動態幾何系統GeoGebra對數學學習成效與認知診斷影響之研究-以簡易二次函數圖形為例

國

立

交

通

大

學

理學院科技與數位學習學程

碩

士

論

文

動態幾何系統 GeoGebra 對數學學習成效與認知診斷

影響之研究

-以簡易二次函數圖形為例

A Study on the Effect of GeoGebra on Math Learning Achievement and

Cognitive Diagnosis – a Case of Simple Quadratic Functions Graph

研 究 生：黃楷智

指導教授：李榮耀 教授

動態幾何系統 GeoGebra 對數學學習成效與認知診斷影響之研究

-以簡易二次函數圖形為例

A Study on the Effect of GeoGebra on Math Learning Achievement and

Cognitive Diagnosis – a Case of Simple Quadratic Functions Graph

研 究 生：黃楷智 Student：Kai-Chih Huang

指導教授：李榮耀 Advisor：Jong-Eao Lee

國 立 交 通 大 學

理學院科技與數位學習學程

碩 士 論 文

A Thesis

Submitted to Degree Program of E-Learning

College of Science

National Chiao Tung University

in partial Fulfillment of the Requirements

for the Degree of

Master

in

Degree Program of E-Learning

June 2011

Hsinchu, Taiwan, Republic of China

動態幾何系統 GeoGebra 對數學學習成效與認知診斷影響之研究

-以簡易二次函數圖形為例

學生：黃楷智 指導教授：李榮耀 博士

國立交通大學理學院科技與數位學習學程

摘要

動態幾何系統 GeoGebra 結合代數運算與幾何建構兩大系統的雙向軟體，主要特色 在以動態互動的方式讓學習者主動操作、觀察數學物件，方便學習者連結真實經驗並 建構數學形式，因此可透過適當的教材設計，引導學生注意力，進行認知學習，並達 到師生互動。 本研究以簡易二次函數為例，採準實驗研究法，探討 GeoGebra 動態幾何呈現的教 學設計，相較於一般簡報教學與一般傳統教學，是否能達到較好的學習成效，並進一 步分析其認知診斷評量訊息。 主要研究結論可以彙整如下： 1、GeoGebra 動態幾何呈現的教學設計有助於低、中學業能力的學生在數學上的學 習。 2、GeoGebra 動態幾何呈現的教學設計明顯有助於學生將數學概念、技能形成新知 識並儲存於長期記憶區。 3、GeoGebra 動態幾何呈現的教學設計有助於提高學生學習數學技能之精熟度，並 增強概念的圖像表徵。 關鍵詞：動態幾何、GeoGebra、認知診斷評量、二次函數

A Study on the Effect of GeoGebra on Math Learning Achievement and

Cognitive Diagnosis

– a Case of Simple Quadratic Functions Graph

Student：Kai-Chih Huang Advisor：Dr. Jong-Eao Lee

Degree Program of E-Learning

National Chiao Tung University

Abstract

GeoGebra (dynamic geometry system) is an interactive software that combines algebraic calculation and geometric construction. The main feature focuses on students’ own initiatives to operate and observe mathematical objects through interactive methods. It facilitates

building mathematical concepts through tangible experiences. With properly designed

teaching materials, it can focus students’ attentions, promote cognitive learning and encourage student-teacher interactions.

Using the quasi-experimental method, the study uses simple quadratic function as the particular case to investigate whether GeoGebra’s teaching design can achieve better learning outcomes compared to the typical PowerPoint presentations and the common traditional teachings; and to provide further analysis on cognitive diagnostic assessment.

The main conclusion can be summarized as follows:

1. GeoGebra’s instructional design helps students with low to mid academic abilities to improve their mathematical learning.

2. GeoGebra’s instructional design has the apparent effect in aiding students form mathematical concepts and turn hands-on skills into new knowledge stored in the long-term memory.

