy, we should not only use one interest rate as the full term discount factor. The better way is to discount with the interest rate term structure. Overall, in this paper, the asset allocation strategy, which focus on Taiwan commercial bonds, has both better performances in value at risk and better ability to covert risk into revenue in the short term. On the other hand, the asset allocation strategy, which focus on US commercial bonds, has better ability to covert risk into revenue in the long run. When conducting overseas asset allocation, we suggest that life insurance companies should carefully consider interest rate risk and exchange rate risk. iii.

(5) 目錄致謝................................................................................................................................. i 摘要................................................................................................................................ ii Abstract ......................................................................................................................... iii 目錄............................................................................................................................... iv 表目錄............................................................................................................................ v 圖目錄........................................................................................................................... vi 壹、研究動機........................................................................................................ 1 一、研究背景................................................................................................ 1 二、研究目的................................................................................................ 1 貳、文獻回顧........................................................................................................ 2 三、利率模型................................................................................................ 2. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. 四、匯率模型................................................................................................ 2 五、利率與匯率多因子模型........................................................................ 3 六、壽險公司避險策略................................................................................ 3 參、研究方法........................................................................................................ 4 一、研究架構................................................................................................ 4 二、研究模型................................................................................................ 5. Nat. y. sit. n. al. er. io. 三、負債準備金計算方式.......................................................................... 13 四、利率避險策略...................................................................................... 15 肆、研究設計...................................................................................................... 16 一、研究流程.............................................................................................. 16 二、資料說明.............................................................................................. 19 三、資料定態與單根檢定.......................................................................... 21 四、模型參數估計...................................................................................... 22 五、蒙地卡羅模擬結果.............................................................................. 27 伍、實證結果...................................................................................................... 32 一、資產價值.............................................................................................. 32. Ch. engchi. i n U. v. 二、負債價值.............................................................................................. 34 三、業主權益價值...................................................................................... 40 陸、結論.............................................................................................................. 43 柒、參考文獻...................................................................................................... 45. iv.

(6) 表目錄表 4.1 資產配置策略................................................................................................... 16 表 4.2 負債面保單商品............................................................................................... 17 表 4.3 整體資產與負債配置策略............................................................................... 17 表 4.4 資料敘述統計................................................................................................... 19 表 4.5 資料定態與單根檢定(ADF Test) .................................................................... 21 表 4.6 Vasicek 利率模型參數 ..................................................................................... 22 表 4.7 ARMA(0,1)匯率模型參數 ............................................................................... 22 表 4.8 ARMA(p,q)模型：AIC 與 BIC 檢定............................................................... 23 表 4.9 VAR(q)模型：AIC 與 BIC 檢定 ..................................................................... 24 表 4.10 Johansen 共整合檢定 .................................................................................... 25 表 4.11 三因子 VEC(2)模型參數估計 ....................................................................... 26. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. 表 4.12 蒙地卡羅模擬結果：利率模型(一階差分) .................................................. 27 表 4.13 蒙地卡羅模擬結果：利率模型..................................................................... 29 表 4.14 蒙地卡羅模擬結果：Vasicek 利率模型(去除負值) .................................... 29 表 4.15 蒙地卡羅模擬結果：匯率模型..................................................................... 30 表 4.16 蒙地卡羅模擬結果：匯率平均值與風險值................................................. 31 表 5.1 各策略資產價值(匯率落於平均水準) ............................................................ 32. Nat. y. sit. n. al. er. io. 表 5.2 各策略資產價值(匯率落於風險水準) ............................................................ 33 表 5.3 各商品負債準備金價值................................................................................... 39 表 5.4 各策略業主權益價值(匯率落於平均水準) .................................................... 40 表 5.5 各策略風險轉換業主權益價值能力(匯率落於平均水準) ............................ 40 表 5.6 各策略業主權益價值風險值(95%，匯率落於平均水準)............................. 41 表 5.7 各策略業主權益價值(匯率落於風險水準) .................................................... 41 表 5.8 各策略風險轉換業主權益價值能力(匯率落於風險水準) ............................ 42 表 5.9 各策略業主權益價值風險值(95%，匯率落於風險水準)............................. 42. Ch. engchi. v. i n U. v.

(7) 圖目錄圖 4.1 研究流程圖....................................................................................................... 18 圖 4.2 台幣與美元短期利率歷史資料(2000 年 1 月至 2017 年 3 月) ..................... 20 圖 4.3 台幣與美元短期利率歷史資料(一階差分，2000 年 1 月至 2017 年 3 月) . 20 圖 4.4 新台幣兌美元匯率歷史資料(2000 年 1 月至 2017 年 3 月) ......................... 21 圖 4.5 ARMA(p,q)模型：AIC 與 BIC 檢定............................................................... 23 圖 4.6 VAR(q)模型：AIC 與 BIC 檢定 ..................................................................... 24 圖 4.7 Vasicek 模型利率模擬過程 ............................................................................. 28 圖 4.8 VEC(2)模型利率模擬過程 .............................................................................. 28 圖 4.9 ARMA(0,1)模型匯率模擬過程 ....................................................................... 30 圖 4.10 VEC(2)模型匯率模擬過程 ............................................................................ 31 圖 5.1 準備金價值模擬路徑....................................................................................... 34. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. 圖 5.2 準備金價值模擬分布：十年定期壽險(簡易折現) ........................................ 35 圖 5.3 準備金價值模擬分布：終身壽險壽險(簡易折現) ........................................ 35 圖 5.4 準備金價值受利率影響趨勢........................................................................... 36 圖 5.5 利率期間結構：以 Vasicek 模型模擬 ............................................................ 37 圖 5.6 保險給付成本：終身壽險............................................................................... 37 圖 5.7 準備金價值模擬分布：十年定期壽險(以利率期間結構折現) .................... 38. Nat. n. al. er. io. sit. y. 圖 5.8 準備金價值模擬分布：終身壽險(以利率期間結構折現) ............................ 38. Ch. engchi. vi. i n U. v.

(8) 壹、一、. 研究動機. 研究背景. 自 2008 年金融海嘯後，金融市場首次面對如此長期的低利率環境，對於壽險公司而言，過去以較高的預定利率計價保單，在如此長期的低利率環境中，面臨嚴重的利差損困境。在台灣的金融市場，許多壽險公司為了解決利差損的困境，會藉由海外投資追求更高的投資報酬率，以彌補投資利率與保單利率的差距。根據台灣保險事業發展中心的產業報告，台灣之壽險公司有近六成的資產皆是配置於海外投資，其中，又以配置於美國的資金市場為大宗。在此情形下，除了國內的市場利率以外，美元的市場利率與新台幣兌美元匯率變動時，也會影響壽險公司的經營狀況。以 2017 年 1 月至 3 月份為例，新. 政治大台幣兌美元匯率持續升值，使許多壽險公司的美元資產轉換為新台幣後產生重立大的虧損。未來，在採行 IFRS 制度之後，市場價值的變動將會更直接地衝擊壽. ‧ 國. 研究目的. ‧. 二、. 學. 險公司的經營狀況，並影響壽險公司的獲利能力與穩定性。. y. Nat. sit. n. al. er. io. 本研究希望透過建立計量模型，藉由捕捉過去的歷史趨勢來描繪未來的可能狀況，藉此評估壽險公司在面臨國內利率、美元利率與匯率風險時的業主權益價值變化。並藉由在資產面設計三組資金配置策略：偏重美元、平均投資與偏重國內；以及在負債面設計三種商品：十年期定期壽險、二十年期定期壽險與終身壽險，藉此評估壽險公司在不同情境下的業主權益價值。. Ch. engchi. i n U. v. 本研究以極大化風險轉換報酬的能力為目標，尋求壽險公司最佳的資產負債管理策略。. 1.

(9) 貳、. 文獻回顧. 本研究欲運用計量模型，透過蒙地卡羅模擬法，探討利率與匯率變動對壽險公司業主權益所造成的影響，並尋求極大化風險轉換報酬能力的資產配置策略。本章將對過去學者所使用過的計量模型：如利率與匯率單因子模型、整合交互作用後之多因子模型，以及壽險公司進行利率避險策略的文獻進行回顧。. 三、. 利率模型. 利率是反應市場均衡的重要經濟變數，亦是壽險公司在經營時的重要指標，過去有許多學者希望透過建立模型，準確地捕捉利率的變化趨勢。蔡政憲、郭維裕、謝明華(2006)在研究台灣保險監理之利率模型系統時，認為短期利率的模型可以完善的建構利率期間結構的動態過程，在模擬的過程中，也能運用模擬的短期利率的建立隨機的利率期間結構，故認為短期利率模型有其適. 政治大合監理機構與壽險公司實務運用的優勢。立. ‧. ‧ 國. 學. 在短期利率模型中，過去學者們的研究主要可以分為市場均衡模型與無套利模型兩類。在市場均衡模型中，Vasicek(1977) 與 Cox-Ingersoll-Ross(1985) 是較為多人所熟悉的利率模型；另一方面，在無套利模型中，較為知名的利率模型則有如 Ho and Lee(1986)、Hull and White(1990) 與 Heath Jarrow Merton (1992)的利率模型。. sit. y. Nat. n. al. er. io. 李曉菁與林朝陽(2006)曾運用蒙地卡羅法，評估以 GBM 建構短期利率模型與以 Vasicek 利率模型建構短期利率模型的比較，在兩者的模擬過程中，其發現以 Vasicek 利率模型評價公債資產與貨幣工具時能產生較好的穩定性。同時，也因 Vasicek 利率模型的參數較易估計，其建議未來使用蒙地卡羅模擬研究時，能以 Vasicek 利率模型模擬短期利率的隨機路徑。. 四、. Ch. engchi. i n U. v. 匯率模型. 許多學者運用時間序列模型預測與評估總體經濟變數的趨勢。陳旭昇 (2007)以時間序列分析為主題，撰寫總體經濟與財務金融應用之教科書，其中，對於時間序列模型擁有非常詳細的說明與實例運用。在教課書中，較常運用的模型有考量單因子變數的自我回歸模型(Autoregressive Model；AR)、移動平均模型(Moving Average Model；MA)以及結合 AR 與 MA 的自我回歸移動平均模型(ARMA)；同時，也有考量多因子變數彼此交互作用的向量自我回歸模型(Vector Autoregressive Model；VAR)，與透過共整合檢定，對誤差進行修正的向量誤差修正模型(Vector Error Correction Model)。 2.

