偏斜 Fuss 路徑

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(1)國立高雄大學應用數學系碩士論文. 偏斜 Fuss 路徑 On Skew Fuss Paths. 研究生：陳立志撰指導教授：游森棚. 中華民國一百零二年七月.

(2) 偏斜 Fuss 路徑. 學. 生：陳立志. 指導教授：游森棚. Department of Applied Mathematics, National University of Kaohsiung Kaohsiung, Taiwan 811, R.O.C. July 2013.

(3) 目. 錄. Abstract. ii. 中文摘要. iii ………………………………………………………………………………... 1. 2 Dyck paths ……………………………………………………………………….. 2.1 定義與基本性質 ……………………………………………………………... 4 4. ………………………………. 7. 3 Fuss Paths ……………………………………………………………………….. 3.1 定義與基本性質 ……………………………………………………………. 3.2 與 m-Fuss paths 有關的組合結構 …………………………………………. 9 9 12. ………………………………………………………………... 14. 1. 前言. 2.2 與 Dyck paths 有關的兩個代表性組合結構. 4 Skew Dyck Paths. 5 Skew Fuss Paths ………………………………………………………………… 5.1 Skew m-Fuss paths …………………………………………………………… 5.2 按照向左步的計數 …………………………………………………………... 20 20 27. ………………………………………………………………….. 31. 6. 討論與未來展望. 參考文獻. ……………………………………………………………………………… 33. i.

(4) On Skew Fuss Paths Advisor: Professor Sen-Peng Eu Department of Applied Mathematics National University of Kaohsiung. Student: Li-Chih Chen Department of Applied Mathematics National University of Kaohsiung. ABSTRACT It is well known that the number of Dyck paths, which are the paths in he first quadrant using up-steps (1,1), down-steps (1,−1), starting from (0,0) and ending on x-axis, is counted by the Catalan numbers. Dyck paths can be eneralized to the m-Fuss paths, which the allowable steps are up-steps (m,m) and down-step (1,−1). It is also known that the number of m-Fuss paths with n up-steps is counted by the m-Fuss number. In 2010, the concept of Dyck paths is generalized to the skew Dyck paths by Deutsch et al. A skew Dyck path is a lattice path in the first quadrant using up-steps (1,1), down-steps (1,−1) and left-step (−1,−1), starting from (0,0) and ending on x-axis. Deutsch et al. enumerated the number of skew Dyck paths and found many properties. In this paper we define the skew Fuss paths, in which the allowable steps are up-steps (m,m), down-steps (1,−1) and left-step (−1,−1). Our definition of skew Fuss paths is a simultaneous generalization of the Fuss paths and skew Dyck paths. We enumerate the skew Fuss paths and derive some of their properties.. Keywords: Dyck path, Catalan numbers, m-Fuss paths, skew Dyck paths, skew m-Fussp paths.. ii.

(5) 偏斜 Fuss 路徑指導教授：游森棚教授國立高雄大學應用數學系. 學生：陳立志國立高雄大學應用數學系. 摘要. 一個 Dyck path 是一條在第一象限內的格線路徑，以原點 (0,0) 為起點，使用向上步 (1,1) 與向下步 (1,−1)，終點落在 x 軸上。Dyck paths 的數目以 Catalan 數來計數， Dyck paths 可以推廣到 m-Fuss paths。在 m-Fuss paths 中，可使用的單位步有向上步 (m,m) 和向下步 (1,−1)。在 2010 年，Deutsch 等學者將 Dyck paths 的概念推廣到 skew Dyck paths。Skew Dyck path 是一個在第一象限的格線路徑，以原點 (0,0) 為起點，可使用的單位步有向上步 (1,1) ，右下步 (1,−1) 和左下步 (−1,−1) ，終點落在 x 軸上。Deutsch 等學者並發現了 skew Dyck paths 的許多性質。在本篇論文中，我們定義了 skew m-Fuss paths，可使用的單位步有向上步 (m,m) ，右下步 (1,−1) 和左下步 (−1,−1)。Skew m-Fuss paths 的定義可視為 m-Fuss paths 和 skew Dyck paths 的共同推廣。我們得到 skew m-Fuss paths 的生成函數與計數公式。關鍵字：Dyck path、Catalan 數、m-Fuss paths、skew Dyck paths、skew m-Fussp paths. iii.

(6) 1. 前言. 在組合數學中, Catalan 數列 2n 1 { }n≥0 = {1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, . . . }n≥0 n+1 n 是最重要的數列之一. Catalan 數的研究可以回溯至數學家 Euler, 動機是研究正 n + 2 邊形的三角剖分的方法總數. 1751 年 Euler 在寫給 Goldbach 的一封信中提到了這個問題. 在 1758 年, Segner 透過遞迴關係式敘述了 Euler 的問題. 後來 Euler 利用遞迴關係式解出了問題. 1838 年, 比利時數學家 Catalan 發表了一篇論文, 提出了這個數列. André 在 1887 年研究 Dyck paths 時亦得到計算 Catalan 數列的一些技巧. 但真正命名為 “Catalan 數列” 則是在 1900 年由 Netto 在其著作 Lehrbuch der Combinatorik 中提及. 中國清朝數學家明安圖也曾經研究過 Catalan 數, 明安圖在 1730 年應用 Catalan 數在他的著作 “割圓密率捷法” 中進行無窮級數運算. 他也是東方最早研究 Catalan 數的數學家. 除了源於組合之外, 歷經百年來數學家的廣泛研究, Catalan 數出現在代數, 拓樸, 幾何, 資訊, 生物, 表現理論等等領域 [2, 3, 8, 17, 22, 29, 30, 31]. 近年來 Catalan 數的研究更已經拓展到和李代數結合在一起, 成為一個豐富而非常有深度的 “Catalan 學” [1, 14, 15, 24]. 在 1998 出版的經典組合學專書 Enumerative Combinatorics 第二冊中, Stanley 在第六章蒐集了 66 個以 Catalan 數計數的組合結構. 之後更針對和 Catalan 數有關的習題, 將之蒐集成一篇稱為 Catalan Addendum 的習題集, 並且在網路上不斷更新 [29]. 截至目前為止, 在 Catalan Addendum 上以 Catalan 數所計數的組合結構已經超過兩百個. 在這數以百計的組合結構中, Dyck paths 乃是其中核心的組合結構. 主要的原因是它的定義簡明, 且容易與其他以 Catalan 數所計數的結構對應. 一個 Dyck path 是指從原點出發, 使用 (1, 1), (1, −1) 為單位步, 停在上半平面而最終終點落在 x 軸上的路徑. (m+1)n 1 Catalan 數的一個推廣是 Fuss-Catalan 數 (底下皆簡稱 Fuss 數) mn+1 . 在 n 此推廣中有一個參數 m, 故我們也將之稱為 m-Fuss 數. m-Fuss 數反映在格線路徑的計數上, 就是計算 m-Fuss Paths 的個數. m-Fuss paths 是 Dyck paths 的推廣, 一個 m-Fuss path 是指從原點出發, 使用 (m, m), (1, −1) 為單位步, 停在上半平面而最終終點落在 x 軸上的路徑, 故可以視為 Dyck path 的自然推廣.. 由上述的說明可知, 概念上我們可以很容易推廣 Dyck paths — 只要給定任一組單位 1.

