在組合數學中, Catalan 數列 { 1
n+ 1
2n n
}n≥0 = {1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, . . . }n≥0
是最重要的數列之一. Catalan數的研究可以回溯至數學家Euler, 動機是研究正n+ 2邊 形的三角剖分的方法總數. 1751 年 Euler 在寫給 Goldbach 的一封信中提到了這個問題. 在 1758 年, Segner 透過遞迴關係式敘述了Euler 的問題. 後來 Euler 利用遞迴關係式解 出了問題. 1838 年, 比利時數學家 Catalan發表了一篇論文, 提出了這個數列. Andr´e 在 1887 年研究 Dyck paths 時亦得到計算 Catalan數列的一些技巧. 但真正命名為 “Cata-lan 數列” 則是在1900 年由 Netto 在其著作 Lehrbuch der Combinatorik中提及. 中國 清朝數學家明安圖也曾經研究過 Catalan數, 明安圖在 1730 年應用Catalan數在他的著 作 “割圓密率捷法”中進行無窮級數運算. 他也是東方最早研究Catalan數的數學家.
除了源於組合之外, 歷經百年來數學家的廣泛研究, Catalan 數出現在代數, 拓樸, 幾 何, 資訊, 生物, 表現理論等等領域 [2, 3, 8, 17, 22, 29, 30, 31]. 近年來 Catalan 數 的研究更已經拓展到和李代數結合在一起, 成為一個豐富而非常有深度的 “Catalan 學” [1, 14, 15, 24].
在 1998 出版的經典組合學專書 Enumerative Combinatorics 第二冊中, Stanley 在 第六章蒐集了66個以 Catalan數計數的組合結構.之後更針對和Catalan數有關的習題, 將之蒐集成一篇稱為 Catalan Addendum 的習題集,並且在網路上不斷更新[29]. 截至目 前為止,在 Catalan Addendum上以 Catalan 數所計數的組合結構已經超過兩百個.
在這數以百計的組合結構中, Dyck paths 乃是其中核心的組合結構. 主要的原因是它 的定義簡明,且容易與其他以Catalan數所計數的結構對應. 一個Dyck path是指從原點 出發, 使用 (1, 1), (1, −1) 為單位步, 停在上半平面而最終終點落在 x 軸上的路徑.
Catalan 數的一個推廣是 Fuss-Catalan 數 (底下皆簡稱 Fuss 數) mn+11 (m+1)nn . 在 此推廣中有一個參數m, 故我們也將之稱為m-Fuss 數. m-Fuss數反映在格線路徑的計數 上,就是計算 m-Fuss Paths 的個數. m-Fuss paths 是 Dyck paths的推廣,一個 m-Fuss path是指從原點出發,使用(m, m), (1, −1)為單位步,停在上半平面而最終終點落在x軸 上的路徑, 故可以視為 Dyck path 的自然推廣.
由上述的說明可知, 概念上我們可以很容易推廣 Dyck paths — 只要給定任一組單位
步的集合S, 且使用的單位步必須是S 中的元素;則從原點出發,停在上半平面而終點在x 軸上的路徑都是 Dyck paths 的“推廣”. 但不幸的是, 一般來說, 任給一組單位步所成的集 合 S, 要精確求出有多少符合上述條件的路徑, 在一般的情形下是非常困難的未解問題.
2010 年, Deutsch 與其合作者 [6, 7] 考慮了一個能明確算出路徑總數的一組單位步 S = {(1, 1), (1, −1), (−1, −1)}. 這個新的規則特別在於 Dyck paths 的單位步基本上 都是 ‘往右走’ (右上或右下), 然而 Deutsch 設定的單位步可以在下降時 ‘往左走’ (左下).
Deutsch 團隊寫了兩篇論文討論這個結構,他們把這個結構稱為 skew Dyck paths.
Dyck paths, m-Fuss paths, skew Dyck paths 的關係如下圖:
m−Fuss paths Dyck paths
Skew Dyck paths
由上圖,我們自然想到, skew Dyck paths與m-Fuss paths應該有一個共同的推廣. 亦 即skew Dyck paths 應該也有‘m-Fuss’ 推廣, 或是說m-Fuss paths 應該有‘skew’推廣. 這篇論文的主要結果就是定義 skew Dyck paths 和m-Fuss paths 的共同推廣. 我們將其 稱為 skew m-Fuss paths, 並完整求出其生成函數所滿足的函數方程 (第五章定理5.5). 我 們的結果顯示函數方程有意外簡潔的形式, 因此可以利用 Lagrange inversion formula 得 到精確的路徑總數公式 (第五章定理5.6). 此外我們也導出一些附加的性質.
我們的工作雖然簡單, 但是可說是將缺角的一塊拼圖補全,使得四類 paths 有一個完整 的關係圖.
Skew m−
Dyck paths
Skew Dyck paths m−Fuss paths Fuss paths
囿於時間及能力,本篇論文只對 skew m-Fuss paths得到最基本的結果,亦即求出生成 函數以及所滿足的函數方程. 對於組合計數問題而言, 求出生成函數以及函數方程是第一 步. 未來應可再沿著已有的 m-Fuss paths 的性質或 skew Dyck paths 的性質, 來研究關 於skew m-Fuss paths 的平行結果.
這篇論文的架構如下: 為求完整, 第二, 三, 四章都是已知的結果, 分別介紹拼圖的三 個角. 第二章我們介紹 Dyck path 的定義與一些基本結果; 第三章中介紹其推廣 m-Fuss
paths 的定義與一些基本的結果. 在第四章介紹 skew Dyck paths 的定義與一些結果. 第 五章是我們的新結果, 在此章中我們定義 skew Fuss paths, 並得到與其相關之基本的生成 函數以及一些新的計數結果. 最後一章則是一些討論, 待解決的問題與未來的發展方向.