(10) 在運用時間序列模型預測新台幣兌美元匯率趨勢的研究中，陳學毅(2004) 曾使用 ARIMA 模型、Garch 模型以及灰色預測 GM 模型進行模擬與比較，其發現對於新台幣兌美元匯率而言，模擬日資料與季資料的最適模型為 ARIMA(0,1,1)，而模擬月資料之最適模型為 GM(1,1)，同時，其也發現新台幣兌美元匯率的季資料不存在 Arch 效果。. 五、. 利率與匯率多因子模型. Sims(1980)發明之向量自我回歸模型(Vector Autoregressive Model；VAR)，讓後續學者能以更有效地方式估計多元變數對應變數所造成的影響。若多元變數彼此之間擁有相互影響之作用，也能透過共整合檢定以及向量誤差修正模型 (Vector Error Correction Model；VEC)，捕捉多元變數之間的相互作用效果，以及長期與短期下對於應變數所造成之影響。. 政治大傅澤偉、黃國安與林曼莉(2014)運用多元總體經濟變數，建立預測新台幣立兌美元匯率趨勢之模型，在其研究中，顯示總體經濟變數與新台幣兌美元匯率 ‧. ‧ 國. 學. 存在共整合關係，並發現新台幣的定存利率在短期之下會影響新台幣兌美元之匯率。. y. Nat. Tsai, Kuo, and Chen(2003)運用共整合檢定與向量誤差修正模型，建構解約率、利率與失業率的三因子模型，其發現在短期之下，失業率變動對於壽險保. sit. n. al. er. io. 單之解約率有顯著的影響；在長期之下，失業率變動與利率變動兩者對於壽險保單之解約率皆有顯著的影響。同時，若以衝擊效應函數評估，在長期之下，利率變動對壽險保單之解約率將是最主要的顯著影響因子。. 六、. Ch. 壽險公司避險策略. engchi. i n U. v. 隨著國際市場持續性的低利率環境，許多學者也探討壽險公司如何進行利率避險。劉志勇(2010)採用多因子免疫模型，研究壽險公司面臨利率與長壽風險時的避險策略。在研究中，其使用短期利率模型模擬利率之變化路徑，並以存續期間之避險策略對利率進行避險。蔡政憲、何憲章與鄒治華(2002)探討壽險保單的存續期間變化，在研究中，他們發現當壽險保單採用分期繳費的方式時，存續期間的變化路徑與一般債劵會有很大差異。也因此，他們認為利率風險對於壽險公司之影響可能比預期假設的還要高。. 3.

(11) 參、一、. 研究方法. 研究架構. 本研究欲建構台幣利率、美元利率以及新台幣兌美元匯率三種計量模型，並運用蒙地卡羅法模擬未來五年的隨機過程，藉此評估壽險公司的資產、負債與業主權益價值在未來可能的變化情形。為了有效地使用計量模型，本研究也參考過去學者的研究，並在台幣利率、美元利率與新台幣兌美元匯率選用以下模型： (一). 利率模型參考李曉菁等人(2006)以 Vasicek 利率模型做為短期的利率模型，並在模型中使用 Cholesky Factorization 建立台幣與美元利率的相關性；同時，也參考. 政治大 Tsai et al.(2003)與陳旭昇(2007)建構台幣利率、美元利率與新台幣兌美元匯率的立三因子向量誤差修正模型，藉此捕捉三者的交互影響效果。. ‧ 國. 學. y. Nat. n. al. er. 避險策略參考蔡政憲等人(2002)使用麥氏存續期間計算壽險保單的存續期間，並透過免疫理論建立首年度的避險策略。同時，也藉由設計躉繳保費的保單，避免研究中出現存續期間大幅變動的情形。. io. (三). ‧. 匯率模型參考陳學毅(2004)，以 ARMA 建立新台幣兌美元匯率的單因子模型。並參考傅澤偉等人(2014)與 Kuo et al.(2003)之研究，如利率模型中所提，建構台幣利率、美元利率與新台幣兌美元匯率的三因子向量誤差修正模型。. sit. (二). Ch. engchi. 4. i n U. v.

(12) 二、. 研究模型. (一). Vasicek 利率模型. Vasicek 利率模型是由 Vacisek 於 1977 年提出單因子利率模型，其最大的特色是模型假設利率的變動具有均數迴歸(Mean Reversion)的特性，在利率的隨機過程中，會有一股力量將利率修正至長期的平均水準，其隨機過程為： d𝑟𝑡 = α(μ − 𝑟𝑡−1 )𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡 其中， α(μ − 𝑟𝑡−1 )為模型中的飄移項(drift term) 𝜎為模型中的擴散項(diffusion term) α 為均數回歸的係數 μ 為均數回歸的平均值 𝑑𝑊𝑡 為標準布朗運動的隨機變動項. 立. 政治大. ‧ 國. 學 ‧. 在 Vasicek 的隨機過程中，α 即是將利率修正至平均水準 μ 的力道，當利率偏離平均值時，若 α 越大，利率回復到平均值的速度就越快。. y. Nat. sit. n. al. er. io. 若假設時間點 t 時的利率為 𝑟𝑡 ，在 Vasicek 模型下，則未來特定時間點 s 的利率期望值與變異數分別為：. Ch. i n U. v. 𝐸𝑡 (𝑟𝑠 ) = 𝑟𝑡 𝑒 −𝛼(𝑠−𝑡) + 𝜇(1 − 𝑒 𝛼(𝑠−𝑡) ). i ) e 𝜎n2(1 g −c 𝑒h−2𝛼(𝑠−𝑡). 𝑉𝑎𝑟𝑡 (𝑟𝑠 ) =. 2𝛼. 我們可以運用過去的利率歷史資料，估計 Vasicek 模型之參數，其中，最簡易的方式是使用標準最小平方法(Ordinary Least Squares)，根據 Vasicek 利率模型的隨機過程，我們可以把 Vasicek 利率模型進行如下的拆解： d𝑟𝑡 = α(μ − 𝑟𝑡−1 )𝑑𝑡 + 𝜎𝜀𝑡 d𝑟𝑡 = αμ𝑑𝑡 − 𝛼𝑟𝑡−1 𝑑𝑡 + 𝜎𝜀𝑡 藉由最小化殘差的方式，可以求得模型之參數 𝛼̂ 與 𝜇̂ ，並透過計算殘差項之標準差，求得參數 𝜎̂ 。. 5.

(13) 𝑁−1. (𝛼̂, 𝜇̂ ) = arg min ∑(d𝑟𝑡 − αμ𝑑𝑡 + 𝛼𝑟𝑡−1 𝑑𝑡)2 𝛼,𝜇. 𝑖=1. 當計算出 Vasicek 利率模型的參數後，我們便可以運用蒙地卡羅法，在風險中立測度(P 測度)下模擬未來短期利率的隨機過程。 Vasicek 債券評價模型. (二). 藉由利率模型模擬出未來短期利率的隨機過程後，我們接著可以透過 Vasicek 債券評價模型，將風險中立測度(P 測度)的利率轉換為真實測度(Q 測度) 的評價因子，評價各種到期日的零息債券價格，並估計利率的期間結構，藉此做為資產與負債面的折現因子，其債券評價公式為：. 政治大 1. 𝑃𝑡 (𝑇) = 𝐴(𝑡, 𝑇)𝑒 −𝐵(𝑡,𝑇)𝑟𝑡. A(t, T) = exp [(μ −. −𝛼(𝑇−𝑡). ). 𝜎2 𝜎2 2 (B(t, ) T) − T + t) − 𝐵 (t, T)] 2𝛼 2 4𝛼. 學. ‧ 國. 立B(t, T) = 𝛼 (1 − 𝑒. ‧. sit. y. Nat. 其中 T 為零息債券之到期日，t 為零息債券目前之年期，以𝑃5 (10)為例，表示為一十年期零息債券，在第五年時的價值。. al. er. io. 在建構利率的期間結構時，我們可以使用固定時間點 t 的利率 r(t)，透過債. n. 券評價公式計算不同到期日的債券價值 𝑃𝑡 (1)、𝑃𝑡 (2) … 𝑃𝑡 (𝑇)，再透過折現公式反向估計不同到期日的利率水準，推導公式茲說明如下：. Ch. engchi. i n U. v. 𝑃𝑡 (𝑇) = 𝑃𝑡 (0) × (1 + 𝑟𝑡,1 )𝑇 𝑇 𝑃 (𝑇) 𝑡 𝑟𝑡,𝑇 = √ −1 𝑃𝑡 (0). 藉由反向估計不同期間的利率水準，我們可以建構在真實測度(Q 測度)下的利率期間結構，並做為資產與負債面的折現因子。. 6.

(14) (三) 自我回歸暨移動平均模型(Autoregressive Moving Average Model) 自我回歸暨移動平均模型(ARMA)結合自我回歸模型與移動平均模型，讓我們在配適時間序列資料時能同時考量自我落後期以及殘差向落後期的影響，其一般化的函數表示方式為 ARMA(p,q)，模型為： 𝑦𝑡 = 𝛽1𝑦𝑡−1 + ⋯ + 𝛽𝑝 𝑦𝑡−𝑝 + 𝜀𝑡 + 𝜃1 𝜀𝑡−1 + ⋯ + 𝜃𝑞 𝜀𝑡−𝑞 其中，𝜀𝑡 符合維納過程(Wiener Process)的隨機漫步走勢，即 𝜀𝑡 ~𝑊𝑁(0, 𝜎 2 ) p 為自我回歸模型(AR)的落後期數，q 為移動平均模型(MA)的落後期數，當模型為 ARMA(p,0)時即回復為 AR(p)模型；相反地，當模型為 ARMA(0,q)時即回復為 MA(q)模型。. 政治大. 立. ‧. ‧ 國. 學. 與 Vasicek 模型類似，我們可以運用過去的利率歷史資料，估計 ARMA(p,q)模型之參數。不過，由於 ARMA 模型必須同時考量自我相關(𝛽𝑝 )與殘差項自我相關(𝜃𝑞 )的係數，我們在 ARMA 模型是使用非線性最小平方法 (Nonlinear Least Squares)來進行估計，估計方式如下：. y. Nat. sit. 𝑁. n. a𝑡=1 l. er. io. (𝛽̂𝑚𝑙 , 𝜃̂𝑚𝑙 ) = arg min ∑(𝑦𝑡 − 𝛽1 𝑦𝑡−1 − ⋯ − 𝛽𝑝 𝑦𝑡−𝑝 − 𝜃1 𝜀𝑡−1 (𝛽, 𝜃) − ⋯. Ch. − 𝜃𝑞 𝜀𝑡−𝑞 (𝛽, 𝜃))2. engchi. i n U. v. 其中， 𝑁. 𝜎̂. 2. 𝑚𝑙. 1 = ∑ 𝜀̂𝑡 (𝛽̂ , 𝜃̂)2 𝑇 𝑡=1. 相同地，當計算出 ARMA 模型的參數後，我們便可以運用蒙地卡羅法，在風險中立測度(P 測度)下模擬未來短期利率的隨機過程。. 7.