3. GeoGebra’s instructional design helps students to increase their proficiencies in acquiring mathematical skills and enhance the concept of pictorial reprentations.

keyword: dynamic geometry, GeoGebra, cognitively diagnostic assessment, quadratic

誌謝

能夠踏入交通大學進修，並且順利地完成論文，這一切，完全得感謝我生 命中最重要的另一半，因為有妳的殷切叮嚀與鼓勵，以及飛快的人生規劃，才 讓我總是有源源不絕的動力來完成碩士學業。 另外，感謝指導教授李榮耀老師願意提供機會，讓我的論文得以誕生，為 兩年的在職進修生活畫下完美的句點。 最後，感謝所有在我撰寫論文時幫助過我的親人、朋友，謝謝你們。

目錄

中文摘要……… i

英文摘要……… ii

誌謝……… iii

目錄……… iv

表目錄……… vi

圖目錄……… vii

第一章 緒論……… 1

第一節 研究背景與動機……… 1

第二節 研究目的……… 2

第三節 研究問題……… 4

第四節 名辭解釋……… 4

第五節 研究限制……… 5

第二章 文獻探討……… 7

第一節 多媒體學習認知理論……… 7

第二節 動態幾何系統 GeoGebra……… 13

第三節 認知診斷評量……… 16

第四節 二次函數相關研究……… 22

第三章 研究方法……… 25

第一節 研究流程……… 25

第二節 研究對象……… 26

第三節 研究設計……… 28

第四節 研究工具……… 32

第五節 資料分析方法……… 36

第四章 研究結果與討論……… 38

第一節 施測樣本的敘述統計資料與檢定分析……… 38

第二節 認知診斷評量……… 47

第三節 研究結果摘要……… 54

第五章 結論與建議……… 55

第一節 研究結論……… 55

第二節 研究建議……… 56

第三節 未來研究方向……… 57

參考文獻……… 59

附錄……… 63

附錄一 課程學習單……… 63

附錄二 GeoGebra 輔助教學教材內容及分析……… 67

附錄三 一般簡報教學教材內容及分析……… 78

附錄四 函數學習成就測驗後測……… 92

表目錄

表 2-1 GSP 及 GeoGebra 對照比較表……… 16 表 2-2 發展以心理學為導向的認知診斷測驗之五個編製步驟……… 17 表 3-1 甲乙丙三組三次段考成績平均數與標準差摘要表……… 26 表 3-2 甲乙丙三組三次段考平均成績單因子變異數分析檢定摘要表……… 26 表 3-3 三組高中低能力分組段考平均成績單因子變異數分析檢定摘要表……… 27 表 3-4 三組高中低能力分組段考平均成績 Scheffe 多重比較摘要表……… 27 表 3-5 實驗設計分組表……… 28 表 3-6 高中低三組段考平均成績單因子變異數分析檢定摘要表……… 30 表 3-7 教學主題與內容目標……… 32 表 3-8 施測試題雙向細目表……… 34 表 3-9 施測試題難度、鑑別度摘要表……… 35 表 3-10 繪圖題給分標準……… 35 表 3-11 簡易二次函數圖形的認知操作……… 36 表 3-12 函數學習成就測驗之 Q 矩陣……… 36 表 4-1 各組教學實驗相關敘述統計資料摘要總表……… 39 表 4-2 三組前測成績之單因子變異數分析檢定摘要表……… 40 表 4-3 三組前測成績之 Scheffe 多重比較摘要表……… 40 表 4-4 各組對不同教材設計在學習成效（後測）上的單因子變異數分析摘要表…… 40 表 4-5 各組對不同教材設計在學習成效（延後測）上的單因子變異數分析摘要表… 40 表 4-6 各組對不同教材設計在學習成效（延後測）上的 Scheffe 多重比較………… 41 表 4-7 各組之低學業能力授試樣本相關敘述統計資料摘要表……… 42 表 4-8 各組之中學業能力授試樣本相關敘述統計資料摘要表……… 43 表 4-9 各組之高學業能力授試樣本相關敘述統計資料摘要表……… 44 表 4-10 各學業能力分組對不同教材設計之後測學習成效單因子變異數分析摘要表 45 表 4-11 各學業能力分組對不同教材設計在後測學習成效之 Scheffe 多重比較…… 45 表 4-12 各學業能力分組對不同教材設計之延後測學習成效單因子變異數分析表… 46 表 4-13 各學業能力分組對不同教材設計在延後測學習成效之 Scheffe 多重比較… 46 表 4-13 不同教材設計之各組受試樣本後測 G-DINA 分析摘要表……… 47 表 4-14 各組與各能力分組之單元目標技能平均精熟率（後測）……… 49