(7) 步的集合 S, 且使用的單位步必須是 S 中的元素; 則從原點出發, 停在上半平面而終點在 x 軸上的路徑都是 Dyck paths 的“推廣”. 但不幸的是, 一般來說, 任給一組單位步所成的集合 S, 要精確求出有多少符合上述條件的路徑, 在一般的情形下是非常困難的未解問題. 2010 年, Deutsch 與其合作者 [6, 7] 考慮了一個能明確算出路徑總數的一組單位步 S = {(1, 1), (1, −1), (−1, −1)}. 這個新的規則特別在於 Dyck paths 的單位步基本上都是 ‘往右走’ (右上或右下), 然而 Deutsch 設定的單位步可以在下降時 ‘往左走’ (左下). Deutsch 團隊寫了兩篇論文討論這個結構, 他們把這個結構稱為 skew Dyck paths. Dyck paths, m-Fuss paths, skew Dyck paths 的關係如下圖: Dyck paths. m−Fuss paths. Skew Dyck paths. 由上圖, 我們自然想到, skew Dyck paths 與 m-Fuss paths 應該有一個共同的推廣. 亦即 skew Dyck paths 應該也有 ‘m-Fuss’ 推廣, 或是說 m-Fuss paths 應該有 ‘skew’ 推廣. 這篇論文的主要結果就是定義 skew Dyck paths 和 m-Fuss paths 的共同推廣. 我們將其稱為 skew m-Fuss paths, 並完整求出其生成函數所滿足的函數方程 (第五章定理5.5). 我們的結果顯示函數方程有意外簡潔的形式, 因此可以利用 Lagrange inversion formula 得到精確的路徑總數公式 (第五章定理5.6). 此外我們也導出一些附加的性質. 我們的工作雖然簡單, 但是可說是將缺角的一塊拼圖補全, 使得四類 paths 有一個完整的關係圖. Dyck paths. m−Fuss paths. Skew Dyck paths. Skew m−Fuss paths. 囿於時間及能力, 本篇論文只對 skew m-Fuss paths 得到最基本的結果, 亦即求出生成函數以及所滿足的函數方程. 對於組合計數問題而言, 求出生成函數以及函數方程是第一步. 未來應可再沿著已有的 m-Fuss paths 的性質或 skew Dyck paths 的性質, 來研究關於 skew m-Fuss paths 的平行結果. 這篇論文的架構如下: 為求完整, 第二, 三, 四章都是已知的結果, 分別介紹拼圖的三個角. 第二章我們介紹 Dyck path 的定義與一些基本結果; 第三章中介紹其推廣 m-Fuss 2.

(8) paths 的定義與一些基本的結果. 在第四章介紹 skew Dyck paths 的定義與一些結果. 第五章是我們的新結果, 在此章中我們定義 skew Fuss paths, 並得到與其相關之基本的生成函數以及一些新的計數結果. 最後一章則是一些討論, 待解決的問題與未來的發展方向.. 3.

(9) 2. Dyck paths. Dyck paths 是組合數學中最重要的結構之一. Dyck paths 以 Catalan 數來計數, 因為其結構透明, 更重要的是它容易與其他結構對應, 因此研究 Dyck paths 一直是組合數學中熱門的主題.. 本章就對 Dyck paths 作一簡單的介紹.. 2.1. 定義與基本性質. 定義 2.1. 一個 Dyck path 是一個以原點為起點, 終點落在 x 軸上, 且軌跡永遠落在上半平面 (x ≥ 0) 的路徑, 其可容許的單位步 (unit steps) 有向上步 U = (1, 1)以及向下步 D = (1, −1). 一個 Dyck path 的長度 (length) 是指其向上步 U 的個數. 在不混淆的情況下, “落在上半平面 (x ≥ 0)” 往後就簡稱為 “在第一象限”. 譬如說, 長度為 n = 1 的 Dyck paths 只有 UD 這一個. 而長度為 n = 2 的 Dyck paths 有 UUDD, UDUD 這兩個. n = 3 的 Dyck paths 有 5 個, 如圖 Figure 1 所示.. Figure 1: n = 3 的 5 個 Dyck paths. 又比如 n = 4 的 Dyck paths 有 14 個, 如圖 Figure 2 所示. 令 C(n) 表示長度為 n 的所有 Dyck paths 所成的集合. 且令 cn = |C(n)|, 表示長度為 n 的 Dyck paths 的個數. 習慣上並定義 c0 = 1. 上述例子說明 {cn }n≥0 = {1, 1, 2, 5, 14, . . . }. 定義 X cn z n C = C(z) = n≥0. 為 {cn }n≥0 的生成函數. 底下我們將介紹 Schützenberger 著名的拆解法, 利用此拆解法可導出 C(z) 所滿足的函數方程, 從而可得出 cn 的明顯表達公式. 性質 2.2. C = C(z) 滿足函數方程 C = 1 + zC 2 , 4.

(10) Figure 2: n = 4 的 14 個 Dyck paths. 故. √. 1 − 4z . 2z 證明: 一個 Dyck path 如果 n = 0, 表示只有一個點. 如果 n ≥ 1, 則第一步就一定是向上步 U. 因為 Dyck paths 必定會回到 x 軸, 所以一定具有第一次碰到 x 軸的向下步 D. 在這一組 U, D 之間的路徑可視為另一個 Dyck path (而且永遠落在 x ≥ 1). 上述的 D 之後可視為另一個 Dyck path, 沒有任何限制. C(z) =. 1−. 今令 z 來記錄 Dyck paths 的長度, 亦即用 z 來記錄向上步 U 的個數. 上述拆解就可以直接翻譯成函數方程 C = 1 + zC 2 , 得證. 上述過程用圖 Figure 3 可清楚說明. C C 1. or. z. Figure 3: Sch¨ utzenberger 關於 Dyck paths 的拆解. 由函數方程 C(z) = 1 + zC(z)2 , 可解得 zC(z)2 − C(z) + 1 = 0. 故 √ 1 − 1 − 4z C(z) = . 2z . 利用此性質以及二項式定理, 我們可以明確地得出 cn 的公式就是著名的 Catalan 數, 如下列性質所述. 5.

(11) 性質 2.3.. 1 2n cn = n+1 n. 證明: 因為 n. n. cn = [z ]C = [z ]. 1−. √. 1 − 4z , 2z. √ 因此需先計算 [z n+1 ] 1 − 4z. 今計算得 √ 1 [z n ] 1 − 4z = [z n ](1 + (−4z)) 2 1 2 (−4)n = n 1 · (− 12 ) · (− 32 ) · · · (− 2n−3 ) 2 2 = (−4)n 1·2·3···n (−1)n−1 · ( 12 )n · (1 · 3 · 5 · · · (2n − 3)) = · (−1)n (4)n n! (−1)2n−1 · ( 12 )n · (1 · 3 · 5 · · · (2n − 3)) = · (2)n (2)n n! 1 · 3 · 5 · · · (2n − 3) = (−1) · 2n · n! 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · · · (2n − 3)(2n − 2) = (−1) · 2n · n! · 2 · 4 · 6 · · · · · (2n − 2) (2n − 2)! = (−1) · 2n · n! · 2n−1 · (n − 1)! (2n − 2)! = (−1) · 2 · n! · (n − 1)! √ (2n−2)! . 又因此 [z n ] 1 − 4z = (−1) · 2 · n!·(n−1)! √ [z n+1 ] 1 − 4z = (−1) · 2 ·. (2n)! (n + 1)!n! 1 (2n)! = (−1) · 2 · · n + 1 n!n! 1 2n = (−1) · 2 · · n+1 n. 故. √. 1 − 4z 2 1 2n 1 = (−1) · 2 · · · (− ) n+1 n 2 2n 1 . = n+1 n. cn = [z n+1 ]. 1−. 6.