(15) (四). 向量自我回歸模型(Vector Autoregressive Model). Vasicek 與 ARMA 模型僅考量單因子時間序列的隨機過程，然而在真實世界中，許多經濟變數彼此間可能擁有一定的相關性，並在過去的歷史中造成交互影響的效果。在這種情況下，本研究參考陳旭昇(2007)所介紹的向量自我回歸模型(VAR)與向量誤差修正模型，來描繪多元變數間彼此交互影響的效果。 VAR 模型主要有三種型式，分別為縮減式 VAR 模型、結構式 VAR 模型與遞迴式 VAR 模型，茲分別說明如下： 1. 縮減式 VAR 模型 VAR 模型常以 VAR(q)表示，其中 q 代表函數的落後期數，以 Var(1)為例，其函數為：. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. Φ113 𝐴𝑡−1 𝜀1𝑡 23 𝐵 𝜀 Φ1 ] [ 𝑡−1 ] + [ 2𝑡 ] 𝜀3𝑡 Φ133 𝐶𝑡−1. Φ112 Φ122 Φ132. 學. Φ111 𝐴𝑡 [𝐵𝑡 ] = [Φ121 𝐶𝑡 Φ131. sit. y. Nat. 其中， Φ𝑞𝑘𝑖 代表在落後期為 q 時，第 k 個變數對第 i 個變數的影響係數，其函數亦可表示為：. n. al. er. io. 𝑌𝑡 = 𝜇 + Φ1 𝑌𝑡−1 + Φ2 𝑌𝑡−2 + ⋯ + Φ𝑞 𝑌𝑡−𝑞 + 𝜀𝑡. 2. 結構式 VAR 模型. Ch. engchi. i n U. v. 結構式 VAR 除了考慮變數間彼此落後期數的交互影響以外，也考慮變數間彼此同期的交互影響效果，以結構式 VAR(1)為例，其函數型式為： 0 𝐴𝑡 [𝐵𝑡 ] = [Φ021 𝐶𝑡 Φ031. Φ12 0 0 Φ032. Φ13 Φ111 𝐴𝑡 0 Φ023 ] [𝐵𝑡 ] + [Φ121 𝐶𝑡 Φ131 0. Φ112 Φ122 Φ132. Φ113 𝐴𝑡−1 𝑒1𝑡 23 𝐵 𝑒 Φ1 ] [ 𝑡−1 ] + [ 2𝑡 ] 𝑒3𝑡 Φ133 𝐶𝑡−1. 其中，與縮減式 VAR 模型相同，Φ𝑞𝑘𝑖 代表在落後期為 q 時，第 k 個變數對第 i 個變數的影響係數。而變數 k 受到同期變數 i 的交互影響係數則為 Φ0𝑘𝑖 ，結構式 VAR(1)亦可表示為： 𝑌𝑡 = 𝜇 + Φ𝑂 𝑌𝑡 + Φ1 𝑌𝑡−1 + 𝑒𝑡 8.

(16) 3. 遞迴式 VAR 模型遞迴式 VAR 模型與結構式 VAR 模型相同，考量變數間彼此同期的交互影響效果，在遞迴式 VAR 模型中更進一步的是，遞迴式 VAR 認為同期變數之間可能會有遞迴影響的效果，以遞迴式 VAR (1)為例，其函數型式為： 0 𝐴𝑡 21 [𝐵𝑡 ] = [Φ0 𝐶𝑡 Φ031. 0 0 Φ032. Φ111 0 𝐴𝑡 0] [𝐵𝑡 ] + [Φ121 0 𝐶𝑡 Φ131. Φ113 𝐴𝑡−1 𝑒1𝑡 23 𝐵 Φ1 ] [ 𝑡−1 ] + [𝑒2𝑡 ] 𝑒3𝑡 Φ133 𝐶𝑡−1. Φ112 Φ122 Φ132. 以同期變數來看，彼此的交互影響係數分別為： 𝐵𝑡 = Φ021 𝐴𝑡 𝐶𝑡 = Φ031 𝐴𝑡 + Φ032 𝐵𝑡. 立. 政治大. sit. y. Nat. 4. 誤差影響因子. ‧. ‧ 國. 學. 在此遞迴式 VAR 模型中，變數 B 會受到變數 A 的影響，而變數 C 會受到變數 A 與變數 B 的雙重影響。藉由變數間彼此交互影響的過程，我們可以發現，變數 A 除了影響變數 B 以外，也會透過所影響的 B，再次間接地影響變數 C，這種影響效果即為遞迴影響。. n. al. er. io. 三種類型的 VAR 模型除了變數間彼此影響效果的假設不同以外，在誤差項的設計上也有所不同。在縮減式 VAR 模型中，誤差項假設彼此之間相關，其函數符號為𝜀𝑘𝑡 ，以函數表示為：. ∑𝜀 =. 𝐸(𝜀𝑡 𝜀𝑡′ ). Ch. engchi. i n U. v. 𝑉𝑎𝑟(𝜀1𝑡 ) 𝐶𝑜𝑣(𝜀1𝑡 , 𝜀2𝑡 ) 𝐶𝑜𝑣(𝜀1𝑡 , 𝜀3𝑡 ) 𝑉𝑎𝑟(𝜀2𝑡 ) 𝐶𝑜𝑣(𝜀2𝑡 , 𝜀3𝑡 )] = [𝐶𝑜𝑣(𝜀2𝑡 , 𝜀1𝑡 ) 𝐶𝑜𝑣(𝜀3𝑡 , 𝜀1𝑡 ) 𝐶𝑜𝑣(𝜀3𝑡 , 𝜀2𝑡 ) 𝑉𝑎𝑟(𝜀2𝑡 ). 而在結構式 VAR 與遞迴式 VAR 中，則假設誤差項彼此之間則不具有相關性，其函數符號為𝑒𝑘𝑡 ，以函數表示為：. ∑𝑒 =. 𝐸(𝑒𝑡 𝑒𝑡′ ). 𝑉𝑎𝑟(𝑒1𝑡 ) 0 0 0 𝑉𝑎𝑟(𝑒2𝑡 ) 0 =[ ] 0 0 𝑉𝑎𝑟(𝑒2𝑡 ). 9.

(17) (五) 向量誤差修正模型(Vector Error Correction Model) 藉由向量自我回歸模型(VAR)，我們可以捕捉多元變數內彼此交互影響的效果。然而，在不同的變數之間，彼此可能產生共整合關係，而擁有相同的隨機漫步過程，並影響了向量自我回歸模型中變數之間的相互影響效果。從學術上的定義來看，共整合現象指的是當數個一階定態變數，透過組合後產生之新的序列 𝑌𝑡 ，若新的序列為零階定態變數，即 𝑌𝑡 ~ I(0)，則代表此數個變數之間彼此具有共整合關係。 1. 建構向量誤差修正模型在向量自我回歸模型(VAR)中，若變數之間彼此具有共整合關係時，我們必須對模型中的向量誤差進行修正，並建立向量誤差修正模型(VEC)以取得更. 政治大精確的預測。向量誤差修正模型(VEC)的函數型式可以藉由向量自我回歸模型立 (VAR)進行推導，首先，向量自我回歸模型 VAR 的函數為：. ‧ 國. 學. 𝑌𝑡 = Φ1 𝑌𝑡−1 + Φ2 𝑌𝑡−2 + ⋯ + Φ𝑞 𝑌𝑡−𝑞 + 𝜀𝑡. Nat. 𝑞. 𝑞−1. n. al. 𝑘=1. er. io. 𝑘=1. sit. 𝑌𝑡 = [∑ Φ𝑘 ] 𝑌𝑡−1 + ∑ D𝑘 ∆𝑌𝑡−𝑞 + 𝜀𝑡. y. ‧. 透過推導，我們可以首先將函數改寫為：. Ch. 將函數左右皆減去 𝑌𝑡−1 ，進一步推導為：. engchi. 𝑞. i n U. v. 𝑞−1. ∆𝑌𝑡 = [−𝐼 + ∑ Φ𝑘 ] 𝑌𝑡−1 + ∑ D𝑘 ∆𝑌𝑡−𝑞 + 𝜀𝑡 𝑘=1. 𝑘=1. 將函數簡化後，即可得到初步的向量誤差修正模型(VEC)： 𝑞−1. ∆𝑌𝑡 = Π𝑌𝑡−1 + ∑ D𝑘 ∆𝑌𝑡−𝑞 + 𝜀𝑡 𝑘=1. 在向量誤差修正模型中，Π 為衡量變數彼此間長期影響的係數，相反地， D𝑘 為衡量變數彼此間短期影響的係數。 10.