圖目錄

圖 2-1 多媒體雙通道假設……… 8 圖 2-2 只有圖像經視覺管道……… 10 圖 2-3 印刷文字與圖像都經視覺管道……… 11 圖 2-4 字幕與圖像都經視覺管道……… 12 圖 2-5 受試者對試題 j 的反應程序圖……… 21 圖 2-6 Ox 程式執行 G-DINA 模型畫面……… 22 圖 2-7 二次函數課程地位圖……… 23 圖 3-1 研究流程圖……… 25 圖 3-2 研究架構圖……… 28 圖 3-3 課程流程圖……… 31 圖 4-1 不同教材設計之各組受試樣本後測 G-DINA 分析比較圖……… 48 圖 4-2 不同教材設計之各組受試樣本延後測 G-DINA 分析比較圖……… 48 圖 4-3 各組與各能力分組之單元目標技能平均精熟率（後測）……… 49

第一章 緒論

第 一 節 研究背景與動機

「怎麼辦？學生不懂標準式的意義，化簡也有問題，那怎麼學函數與圖形之間的 關係呢？」這是筆者在現今國中教育現場時常聽到數學教師在二次函數教學過程中所 提出的問題，反應出在二次函數這個銜接代數（文字）與幾何（圖形）兩大數學系統 的學習單元中，有相當多學生感到困難，而大多數的學生對函數的認識都停留在抽象 符號的代數觀念，忽略了函數在坐標幾何上的意義（林星秀，2001），使得函數概念 的形成無法全面而完整，因而可能在往後的函數學習歷程產生學習上的困難。 「這次二次函數的教具又是掛圖和投影片，每次貼完圖就花了很多時間，又無法 隨意移動變換，怎麼沒有更好的教具能使用？」對於非線性的二次函數圖形，「畫圖 」無疑是教師教學過程中的一大挑戰，而在數學學習過程中，當教師能協助學生以圖 像表徵方式建立新知識時，學生能深入思考並記住相關知識，學習成就會提高（ Marzano, Pickering, & Pollock, 2001），雖然有許多教師與課程設計者都已投入開 發二次函數教具的行列，但使用實體教具仍有許多限制，因此對於如何更佳地呈現函 數圖形，也一直是筆者不斷努力尋求改進的一個環節。 在「九年一貫正式綱要」（2003）的基本理念與實施要點中提出：演算能力、抽 象能力及推論能力的培養是數學教育的主軸。而 Brian（1998）表示數學課程就是圍繞 著變數與函數。因此函數概念在中學階段，正是數學學習的核心單元，從常數、未知 數到變數等概念的轉變，由靜態思維到運動思維、由離散到連續、由運算進入關係， 並且在運算式、符號、圖表之間多重表徵的轉換（賴明裕，2008）。但這麼重要的單 元，卻由全國青少年函數概念發展研究（2003）指出：「我國國中學生對於函數的圖 形表徵，和幾何圖形與函數之圖形的判別能力均明顯不足，建議教師在教學時應培養 學生這兩方面的能力。」。 由此看來，函數概念的多面向表徵，是造成學生學習困難的主要原因。然而以靜 態的課本教材及傳統教學現場來看，遇到函數圖形呈現較為複雜，或是圖形的平移、 伸縮時，總覺得黑板上徒手繪製的圖形不夠完美且費時，無法動態的將圖形的變化呈 現出來，同時更可能因圖形的誤差造成學生理解上的困難。所以，Nation Council of

Teachers of Mathematics（NCTM, 2000）在「Principles and Standards for School Mathematics」中指出：「利用電腦及計算器繪製函數圖形，並觀察當參數改 變時，圖形的變動關係，有助於函數概念的理解。」Rahim（2000）也由「A

Classroom Use of the Geometer＇s Sketchpad in a Mathematics Pre-Service Teacher Education Program」研究中：「參加研習的教師對於將來在數學教學中使用 動態幾何軟體從存疑到充滿自信，他們同意可運用動態幾何軟體於幾何、代數和三角 學的教學中。」。 為此，筆者研究過眾多網路上可用的資訊教材後，發現儘管教學者嘗試利用簡報 軟體設計許多動畫來說明教材中圖形的轉換過程，但讓學生在認知上形成一個圖形連 續變動的概念仍有困難，更重要的是無法讓學習者隨心所欲地進行各項圖形的變換與 操作，由學習者達到主動探索、觀察並歸納教材中呈現的表徵概念，最後只能倚賴公 式出現後才開始產生概念而達到學習效果。此時，GeoGebra 動態幾何軟體的連續動態 圖形呈現特性便可讓學生在教師的引導下，觀察、歸納出圖形變換與函數概念之間的 連結。