(12) . 下一節介紹 Lagrange inversion formula 後, 可以不需要用這麼複雜的方法導出 Catalan 數. 但我們在此仍然呈現一開始利用二項式定理的方法, 以凸顯下一節之後的簡明導法. 2n 1 {cn }n≥0 = { n+1 }n≥0 = {1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, . . . }n≥0 稱為 Catalan 數. Catalan 數 n 是組合數學中最重要的數列之一. 我們在下一小節會舉兩個經典的結構作為範例說明.. 2.2. 與 Dyck paths 有關的兩個代表性組合結構. 在組合數學中, Catalan 數出現在各種不同的計數問題上, 組合數學中有非常多的組合結構可以用 Catalan 數來計數. Stanley 在他持續更新的 Catalan Addemdum 中已經列出了超過 200 個以 Catalan 數來計數的組合結構, 請參考 [32]. 在這一小節中, 我們將介紹兩個經典的組合結構. 首先是二元樹 (binary tree). 這是資訊科學中資料結構的最根本組合結構. 定義 2.4 (二元樹). 一個二元樹 (binary tree) 是一個有根的 (rooted) , 且每個內節點都有兩個子點的樹. 2n 1 . 亦即 n = 令 Tn 為內節點有 n 個的二元樹所成的集合. 則可證明 |Tn | = n+1 n 1, 2, 3 的二元樹分別有 1, 2, 5 個, 如圖 Figure 4 所示.. n=1. n=2. n=3. Figure 4: 二元樹. 另一個經典的組合結構是三角剖分(triangulation). 首先考慮這個問題的數學家是 Euler [13]. 三角剖分的研究和拓樸學, 李代數, 以及近年來發展出的叢集代數密切相關, 成為現在組合學非常熱門的研究題材 [2, 16, 23].. 7.

(13) 定義 2.5 (三角剖分). 一個三角剖分 (triangulation) 是指將一正多邊形用不相交的對角線剖成全是三角形. 2n 1 令 Dn 為將正 n+2 邊形作三角剖分的所有方式所成的集合. 則可證明 |Dn | = n+1 . n 亦即 n = 3, 4, 5 邊形的三角剖分分別有 1, 2, 5 個, 如圖 Figure 5 所示.. n=1. n=2. n=3. Figure 5: 三角剖分. 8.

(14) 3. Fuss Paths. 在文獻上有許多種 Catalan 數的推廣 [2, 4, 18, 19, 21, 27, 33]. 最重要的一個推廣可說是 Fuss-Catalan 數. 在這一節中我們用 Dyck paths 的語言來說明 Fuss 如何將 Dyck paths 推廣成 Fuss paths, 從而推廣了 Catalan 數.. 3.1. 定義與基本性質. Fuss 的主要想法是將 Dyck paths 的向上步由 (1, 1) 變成 (m, m), 其中 m ≥ 2 是一個固定的正整數. 為了論文例子的呈現方便起見, 我們先介紹 2-Fuss paths, 之後再介紹更一般的 m-Fuss paths.. 定義 3.1. 一個 2-Fuss path 是一個在第一象限的路徑, 以原點 (0, 0) 為起點, 終點落於 x 軸上, 且使用的單位步有向上步 U = (2, 2) 與向下步 D = (1, −1). 規定一個 2-Fuss path 的長度 n 是指其向上步 U 的個數. 例如, n = 1, 2, 3 的 2-Fuss paths 分別有 1, 3, 12 個, 如圖 Figure 6 所示.. n=1. n=2. n=3. Figure 6: n = 1, 2, 3 的 2-Fuss paths. 令 F (2) (n) 表示長度為 n 的所有 2-Fuss paths 所成的集合. 且令 fn(2) = |F (2) (n)|, 表示長度為 n 的 2-Fuss paths 的個數. 習慣上並定義 f0(2) = 1. 上述例子說明 {fn(2) }n≥0 = {1, 1, 3, 12, . . . }. 接著定義 X F (2) (z) = fn(2) z n n≥0. 9.

(15) 為 {fn(2) }n≥0 的生成函數. 在上下文不致混淆的情形下, 我們簡寫 F = F (z) = F (2) (z) 以方便閱讀. 我們可以利用 Schützenberger 拆解法, 導出 F (2) (z) 所滿足的函數方程, 從而可得出 (2) fn 的明顯表達公式. 性質 3.2. F = F (2) (z) 滿足函數方程 F = 1 + zF 3 . 證明: 如圖 Figure 7 所示. 如果有向上步, 則第一步 U 一定是往上. 因此會有第一次回到 y = 1 的向下步 D ′ 和第一次回到 y = 0 的向下步 D ′′ , 此時一個 2-Fuss path 必可拆解成 UF D′ F D ′′ F . F 1. F. z. F. or. Figure 7: 2-Fuss paths 的拆解. 因為 z 標記向上步, 因此可將上述分解翻譯成函數方程, 而得到 F = 1 + zF 3 ,. 故得證.. . 因 F 滿足的函數方程為三次方程式, 故難以透過寫出 F (z) 的明顯表達式來求出 fn(2) = (2) [z n ]F (z) . 然而, 我們可以利用 Lagrange inversion formula 算出 fn . Lagrange inversion formula 有許多形式, 本論文只需用到底下的簡單形式即可. 定理 3.3 (Lagrange inversion formula). [20] 設 G(z) 滿足方程式 G = zΦ(G), 則當 n ≥ 1 時, [z n ]G =. 1 n−1 [z ]Φ(z)n . n. 利用 Lagrange inversion formula 可以求出 fn(2) 的明顯表達式. 性質 3.4. fn(2). 3n 1 = . 2n + 1 n 10.