(18) 2. 共整合分析：Johansen 檢定我們可以運用 Johansen 檢定來判斷變數間是否具有共整合關係，Johansen 檢定有兩種檢定統計方式，分別為跡檢定(Trace Test)與最大特性根檢定(Max Test)，茲分別說明如下： (1) 跡檢定檢定假設為： 𝐻0 ：最大共整合階次為 r 𝐻1 ：最大共整合階次為 k 檢定統計量為：. 政治大 (𝑟) = −𝑇 ∑ ln(1 − 𝜆̂ ) 𝑘. 𝜆 立. 𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒. 𝑖. 𝑖=𝑟+1. ‧ 國. 學. 其中，λ 為 VEC 模型 Π 矩陣的特性根。. ‧. (2) 最大特性根檢定. al. n 檢定統計量為：. y. sit. io. 𝐻0 ：最大共整合階次為 r 𝐻1 ：最大共整合階次為 r + 1. er. Nat. 檢定假設為：. Ch. engchi. i n U. v. 𝜆𝑚𝑎𝑥 (𝑟, 𝑟 + 1) = −𝑇ln(1 − 𝜆̂𝑟+1 ) 若跡檢定與最大根檢定的檢定結果不同時，Johansen 認為最大根檢定是較準確的檢定結果。 (3) 檢定步驟 Johansen 的檢定步驟為一循環的過程。以最大特性根檢定為例，首先，我們必先設定第一個檢定假設 r=0，檢定假設 H10 與 H11 分別為 r=0 與 r=1，若我們無法拒絕第一個檢定假設 H10，表示變數間彼此不存在共整合關係，檢驗即可完成；相反地，若我們拒絕第一個檢定假設 H10，則表示變數間至少存在 1 階共整合關係。 11.

(19) 在後者的情況下，為了確定變數間精確的共整合階次，我們接著必須設定第二個檢定假設 r=1，檢定假設 H20 與 H21 分別為 r=1 與 r=2，並重覆執行上述的檢定流程，若無法拒絕第二個假設的檢定 H20，表示變數間的共整合階次為 1 階，檢驗即可完成；相反地，若拒絕第二個假設的檢定 H20，則代表變數間至少存在 2 階共整合關係，並且須在進行第三次的檢定假設。藉由重複上述的檢定流程，直到我們估計出精確的共整合階次為止。整體而言，Johansen 檢定透過對 VEC 模型矩陣Π的秩(rank)進行評估，來確定變數之間是否具有共整合關係，以及共整合關係的階次，並決定是否需要建立向量誤差修正模型(VEC)，其檢定結果主要有以下三種情形： (1) rank(Π) = k. 政治大之間如何組合，新序列恆為定態時間序列，即𝑌 ~𝐼(0)。在此情形下，雖然立變數間存在共整合關係，然而因新序列恆為定態時間序列，我們藉由運用. k 個變數間彼此擁有 k 個共整合關係(滿秩；full rank)，此情形代表無論變數 𝑡. ‧ 國. 學. 𝑌𝑡 配適 VAR 模型，即可得到有效的估計模型。. ‧. (2) rank(Π) = 0. y. Nat. k 個變數間彼此不存在共整合關係，此情形代表無論變數之間如何組合，新. sit. n. al. er. io. 序列皆不會成為定態時間序列，即𝑌𝑡 ~𝐼(1)。因變數之間並不存在共整合關係，在此情形下，我們將新序列取一階差分取得定態之時間序列，再以 ∆𝑌𝑡 配適 VAR 模型，即可得到有效的估計模型。 (3) rank(Π) = r < k. Ch. engchi. i n U. v. k 個變數間彼此擁有 r 個共整合關係，此情形代表變數透過特定的組合，可以讓新序列符合定態時間序列。在此情形下，我們必須對 VAR 模型中的向量誤差進行修正，估計變數之間能讓新序列符合定態時間序列的關係，並建構向量誤差修正模型(VEC)，以取得更精確的預測結果。. 12.

(20) 三、. 負債準備金計算方式. 我們使用精算數學的未來現金流量法，評價負債面的準備金價值，茲說明公式如下： (一) 保單準備金 𝑉𝑡 = 𝐸(𝑃𝑉 𝑜𝑓 𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑡𝑠) − 𝐸(𝑃𝑉 𝑜𝑓 𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑢𝑚𝑠) 其中，𝑉𝑡 為時間點 t 時的準備金金額， Future Benefits 是未來的淨現金流出，如保單的理賠支出與佣金費用； Future Premiums 是未來的淨現金流入，如保費收入。. 立. (二) 淨現金流出現值. 政治大. ‧ 國. 學. 𝐸(𝑃𝑉 𝑜𝑓 𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑏𝑒𝑛𝑒𝑓𝑖𝑡𝑠) = ∑ Claim × SurvivorRate𝑡−1 × 𝐷𝑒𝑎𝑡ℎ𝑅𝑎𝑡𝑒𝑡 × 𝐷𝐹𝑡. ‧. y. Nat. 若不考慮費用與解約率，保單的淨現金流出現值即為未來預期給付的現值之總合，亦為保單設計時的淨成本。其中，Claim 為保單的保險金額；. sit. n. al. er. io. SurvivorRate𝑡−1 為上期的殘存率(1 − 𝐷𝑒𝑎𝑡ℎ𝑅𝑎𝑡𝑒𝑡−1)；𝐷𝑒𝑎𝑡ℎ𝑅𝑎𝑡𝑒𝑡 為當期的死亡率，以及𝐷𝐹𝑡 為當期的折現因子。. (三) 淨現金流入現值. Ch. engchi. i n U. v. 𝐸(𝑃𝑉 𝑜𝑓 𝑓𝑢𝑡𝑢𝑟𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑢𝑚𝑠) = ∑ 𝑃𝑟𝑒𝑚𝑖𝑢𝑚𝑡 × 𝐷𝐹𝑡. 1. 躉繳保費未來的淨現金流入現值即為保單的保費收入，以終身壽險為例，躉繳保費的計算方式為： Premium𝑡 = Claim × 𝐴𝑡 𝑀𝑡 𝐴𝑡 = 𝐷𝑡. 13.

(21) 其中，Premiums𝑡 表示 t 歲的人在 t 歲時購買終身壽險的躉繳保費金額。 𝐴𝑡 為壽險保費的訂價因子，其計算方式如下： ∞. 𝑀𝑡 = ∑ 𝐶𝑡+𝑘 𝑘=0. 𝐶𝑡 = 𝐷𝑒𝑎𝑡ℎ𝑅𝑎𝑡𝑒𝑡 × 𝐷𝐹𝑡+1 𝐷𝑡 = SurvivorRate𝑡 × 𝐷𝐹𝑡 若為定期壽險，則躉繳保費的計算方式為： Premium𝑡 = Claim × A1𝑡:𝑛¬ 𝑀𝑡 − 𝑀𝑡+𝑛 A1𝑡:𝑛¬ = 𝐷𝑡. 政治大 Premiums 表示 t 歲的人在 t 歲時購買 n 期定期壽險的躉繳保費金額。立 𝑡. ‧ 國. 學. 2. 期繳保費. ‧. 當計算期繳保費時，我們可以透過年金因子將躉繳保費轉換為期繳保費，年金因子的計算方式為：. n. Ch. 𝑁𝑡 − 𝑁𝑡+𝑛 𝐷𝑡 ∞. engchi. 𝑁𝑡 = ∑ 𝐷𝑡+𝑘. y. sit. io. al. 𝑎̈ 𝑡:𝑛¬ =. 𝑁𝑡 𝐷𝑡. er. Nat. 𝑎̈ 𝑡 =. i n U. v. 𝑘=0. 其中，𝑎̈ 𝑡 是計價終身年金的保費因子，代表 t 歲的人在 t 歲時購買 1 元終身年金的躉繳保費金額；𝑎̈ 𝑡:𝑛¬ 是計價定期年金的保費因子，代表 t 歲的人在 t 歲時購買 1 元 n 年期年金的躉繳保費金額。透過年金因子，我們可以將壽險的躉繳保費因子轉換為期繳的平準保費因子，轉換方式茲說明如下： 𝑀𝑡 𝐴𝑡 𝑀𝑡 𝐷 𝑃𝑡 = = 𝑡 = 𝑁𝑡 𝑎̈ 𝑡 𝑁𝑡 𝐷𝑡. 14.

(22) 𝑃𝑡:𝑛¬ =. 𝐴𝑡 𝑎̈ 𝑡:𝑛¬. 𝑀𝑡 𝑀𝑡 𝐷𝑡 = = 𝑁𝑡 − 𝑁𝑡+𝑛 𝑁𝑡 − 𝑁𝑡+𝑛 𝐷𝑡. 其中，𝑃𝑡 即為期繳的平準保費因子，其代表 t 歲的人在 t 歲時購買 1 元終身壽險，並每年持續繳費的期繳保費因子；𝑃𝑡:𝑛¬ 則代表 t 歲的人在 t 歲時購買 1 元終身壽險，並繳費 n 年的期繳保費因子，透過更改 n，我們可以得到不同繳費年期的期繳保費因子。 Premium𝑡 = Claim × 𝑃𝑡 最後，再將保險金額乘與平準保費因子，即可得到未來淨現金流入金額。. 四、. 利率避險策略. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. 透過配置相同存續期間的資產與負債標的，讓我們能夠透過存續期間的利率免疫理論，來降低業主權益受到利率影響的波動程度，以麥氏存續期間 (Maculay Duration)為例，存續期間的計算方式為：. y er. io. al. ∑𝑁 𝑡=1 𝑃𝑉𝑡 × 𝑡 ∑𝑁 𝑡=1 𝑃𝑉𝑡. sit. Nat. MacD =. n. 在麥氏存續期間的利率免疫理論中，當利率變動時，價格受到的影響為：. Ch. engchi. ∆𝑃 ∆𝑟 ≈ −𝐷 × 𝑃 1+𝑟. i n U. v. 假設資產與負債的價值分別為 P(A)與 P(L)，當利率變動時，業主權益 P(E) 受到的影響為：. ∆𝑃𝐸 = ∆𝑃𝐴 − ∆𝑃𝐿 = (𝐷𝐿 𝑃𝐿 − 𝐷𝐴 𝑃𝐴 ). ∆𝑟 1+𝑟. 若我們能設計一組𝐷𝐴 𝑃𝐴 相近於𝐷𝐿 𝑃𝐿 的資產與負債，我們便能藉由利率免疫理論，極小化業主權益受到利率的所造成的影響(∆𝑃𝐸 )。. 15.