GeoGebra 是由 Markus 在 Salzburg 大學針對學校數學教育所研發的軟體，國中數 學的相關圖形均能輕易畫出，操作方式和 GSP 及 Graphmatica 相似，但在其功能與特 性，GeoGebra 較 GSP 在教學上擁有更多優勢，GeoGebra 具有尺規作圖、紀錄作圖過程 等，能將函數概念以動態圖形的方式呈現，可讓學生的學習藉著觀察、猜想的過程， 加強函數在坐標平面上所代表的圖形表徵。加上過去有關動態幾何系統輔助教學的研 究大多使用 GSP 設計課程，而比較兩者的優劣之後，發現 GeoGebra 在使用上較 GSP 容 易上手，而且是免費軟體，學生可自行於網站下載安裝，很值得推廣讓國中生學習， 故本研究擬使用 GeoGebra 軟體來設計一個可供學生觀察、檢驗與歸納的學習環境，幫 助學生理解二次函數圖形的變換，並加深其對二次函數圖形變換的印象，期能改善學 生的學習態度並提昇學生的學習成效。

第 二 節 研究目的

國內現有的幾篇動態幾何融入二次函數教學研究中（陳英娥，1992；林星秀， 2001；胡瑞明，2001；吳長憶，2009），其研究的成果大多著重在探究傳統教學與資

訊融入教學後的教學成效差異，此種強調常模參照與總結性評量的方式，往往只能測 量到受試者目前的學習表現程度，而無法探究深藏在實際操作表現之下的心智運作歷 程，無法對教師教學、學生學習提供充分且有效的訊息。因數學知識的建構是一段複 雜的學習歷程，並非「會」與「不會」的二分法，所以評量的目的，除了測量出學習 者的學習現況外，同時也應該提供學習者學習成敗的診斷訊息，以利教學者根據診斷 訊息，進行有效的補救教學（涂金堂，2003）。 為此，Nichols（1994）即主張傳統評量理論無法提供有效的訊息，讓教師對學生 的錯誤學習進行診斷的評量，因此，他提倡將認知科學（cognitive science）與心理 計量學（psychometrics）結合，發展新的診斷評量方法，以幫助教學目標的達成。這 種新的診斷評量方法，稱為認知診斷評量（cognitively diagnostic assessment（ CDA））。這種認知診斷評量可以透過受試者對試題的作答反應組型，而推論出其認知 歷程與知識結構的可能狀態，顯現出學生是否精熟某種技能的訊息。而這些額外的訊 息可以幫助學生或老師更加瞭解分數所代表的涵義，以及哪一類的學習可以增進學習 成效（Sheehan, 1997）。 故本研究在針對國中數學領域二次函數課程而發展的 GeoGebra 動態幾何軟體輔助 教學設計中，以準實驗的研究方式探討在此主動探究學習的教學設計下，學生能不能 夠對國中的二次函數課程有更清楚的瞭解，跳脫死背、多練的傳統學習方式，進而統 整出一個由抽象而直覺的整體概念，以及探究個別學習與教學設計間的互動情況。並 依據認知診斷評量的方式，深究使用動態幾何軟體輔助教學之後，學生在哪些概念、 技能更容易達到精熟。 因此，本研究運用三種教學模式「GeoGebra 輔助教學模式」、「一般資訊融入教 學模式」及「一般傳統教學模式」，比較國二學生對於學習簡易二次函數圖形課程之 學習成效及認知診斷評量之訊息，以便作為將來在國中階段發展 GeoGebra 輔助教學之 參考。 基於上述研究動機，本研究以簡易二次函數圖形為例，探討 GeoGebra 輔助教學模 式對不同學業成就學生，在學習成效與認知診斷評量的表現。研究目的敘述如下： 1、探討不同教學設計對不同學業能力學生在簡易二次函數圖形課程上的學習成效 影響。 2、探討不同教學設計對不同學業能力學生在三種層次問題表現上的影響。 3、探討不同教學設計對不同學業能力學生在學習簡易二次函數圖形課程後認知診

