動態幾何系統 GeoGebra

數學概念包括一系列有意義的情境、由基本關係組成的不變性以及用表徵形式呈 現的符號（Vergnaud, 1987），說明了數學的學習，涵蓋了數值的、代數的、圖形的 極與意的各種表徵的交互應用（Kaput, 1992）。而電腦視窗環境可同時包含文字、圖 形、靜態畫面、動態畫面等訊息，只要在適當的設計下，將數學概念以這些表徵形式 來呈現，使得數學概念的基本關係外顯出來，不同表徵間的變化情形用連結的方式同 時變化，並在視窗中展現多重表徵間的連結（蔡志仁，2000）。

函數觀念，特別是圖形部份，受限於過去工具的功能，其呈現方是是靜態的抽象 符號，少有直觀的（intuitive）、數值的（numerical）動態想法（謝哲仁，2001）

。而電腦提供了強大的計算與繪圖能力，使個體可運用真實數據進行模擬或建模（

modeling）的活動，並可直接操弄數學物件與關係，以連結真實經驗與數學形式（

Balacheff & Kaput, 1996）。因此，動態幾何是一個允許使用者建構、操作幾何基本 圖形的工具視窗環境（全任重，1996；林保平，1998），加上度量、計算器與函數運

算的功能，隨著動態幾何軟體工具和教學觀念的發展，幾何和代數的教學可以從比較 直觀的、動態的圖形著手（林保平，2000）。

以下將介紹動態幾何軟體的功能與特質，以做為本研究 GeoGebra 動態幾何呈現教 學設計的重要參考。

1、符合尺規作圖原理（Euclidean constructions）

動態幾何軟體中所提供的繪圖工具，仿照直尺或圓規的作圖方法，可容易 地製作出精確的幾何圖形，如：畫點、直線、圓、圓弧、平行線、垂直線、角 平分線…等，同時線與線、線與圓或圓與圓皆可立即產生交點，並能利用這些 基本功能的組合，繪製較複雜的幾何圖形。這些作圖工具均依照幾何定義設計

，因此圖形精確適合幾何教學（林保平，1997）。

2、圖形可操作，具幾何變換功能

由動態幾何軟體工具所製成的圖形整體或其構成部份，皆可在視窗內利用 滑鼠指標直接依作圖時的定義移動其位置或改變形狀，也可利用軟體提供的幾 何變換（Geometric Transformation）功能，選出變換的基準，如：平移向量

、鏡射軸、旋轉或相似中心、縮放的比例、旋轉的角度等，再做平移、旋轉、

鏡射、相似等幾何變換。而其幾何作圖及圖形可操作及變換的功能，是動態幾 何軟體能成為臆測、探索幾何性質工具的原因之一（Rahim, 2000）

3、提供解析幾何（Analytic Geometry）的坐標系統

動態幾何軟體提供直角坐標與極坐標平面，可用定點坐標描點，或使用度 量工具求得任意點的坐標、距離長度、斜率等，並可畫多項式函數、三角函數

、指數函數與對數函數等函數圖形。

4、動態連續變化及不變性

動態係指圖形及數值可以做連續的變動，當圖形或其某一構成元素改變位 置、形狀或被變換時，其改變過程是漸進及連續的。不只圖形的最後形態呈現 出來，其改變過程的圖形也會不間斷地呈現出來，因此學習者看到的是一個連 續的變動過程，使學生能觀察圖形的連續變換，並由度量工具之輔助來發現幾 何的不變性質（invariant）（林保平，1997）。

5、同時具手動操作及自動化功能

動態幾何軟體具拉曳（dragging）及動態模擬（animate）功能，透過適 當設計，程式可自動呈現動態過程，也可手動操作，控制速度，方便觀察、比

較與臆測。在手動操作不易精準時，如重合或疊合兩圖形，可透過設計動作按 鈕使電腦自動操作，增加準確度（林保平，1995）。學習者可隨心所欲操控程 式，依個人差異建構概念。

6、動態互動、視覺化、情境化及數值化，並結合圖像和文字的多重表徵視窗環境 動態幾何軟體的互動係指圖形的變動或函數式參數的變動，將帶動函數式 或圖形作相對應的變動，而其坐標也會隨著點位置之改變而改變。視窗中可同 時呈現（1）文字模式（text mode）－問題情境的呈現，（2）數值模式（

numerical mode）－探索函數、參數、測量值等各種可能數值的變化，（3）

圖形模式（graphical mode）－對應數值變動的圖形變化。各模式之間是動態 連結的，也就是學習者可以改變文字模式的數值，其相關的數值及圖形模式就 會快速地更動。把圖形的意涵從被動層次提升至較為主動的層次，並可透過連 結的設定及程式的設計達到課程間的橫向連結（謝哲仁，2001）。

傳統教材靜態的文字、圖形陳述時不易導引出探索的情境，因此不容意引導學生 主動式的學習（余酈惠，2002）。妥善運用各種學習理論與教學設計，配合動態幾何 軟體的特性與功能，可營造出讓學生透過圖形概念連結基本函數概念、探測與驗證教 材內容，發現數學結果的變動與不變性，經歷知識建構的過程與成果。因此，許多動 態幾何軟體相繼被開發出來，本研究採用的 GeoGebra 便是常見且廣泛被使用的動態幾 何軟體。

GeoGebra 由任教於 Florida Atlantic University 的 Markus Hohenwarter 為數學 數學教育所研發的數學軟體。其開發精神為 Markus 主張的 KISS 原則（Keep it Simple and Short），目標在於整合代數與幾何兩大系統。一方面來看，GeoGebra 是 一套動態幾何系統，可用點、向量、線段、直線或圓錐曲線等工具來繪圖，當數值改 變時，相對應的函數或方程式圖形也隨之改變；另一方面來看，可直接輸入方程式和 坐標，由軟體進行數字、向量、點坐標的運算，並可求出函數的微分與積分，還可用 來算方程式的根或函數的極值。這種可直接做代數運算的功能，讓 GeoGebra 成為可處 理幾何圖形的電腦代數系統。

檢視過去動態幾何系統輔助教學的研究大多使用 GSP（Geometry Sketch Pad）進 行實驗，故以下比較 GSP 與 GeoGebra 的功能性與相關資料，如表 2-1。

表 2-1 GSP 及 GeoGebra 對照比較表

轉換為 JavaSketchPad，但對於 某些繪圖指令不支援

GeoGebra 是以 Java 語言設計的

，100％可轉換為網頁，可跨平 列在某個潛在變量的連續量尺上。在古典測量理論（Classical Test Theory（CTT）