(23) 肆、一、. 研究設計. 研究流程. 本研究有四個步驟，分別為配適模型、建立資產與負債假設、模擬未來五年資產、負債與業主權益價值的隨機過程，以及分析結果，各步驟的詳細流程茲說明如下： (一). 配適模型本研究使用短期利率與匯率的歷史資料，各配適兩組研究模型。短期利率. 配適的模型為 Vasicek 單因子利率模型，與 VEC 多因子模型；新台幣兌美元匯率配適的模型為 ARMA 單因子模型，與 VEC 多因子模型。. 政治大藉由配適單因子與多因子模型，進而比較變數間彼此交互影響的效果，並立選用較為適合的模型，做為模擬的假設模型。. ‧ 國. 學. (二). 建立資產與負債假設. ‧. 1. 資產面. y. Nat. sit. n. al. er. io. 本研究假設資產面的投資標的長期的零息債券，並對投資於美元區與國內的比率配適三組不同的權重，進而比較壽險公司將資產配置於美元區與國內的影響，三組投資策略分別為：. Ch. engchi. i n U. v. 表 4.1 資產配置策略. 資產配置策略. 美元區. 國內. 一：偏重美元. 70%. 30%. 二：平均投資. 50%. 50%. 三：偏重國內. 30%. 70%. 2. 負債面本研究假設負債面的商品分別為 30 歲男性購買之終身壽險、十年期定期壽險，與二十年期定期壽險，保單預定利率為 2017 年 3 月的短期利率 0.70%。同時，本研究也假設保單以躉繳的方式繳付保費，以避免壽險保單的存續期間出現小於零或是大於到期日的情形，. 16.

(24) 3. 整體設計本研究假設壽險公司為了極小化業主權益受到利率變動所造成的影響，在首年度皆會透過利率免疫理論，從負債面的需求出發，配適存續期間與保單商品相符的資產投資標的。本研究負債面的保單產品假設如下：表 4.2 負債面保單商品 30 歲男性. 期初保費. 保費係數. 給付金額. Duration. 10 年定期壽險. 100. 0.01. 6,934. 6.06. 20 年定期壽險. 100. 0.04. 2,294. 12.78. 終身壽險. 100. 0.72. 140. 47.02. 為了達到利率避險策略，資產面零息債券的價值與期初保費相同，到期日亦分別對應負債面的存續期間，並考量真實世界的債券商品，將最長的到期日假設為三十年期。整體的資產與負債配置策略共有九組，茲表述如下：. 政治大. 2. 10 年定期壽險. 期初保費保單存續期間. io. 5. 20 年定期壽險. n. al. 7 8. 100. y. 6.06. 資產面到期日投資策略偏重美元 6. 終身壽險. 100. Ch. i n U. 12.78. engchi. 100. 47.02. v. 100. 平均投資偏重國內. sit. 4 6. 100. 價值. ‧. 30 歲男性. Nat. 3. 負債面. er. 配置策略. 表 4.3 整體資產與負債配置策略. 學. 1. ‧ 國. 立. 偏重美元 13. 平均投資偏重國內偏重美元. 100. 30. 平均投資偏重國內. 9. 因真實世界長年期債券的最長年期約為三十年期，故本研究在終身壽險的避險策略中，僅使用三十年期的債券做為資產配置，以符合市場的真實狀況。. 17.

(25) (三). 使用蒙地卡羅法，模擬未來五年，資產與負債的價值變動. 接著，本研究使用蒙地卡羅法，並選用步驟一所估計之模型，模擬 10,000 次未來五年利率與匯率的隨機過程。透過 Vasicek 債券模型，將風險中立測度(P 測度)的模擬利率轉換為真實測度(Q 測度)的債券價值，並反向估計利率期間結構，做為負債面準備金的折現因子，藉此模擬未來五年，資產、負債與業主權益價值的隨機過程。 (四). 分析資產、負債與業主權益受利率與匯率的影響最後，評估資產、負債與業主權益在第一年度末、第三年度末與第五年度. 末模擬資料的平均值、標準差、風險值與分布趨勢，從資產面比較壽險公司將資產配置於國內與美元區權重所造成的影響，以及從負債面比較不同保單商品，在利率變動時對負債準備金的影響。並結合資產與負債之結果，整體分析. 政治大在利率與匯率的隨機過程中，對壽險公司的業主權益所造成的影響。立. ‧ 國. 學. 整體的研究流程如下圖所述：. ‧. 圖 4.1 研究流程圖. n. al. y er. io. sit. Nat. Step1 配適模型. Ch. Step2. i n U. v. engchi 建立資產與負債假設 Step3 使用蒙地卡羅法模擬10,000次. 未來五年的資產與負債價值變動. Step4 分析資產、負債與業主權益受利率與匯率的影響. 18.

(26) 二、. 資料說明. 本研究使用的資料包含台灣市場短期利率、美國市場短期利率、新台幣兌美元匯率，以及壽險業的經驗生命表，使用資料的期間介於 2000 年 1 月至 2017 年 3 月，頻率為月資料，每組資料總共 207 筆，茲詳細說明如下： (五). 資料選取台幣利率：使用台灣次級市場之商業本票利率(三個月期；CBS3M)。美元利率：使用美國次級市場之國庫券利率(三個月期；TBS3M)。匯率資料：使用新台幣兌美元匯率(NTDUSD)。生命表資料：使用台灣壽險業第五回經驗生命表. 政治大 Reserve Economic Data 以及中華民國人壽保險商業同業公會。立. 資料來源分別透過：央行統計資料、台灣經濟新報資料庫 TEJ、Federal. n. al. Ch. 2.82 1.87. i n U. (0.33) 1.03. engchi. y. 1.59% 0.88% 1.88% 0.04%. sit. 1.42% 0.85% 1.18% 0.01%. NTDUSD. er. TBS3M. io. 峰度偏態. CBS3M. Nat. 平均數中間值標準差變異數. 表 4.4 資料敘述統計. ‧. 項目. ‧ 國. 資料敘述統計. 學. (六). v. 32.03 32.23 1.66 2.77 (0.99) (0.04). 範圍最小值最大值. 4.75% 0.40% 5.15%. 6.16% 0.01% 6.17%. 6.25 28.81 35.07. 個數. 207. 207. 207. 從 2000 年 1 月至 2017 年 3 月，美元利率之平均值 1.59% 較台幣利率之平均值 1.42% 高約 0.17%，美元利率之標準差 1.88% 亦較台幣利率之標準差 1.18% 高約 0.71%。其中，美元利率的範圍介於 0.01%至 6.17%，相差 6.16%；台幣利率的範圍介於 0.40%至 5.15%，相差 4.75%。透過比較美元利率與台幣利率之平均值、標準差及波動範圍，可以發現美元利率比起台幣利率是較為高風險與高報酬的投資標的。 19.

(27) 圖 4.2 台幣與美元短期利率歷史資料(2000 年 1 月至 2017 年 3 月) 7.00% 6.00% 5.00% 4.00% 3.00% 2.00% 1.00%. TBS3M. 2017. 2016. 2015. 2014. 2013. 2012. 2011. 2010. 2009. 2008. 2007. 2006. 2005. 2004. 2003. 2002. 2001. 2000. 0.00%. CBS3M. 政治大圖 4.3 台幣與美元短期利率歷史資料(一階差分，2000 年 1 月至 2017 年 3 月) 立. -1.00%. 2017. 2016. 2015. sit. y 2014. 2013. 2012. 2011. 2010. 2009. 2008. 2007. 2006. 2005. 2003. 2002. 2000. 2004. al. n. -0.80%. io. -0.60%. er. -0.40%. Nat. -0.20%. ‧. 0.00%. 2001. 0.20%. 學. 0.40%. ‧ 國. 0.60%. Ch. engchi dTBS. i n U. v. dCBS. 由美元與台幣短期利率的歷史資料可以發現，美元短期利率的表現在經濟蕭條的環境時較台幣短期利率疲弱(2001 至 2004 年，與金融海嘯(2008)以後)；相反地，在經濟成長的環境，美元短期利率的表現較台幣短期利率強勁(2004 至 2008 年，與 2016 年 6 月以後)。綜觀 2000 年至 2017 年 3 月的歷史期間，兩者的相關係數為 0.7802；同時，若將美元與台幣短期利率分別取一階差分，兩者差分值的相關係數則為 0.2422。. 20.

(28) 圖 4.4 新台幣兌美元匯率歷史資料(2000 年 1 月至 2017 年 3 月). 36.00. 5.00 3.00. 34.00. 1.00. 32.00. (1.00). 30.00. (3.00). 28.00. (5.00) 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012 2014 2016 NTDUSD. dNTDUSD. 政治大從 2000 年 1 月至 2017 年 3 月，新台幣兌美元匯率的平均值為 32.03，範圍立介於 28.81 至 35.07，標準差約為 1.66。長期而言，新台幣兌美元匯率的變化趨. ‧ 國. ‧. 三、. 學. 勢擁有恆定的平均水準。同時，新台幣兌美元匯率在近期(2017 年 1 月至 3 月) 有持續升值的趨勢。. 資料定態與單根檢定. sit. y. Nat. er. io. 表 4.5 資料定態與單根檢定(ADF Test). al. 截距項與固定趨勢. iv (2.6617)C * (3.9578) n h e n g c 0.0116 hi U 0.0826. (2.5787) *** 0.0099. CBS3M. (3.1414) ** 0.0251. (2.6865) 0.2434. (3.0579) *** 0.0024. NTDUSD. (2.4852) 0.1206. (3.4812)** 0.0441. (0.1470) 0.6318. dTBS3M. (4.6900) *** 0.0001. (4.8377) *** 0.0006. (4.6227) *** 0.0000. dCBS3M. (6.1923) *** 0.0000. (6.4417) *** 0.0000. (6.0369) *** 0.0000. dNTDUSD. (9.3619) *** 0.0000. (9.3667) *** 0.0000. (9.3849) *** 0.0000. TBS3M. 截距項. n. 項目. 21. 無.