斷評量的影響。

第 三 節 研究問題

根據上述研究目的，本研究欲探討的問題如下： （一）不同教學設計對不同學業能力學生（高、中、低）在簡易二次函數圖形課 程上的學習成效是否有顯著的影響？ 1、GeoGebra 輔助教學模式對學習成效是否有影響？ 2、GeoGebra 輔助教學模式對不同學業能力學生在學習成效上是否有影響？ （二）不同教學設計對不同學業能力學生（高、中、低）在三種層次問題表現上 是否有顯著的影響？ 1、在基礎題型上，GeoGebra 輔助教學模式與學業能力對學習成效是否有影 響？ 2、在擴展題型上，GeoGebra 輔助教學模式與學業能力對學習成效是否有影 響？ 3、在高層次題型上，GeoGebra 輔助教學模式與學業能力對學習成效是否有 影響？ （三）不同教學設計對學生在學習簡易二次函數圖形課程後的認知診斷評量是否 有顯著的影響？

第 四 節 名辭解釋

為便利討論分析，茲針對本研究所使用的一些特定名詞，加以說明如下： 1、簡易二次函數 函數的定義是，對於任意給定的一個 x 值，都恰有一個y值與它相對應， 則我們說y是 x 的函數。一般所稱二次函數為現今國中數學第六冊第一章所提 及的內容，亦即形如y=ax2+bx+c（a≠0）之函數，但本研究所謂之簡易二 次函數，僅限於第一節「簡易二次函數圖形」中所提及的簡易二次函數，如 c ax y= 2+ （a≠0）。

2、GeoGebra 動態幾何軟體 GeoGebra 是一套免費並且多平台的動態數學教育軟體，結合幾何、代數 和微積分，並曾獲得多項國際性的大獎，包括歐洲及德國教育軟體大獎。 3、學業能力 本研究所指的學業能力，為學生在八年級上學期三次段考數學平均成績， 在受試學生中先依實驗組、對照組分成三組，各組再依段考數學平均成績由低 至高排列，取前 27％為低學業能力組，後 27％為高學業能力組，其餘為中學 業能力組。 4、學習成效 經過實驗教學之後，學生能應用知識解決問題的能力。本研究以自編二次 函數圖形單元階段性成就測驗之後測分數表示。在「函數學習成就測驗」的得 分越高，表示學生的數學學習成效越高；反之則越低。

第 五 節 研究限制

本研究是以國中九年級下學期簡易二次函數圖形課程為教材設計的範圍，採準實 驗研究法，研究過程中，主要限制說明如下： 1、就研究樣本而言 本研究考量城鄉差距、時間及財力等因素的限制與困難，受試樣本僅限於 教學者任教學校以方便抽樣挑選的三個班級學生，有效樣本為 95 位，每班再 分為三組，每組約 10 位左右，樣本數略少，故研究結果不足以推論至其他縣 市之同年齡層的學生。如須推廣，則須考慮種種因素，如地區、年級等母群體 差異不大的樣本。 研究主題在九年一貫課程編排上是安排在九年級下學期教學，本研究為了 避免現今學生課外超前補習風氣影響，提前於八年級下學期進行實驗教學，就 學生先備知識而言已能夠銜接，但因非正式課程，受試學生學習心態是否能接 受可能會影響施測結果。 2、就研究變項而言 本研究採準實驗研究法，由於影響教學成效的因素眾多，除了教學者、教 材設計外，班及特質、學習者間彼此影響、學習者本身的動機與學習態度都可

能影響學習成效，因此實驗結果較難推論其他學習環境與學習者上。 3、就研究題材、單元內容而言 二次函數等相關教材編排於九年級下學期課程，本研究中所探討之內容僅 止於教材中的簡易二次函數圖形單元，因此，其他冊之其他單元內容是否等同 適用本研究結果並無法推論。且為考慮不影響原班上課及學校電腦教室的排課 時間，故實驗教學僅實施兩節課，實驗時間尚短，若推廣為長時間使用，仍須 再進一步研究。