(16) 證明: 記 F = F (2) (z). 令 G = F − 1, 則由 F = 1 + zF 3 計算可得 G = z(G3 + 3G2 + 3G + 1).. 故由 Lagrange inversion formula, 當 n ≥ 1 時, [z n ]F = [z n ]G 1 n−1 3 = [z ](z + 3z 2 + 3z + 1)n n 1 n−1 = [z ](z + 1)3n n 1 3n = n n−1 1 3n = . 2n + 1 n = }n≥0 = {1, 3, 12, 55, 273, . . . }n≥0 稱為 2-Fuss 數 (2-Fuss numbers), 這也是組合數學上重要的數列. (2) {fn }n≥0. 3n 1 { 2n+1 n. . 2-Fuss paths 的概念可以再推廣為 m-Fuss paths, 亦即把向上步改成 (m, m).. 定義 3.5. 一個 m-Fuss path 我們定義為一個在第一象限的路徑, 以原點 (0, 0)為起點, 終點落於 x 軸上, 所使用的單位步有向上步 U = (m, m) 與向下步 D = (1, −1) 這二種. 令 F (m) (n) 表示長度為 n 的所有 m-Fuss paths 所成的集合. 且令 fn(m) = |F (m) (n)|, 表示長度為 n 的 m-Fuss paths 的個數. 習慣上並定義 f0(m) = 1. 接著定義 X F (m) (z) = fn(m) z n n≥0. 為 {fn(m) }n≥0 的生成函數. 在上下文不致混淆的情形下, 我們簡寫 F = F (z) = F (m) (z) 以方便閱讀. 規定一個 m-Fuss path 的長度 n 是指其向上步 U 的個數. 同樣地利用 Schützenberger 的拆解法可以得到以下性質. 性質 3.6. 函數方程 F = 1 + zF m . 證明: 如圖 Figure 8 所示, 如果有向上步, 則第一步 U 一定是往上. 因此會有第一次回到 y = (m − 1) 的向下步 D (1) , 第一次回到 y = (m − 2) 的向下步 D (2) , . . . , 和第一次回到 y = 0 的向下步 D (m) , 此時一個 m-Fuss path 必可拆解成 UF D(1) F D (2) F D (3) . . . F D(m−1) F D (m) F. 11.

(17) F F F. z 1. F F. or. Figure 8: m-Fuss paths 的拆解. 因為 z 標記向上步, 因此可將上述分解翻譯成函數方程, 得到 F = 1 + zF m+1 ,. 故得證. . 性質 3.7. fn(m). (m + 1)n 1 . = mn + 1 n. 證明: 記 F = F (m) (z). 令 G = F − 1, 則由 F = 1 + zF m+1 計算可得 G = z(G + 1)m+1 .. 故由 Lagrange inversion formula, 當 n ≥ 1 時, [z n ]F = [z n ]G 1 n−1 = [z ](z + 1)(m+1)n n 1 (m + 1)n = n n−1 1 (m + 1)n . = mn + 1 n. 得證.. . 我們在下一小節會舉一些例子, 說明與 m-Fuss paths 相關的幾個重要組合結構.. 3.2. 與 m-Fuss paths 有關的組合結構. 在組合數學中, m-Fuss paths 也是一個重要的結構, m-Fuss 數也出現在各種不同的計數問題上. 在這一小節中, 我們平行地介紹以 m-Fuss 數來計數的樹與多邊形剖分. 並以 m = 2 舉例. 而針對一般的 m, 其組合結構亦可類似地得出. 12.

(18) 定義 3.8. 由根開始往下畫樹, 每個節點若有分支, 必為三條邊, 所得的結構稱為三元樹 (ternary tree). n = 1, 2, 3 的所有不同的三元樹分別有 1, 3, 12 個, 如圖 Figure 9 所示.. n=1. n= 2. n=3. Figure 9: n = 1, 2, 3 所有不同的三元樹. 定義 3.9. 一個 (2n + 2) 邊多邊形, 沿對角線分割成四邊形, 對角線不交叉, 恰可剖分成 (2n + 2) − 3 個四邊形, 稱做一個四邊形剖分. (2n + 2) 邊形的不同的四邊形剖分分別有 1, 3, 12 個, 如圖 Figure 10 所示.. n= 1. n= 2. n= 3. Figure 10: n = 1, 2, 3 的所有不同的四邊形剖分. 13.

(19) 4. Skew Dyck Paths. 以上都是關於 Dyck paths 的經典結果. 然而 Deutsch, Munarini, Rinaldi 在 2010 年發表了 Dyck Paths 的新的推廣 [6, 7]. 在他們推廣的定義中, 對於向下步容許有 “往左走”. 亦即向上步仍然是原來 Dyck paths 的 (1, 1), 但是向下除了 (1, −1) 之外, 還允許有 (−1, −1). 他們將符合這個定義的格線路徑稱為 skew Dyck paths. 在這一節中我們介紹 Deutsch 他們的工作, 以及如何因而推導了三個 skew Dyck paths 的計數公式. Deutsch 它們的主要想法是將 Dyck paths 的向下步由原本的 (1, −1) 再新增可以往左下方走, 即向下步分成了右下步 (1, −1) 與左下步 (−1, −1) 這二種. 我們先介紹 skew Dyck paths 的定義, 再介紹一些相關性質.. 定義 4.1. 一個 skew Dyck path 是一個以原點為起點, 終點落在 x 軸上, 且永遠落在第一象限的路徑, 其可容許的單位步 (unit steps) 有向上步 U = (1, 1), 右下步 D = (1, −1) 以及左下步 L = (−1, −1). 另規定一個 skew Dyck path 的長度 n 是指其向上步 U 的個數. 比如說, 長度為 n = 1 的 skew Dyck paths 只有由 UD 所構成的這一個. 長度為 n = 2 的 skew Dyck paths 則是由 UDUD, UUDD, UUDL 所構成的這三個. 而 n = 3 的 skew Dyck paths 有 10 個, 如圖 Figure 11 所示.. Figure 11: n = 2, 3 的所有不同的 skew Dyck paths. 令 S(n) 表示長度為 n 的所有 skew Dyck path 所成的集合. 且令 sn = |S(n)|, 表示長度為 n 的所有不同的 skew Dyck paths 的個數. 習慣上並定義 s0 = 1. 上述例子說明 {sn }n≥0 = {1, 1, 3, 10, . . . }. 令 X S(z) = sn z n = 1 + z + 3z 2 + 10z 3 + . . . n≥0. 14.

(20) 為 {sn }n≥0 的生成函數. 在上下文不混淆的情形下, 我們簡寫 S = S(z) 以方便閱讀. 同樣地, 利用 Schützenberger 拆解法, 我們可以導出 S(z) 所滿足的函數方程. 定理 4.2 (Deutsch, Munarini and Rinaldi, 2010). [6, 7] S = S(z) 滿足函數方程 S = 1 + zS 2 + z(S − 1),. 故. √ 1 − 6z + 5z 2 S(z) = . 2z 證明: 模仿之前的想法來拆解. 如圖 Figure 12 所示. 一個 skew Dyck path 如果 n = 0, 表示只有一個點. 如果 n ≥ 1, 第一步就一定是向上步 U. 因為 skew Dyck paths 必會回到 x 軸, 我們考慮第一次碰到 x 軸時, 是由右下步 D′ 造成, 或者是左下步 L′ 造成. (1) 如果第一次碰到 x 軸是由右下步 D′ 造成, 則介於 U, D ′ 之間的路徑可視為另一個 1−z−. 1. S or. S −1. z. S. or. z. Figure 12: skew Dyck paths 的拆解 skew Dyck path (而且永遠落在 x ≥ 1), 且上述的 D ′ 之後視為另一個 skew Dyck path, 沒有任何限制. 因此在此情形, 路徑可拆解為 USD ′ S. (2) 第一次碰到 x 軸是由左下步 L′ 造成, 則介於 U, L′ 之間的路徑可視為另一個 skew Dyck path (而且永遠落在 x ≥ 1), 但是這個路徑必須是非空; 否則整個路徑變成 UL′ , 這是一個不合法的路徑. 故 U, L′ 之間的路徑其生成函數為 S − 1. 又 L′ 後面已經無法再接任何路徑了. 因此在此情形, 路徑可拆解為 U(S − 1)L′ .. 綜上所述, 因為 z 標記向上步, 因此將上述分解翻譯成函數方程則為 S = S(z) = 1 + zS 2 + z(S − 1).. 解之即可得 S(z) =. 1−z−. √ 1 − 6z + 5z 2 , 2z. 15.

