Skew m-Fuss paths

m−

在這一節中_, 我們定義出此共同的推廣_, 並稱其為 skew m-Fuss paths, 這也是本篇論 文的主要貢獻_. 我們的主要結果是求出其生成函數滿足的函數方程_, 並且得出明顯的計數 公式_.

5.1 Skew m-Fuss paths

底下就是 skew m-Fuss paths 的定義_. 我們先從 m = 2 開始_, 以方便後續的討論_.

定義_5.1(Skew 2-Fuss paths). 一個skew 2-Fuss Path 是一個以原點為起點_,終點落在x 軸上_, 且永遠落在第一象限的路徑_, 其可容許的單位步 (unit steps) 有向上步 U = (2, 2), 右下步 D = (1, −1) 以及左下步 L = (−1, −1). 另規定一個 skew 2-Fuss Path 的長度 (length) 是指其向上步 U 的個數_, 以 n 表示之_.

例如_{, n = 2} 的所有不同的 skew 2-Fuss paths 分別有 ₁₄個_,如圖 _{Figure 13}所示_.

Figure 13: n = 2 的skew 2-Fuss paths

令 _S⁽²⁾_(n) 表示長度為 n 的所有不同的 skew 2-Fuss paths 所成的集合_. 且令 s⁽²⁾n =

|S⁽²⁾(n)|, 表示長度為 n 的所有不同 skew 2-Fuss paths 的個數_. 習慣上並定義 s⁽²⁾₀ = 1.

一開始的幾個初始值是 _{s⁽²⁾_{n }n≥0} = {1, 2, 14, 118, . . . }. 定義 S⁽²⁾(z) =X

n≥0

s⁽²⁾_n zⁿ

為_{s⁽²⁾_{n }n≥0}的生成函數_. 在上下文不致混淆的情形下_,我們簡寫S= S⁽²⁾(z) 以方便閱讀_. 我們的第一個結果是利用 _Sch¨utzenberger 拆解法導出 S⁽²⁾(z) 所滿足的函數方程_, 從 而可得出 s⁽²⁾n 的明顯表達公式_. 這個拆解的過程基本上模仿 Deustsch et al. 的想法_. 定理 _{5.2. S = S}⁽²⁾_(z) 滿足函數方程

S = 1 + z(S²+ S − 1)(S + 1).

證明_: 如下圖所示_. 如果有向上步_, 則第一步 U一定是往上_. 因此會有第一次回到 y = 1 的向下步 D^′ 和第一次回到 y= 0 的向下步 D^′′, 此時一個 skew 2-Fuss path 必可拆解成 U SD^′SD^′′S 或 U SD^′SL^′ 或 U(S − 1)L^′D^′S 或U(S − 1)L^′L^′′, 如圖 Figure 14 .

因為 z 標記向上步_, 因此將上述分解翻譯成函數方程_,得到 S = 1 + z(S²+ S − 1)(S + 1)

故得證_{. }

因S 滿足的函數方程為三次方程式_,故難以透過寫出_S(z)的明顯表達式來求出s⁽²⁾n = [zⁿ]S(z) . 然而_, 我們可以利用 Lagrange inversion formula 算出 s⁽²⁾n 的明顯表達式_.

S

Figure 14: skew 2-Fuss paths 的拆解 定理 _5.3.

Skew 2-Fuss paths 的概念可以再推廣為 skew m-Fuss paths, 亦即把向上步改成 (m, m).

定義 _5.4. 一個 skew m-Fuss Paths 是一個以原點為起點_, 終點落在 x 軸上_, 且永遠 落在第一象限的路徑_, 其可容許的單位步 (unit steps) 有向上步 U = (m, m), 右下步 D = (1, −1), 左下步 L= (−1, −1) 這三種_. 此外_, 規定一個 skew m-Fuss Path 的長度 n 是指其向上步 U 的個數_.

令_S^(m)_(n)表示長度為n的所有不同的skew m-Fuss paths所成的集合_. 且令s^(m)_n =

|S^(m)(n)|,表示長度為n的所有不同的skew m-Fuss paths的個數_. 習慣上並定義s^(m)₀ = 1. 定義

S^(m)(z) =X

n≥0

s^(m)_n zⁿ

為 _{s^(m)_{n }n≥0} 的生成函數_. 在上下文不致混淆的情形下_, 我們簡寫 S = S^(m)(z) 以方便閱 讀_.

如同m = 2的時候_,我們想模仿_Deustsch他們的想法作拆解_. 然而很快就發現情況變 得相當複雜_. 主要的原因是因為當路徑向下降時可以有左下步 _{(−1, −1)} 與右下步 _{(1, −1)} 二種選擇_, 因此在整個分段的過程中_, 需要對每一類作細緻的討論 ₍何時在哪一小段必須非 空_, 向左步的個數又影響到接下來可以接的單位步等等_, 請參考 m= 2 時的討論_), 按此方

法當 m = 3, 4 時勉強可以作_, 但是 m 很大時整個過程中變得非常瑣碎_, 並且難以看出規

律_,因此我們只好捨棄了這個方法_. 然而_, 最終我們另闢蹊徑_, 不需要走_Deutsch 的路而可 以證明出所有的 m 的情形_. 我們以 m= 2 為基石_, 採用了數學歸納法_.

底下的定理是這篇論文最核心的結果_:

定理 _5.5. 令 m ≥ 1 為正整數_, 並令 S = S^(m)(z) 為 skew m-Fuss Paths 的生成函數_. 則 S 滿足函數方程

S = 1 + z(S²+ S − 1)(S + 1)^m−1.

