Dyck paths

Dyck paths 是組合數學中最重要的結構之一. Dyck paths 以_Catalan 數來計數_, 因為其 結構透明_, 更重要的是它容易與其他結構對應_,因此研究_{Dyck paths}一直是組合數學中熱 門的主題_.

本章就對 _{Dyck paths} 作一簡單的介紹_.

2.1

定義 _2.1. 一個 _{Dyck path} 是一個以原點為起點_, 終點落在 x 軸上_, 且軌跡永遠落在上半 平面 _{(x ≥ 0)} 的路徑_, 其可容許的單位步 (unit steps) 有向上步 U = (1, 1)以及向下步 D= (1, −1). 一個 _{Dyck path} 的長度 _(length) 是指其向上步 U 的個數_.

在不混淆的情況下_{, “}落在上半平面 _{(x ≥ 0)”} 往後就簡稱為 _“在第一象限_”. 譬如說_, 長度為 n = 1 的 _{Dyck paths} 只有 U D 這一個_. 而長度為 n = 2 的 _{Dyck paths} 有 U U DD, U DU D 這兩個_.

n = 3 的 _{Dyck paths}有 ₅ 個_, 如圖 _{Figure 1} 所示_.

Figure 1: n = 3 的₅ 個_{Dyck paths} 又比如 n= 4 的_{Dyck paths} 有 ₁₄個_,如圖 _{Figure 2} 所示_.

令 _C(n) 表示長度為 n 的所有 _{Dyck paths} 所成的集合_. 且令 c_n = |C(n)|, 表示 長度為 n 的 _{Dyck paths} 的個數_. 習慣上並定義 c₀ = 1. 上述例子說明 _{{cn}n≥0 =} {1, 1, 2, 5, 14, . . . }. 定義

C = C(z) =X

n≥0

c_nzⁿ

為_{cn}n≥0 的生成函數_. 底下我們將介紹_Sch¨utzenberger 著名的拆解法_,利用此拆解法可 導出 _C(z) 所滿足的函數方程_, 從而可得出c_n 的明顯表達公式_.

性質 _{2.2. C = C(z)} 滿足函數方程

C= 1 + zC²,

Figure 2: n = 4的 ₁₄個_{Dyck paths} 故

C(z) = 1 −√ 1 − 4z

2z .

證明_: 一個_{Dyck path} 如果n = 0, 表示只有一個點_. 如果 n≥ 1, 則第一步就一定是向上 步U. 因為_{Dyck paths} 必定會回到 x 軸_, 所以一定具有第一次碰到 x軸的向下步 _D. 在 這一組 U, D 之間的路徑可視為另一個 Dyck path (而且永遠落在 x ≥ 1). 上述的 D 之 後可視為另一個 _{Dyck path,} 沒有任何限制_.

今令 z 來記錄 _{Dyck paths} 的長度_, 亦即用 z 來記錄向上步 U 的個數_. 上述拆解就可 以直接翻譯成函數方程

C= 1 + zC², 得證_. 上述過程用圖 _{Figure 3} 可清楚說明_.

or z

C

C 1

Figure 3: Sch¨utzenberger 關於 _{Dyck paths} 的拆解 由函數方程 C(z) = 1 + zC(z)², 可解得 zC(z)²− C(z) + 1 = 0. 故

C(z) = 1 −√ 1 − 4z

2z .

 利用此性質以及二項式定理_, 我們可以明確地得出 c_n 的公式就是著名的 _Catalan 數_, 如下列性質所述_.

性質 _2.3.

 下一節介紹Lagrange inversion formula後_,可以不需要用這麼複雜的方法導出 Cata-lan數_. 但我們在此仍然呈現一開始利用二項式定理的方法_, 以凸顯下一節之後的簡明導法_. {cⁿ}^n≥0 = {n+1¹

2n

n
}n≥0 = {1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, . . .}^n≥0 稱為 _Catalan 數_{. Catalan} 數 是組合數學中最重要的數列之一_. 我們在下一小節會舉兩個經典的結構作為範例說明_.

2.2

Dyck paths

在組合數學中_{, Catalan}數出現在各種不同的計數問題上_,組合數學中有非常多的組合結構 可以用 _Catalan數來計數_{. Stanley} 在他持續更新的 Catalan Addemdum 中已經列出了 超過 ₂₀₀ 個以 _Catalan 數來計數的組合結構_, 請參考 _[32]. 在這一小節中_, 我們將介紹兩 個經典的組合結構_.

首先是二元樹 (binary tree). 這是資訊科學中資料結構的最根本組合結構_.

定義 _{2.4 (}二元樹_). 一個二元樹 (binary tree) 是一個有根的 _{(rooted) ,} 且每個內節點都 有兩個子點的樹_.

令 T_n 為內節點有 n 個的二元樹所成的集合_. 則可證明 _{|Tn| =} ¹

n+1 2n

n
. 亦即 n = 1, 2, 3 的二元樹分別有 _{1, 2, 5} 個_, 如圖 _{Figure 4} 所示_.

n=3

n=1 n=2

Figure 4: 二元樹

另一個經典的組合結構是三角剖分(triangulation). 首先考慮這個問題的數學家是 Eu-ler [13]. 三角剖分的研究和拓樸學_, 李代數_, 以及近年來發展出的叢集代數密切相關_, 成為 現在組合學非常熱門的研究題材 [2, 16, 23].

定義 _{2.5 (}三角剖分_). 一個三角剖分 (triangulation) 是指將一正多邊形用不相交的對角 線剖成全是三角形_.

令D_n為將正n+2邊形作三角剖分的所有方式所成的集合_. 則可證明_{|Dn| = n+1}^{1 2n}_n
.

亦即 n = 3, 4, 5邊形的三角剖分分別有 _{1, 2, 5} 個_, 如圖 _{Figure 5} 所示_.

n=3

n=1 n=2

Figure 5: 三角剖分