(21) 故得證. . 接著利用 Lagrange inversion formula 我們可得出 sn 的明顯表達公式. 定理 4.3 (Deutsch, Munarini and Rinaldi, 2010 [6, 7]). sn 有以下表達式: 1.. n X n−1 sn = ck , k−1 k=1. 2. sn =. n X. (−1). k−1 n−k. k=1. 5. . n−1 ck , k−1. 3. ⌊ n−1 ⌋ 2 1 X n n − k n−2k−1 sn = 3 , n k=1 k k+1. 其中 ck =. 2k 1 k+1 k. . 為第 k 項的 Catalan 數.. 證明: 由 S = 1 + zS 2 + z(S − 1), 作代數變換得 S − 1 = z(S 2 + S − 1). 令 F = S − 1, 可得 F = z(F 2 + 3F + 1). 因此由 Lagrange inversion 公式得 n ≥ 1 時 sn = [z n ]F =. 1 n−1 2 [z ](z + 3z + 1)n . n. 接下來的技巧是將 (z 2 + 3z + 1) 寫成不同的表示方法. 顯然, 至少可寫成 (1 + z)2 + z, (1 − z)2 + 5z 或 (1 + 3z) + z 2. 這三種表示方法. 底下對每一種方法展開後就得到所欲證的公式, 計算如下:. 16.

(22) (1) 若寫 (z 2 + 3z + 1) = (1 + z)2 + z, 則 sn = = = = = = = = =. 1 n−1 2 [z ](z + 3z + 1)n n 1 n−1 [z ]((1 + z 2 ) + z)n n n 1 n−1 X n [z ] (1 + z)2k z n−k n k k=1 n 1 X n−1−n+k n [z ] (1 + z)2k n k=1 k n 1 X k−1 n [z ] (1 + z)2k n k=1 k n 1X n 2k n k=1 k k−1 n 1X n (2k)! n k=1 k (k − 1)!(k + 1)! n 1X n kck n k k=1 n X n−1 ck . k−1 k=1. 17.

(23) (2) 若寫 (z 2 + 3z + 1) = (1 − z)2 + 5z, 則 sn = = = = = = = = =. 1 n−1 2 [z ](z + 3z + 1)n n 1 n−1 [z ]((1 − z)2 + 5z)n n n 1 n−1 X n [z ] (1 − z)2k (5z)n−k n k k=1 n X n 1 n−1−n+k [z ](1 − z)2k (5)n−k k n k=1 n X n n−k 1 k−1 5 [z ](1 − z)2k k n k=1 n X n n−k 1 2k 5 (−1)k−1 k n k−1 k=1 n X n n−k 2k k−1 1 5 (−1) k n k−1 k=1 n X 1 2k n−k k−1 n − 1 5 (−1) k−1 k+1 k k=1 n X k−1 n−k n − 1 (−1) 5 ck . k−1 k=1. (3) 若寫 (z 2 + 3z + 1) = (1 + 3z) + z 2 , 則 sn = = = = = =. 1 n−1 2 [z ](z + 3z + 1)n n 1 n−1 2 [z ](z + (1 + 3z))n n n 1 n−1 X n 2k [z ] z (1 + 3z)n−k n k k=1 n X 1 n [z n−2k−1 ](1 + 3z)n−k n k k=1 n X 1 n n−k 3n−2k−1 n k n − 2k − 1 k=1 n 1 X n n − k n−2k−1 3 . n k=1 k k+1. 18.

(24) 又因二項式係數要有意義, 必須滿足 n − k ≥ k + 1, 故上標 k 需滿足 k ≤. n−1 . 2. 因此,. ⌊ n−1 ⌋ 2 n n − k n−2k−1 1 X 3 . sn = n k=1 k k+1. . 由上述的式子, 可得到 {sn } 初始的幾項是 1, 1, 3, 10, 36, 137, 543, 2219, 9285, . . . .. 19.

(25) 5. Skew Fuss Paths. 由上述幾節可知: 1. 讓 Dyck paths 向上步推廣到 (m, m) 則得到 m-Fuss paths. 2. 讓 Dyck paths 的向下步推廣為 (1, −1), (−1, −1), 則得到 skew Dyck paths.. 三者的關係圖如下所示: Dyck paths. m−Fuss paths. Skew Dyck paths. 因此很自然地由上圖我們會問, skew Dyck paths 與 m-Fuss paths 應該有一個共同的推廣, 即下圖中的 ‘???’ 部分. Dyck paths. m−Fuss paths. Skew Dyck paths. ???. 在這一節中, 我們定義出此共同的推廣, 並稱其為 skew m-Fuss paths, 這也是本篇論文的主要貢獻. 我們的主要結果是求出其生成函數滿足的函數方程, 並且得出明顯的計數公式.. 5.1. Skew m-Fuss paths. 底下就是 skew m-Fuss paths 的定義. 我們先從 m = 2 開始, 以方便後續的討論. 定義 5.1 (Skew 2-Fuss paths). 一個 skew 2-Fuss Path 是一個以原點為起點, 終點落在 x 軸上, 且永遠落在第一象限的路徑, 其可容許的單位步 (unit steps) 有向上步 U = (2, 2), 右下步 D = (1, −1) 以及左下步 L = (−1, −1). 另規定一個 skew 2-Fuss Path 的長度 (length) 是指其向上步 U 的個數, 以 n 表示之. 例如, n = 2 的所有不同的 skew 2-Fuss paths 分別有 14 個, 如圖 Figure 13 所示.. 20.

(26) Figure 13: n = 2 的 skew 2-Fuss paths. 令 S (2) (n) 表示長度為 n 的所有不同的 skew 2-Fuss paths 所成的集合. 且令 s(2) n = (2) (2) |S (n)|, 表示長度為 n 的所有不同 skew 2-Fuss paths 的個數. 習慣上並定義 s0 = 1. 一開始的幾個初始值是 {s(2) n }n≥0 = {1, 2, 14, 118, . . . }. 定義 X n S (2) (z) = s(2) n z n≥0. (2) 為 {s(2) (z) 以方便閱讀. n }n≥0 的生成函數. 在上下文不致混淆的情形下, 我們簡寫 S = S. 我們的第一個結果是利用 Schützenberger 拆解法導出 S (2) (z) 所滿足的函數方程, 從而可得出 s(2) n 的明顯表達公式. 這個拆解的過程基本上模仿 Deustsch et al. 的想法. 定理 5.2. S = S (2) (z) 滿足函數方程 S = 1 + z(S 2 + S − 1)(S + 1).. 證明: 如下圖所示. 如果有向上步, 則第一步 U 一定是往上. 因此會有第一次回到 y = 1 的向下步 D′ 和第一次回到 y = 0 的向下步 D′′ , 此時一個 skew 2-Fuss path 必可拆解成 USD ′ SD ′′ S 或 USD ′ SL′ 或 U(S − 1)L′ D ′ S 或 U(S − 1)L′ L′′ , 如圖 Figure 14 . 因為 z 標記向上步, 因此將上述分解翻譯成函數方程, 得到 S = 1 + z(S 2 + S − 1)(S + 1). 故得證.. . 因 S 滿足的函數方程為三次方程式, 故難以透過寫出 S(z) 的明顯表達式來求出 s(2) n = (2) [z n ]S(z) . 然而, 我們可以利用 Lagrange inversion formula 算出 sn 的明顯表達式. 21.