第二章 文獻探討

本章分為四節，第一節介紹多媒體學習認知理論，第二節介紹動態幾何系統，第 三節介紹認知診斷評量，第四節介紹二次函數相關研究。

第 一 節 多媒體學習認知理論

如今電腦教學軟體的研究使用和網路的普及，使得現今教學方式趨向多元化，而 在豐富的教學資源中，認知心理學家 Mayer 將電腦多媒體學習定義為利用文字（包含 書寫印刷的視覺文字與口述的聽覺文字）或圖片（靜態圖片、動畫及影片）的學習（ Clark & Mayer, 2008）。根據 Mayer 的定義，只要須透過文字或圖片來學習的一切過 程，皆可屬於多媒體學習的一種，如：影片、簡報教學、網路學習……等。

因此，以 Paivio（1986）的雙碼理論（Dual-Coding Theory）為基本，Mayer（ 2001）與多位專家提出「多媒體學習認知理論」（A Cognitive Theory of

Multimedia Learning），並做了三種基本假設，分別說明如下： 1、雙通道假設（Dual Channels Assumption）

人類擁有兩個分開的通道來處理外來的視覺訊息（visual information） 和語文訊息（auditory information）（Paivio, 1986; Baddeley, 1992）。 因此，Mayer 在多媒體設計原則中也將訊息呈現方式訂為兩個通道，一個是視 覺化的，一個是聽覺化的。面對文字訊息，我們經由眼睛接收，產生視覺化的 訊息進入工作記憶區；口述的文字或聲音則經由耳朵接收，選擇訊息產生聽覺 ，並沿著聽覺通道進入工作記憶區，組織文字形成一個口語模型。而對於圖像 訊息則皆是透過眼睛視覺接受訊息，沿著視覺通道進入工作記憶區，形成圖像 模型。這兩個通道中流通的訊息又可以互相轉換，我們可以將看到的文字在心 中念出，將視覺訊息轉換成口語訊息。相同的，也可能在接收完聽覺訊息後， 將聽到的聲音在心理上轉化成影像。兩種訊息間應有互補的作用。所以，在雙 碼理論中，一般認為能使用兩種通道來接收訊息是比較能獲得成效的。其雙通 道模型如圖 2-1。

2、有限容量假設（Limited Capacity Assumption）

人類在每個獨立通道的一次訊息處理量是有限的（Baddeley, 1992; Chandler & Sweller, 1991）。即短期（工作）記憶區（working memory）的 容量是有限的。更加強說明了，在雙通道的假設下，教學設計必須謹慎安排文 字與圖像出現的時間與所有的訊息呈現量，才能使學習者充分接收訊息，達到 有意義的學習。

3、主動學習假設（Active processing Assumption）

當訊息呈現時，學習者會主動接收並與舊有經驗、知識和基模（Schema） 整合，形成一個新的知識再回存到長期記憶區。其中知識是學習者自行建構的 ，並非將所有的教學概念直接照單全收，而是把看到、聽到的訊息意義化，再 與自己的先備知識作整合。因此儘管面對一樣的教師與教學呈現方式，每個人 所建構出來的知識卻不盡相同。所以，主動學習包含「選擇相關訊息」、「組 織已選擇訊息」和「將新訊息與舊知識整合」。 在了解以上三項多媒體學習認知理論的基本假設後，Mayer 更進一步提出訊息處理 中必經的三個心理認知過程（Clark & Mayer, 2008），分別說明如下：

1、選擇（Selecting） 當教學內容同時包含文字與圖像訊息，學習者先由感官記憶中的視覺或聽 覺選擇相關的文字或圖像建立資料庫，並分別儲存於語言工作區與圖像工作區 。因此在教材設計與呈現上，如何讓學習者能方便地選擇所需的訊息顯得非常 重要。 2、組織（Organizing） 聲音 文字 圖片 聽覺 視覺 聲音 圖像 語文模型 圖像模型 先備知識 形成新知識 多媒體呈現 感官記憶 工作記憶區 長期記憶區 文字 圖像 選擇 文字 選擇 影像 組織 文字 組織 影像 整 合 圖 2-1 多媒體雙通道假設 資料來源：修改自 Mayer（2008）

