討論與未來展望

誠如之前所述_, 我們完整地求出了 skew m-Fuss Paths 的計數_. 除此之外_, 我們有一些觀 察與猜想_. 底下列出這些觀察與初步結果_, 並將這些猜想當作未來的發展方向_.

1. 數論性質. 一個數列的數論性質是相當值得研究的_. 事實上_{, Catalan} 數的數論性質 一直是組合數學中被研究的對象_. 一個非常有名的經典結果是 _Catalan 數 c_n = _n+1^{1 2n}_n
的奇偶性和 ₂的冪次有密切的關連_. 事實上_,

1 n+ 1

2n n



≡ 1 mod 2 若且唯若 n= 2^k− 1.

Kubata [5],在₁₉₇₃ 年研究了_Catalan數模其他質數時的餘數_,而游森棚等_[11],在₂₀₀₈ 年推導出 _Catalan 數模 ₄ 與模 ₈ 的餘數分佈_, 從此並引出其他學者一系列的結果 _{[9, 25,} 28, 35].

關於 Fuss Catalan 數也有一樣類似的結果_. 比如在模 _{(m + 1)} 的情形下_, 有 1

mn+ 1

(m + 1)n n



≡ 1 mod (m + 1)若且唯若 n = (m + 1)^k− 1.

因此_,我們自然想到skew m-Fuss數s^(m)_n 是否有類似的數論性質_{. s}⁽¹⁾_n 的性質在_Deutsch 等人的文章中有略為提及_, 因此底下我們主要看 s⁽²⁾n 的數論性質_. 首先有以下的關係_. 性質 _6.1. 設 n≥ 1, 則 s⁽²⁾n 必定是偶數_. 亦即

s⁽²⁾_n ≡ 0 mod 2, 其中 n ≥ 1.

證明_: 我們採組合證明_, 底下說明 n ≥ 1 時所有的路徑可以兩兩配對_, 因此路徑數必為 ₂ 的倍數_. 論證是容易的_: 對於最後一步為 L 的skew 2-Fuss 路徑_, 將這個 L 換成 D 可得 到另一個 skew 2-Fuss 路徑_. 反之_, 給定一個最後一步為 D 的 skew 2-Fuss路徑_, 則將這 個 D換成 L 得到另一個 skew 2-Fuss 路徑_. 亦即我們定義

φ : Sn⁽²⁾ −→ Sn⁽²⁾,

其中 φ(. . . L) = . . . D, 且φ(. . . D) = . . . L, 顯然這是一個 involution, φ 將所有S_n⁽²⁾ 中 的路徑二二配對_, 故s⁽²⁾n = |Sⁿ⁽²⁾| 必為偶數_. 得證_{. }

為了記號方便_,我們將上式記為

s⁽²⁾_n ≡ 1, 0 mod 2.

我們也有以下關於 s⁽²⁾n 的猜想_,其中a₁, a₂, . . . a_n = a1, a₂, . . . a_n, a₁, a₂, . . . a_n, a₁, . . . 表示字串 a₁, a₂, . . . a_n 的循環_.

猜想 _6.2. 我們猜想以下成立_. 1. s⁽²⁾n ≡ 1, 2 mod 4.

2. s⁽²⁾n ≡ 1, 2, 6, 6, 2 mod 8.

3. s⁽²⁾n ≡ 1, 2, 14, 6, 10, 10, 6, 14, 2 mod 16.

這些猜想我們目前仍然無法證明_. 這些觀察顯示了s⁽²⁾_n 模₂^k, k ≥ 1應該有更一般的結 果_.

問題 _{6.3. s}⁽²⁾_n 模 ₂^k, k≥ 1 的一般理論是什麼_? 從而我們也可以問更一般的問題_:

問題 _{6.4. s}^(m)_n 模 _m^k_{, k ≥ 1} 的一般理論是什麼_? 有哪些數論性質_?

2. 細分_. 對於一族格線路徑_,理論上可以定義各式各樣的細分_. 比如將長度為n的_Dyck paths按照山峰數k 作細分_, 就得到Narayana numbers _k^{1 n}_k
n

k+1
. 由此可以作許多的分 析和組合的工作_.文獻上對 _{Dyck paths}有許多類似的結果_,比如按照區塊_(block)數_,隧道 (tunnel) 數_,高度 _(height), 第一個山峰的高度 (first peak)等等 [10, 12, 26, 34]. 在本篇 論文中我們給出了 skew m-Fuss paths ”按照向左步的計數_” 的結果_, 亦即按照向左步 L 個數的細分(refinement). 我們的結果顯示 skew m-Fuss paths的細分似乎不容易有簡單 的表達式_. 然而我們仍然可以考慮細分的問題_:

問題 _6.5. 討論 skew m-Fuss 數按照各種細分的計數與分析_.

3. 組合結構_. 目前以 skew m-Fuss數來計數的組合結構_, 除了 m= 1 由_Deutsch 等人 的研究發現可以計算一些特別的樹類之外 _{[6, 7],} 對於 m ≥ 2 目前都沒有其他特別的組合 結構與之連結_. 然而以 _Catalan 數以百計數的豐富結構及 m-Fuss 數十個結構來看_, 理論 上在某些結構上應該也可以有 skew m-Fuss 數的推廣_. 以這個角度來看_, 這篇論文的結果 算起了一個頭_. 我們把這個問題當作未來的發展方向之一_, 相信一定有一些豐富的結果等 著發掘_.

問題 _6.6. 有哪些組合結構以 skew m-Fuss 數s^(m)_n 來計數_?

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