(29) 透過 ADF 單根檢定，我們發現台幣短期利率、美元短期利率，以及新台幣兌美元匯率在一階差分後擁有較穩定的定態檢定結果，在原始資料的零階檢定中，僅零星地通過定態檢定的結果。為了增強本研究的穩定性，本研究藉由 ADF 定態檢定的結果，推論台幣短期利率、美元短期利率，以及新台幣兌美元匯率皆為一階定態的時間序列資料 I(1)，並以此假設估計後續的模型參數。. 四、. 模型參數估計. (一). Vasicek 短期利率模型參數 d𝑟𝑡 = α(μ − 𝑟𝑡−1 )𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑊𝑡. 政治大料，並藉由最小平方法，估計 Vasicek 模型(式 1)的參數。立. 本研究使用 2000 年 1 月至 2017 年 3 月份的國內與美元區短期利率月資. ‧ 國. 學. 表 4.6 Vasicek 利率模型參數 α. μ. 𝜎. 台幣利率 CBS3M. 0.2833. 0.58%. 0.11%. 美元利率 TBS3M. 0.1794. 0.05%. 0.18%. ‧. 項目. y. Nat. sit. n. al. er. io. 在模型的參數中，本研究發現台幣短期利率的長期均數水準為 0.58%，較美元利率短期利率的長期均數水準 0.05%高；同時，台幣短期利率的修復力道 (α)為 0.2833，亦較美元利率短期利率的修復力道(α)0.1794 強。本研究推論會有此現象出現的原因，主要是因美元短期利率在金融海嘯後有很長的時間都介於非常低的水準。此點也造成美元短期利率模擬後的數值有偏低的情形。. Ch. engchi. i n U. v. ARMA 匯率模型參數. (二). 本研究使用 2000 年 1 月至 2017 年 3 月份的新台幣兌美元匯率月資料，首先藉由 AIC 與 BIC 檢定，選擇最適合的 ARMA(p,q)模型，並估計該模型的參數。在 AIC 與 BIC 檢定中，皆顯示最適合匯率資料的模型為 ARMA(0,1)，如圖 4.5 與表 4.7 所示，故我們亦選用 ARMA(0,1)做為匯率的單因子模型，其模型參數分別為：表 4.7 ARMA(0,1)匯率模型參數項目. C. MA(1). Sigma. Variance. Adj 𝑅 2. SSE. 匯率. (0.0008). 0.42. 0.34. 0.12. 0.16. 24.23319. 22.

(30) 圖 4.5 ARMA(p,q)模型：AIC 與 BIC 檢定 0.9500. 0.9000. 0.8500. 0.8000. 0.7500. (0,1) (1,0) (0,2) (2,0) (1,1) (1,2) (0,3) (2,1) (3,0) (1,3) (2,2) (0,4) (4,0) (3,1) (2,3) (1,4) (3,2) (4,1) (3,3) (2,4) (4,3) (4,2) (3,4) (4,4) (0,0). 0.7000. AIC. (4,0) (3,1) (2,3) (1,4). 0.7509 0.7521 0.7378 0.7426. 0.8478 0.8490 0.8509 0.8557. 0.7335 0.7363 0.7409 0.7424 0.7426 0.7330 0.7331 0.7473. 0.7981 0.8171 0.8217 0.8232 0.8233 0.8299 0.8300 0.8443. (3,2) (4,1) (3,3) (2,4) (4,3) (4,2) (3,4) (4,4). 0.7428 0.7528 0.7479 0.7481 0.7386 0.7618 0.7519 0.7439. 0.8559 0.8658 0.8771 0.8773 0.8840 0.8911 0.8973 0.9054. Ch. engchi. y. sit. er. n. al. ‧. 0.7763 0.7922 0.7975 0.7981. io. (三). BIC. 0.7278 0.7438 0.7329 0.7334. Nat. (1,1) (1,2) (0,3) (2,1) (3,0) (1,3) (2,2) (0,4). 學. (0,1) (1,0) (0,2) (2,0). 政治大表 4.8 ARMA(p,q)模型：AIC 與 BIC 檢定立 BIC ARMA(p,q) AIC AIC. ‧ 國. ARMA(p,q). BIC. i n U. v. VEC 利率與匯率多因子模型參數. 在建構 VEC 多因子模型時，本研究同時考量國內短期利率、美元區短期利率，以及新台幣兌美元匯率三個因子。建構 VEC 模型的步驟主要有三步，首先配適最佳落後期的 VAR(q)模型，接著對變數進行 Johansen 共整合檢定，並在最後建構 VEC 模型，詳細的流程茲說明如下：. 23.

(31) 1. 配適最佳落後期的 VAR(q)模型與配適 ARMA 模型時相同，本研究首先藉由 AIC 與 BIC 檢定，選擇最適合的 VAR(q)模型，並以此作為後續建構 VEC 模型的最佳落後期。圖 4.6 VAR(q)模型：AIC 與 BIC 檢定 (17.00) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20. (17.50) (18.00) (18.50) (19.00) (19.50) (20.00) (20.50). 立. BIC. VAR(q). 1 2 3 4 5 6 7 8 9. (20.56) (20.96) (21.00) (21.04)* (21.04) (21.02) (21.01) (21.01) (20.97). (20.35) (20.60)* (20.48) (20.37) (20.21) (20.04) (19.87) (19.71) (19.52). 11 12 13 14 15 16 17 18 19. 10. (20.91). (19.31). 20. n. Ch. engchi. BIC. (20.88) (20.83) (20.88) (20.83) (20.83) (20.81) (20.76) (20.72) (20.66). (19.12) (18.91) (18.81) (18.60) (18.45) (18.27) (18.07) (17.87) (17.66). (20.60). (17.44). er. io. al. AIC. y. BIC. sit. AIC. ‧. 表 4.9 VAR(q)模型：AIC 與 BIC 檢定. Nat. VAR(q). AIC. 學. (21.50). ‧ 國. (21.00). 政治大. i n U. v. 在 AIC 與 BIC 檢定中，AIC 顯示最適合國內短期利率、美元區短期利率，以及新台幣兌美元匯率三個因子資料的模型為 VAR(4)，BIC 則顯示最適合的模型為 VAR(2)。在 AIC 與 BIC 檢定結果不一致時，BIC 檢定能提供較好的配適結果，故我們亦選用 VAR(2)做為國內短期利率、美元區短期利率，以及新台幣兌美元匯率的三因子模型，並決定後續建構 VEC 模型的最佳落後期數為 2 期。. 24.

(32) 2. Johansen 共整合檢定表 4.10 Johansen 共整合檢定 The Trace Test 𝜆̂𝑡𝑟𝑎𝑐𝑒 45.10*** 21.40*** 2.23. Null Alternative r=0 r≤1 r≤2. r≥1 r≥2 r=3. 95% Critical Value. Prob. 29.80 15.49 3.84. 0.0004 0.0057 0.1353. The Maximal Eigenvalue Test 𝜆̂𝑚𝑎𝑥 23.70** 19.17*** 2.23. Null Alternative r=0 r≤1 r≤2. r=1 r=2 r=3. 95% Critical Value. Prob. 21.13 14.26 3.84. 0.0212 0.0077 0.1353. 政治大在 Johansen 共整合檢定中，最大根特性檢定( The Maximal Eigenvalue Test)與立. ‧ 國. 學. 跡檢定(The Trace Test)皆顯示國內短期利率、美元區短期利率，以及新台幣兌美元匯率之間擁有 2 階次的共整合關係。. ‧. 3. 建構 VEC 模型. n. al. er. io. sit. y. Nat. 結合 VAR 模型配適最佳落後期之檢定(AIC 與 BIC 檢定)與 Johansen 共整合檢定之結果，本研究以 2 段落後期數，與 2 階共整合關係，建構國內短期利率、美元區短期利率，以及新台幣兌美元匯率三因子之 VEC 模型，並估計模型之參數，其估計之方程式為： Δ𝑇𝐵𝑆𝑡 −0.000 ∗∗∗ [ Δ𝐶𝐵𝑆𝑡 ] = [−0.000 ∗∗∗] Δ𝑁𝑇𝑆𝑈𝑆𝐷𝑡 −0.015 ∗∗. Ch. engchi. 0.018 ∗∗∗ −0.049 ∗∗ 1 0 + [0.021 ∗∗∗ −0.041 ∗∗] [ 0 1 2.643 2.506. i n U. v. 𝑇𝐵𝑆𝑡−1 −0.016 ∗∗∗ ] [ 𝐶𝐵𝑆𝑡−1 ] −0.005 ∗∗∗ 𝑁𝑇𝐷𝑈𝑆𝐷𝑡−1. Δ𝑇𝐵𝑆𝑡−1 0.442 ∗∗ 0.204 −0.001 ∗∗∗ + [0.025 ∗∗ 0.160 ∗ 0.000 ∗∗∗ ] [ Δ𝐶𝐵𝑆𝑡−1 ] Δ𝑁𝑇𝑆𝑈𝑆𝐷𝑡−1 16.912 −74.398 0.437 ∗ 𝜀𝑡𝑇𝐵𝑆 Δ𝑇𝐵𝑆𝑡−2 −0.018 ∗ −0.319 0.000 ∗∗∗ + [ 0.061 ∗∗ 0.120 ∗ −0.000 ∗∗∗] [ Δ𝐶𝐵𝑆𝑡−2 ] + [ 𝜀𝑡𝐶𝐵𝑆 ] Δ𝑁𝑇𝑆𝑈𝑆𝐷𝑡−2 10.014 −35.242 −0.110 ∗ 𝜀𝑡𝑁𝑇𝐷𝑈𝑆𝐷. 25.

