Fuss Paths

在文獻上有許多種_Catalan數的推廣 [2, 4, 18, 19, 21, 27, 33]. 最重要的一個推廣可說是 Fuss-Catalan數_. 在這一節中我們用_{Dyck paths}的語言來說明 _Fuss如何將_{Dyck paths} 推廣成 Fuss paths, 從而推廣了 _Catalan數_.

3.1

Fuss的主要想法是將 _{Dyck paths} 的向上步由_{(1, 1)} 變成 _{(m, m),} 其中 m≥ 2 是一個固 定的正整數_. 為了論文例子的呈現方便起見_,我們先介紹2-Fuss paths, 之後再介紹更一般 的 m-Fuss paths.

定義 _3.1. 一個 2-Fuss path 是一個在第一象限的路徑_, 以原點 _{(0, 0)} 為起點_, 終點落於 x 軸上_, 且使用的單位步有向上步 U = (2, 2) 與向下步 D= (1, −1).

規定一個 2-Fuss path 的長度 n 是指其向上步 U 的個數_. 例如, n = 1, 2, 3的 _2-Fuss paths 分別有 _{1, 3, 12}個_,如圖 _{Figure 6} 所示_.

2

n=3

n=1 n=

Figure 6: n = 1, 2, 3 的2-Fuss paths

令_F⁽²⁾_(n) 表示長度為n 的所有2-Fuss paths所成的集合_. 且令 fn⁽²⁾ = |F⁽²⁾(n)|,表 示長度為 n 的2-Fuss paths 的個數_. 習慣上並定義 f₀⁽²⁾= 1. 上述例子說明 _{fn⁽²⁾_{}n≥0 =} {1, 1, 3, 12, . . . }. 接著定義

F⁽²⁾(z) = X

n≥0

f_n⁽²⁾zⁿ

為_{fn⁽²⁾_}n≥0 的生成函數_. 在上下文不致混淆的情形下_, 我們簡寫 F = F (z) = F⁽²⁾(z) 以 方便閱讀_.

我們可以利用 _Sch¨utzenberger 拆解法_, 導出 F⁽²⁾(z) 所滿足的函數方程_, 從而可得出 fn⁽²⁾ 的明顯表達公式_.

性質 _{3.2. F = F}⁽²⁾_(z) 滿足函數方程 F = 1 + zF³.

證明_: 如圖 _{Figure 7} 所示_. 如果有向上步_, 則第一步U 一定是往上_. 因此會有第一次回到 y= 1 的向下步 D^′ 和第一次回到y= 0 的向下步D^′′, 此時一個2-Fuss path必可拆解成 U F D^′F D^′′F.

or F

1 z

F

F

Figure 7: 2-Fuss paths 的拆解 因為 z 標記向上步_, 因此可將上述分解翻譯成函數方程_, 而得到

F = 1 + zF³,

故得證_{. }

因F 滿足的函數方程為三次方程式_, 故難以透過寫出F(z)的明顯表達式來求出fn⁽²⁾ = [zⁿ]F (z) . 然而_, 我們可以利用 Lagrange inversion formula 算出 fn⁽²⁾. Lagrange inver-sion formula 有許多形式_, 本論文只需用到底下的簡單形式即可_.

定理 _3.3 (Lagrange inversion formula). [20]

設 _G(z) 滿足方程式 G= zΦ(G), 則當 n ≥ 1 時_, [zⁿ]G = 1

n[zⁿ⁻¹]Φ(z)ⁿ.

利用 Lagrange inversion formula 可以求出 fn⁽²⁾ 的明顯表達式_. 性質 _3.4.

f_n⁽²⁾ = 1 2n + 1

3n n

 .

證明_: 記F = F⁽²⁾(z). 令G= F − 1, 則由 F = 1 + zF³ 計算可得 G= z(G³+ 3G²+ 3G + 1).

故由 Lagrange inversion formula, 當 n≥ 1 時_, [zⁿ]F = [zⁿ]G

= 1

n[zⁿ⁻¹](z³ + 3z²+ 3z + 1)ⁿ

= 1

n[zⁿ⁻¹](z + 1)³ⁿ

= 1 n

 3n n− 1



= 1

2n + 1

3n n

 .