(27) S −1. S 1. S. z. z. S. or. or. S −1. S z. S. z. or. or. S. Figure 14: skew 2-Fuss paths 的拆解. 定理 5.3. s(2) n. n−1 n 1 X X k+1 n n 2j = 2 . n k=0 j=0 k+1 j k−n+j. 證明: 記 S = S (2) (z). 令 G = S − 1, 則由 S = 1 + z(S 2 + S − 1)(S + 1) 計算可得 G = z(G + 2)(G2 + 3G + 1).. 因此, 由 Lagrange inversion formula, 當 n ≥ 1 時, [z n ]S = [z n ]G 1 n−1 = [z ](z + 2)n (z 2 + 3z + 1)n n 1 n−1−k [z ](z + 2)n [z k ](z 2 + 3z + 1)n = n n−1 n 1X = 2k+1 [z k ]((z + 1)2 + z)n n k=0 n − 1 − k n−1 n X 1X n n k+1 k = 2 [z ] (z + 1)2j + z n−j n k=0 k + 1 j j=0 n−1 n X 1X n n k+1 2 [z k−n+j ](z + 1)2j = n k+1 j j=0 k=0 n−1 n X 1X n n 2j k+1 = 2 n k=0 k + 1 j k−n+j j=0 n−1 n 1 X X k+1 n n 2j = 2 . n k=0 j=0 k+1 j k−n+j. 故得證.. . 22.

(28) Skew 2-Fuss paths 的概念可以再推廣為 skew m-Fuss paths, 亦即把向上步改成 (m, m).. 定義 5.4. 一個 skew m-Fuss Paths 是一個以原點為起點, 終點落在 x 軸上, 且永遠落在第一象限的路徑, 其可容許的單位步 (unit steps) 有向上步 U = (m, m), 右下步 D = (1, −1), 左下步 L = (−1, −1) 這三種. 此外, 規定一個 skew m-Fuss Path 的長度 n 是指其向上步 U 的個數. 令 S (m) (n) 表示長度為 n 的所有不同的 skew m-Fuss paths 所成的集合. 且令 s(m) = n (m) (m) |S (n)|, 表示長度為 n 的所有不同的 skew m-Fuss paths 的個數. 習慣上並定義 s0 = 1. 定義 X n S (m) (z) = s(m) n z n≥0. (m) 為 {s(m) (z) 以方便閱 n }n≥0 的生成函數. 在上下文不致混淆的情形下, 我們簡寫 S = S 讀.. 如同 m = 2 的時候, 我們想模仿 Deustsch 他們的想法作拆解. 然而很快就發現情況變得相當複雜. 主要的原因是因為當路徑向下降時可以有左下步 (−1, −1) 與右下步 (1, −1) 二種選擇, 因此在整個分段的過程中, 需要對每一類作細緻的討論 (何時在哪一小段必須非空, 向左步的個數又影響到接下來可以接的單位步等等, 請參考 m = 2 時的討論), 按此方法當 m = 3, 4 時勉強可以作, 但是 m 很大時整個過程中變得非常瑣碎, 並且難以看出規律, 因此我們只好捨棄了這個方法. 然而, 最終我們另闢蹊徑, 不需要走 Deutsch 的路而可以證明出所有的 m 的情形. 我們以 m = 2 為基石, 採用了數學歸納法. 底下的定理是這篇論文最核心的結果: 定理 5.5. 令 m ≥ 1 為正整數, 並令 S = S (m) (z) 為 skew m-Fuss Paths 的生成函數. 則 S 滿足函數方程 S = 1 + z(S 2 + S − 1)(S + 1)m−1 . 證明: 已知 m = 1 的情形即 Deutsch 他們所得的定理 (如本篇論文的定理 4.2), 而 m = 2 的情形即定理 5.2. 今假設 skew m-Fuss paths 時結論成立, 我們用數學歸納法證明 skew (m + 1)-Fuss paths 時也成立, 設 skew (m + 1)-Fuss paths 的生成函數記為 S. 考慮非空的 skew (m + 1)-Fuss paths, 按照第一次降到 y = 1 的下降步與第一次降到 y = 0 的下降步這兩步來分類. 並令第一次下降到 y = 0 的單位步的起點為 P . 因為下降 23.

(29) 步可以是 L = (−1, −1) 或 D = (1, −1), 故一共有四種可能. 如圖 Figure 15, 分別簡稱為 (i) LD (ii) LL (iii) DD (iv) DL 這四型. (i). (ii) m+1. m+1 L. L. P D. L. (iii). P. (iv) m+1. m+1 P. D. D. D. L P. Figure 15: skew (m + 1)-Fuss paths 的拆解 Case 1. 在 (i) LD 型或 (ii) LL 型中, 如果只考慮 y = 1 之上的路徑, 則它是一個以 (1, 1) 為起點, P 為終點的路徑 (走到 P 的最後一步為 L). 在 (i) 中, 回到 x 軸的 D 之後還可以接 S; 而在 (ii) 中, 回到 x 軸的 L 後路徑就停止了. 因此 (i)(ii) 合起來, 相當於由原點走到 P 之後 (此時走到 P 的最後一步為 L), 乘上 (S + 1). Case 2. 同理, 在 (iii) DD 型或 (iv) DL 型中, 如果只考慮從 y = 1 之上的路徑, 則它是一個以 (1, 1) 為起點, P 為終點的路徑 (走到 P 的最後一步為 D). 在 (iii) 中, 回到 x 軸的這一步 D 之後還可以接 S; 而在 (iv) 中, 回到 x 軸的 L 後路徑就停止了. 因此 (iii)(iv) 合起來, 相當於由原點走到 P 之後 (此時走到 P 的最後一步為 D), 乘上 (S + 1). 但由原點走到 P 的函數方程由數學歸納法假設為 z(S 2 + S − 1)(S + 1)m−1 , 因此所求 S 滿足的函數方程為 S = 1 + z(S 2 + S − 1)(S + 1)m−1 (S + 1) = 1 + z(S 2 + S − 1)(S + 1)m ,. 得證.. . 我們的結果揭示了 Deutsch 他們的結果是冰山的一角. 他們的 S = 1 + z(S 2 + S − 1) 其實是 S = 1 + z(S 2 + S − 1)(S + 1)m−1 在 m = 1 的特殊情形! 他們之所以沒有得到 skew m-Fuss paths 簡潔函數方程的原因, 也許就如前所述, 要分成太多的子項逐個討論而看不出規律. 我們採用的方法雖然簡單, 但是得以解決所有的情形. 換一個方式來說, 我們的證明也可以用圖 Figure 16 來解釋. 有了 S 滿足的函數方程之後, 就可以利用 Lagrange inversion formula 求出 s(m) 的明 n 顯表達式. 24.