(33) 其中，E = [𝜀𝑡𝑇𝐵𝑆. 𝜀𝑡𝑁𝑇𝐷𝑈𝑆𝐷 ]′ ~ N(0, Σ̂). 𝜀𝑡𝐶𝐵𝑆. 2.12 × 10−6 Σ̂ = [ 4.83 × 10−8 −7.03 × 10−6. 4.83 × 10−8 7.75 × 10−7 2.81 × 10−5. −7.03 × 10−6 2.81 × 10−5 ] 0.1052. 表 4.11 三因子 VEC(2)模型參數估計 ∆TBS𝑡. ∆CBS𝑡. ∆NTDUSDS𝑡 係數 p-value. 變數. 係數. p-value. 係數. p-value. Constant ∆TBS𝑡−1. (0.00) 0.44. 0.00 0.07. (0.00) 0.02. 0.000 0.043. (0.02) 16.91. 0.02 15.86. ∆CBS𝑡−1 ∆NTDUSDS𝑡−1 ∆TBS𝑡−2 ∆CBS𝑡−2 ∆NTDUSDS𝑡−2 𝐸𝐶𝑀1𝑡−1 𝐸𝐶𝑀2𝑡−1. 0.20 (0.00) (0.02) (0.32) 0.00 0.02 (0.05). 0.11 0.00 0.07 0.11 0.00 0.01 0.02. 0.16 0.00 0.06 0.12 (0.00) 0.02 (0.04). 0.068 0.000 0.044 0.068 0.000 0.005 0.010. (74.40) 0.44 10.01 (35.24) (0.11) 2.64 2.51. 24.91 0.07 16.07 25.12 0.07 1.85 3.85. 0.00. 0.00. y. ‧ 國. 0.34 14.11. ‧. 0.33 13.51. Nat. SSE. 學. adj R2 F-value. 立. 政治大. 0.24 9.10 21.26. al. er. io. sit. 𝐸𝐶𝑀1𝑡−1 = 𝑇𝐵𝑆𝑡−1 − 0.016𝑁𝑇𝐷𝑈𝑆𝐷𝑡−1 ；𝐸𝐶𝑀2𝑡−1 = 𝐶𝐵𝑆𝑡−1 − 0.005𝑁𝑇𝐷𝑈𝑆𝐷𝑡−1. n. 在 VEC 模型中，美元短期利率之變動(∆TBS𝑡 )在長期會顯著地受到自身落後期(𝑇𝐵𝑆𝑡−1)與新台幣兌美元匯率落後期(𝑁𝑇𝐷𝑈𝑆𝐷𝑡−1 )的影響，同時，台幣短期利率之變動(∆CBS𝑡 )在長期亦會顯著地受到自身落後期(𝐶𝐵𝑆𝑡−1 )與新台幣兌美元匯率落後期(𝑁𝑇𝐷𝑈𝑆𝐷𝑡−1 )的影響。. Ch. engchi. i n U. v. 另一方面，與長期之影響相同，美元短期利率之變動(∆TBS𝑡 )在短期會顯著地受到自身落後期(∆𝑇𝐵𝑆𝑡−1 )與新台幣兌美元匯率落後期(∆𝑁𝑇𝐷𝑈𝑆𝐷𝑡−1 )的影響；然而，台幣短期利率之變動(∆CBS𝑡 )在短期除了會顯著地受到自身落後期 (∆𝐶𝐵𝑆𝑡−1 )與新台幣兌美元匯率落後期(∆𝑁𝑇𝐷𝑈𝑆𝐷𝑡−1 )的影響以外，亦會顯著地受到美元短期利率之變動(∆TBS𝑡 )的影響。對新台幣兌美元匯率而言，無論長期或短期，僅會顯著地受到自身落後期的影響。. 26.

(34) 五、. 蒙地卡羅模擬結果. (一). 利率模型從過去的歷史資料，我們發現台幣短期利率與美元短期利率具有一定程度的相關性，同時，在 VEC 模型的參數中，我們亦發現台幣短期利率的變動會受到美元短期利率變動的影響。為了讓 Vasicek 利率模型能更真確地反應台幣與美元利率之間的相關性，本研究運用 Cholesky Factorization 的方式，在 Vasicek 利率模型的隨機漫步項中，建立台幣短期利率與美元短期利率的相關性，並進行蒙地卡羅模擬，其加入相關性(ρ = 0.2422)後的模擬模型分別為： 1. 美元利率(TBS). 政治大. ∆𝑇𝐵𝑆𝑟𝑡 = α𝑇𝐵𝑆 (μ 𝑇𝐵𝑆 − 𝑇𝐵𝑆𝑟𝑡−1 )𝑑𝑡 + 𝜎𝑇𝐵𝑆 × ∆𝑊1𝑡. 立. 2. 台幣利率. ‧ 國. 學. ∆𝐶𝐵𝑆𝑟𝑡 = α𝐶𝐵𝑆 (μ𝐶𝐵𝑆 − 𝐶𝐵𝑆𝑟𝑡−1 )𝑑𝑡 + 𝜎𝐶𝐵𝑆 × 𝜌 × ∆𝑊1𝑡 + 𝜎𝐶𝐵𝑆 (1 − 𝜌2 ) × ∆𝑊2𝑡. ‧. sit. y. Nat. 其中，初始利率為 2017 年 3 月份的月底數值(台幣短期利率：0.7%、美元短期利率：0.8%)。. er. al. 美元利率 ∆TBS3M. 台幣利率 ∆CBS3M. n. 項目. io. 表 4.12 蒙地卡羅模擬結果：利率模型(一階差分). Ch. 模型. 原始資料. Vasicek. 平均數標準差變異數峰度偏態. -0.02% 0.18% 0.0003% 5.31 (1.85). -0.01% 0.18% 0.0003% 2.90 0.00. 0.17% 0.0003% 2.85 (0.00). 範圍最小值最大值個數. 1.30% -0.86% 0.44% 206. 1.61% -0.79% 0.81% 59. 1.58% -0.82% 0.76% 59. VEC. i n U. 原始資料. v. Vasicek. VEC. 0.11% 0.0001% 8.27 (1.85). 0.00% 0.11% 0.0001% 2.90 0.00. 0.00% 0.10% 0.0001% 2.86 (0.00). 1.05% -0.60% 0.45% 206. 1.04% -0.54% 0.50% 59. 0.99% -0.49% 0.50% 59. i e-0.01% n g c h -0.02%. 使用 Vasicek 模型與 VEC 模型模擬後的短期利率，其利率變動(一階差分) 的平均值與標準差皆與原歷史資料相符，模擬後的短期利率與原始短期利率具有一定的配適程度。 27.

(35) 圖 4.7 Vasicek 模型利率模擬過程. 立. 政治大. 圖 4.8 VEC(2)模型利率模擬過程. ‧. ‧ 國. 學. n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. 28. i n U. v.

(36) 表 4.13 蒙地卡羅模擬結果：利率模型項目. 美元利率 TBS3M. 台幣利率 CBS3M. 原始資料. Vasicek. VEC. 原始資料. Vasicek. VEC. 平均數 1.42% 標準差 1.18% 變異數 0.0139% 峰度 2.82 偏態 1.87 範圍 4.75% 最小值 0.40% 最大值 5.15% 個數 207. 0.55% 0.72% 0.0052% 2.94 (0.02) 7.36% -3.16% 4.20%. 0.51% 1.56% 0.0245% 2.97 0.02 18.18% -8.80% 9.38%. 1.59% 1.88% 0.0355% (0.33) 1.03 6.16% 0.01% 6.17%. 0.64% 0.39% 0.0015% 2.96 0.01 4.01% -1.37% 2.63%. 0.88% 0.58% 0.0034% 2.97 0.01 6.54% -2.47% 4.08%. 60. 60. 207. 60. 60. 模型. 政治大的漫步範圍(美元利率由-3.60%至 5.05%；台幣利率由-1.37%至 2.63%)，較 VEC 立模型的漫步範圍(美元利率由-8.80%至 9.38%；台幣利率由-2.47%至 4.08%)穩因 Vasicek 模型具有均數回歸的特性，在蒙地卡羅模擬的過程中，其利率. ‧ 國. 學. ‧. 定。同時，為了解決模型所模擬之負利率在真實世界中較不可能出現的性質，本研究在後續評價的過程中會將負值的利率皆設為趨近於零的 0.01%(台幣利率的負值利率約占整體的 5.7%，美元利率約占 22%)，為了避免利率的範圍落差過大，故本研究選擇 Vasicek 利率模型做為後續評價時的利率模型。. y. Nat. TBS. -0.02% 0.18% 0.0003% 5.31 (1.85) 1.30%. al. 0.0002% 4.42 (0.23) 1.55%. -0.86% 0.44% 206. -0.82% 0.73% 59. ∆歷史資料. 平均數標準差變異數峰度偏態範圍最小值最大值個數. v ∆CBS i -0.004%C 0.660% -0.02%n -0.001% U h i e h n g c 0.11% 0.10% 0.15% 0.57% ∆TBS. n. 模型. 台幣利率 CBS3M (去除負值). er. 美元利率 TBS3M (去除負值). io. 項目. sit. 表 4.14 蒙地卡羅模擬結果：Vasicek 利率模型(去除負值) ∆歷史資料. CBS. 0.0032% 3.17 0.78 4.05%. 0.0001% 8.27 (1.85) 1.05%. 0.0001% 3.16 (0.04) 0.98%. 0.654% 0.36% 0.0013% 2.63 0.26 2.66%. 0.00% 4.05% 60. -0.60% 0.45% 206. -0.50% 0.48% 59. 0.00% 2.66% 60. 將 Vasicek 模型模擬之短期利率去除負值後，標準差略為下降，新的美元短期利率變動範圍介於 0%至 4.05%，新的台幣短期利率變動範圍介於 0%至 2.66%。整體而言，模擬後美元利率之平均值(0.660%)與台幣利率之平均值 (0.654%)並沒有太大的差異。 29.

(37) (二). 匯率模型進行模擬時，初始匯率為 2017 年 3 月份的月底數值 30.66。表 4.15 蒙地卡羅模擬結果：匯率模型項目. 匯率 ∆NTDUSD. 使用資料. 原始資料. ARMA. VEC. 平均數標準差變異數峰度. (0.0007) 0.38 0.14 0.73. (0.0006) 0.37 0.14 2.88. 0.0045 0.37 0.14 2.88. 偏態範圍最小值. (0.04) 2.24 (1.19) 1.04 206. 0.00 3.46 (1.64) 1.82 59. (0.00) 3.51 (1.68) 1.83 59. 立. 最大值個數. 政治大. ‧ 國. 學. n. al. er. io. sit. Nat. 圖 4.9 ARMA(0,1)模型匯率模擬過程. y. ‧. 使用 ARMA 模型與 VEC 模型模擬後的短期利率，其平均值與標準差皆與原歷史資料相符，模擬後的匯率變化與原歷史匯率變化具有一定的配適程度。. Ch. engchi. 30. i n U. v.