證明_: 已知 m= 1的情形即 _Deutsch他們所得的定理₍如本篇論文的定理_4.2), 而m = 2 的情形即定理 _5.2. 今假設skew m-Fuss paths 時結論成立_,我們用數學歸納法證明 _skew (m + 1)-Fuss paths 時也成立_, 設skew (m + 1)-Fuss paths 的生成函數記為 _S.

考慮非空的 skew (m + 1)-Fuss paths,按照第一次降到 y= 1 的下降步與第一次降到 y = 0 的下降步這兩步來分類_. 並令第一次下降到 y = 0 的單位步的起點為 P. 因為下降

步可以是 L= (−1, −1) 或 D = (1, −1), 故一共有四種可能_. 如圖 _{Figure 15,} 分別簡稱 為 (i) LD (ii) LL (iii) DD (iv) DL這四型_.

P 1

m+1 m+1

m+1

L D

D

D D

L L

L

(i) (ii)

(iii) (iv)

P

P P

m+

Figure 15: skew (m + 1)-Fuss paths 的拆解

Case 1. 在 _{(i) LD} 型或 _{(ii) LL} 型中_, 如果只考慮 y= 1 之上的路徑_, 則它是一個以 (1, 1)為起點_{, P} 為終點的路徑₍走到 P 的最後一步為 _L). 在_(i)中_,回到x 軸的D 之後 還可以接 _S; 而在 _(ii) 中_, 回到 x 軸的L 後路徑就停止了_. 因此 _(i)(ii) 合起來_, 相當於由 原點走到P 之後 ₍此時走到 P 的最後一步為 _L),乘上_{(S + 1).}

Case 2. 同理_, 在 _{(iii) DD} 型或 _{(iv) DL} 型中_, 如果只考慮從 y = 1 之上的路徑_, 則 它是一個以 _{(1, 1)} 為起點_{, P} 為終點的路徑 ₍走到 P 的最後一步為 _D). 在_(iii) 中_, 回到 x 軸的這一步 D 之後還可以接 _S; 而在 _(iv) 中_, 回到 x 軸的 L 後路徑就停止了_. 因此 (iii)(iv)合起來_,相當於由原點走到 P 之後₍此時走到 P 的最後一步為 _D),乘上_{(S + 1).}

但由原點走到P 的函數方程由數學歸納法假設為_z(S²+ S − 1)(S + 1)^m−1,因此所求 S 滿足的函數方程為

S = 1 + z(S²+ S − 1)(S + 1)^m−1(S + 1)

= 1 + z(S²+ S − 1)(S + 1)^m,

得證_{. }

我們的結果揭示了 _Deutsch他們的結果是冰山的一角_. 他們的S = 1 + z(S²+ S − 1) 其實是 S = 1 + z(S²+ S − 1)(S + 1)^m−1 在m = 1 的特殊情形_! 他們之所以沒有得到 skew m-Fuss paths 簡潔函數方程的原因_,也許就如前所述_,要分成太多的子項逐個討論而 看不出規律_. 我們採用的方法雖然簡單_, 但是得以解決所有的情形_.

換一個方式來說_, 我們的證明也可以用圖 _{Figure 16}來解釋_.

有了 S 滿足的函數方程之後_,就可以利用Lagrange inversion formula求出 s^(m)n 的明 顯表達式_.

(iv) m

+1 m m

L D D

P D

P +1

m +1 m

m

L

L L

D P

P (i)

(ii)

(iii)

+1

Figure 16: 另一個觀點

定理 _5.6. 設長度為 n 的所有不同的 skew m-Fuss paths 共有 s^(m)n 個_. 則 s^(m)_n = 1

n

n−1

X

k=0 n

X

j=0

2^(m−2)n+k+1 (m − 1)n n− k − 1

n j

 2j

k− n + j

 .

證明_: 記S = S^(m)(z). 令 G= S − 1, 則由 S = 1 + z(S²+ S − 1)(S + 1)^m−1 計算可得 G= z(G + 2)^m−1(G²+ 3G + 1).

因此_, 由Lagrange inversion formula, 當n≥ 1 時_,

Skew Dyck paths m−Fuss paths Fuss paths

底下是關於 m-Fuss paths 個數 s^(m)_n 的數值資料_.

m {s^(m)n }^n≥0

1 1, 1, 3, 10, 36, 137, 543, 2219, 9285, 39587, 171369 2 1, 2, 14, 118, 1114, 11306, 120534, 1331374, 151034104

3 1, 4, 64, 1296, 29888, 745856, 19614464, 535394560, 15026146304

4 1, 8, 288, 13568, 734720, 43202560, 2681634816, 172936069120, 11473867636736 5 1, 16, 1280, 137216, 17006592, 2293825536, 326941802496, 48443993096192, . . .

6 1, 32, 5632, 1351680, 376569856, 114340921344, 36715158831104, 12261126607732736, . . . 上述資料 m = 1 為 _Deutsch 他們做出的成果_, 其餘的 m≥ 2 都是新的數列_, 在 _The

On-Line Encyclopedia of Integer Sequences 上都沒有相關的資料_. 亦即藉由這個工作我 們也發現了一族在組合上有意義的新數列_.

上述資料在 n ≥ 2 時路徑的數目就增長得非常快_. 但是 n = 1 時可以觀察到 s^(m)₁ = 2^m−1 對任何一個 m 值而言_, 這是容易解釋的_. 因為只有一個向上步走到 _{(m, m),} 接著必 為向下步 _{(1, −1).} 接下來要降 m− 1 層_, 可自由選擇 L = (−1, 1) 或 D = (1, 1), 故有 2^m−1 種方法_. 如下圖為 m = 4, n = 1 的情形_, 共有 ₂⁴⁻¹_{= 8} 個路徑_.