(30) m +1 (i). L P. D. m m +1 (ii). L L. P. m +1 (iii). D P D. m m +1 D. (iv). L P. Figure 16: 另一個觀點. 定理 5.6. 設長度為 n 的所有不同的 skew m-Fuss paths 共有 s(m) 個. 則 n s(m) n. n−1 n 1 X X (m−2)n+k+1 (m − 1)n n 2j 2 . = n k=0 j=0 n−k−1 j k−n+j. 證明: 記 S = S (m) (z). 令 G = S − 1, 則由 S = 1 + z(S 2 + S − 1)(S + 1)m−1 計算可得 G = z(G + 2)m−1 (G2 + 3G + 1).. 25.

(31) 因此, 由 Lagrange inversion formula, 當 n ≥ 1 時, [z n ]S = [z n ]G 1 n−1 = [z ]{(z + 2)(m−1)n (z 2 + 3z + 1)n } n 1 n−1−k = [z ](z + 2)(m−1)n [z k ](z 2 + 3z + 1)n n n−1 1 X (m − 1)n (m−1)n−n+k+1 k = 2 [z ]((z + 1)2 + z)n n k=0 n − 1 − k n−1 n 1 X (m − 1)n (m−2)n+k+1 k X n = 2 [z ] (z + 1)2j z n−j n k=0 n − k − 1 j j=0 n−1 n 1 X (m − 1)n (m−2)n+k+1 X n = 2 [z k−n+j ](z + 1)2j n k=0 n − k − 1 j j=0 n−1 n 1 X (m − 1)n (m−2)n+k+1 X n 2j = 2 n n−k−1 j k−n+j j=0 k=0 n−1 n 1 X X (m−2)n+k+1 (m − 1)n n 2j = 2 . n k=0 j=0 n−k−1 j k−n+j. 故得證.. . 我們的結果說明了函數方程有簡潔的推廣, 也完整地拼滿了第21 頁圖中 ‘???’ 的缺角, 如圖所示: Dyck paths. m−Fuss paths. Skew Dyck paths. Skew m−Fuss paths. 底下是關於 m-Fuss paths 個數 s(m) 的數值資料. n. 26.

(32) (m). {sn }n≥0 1, 1, 3, 10, 36, 137, 543, 2219, 9285, 39587, 171369 1, 2, 14, 118, 1114, 11306, 120534, 1331374, 151034104 1, 4, 64, 1296, 29888, 745856, 19614464, 535394560, 15026146304 1, 8, 288, 13568, 734720, 43202560, 2681634816, 172936069120, 11473867636736 1, 16, 1280, 137216, 17006592, 2293825536, 326941802496, 48443993096192, . . . 1, 32, 5632, 1351680, 376569856, 114340921344, 36715158831104, 12261126607732736, . . .. m 1 2 3 4 5 6. 上述資料 m = 1 為 Deutsch 他們做出的成果, 其餘的 m ≥ 2 都是新的數列, 在 The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences 上都沒有相關的資料. 亦即藉由這個工作我們也發現了一族在組合上有意義的新數列. 上述資料在 n ≥ 2 時路徑的數目就增長得非常快. 但是 n = 1 時可以觀察到 s(m) = 1 m−1 2 對任何一個 m 值而言, 這是容易解釋的. 因為只有一個向上步走到 (m, m), 接著必為向下步 (1, −1). 接下來要降 m − 1 層, 可自由選擇 L = (−1, 1) 或 D = (1, 1), 故有 2m−1 種方法. 如下圖為 m = 4, n = 1 的情形, 共有 24−1 = 8 個路徑.. 5.2. 按照向左步的計數. 有了一族的格線路徑, 我們就可以考慮按照某個統計量的計數. 因為 skew Fuss paths 的主要特性是有向左步 L = (−1, −1), 因此首要的統計量計數是按照向左步的計數. 在這篇論文中我們只考慮這個統計量. 為了呈現清楚, 我們會先討論 skew 2-Fuss Paths, 再推廣到 skew m-Fuss Paths. 令 P n k 表示長度為 n, 且有 k 個向左步的 skew m-Fuss Paths, 即 S (m) (z, y) = n,k s(m) n,k z y .. (m) sn,k. 令. Sn(m) (y) = [z n ]S (m) (z, y). 為長度為 n 且按照向左步計數的生成函數. 我們的目的是求出 S (m) (y). 關鍵步是用到經典的技巧: 在 Schützenberger 拆解法中, 將所欲求的統計量標記. 我們令 S (2) (y) 表示在 27.

(33) skew 2-Fuss Paths 中按照向左步計數.. 性質 5.7. S = S (2) (y) 滿足函數方程 S = 1 + z(S + y)(S 2 + (S − 1)y).. 證明: 如圖 Figure 17 所示. 在 Schützenberger 拆解法中將左下步 L = (−1, −1) 標記為 y. S 1. S −1 S. z. z. S. or. S z. y. S −1 S. z y. or. y. or. or. y. S. Figure 17: skew 2-Fuss paths 的拆解, 加入標記向左步. 將上述分解翻譯成函數方程, 得到 S = 1 + zS 3 + zyS 2 + zy 2 (S − 1) + zyS(S − 1) = 1 + z(S + y)(S 2 + (S − 1)y),. 得證.. . 接著利用 Lagrange inversion formula 算出生成函數 Sn(2) (y). 定理 5.8. Sn(2) (y). n−1 n k+1 n n 2j k + 1 n+i−j 1 XXX = y . n k=0 j=0 i=0 n − k − 1 j k−n+j i. 證明: 記 S = S (2) (y). 令 G = S − 1, 則由 S = 1 + z(S + y)(S 2 + (S − 1)y) 計算可得 G = z(G + y + 1)((G + 1)2 + Gy).. 28.

(34) 因此, 由 Lagrange inversion formula, 當 n ≥ 1 時, [z n ]S = [z n ]G 1 n−1 = [z ](z + y + 1)n ((z + 1)2 + yz)n n 1 n−1−k = [z ](z + y + 1)n [z k ]((z + 1)2 + yz)n n n−1 n X 1X n n k+1 k = (y + 1) [z ] (z + 1)2j (yz)n−j n k=0 n − k − 1 j j=0 n−1 n X n n 1X k+1 (y + 1) [z k−n+j ](z + 1)2j (y)n−j = n k=0 n − k − 1 j j=0 n−1 n X 1X n n 2j k+1 = (y + 1) y n−j n n−k−1 j k − n + j j=0 k=0 n−1 n n n 2j 1 XX (y + 1)k+1 y n−j = n k=0 j=0 n − k − 1 j k−n+j X n−1 n k+1 1 XX n n 2j k + 1 i n−j = yy n k=0 j=0 n − k − 1 j k − n + j i=0 i n−1 n k+1 1 XXX n n 2j k + 1 n+i−j = y , n k=0 j=0 i=0 n − k − 1 j k−n+j i. 故得證.. . Skew m-Fuss Paths 的情形同理. 底下我們直接寫出結果.. 定理 5.9. 令 S = S (m) (y) = [z n ]S (m) (z, y) 為長度為 n 的 skew m-Fuss Paths 按照向左步的生成函數. 1. S 滿足函數方程 S = 1 + z(S + y)m−1 (S 2 + (S − 1)y). 2. n−1. Sn(m) (y). n. 1 XX = n k=0 j=0. (m−2)n+k−1 . X i=0. (m − 1)n n−k−1. 29. n 2j (m − 2)n + k + 1 n+i−j y . j k−n+j i.