(38) 圖 4.10 VEC(2)模型匯率模擬過程. 政治大後，我們發現匯率在 ARMA 模型中會持續擴散，並大幅地超過歷史資料的變動立區間；另一方面，在 VEC 模型中，雖然匯率僅顯著地受到自身落後期的影響，在 ARMA 模型中，匯率僅考量自身的誤差項落後期，透過蒙地卡羅模擬. ‧. ‧ 國. 學. 然而因 VEC 模型會同時考量長期影響與短期影響效果，故透過蒙地卡羅模擬後，匯率會在與歷史資料較相符的區間收斂。因匯率的變動在 VEC 模型中的收斂區間較符合歷史情形，故本研究認為 VEC 模型是較能完善捕捉新台幣兌美元匯率的配適模型。. y. Nat. a1l. 3 30.62 25.89. Ch. 30.65 28.06. engchi U. Model Year mean VAR95. er. ARMA. n. Year mean VAR95. io. Model. sit. 表 4.16 蒙地卡羅模擬結果：匯率平均值與風險值. v ni. 5 30.62 25.89. VEC 1 30.80 28.76. 3 31.09 28.77. 5 30.99 28.77. 為了評估匯率變動對壽險公司之業主權益所造成的影響，本研究在評價的過程中，也分別在第一年末、第三年末，以及第五年末各假設兩種匯率情境下的業主權益價值，並比較兩種匯率情境下的業主權益價值差異。第一種情境是假設匯率變動落於平均水準，藉由 VEC 模型所模擬的結果，在第一年末、第三年末，以及第五年末的匯率分別為：30.80、31.09 與 30.99；第一種情境是假設匯率變動落於風險水準，藉由 VEC 模型所模擬的結果，在第一年末、第三年末，以及第五年末的匯率分別為：28.76、28.77 與 28.77。 31.

(39) 伍、一、. 資產價值. (一). 匯率落於平均水準. 實證結果. 本研究使用之初始利率與匯率為 2017 年 3 月份的月底數值(台幣短期利率：0.7%、美元短期利率：0.8%，新台幣兌美元匯率 30.66)，資產面零息債券的初始價值分別為國內債券 100 元以及等值之美國公債，在匯率落於平均水準時(第一年末、第三年末、第五年末：30.80、31.09 與 30.99)，藉由 Vasisek 債券評價模型，各策略的資產價值為：表 5.1 各策略資產價值(匯率落於平均水準) 債券年期投資策略. 立 101.13. 平均值. 100.87. 4.45. 第三年度 102.96 第五年度 103.65. 14.06. 102.66. 10.52. 102.36. 7.71. 16.90. 103.52. 12.58. 103.39. 9.14. 第一年度 101.13 第三年度 102.95. 8.03. 101.00. 6.03. 100.87. 4.47. 14.30. 102.66. 10.70. 102.36. 7.84. 第五年度 103.60 第一年度 101.13. 18.31. 103.48. 13.64. 103.36. 9.93. 8.03. 101.00. 6.03. 100.87. 4.47. 第三年度 102.95 第五年度 103.60. 14.30. 102.66. 10.70. 102.36. 7.84. 18.32. 103.48. 103.36. 9.93. n. Ch. engchi. er. io. al. ‧. ‧ 國. 6.00. y. 標準差. 101.00. Nat. 30. 平均值. 7.99. 學. 13. 偏重台幣. sit. 第一年度 6. 政治平均投資大標準差平均值標準差. 偏重美元. i n U. v. 13.65. 在模擬資料中，本研究歸納以下幾點零息債券再隨機過程中的現象： 1. 以債券年期切入，當零息債券的年期較長時，債券價值的標準差會逐漸上升，並在固定水平趨近穩定。 2. 相較於偏重台幣債券的投資策略，偏重美元債券的投資策略擁有較高的平均價值，然而，其標準差也較偏重台幣債券的投資策略高，此點與過去債券短期利率的歷史走勢擁有相同的結果，美元投資是相對於台幣投資較為高風險與高報酬的投資標的。. 32.

(40) (二). 匯率落於風險水準. 在匯率落於風險水準時(第一年末、第三年末、第五年末：28.76、28.77 與 28.77)，各策略的資產價值為：表 5.2 各策略資產價值(匯率落於風險水準) 偏重美元. 債券年期投資策略. 6. 13. 偏重台幣. 標準差. 平均值. 標準差. 平均值. 標準差. 第一年度. 96.43. 7.47. 97.65. 5.65. 98.86. 4.28. 第三年度. 97.55. 13.04. 98.80. 9.83. 100.05. 7.37. 第五年度. 98.44. 15.72. 99.80. 11.78. 101.15. 8.75. 第一年度. 96.43. 7.51. 97.65. 5.68. 98.86. 4.30. 第三年度. 97.55. 13.26. 100.05. 7.50. 第五年度. 98.40. 101.13. 9.51. 第一年度. 96.43. 98.80 10.00 治政 17.03 99.77 12.77 大 7.51 97.65 5.68. 98.86. 4.30. 第三年度. 97.55. 13.26. 98.80. 10.00. 100.05. 7.50. 98.40. 17.03. 99.77. 12.77. 101.13. 9.51. 立. 第五年度. 學. 平均值. ‧ 國. 30. 平均. ‧. 當匯率落於風險水準時，依據蒙地卡羅的模擬結果，偏重於美元的投資策略，每 100 元平均虧損介於 1.60 元至 3.57 元之間，即 1.6%至 3.6%。在低利率. al. er. io. sit. y. Nat. 的環境下，此點衝擊較造成壽險公司的重大虧損，故本研究亦認為匯率避險對於壽險公司有十分重大的重要性。. v. n. 整體而言，因 Vasicek 模型所估計的均數水準利率參數(美元 0.05%；台幣 0.58%)較低，模擬後美元利率之平均值(0.660%)與台幣利率之平均值(0.654%)並沒有太大的差異，此點是運用 Vasicek 模型在評價資金配置於美元資產與台幣資產時，對資產價值並沒有太大影響的主要原因。. Ch. engchi. 33. i n U.

(41) 二、. 負債價值. (一). 負債：準備金價值模擬路徑圖 5.1 準備金價值模擬路徑. 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學 y. Nat. 為了評估準備金價值在隨機過程中的走勢，本研究首先參考保單在訂價過程中，以預定利率做為全期折現因子的方式，以模擬之利率，簡易地作為負債. sit. n. al. er. io. 面未來現金流量的折現因子。在準備金價值的隨機過程中，當利率上升高於保單的預定利率時，保單的準備金價值將低於原始保費(100 元)；相反地，當利率下降低於保單的預定利率時，保單的準備金價值將高於原始保費(100 元)。本研究保單設定的預定利率為 2017 年 3 月的短期利率 0.70%，因模擬後之利率在漫步過程中之平均值 0.66%稍低於預定利率，故準備金在隨機過程中的平均走勢有微微上升的趨勢。. Ch. engchi. i n U. v. 在十年期定期壽險與二十年期定期壽險的隨機過程中，準備金價值在每年度末皆呈現階梯式的下降，其原因是因本研究假設保險給付在年末支付，故每年末準備金價值所計算的未來現金流出會依序減少一筆，也造成此準備金價值皆呈現階梯式的下降的狀況，而終身壽險因商品年期較長，此準備金價值遞減的現象較不明顯。同時，因本研究亦發現，在利率下降時與利率上升時，準備金價值受利率變動的影響幅度會有所不同，此點將在下方進行更詳細的說明。. 34.

(42) (二). 負債準備金價值分布：以模擬利率做為折現因子圖 5.2 準備金價值模擬分布：十年定期壽險(簡易折現). 立. 政治大. ‧. ‧ 國. 學. 圖 5.3 準備金價值模擬分布：終身壽險壽險(簡易折現). n. er. io. sit. y. Nat. al. Ch. engchi. i n U. v. 本研究首先以模擬之利率，簡易地作為負債面未來現金流量的折現因子。在十年期定期壽險中，準備金的模擬價值在第一年末、第三年末與第五年末呈現常態分布；然而，在終身壽險中，準備金的模擬價值在第一年末、第三年末與第五年末卻呈現逐漸右偏的趨勢。此點亦反映我們在準備金價值的隨機過程中所發現的趨勢：當利率下降時與利率上升時，準備金價值受利率變動的影響幅度會有所不同。 35.

(43) 圖 5.4 準備金價值受利率影響趨勢 160.00 140.00. 準備金價值. 120.00 100.00 80.00 60.00 40.00 20.00 0.00%. 1.00%. 2.00%. 3.00%. 4.00%. 5.00%. 6.00%. 7.00%. 8.00%. 利率. 政治大為了準備地衡量準備金價值受利率變動的影響幅度，本研究進一步計算各立種利率水準(由 0%至 8%)的準備金價值。經由彙整準備金在各種利率下的價 ‧. ‧ 國. 學. 值，本研究發現準備金價值受利率變動的影響幅度，是呈現凹口向上的變化趨勢。此點表示當利率下降時，準備金價值所成長的幅度，會較利率上升時，準備金價值下降的幅度高。. y. Nat. 藉由進一步的研究，我們驗證準備金價值在隨機過程中所發現的趨勢：當. sit. n. al. er. io. 利率下降時與利率上升時，準備金價值受利率變動的影響幅度會有所不同。也反應在低利率的環境下，壽險公司所提列的準備金會面臨較嚴峻的資本要求。 (三). 利率期間結構. Ch. engchi. i n U. v. 在上述的過程中，本研究首先參考保單的訂價過程，以模擬之利率，簡易地作為負債面未來現金流量的折現因子。然而，在真實環境中，利率在不同期間的價值並不相同，為了更準確地衡量準備金價值，本研究也透過 Vasicek 債券評價模型，反向計算利率的期間結構，並做為負債準備金未來現金流量的折現因子。. 36.

(44) 圖 5.5 利率期間結構：以 Vasicek 模型模擬. Vasicek Rate TWsim TermSturcture 連續複利. 間斷複利. Interest Rate. 0.69% 0.64% 0.59% 0.54% 0. 20. 40 Year. 60. 80. 政治大藉由 Vasicek 債券評價模型反向計算利率的期間結構，我們發現模擬之利立率在長期會趨近於 Vasicek 利率模型的均數水準(台幣利率：0.58%)，其中，因. y. al. n. 3.50. sit. io. 4.00. er. 4.50. Payment. 圖 5.6 保險給付成本：終身壽險. Nat. 5.00. ‧. ‧ 國. 學. 初始設定之利率較高(台幣利率 2017 年 3 月月底值：0.70%)，故造成利率期間結構會呈現凹口向上的下降趨勢。. 3.00 2.50. Ch. 2.00. engchi. i n U. v. 1.50 1.00 0.50 0. 10. 20. 30. 40. 50. 60. 70. 80. Year. 在此利率結構下，表示短期利率的價值較長期利率的價值高，且因為保險給付多集中於較後期的年度，此點也反應負債準備金應提列的價值，比初始估計時為高。. 37.