 {fⁿ⁽²⁾}n≥0 = {_2n+1^{1 3n}_n
}n≥0 = {1, 3, 12, 55, 273, . . . }n≥0稱為_2-Fuss數(2-Fuss num-bers), 這也是組合數學上重要的數列_.

2-Fuss paths 的概念可以再推廣為 m-Fuss paths, 亦即把向上步改成 _{(m, m).}

定義_3.5. 一個 m-Fuss path 我們定義為一個在第一象限的路徑_, 以原點_{(0, 0)}為起點_, 終 點落於 x 軸上_, 所使用的單位步有向上步 U = (m, m) 與向下步 D= (1, −1) 這二種_.

令_F^(m)_(n) 表示長度為n 的所有m-Fuss paths所成的集合_. 且令fn^(m) = |F^(m)(n)|, 表示長度為 n 的m-Fuss paths 的個數_. 習慣上並定義 f₀^(m) = 1. 接著定義

F^(m)(z) = X

n≥0

f_n^(m)zⁿ

為 _{fn^(m)_}n≥0 的生成函數_. 在上下文不致混淆的情形下_, 我們簡寫 F = F (z) = F^(m)(z) 以方便閱讀_.

規定一個m-Fuss path的長度n是指其向上步U的個數_. 同樣地利用_Sch¨utzenberger 的拆解法可以得到以下性質_.

性質 _3.6. 函數方程 F = 1 + zF^m.

證明_: 如圖 _{Figure 8} 所示_, 如果有向上步_, 則第一步 U一定是往上_. 因此會有第一次回到 y= (m − 1) 的向下步 D⁽¹⁾, 第一次回到 y= (m − 2) 的向下步 D⁽²⁾, . . . , 和第一次回到 y= 0 的向下步 D^(m),此時一個 m-Fuss path 必可拆解成

U F D⁽¹⁾F D⁽²⁾F D⁽³⁾. . . F D^(m−1)F D^(m)F.

or F 1

z

F

F

F

F

Figure 8: m-Fuss paths 的拆解 因為 z 標記向上步_, 因此可將上述分解翻譯成函數方程_, 得到

F = 1 + zF^m+1,

故得證 _

性質 _3.7.

f_n^(m) = 1 mn+ 1

(m + 1)n n

 .

證明_: 記F = F^(m)(z). 令G= F − 1, 則由 F = 1 + zF^m+1 計算可得 G= z(G + 1)^m+1.

故由 Lagrange inversion formula, 當 n≥ 1 時_, [zⁿ]F = [zⁿ]G

= 1

n[zⁿ⁻¹](z + 1)^(m+1)n

= 1 n

(m + 1)n n− 1



= 1

mn+ 1

(m + 1)n n

 .

得證_{. }

我們在下一小節會舉一些例子_, 說明與m-Fuss paths 相關的幾個重要組合結構_.

3.2

m-Fuss paths

在組合數學中, m-Fuss paths 也是一個重要的結構_{, m-Fuss}數也出現在各種不同的計數問 題上_. 在這一小節中_,我們平行地介紹以_m-Fuss 數來計數的樹與多邊形剖分_. 並以m = 2 舉例_. 而針對一般的 _m,其組合結構亦可類似地得出_.

定義 _3.8. 由根開始往下畫樹_, 每個節點若有分支_, 必為三條邊_, 所得的結構稱為三元樹 (ternary tree).

n = 1, 2, 3的所有不同的三元樹分別有 _{1, 3, 12} 個_, 如圖 _{Figure 9} 所示_.

2 n=1

n=3 n=

Figure 9: n = 1, 2, 3 所有不同的三元樹

定義 _3.9. 一個 _{(2n + 2)} 邊多邊形_, 沿對角線分割成四邊形_, 對角線不交叉_, 恰可剖分成 (2n + 2) − 3 個四邊形_, 稱做一個四邊形剖分_.

(2n + 2) 邊形的不同的四邊形剖分分別有_{1, 3, 12} 個_,如圖 _{Figure 10} 所示_.

3

n= n=

n=

1 2

Figure 10: n = 1, 2, 3 的所有不同的四邊形剖分