(35) 證明: 函數方程的證明同前, 僅需在向左步標記 y 即可, 此處省略. 現記 S = S (m) (y). 令 G = S − 1, 則由 S = 1 + z(S + y)m−1(S 2 + (S − 1)y) 得 G = z(G + y + 1)m−1 ((G + 1)2 + Gy). 由 Lagrange inversion formula, 當 n ≥ 1 時, [z n ]S = [z n ]G 1 n−1 = [z ](z + y + 1)(m−1)n ((z + 1)2 + yz)n n 1 n−1−k = [z ](z + y + 1)(m−1)n [z k ]((z + 1)2 + yz)n n n−1 1 X (m − 1)n (y + 1)(m−1)n−n+k+1 [z k ]((z + 1)2 + yz)n = n k=0 n − k − 1 n−1 n X 1 X (m − 1)n n k−n+j (m−2)n+k+1 = (y + 1) [z ](z + 1)2j y n−j n k=0 n − k − 1 j j=0 n−1 n X 1 X (m − 1)n n 2j (m−2)n+k+1 = (y + 1) y n−j n k=0 n − k − 1 j k − n + j j=0 n−1 n 1 X X (m − 1)n n 2j (y + 1)(m−2)n+k+1 y n−j = n k=0 j=0 n − k − 1 j k−n+j (m−2)n+k+1 n−1 n X 1 X X (m − 1)n n 2j (m − 2)n + k + 1 i n−j = yy n k=0 j=0 n − k − 1 j k−n+j i i=0 n−1. n. 1 XX = n k=0 j=0. (m−2)n+k−1 . X i=0. (m − 1)n n−k−1. n 2j (m − 2)n + k + 1 n+i−j y , j k−n+j i. 得證.. . 30.

(36) 6. 討論與未來展望. 誠如之前所述, 我們完整地求出了 skew m-Fuss Paths 的計數. 除此之外, 我們有一些觀察與猜想. 底下列出這些觀察與初步結果, 並將這些猜想當作未來的發展方向. 一個數列的數論性質是相當值得研究的. 事實上, Catalan 數的數論性質 2n 1 一直是組合數學中被研究的對象. 一個非常有名的經典結果是 Catalan 數 cn = n+1 n 的奇偶性和 2 的冪次有密切的關連. 事實上, 1 2n ≡ 1 mod 2 若且唯若 n = 2k − 1. n+1 n 1. 數論性質.. Kubata [5], 在 1973 年研究了 Catalan 數模其他質數時的餘數, 而游森棚等 [11], 在 2008 年推導出 Catalan 數模 4 與模 8 的餘數分佈, 從此並引出其他學者一系列的結果 [9, 25, 28, 35]. 關於 Fuss Catalan 數也有一樣類似的結果. 比如在模 (m + 1) 的情形下, 有 1 (m + 1)n ≡ 1 mod (m + 1) 若且唯若 n = (m + 1)k − 1. mn + 1 n. 因此, 我們自然想到 skew m-Fuss 數 s(m) 是否有類似的數論性質. s(1) n n 的性質在 Deutsch (2) 等人的文章中有略為提及, 因此底下我們主要看 sn 的數論性質. 首先有以下的關係. 性質 6.1. 設 n ≥ 1, 則 s(2) n 必定是偶數. 亦即 s(2) n ≡ 0 mod 2,. 其中 n ≥ 1. 證明: 我們採組合證明, 底下說明 n ≥ 1 時所有的路徑可以兩兩配對, 因此路徑數必為 2 的倍數. 論證是容易的: 對於最後一步為 L 的 skew 2-Fuss 路徑, 將這個 L 換成 D 可得到另一個 skew 2-Fuss 路徑. 反之, 給定一個最後一步為 D 的 skew 2-Fuss 路徑, 則將這個 D 換成 L 得到另一個 skew 2-Fuss 路徑. 亦即我們定義 φ : Sn(2) −→ Sn(2) ,. 其中 φ(. . . L) = . . . D, 且 φ(. . . D) = . . . L, 顯然這是一個 involution, φ 將所有 Sn(2) 中 (2) 的路徑二二配對, 故 s(2) n = |Sn | 必為偶數. 得證. 為了記號方便, 我們將上式記為 s(2) n ≡ 1, 0 mod 2. 31.

(37) 我們也有以下關於 s(2) n 的猜想, 其中 a1 , a2 , . . . an = a1 , a2 , . . . an , a1 , a2 , . . . an , a1 , . . . 表示字串 a1 , a2 , . . . an 的循環. 猜想 6.2. 我們猜想以下成立. (2). 1. sn ≡ 1, 2 mod 4. (2). 2. sn ≡ 1, 2, 6, 6, 2 mod 8. (2). 3. sn ≡ 1, 2, 14, 6, 10, 10, 6, 14, 2 mod 16.. 果.. k 這些猜想我們目前仍然無法證明. 這些觀察顯示了 s(2) n 模 2 , k ≥ 1 應該有更一般的結. k 問題 6.3. s(2) n 模 2 , k ≥ 1 的一般理論是什麼?. 從而我們也可以問更一般的問題: 問題 6.4. s(m) 模 mk , k ≥ 1 的一般理論是什麼? 有哪些數論性質? n 2. 細分. 對於一族格線路徑, 理論上可以定義各式各樣的細分. 比如將長度為 n 的 Dyck n paths 按照山峰數 k 作細分, 就得到 Narayana numbers k1 nk k+1 . 由此可以作許多的分析和組合的工作. 文獻上對 Dyck paths 有許多類似的結果, 比如按照區塊(block) 數, 隧道 (tunnel) 數, 高度 (height), 第一個山峰的高度 (first peak) 等等 [10, 12, 26, 34]. 在本篇論文中我們給出了 skew m-Fuss paths ”按照向左步的計數” 的結果, 亦即按照向左步 L 個數的細分(refinement). 我們的結果顯示 skew m-Fuss paths 的細分似乎不容易有簡單的表達式. 然而我們仍然可以考慮細分的問題:. 問題 6.5. 討論 skew m-Fuss 數按照各種細分的計數與分析. 3. 組合結構.. 目前以 skew m-Fuss 數來計數的組合結構, 除了 m = 1 由 Deutsch 等人的研究發現可以計算一些特別的樹類之外 [6, 7], 對於 m ≥ 2 目前都沒有其他特別的組合結構與之連結. 然而以 Catalan 數以百計數的豐富結構及 m-Fuss 數十個結構來看, 理論上在某些結構上應該也可以有 skew m-Fuss 數的推廣. 以這個角度來看, 這篇論文的結果算起了一個頭. 我們把這個問題當作未來的發展方向之一, 相信一定有一些豐富的結果等著發掘. 問題 6.6. 有哪些組合結構以 skew m-Fuss 數 s(m) 來計數? n. 32.

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