儲存到工作區的訊息便可由學習者運行組織。Mayer 在此所稱的組織即將 短期記憶中的內容加以排列組合，形成一個合邏輯、一貫的整體。經過組織後 的文字與圖像資料，，Mayer 稱之為情境模型（Situational Model）（宋曜廷 ，2000）。 3、整合（Integrating） 當學習者組織建立情境模型後，最後必須再與融入自身的先備知識加以整 合，形成新的知識結構，以基模的形式回存到長期記憶區，以利日後進行新知 識的建構。 上述的三個認知歷程皆發生在工作記憶區中，工作記憶區又受限於有時間及容量 限制，長期記憶區則沒有限制，因此能協助學習者輕鬆地完成選擇、組織及整合訊息 三項過程，不會發生工作記憶區運作超載，達成有效的學習，將是良好多媒體教材的 設計目標。接下來將探討多媒體學習認知理論中的教材設計原則。

以多媒體學習認知理論為基礎，Clark & Mayer（2008）以多項教學實驗歸納出多 媒體教材設計的幾個原則，整理如下： 1、多媒體原則（Multimedia Principle） 多媒體原則即「文字」與「圖像」並用的教材內容會比單獨使用「文字」 的教材內容給學生帶來更好的學習效果。從多媒體學習認知理論來看，文字與 圖像為語文通道與圖像通道兩種不同知識建構系統，兩種通道各自接收適量的 訊息，既可彼此整合又不會讓工作記憶區運作超載。且一般認為圖像較文字能 直接傳遞訊息，兩種感官記憶應可互補，但不能取代彼此。 本研究的主題為「簡易二次函數的圖形」，本就是結合代數（文字）與幾 何（圖像）的數學概念，在內容呈現須加入許多圖例與相對應的代數式，教學 過程中也將搭配口語解說，應能妥善運用多媒體原則。

2、空間接近原則（Spatial Contiguity Principle）

人類的視覺感受上，若圖像與相關文字距離太遠，將須花費較多的時間與 認知資源去搜尋對照才能對訊息產生認識。因此在教材內容呈現圖像時，應與 其相關文字的位置彼此接近，學習者便能省去多餘的心力而投注於其他訊息上 ，進而提高訊息的獲取量，對應地，學習成效也能跟著提升。由多媒體學習認 知理論的主動學習假設（Active processing Assumption）也可發現，接收訊 息時，學習者會試著主動選擇有意義的文字或圖像訊息再加以組織，形成一致

性的語文與圖像心智模型，透過整合此兩種模型來建構新知識，存入長期記憶 區。故接近的文字與圖像能降低學習者此認知歷程之選擇與組織的運作負擔。

空間接近的處理方式除了可將文字與圖像靠近，但若訊息量太多、太複 雜，無法妥善配置畫面，也可用連接線銜接文字與圖像，或彈出小視窗說明 ，使用完畢再關上，都可讓學習者很快地完成選擇、組織訊息。

3、時間接近原則（Temporal Contiguity Principle）

呈現訊息時，圖像伴隨著相關口語說明一起出現，對學習者的學習成效比 圖像與相關口語說明分離呈現時的成效較好。圖像呈現與口語說明是分別由不 同通道讓學習者吸收的，並不會產生衝突，且在學習者的主動學習過程中，圖 像與口語敘述在整合呈現時，學習者較有機會能同時對相呼應圖像與口語敘述 進行選擇、組織，將訊息保留在工作記憶區，增加學習者心智整合圖像表徵與 語文表徵的機會。 4、通道原則（Modality Principle） 學習者可從「動畫搭配口語表達」得到比「動畫搭配視覺文字」較佳的學 習成效。因為動畫、圖像或視覺文字皆利用視覺通道進入工作記憶區，當同時 出現時，將造成多種訊息彼此競爭認知資源，產生衝突，但此時聽覺通道卻沒 有被使用到；而若視覺文字改以口語表達時，口語表達由聽覺通道，而動畫、 圖像使用視覺通道，兩者彼此平衡，對學習者來說較能快速建立連結，節省工 作記憶使用量，提高學習成效。 口述文字 印刷文字 圖片 多媒體 呈現方式 聽覺 視覺 感官 記憶 選擇 文字 選擇 影像 聲音 圖像 圖 2-2 只有圖像經視覺管道 資料來源：修改自 Mayer（2008）

5、重複原則（Redundancy Principle） 亦可稱為「多餘原則」，教材設計上若是依循通道原則採用「動畫搭配口 語說明」，學習者的學習成效會比「動畫搭配口語說明再加上文字敘述」的設 計方式較好。因雙通道的假設下，動畫與口語說明可同時由兩種不同通道進入 工作記憶區，方便連結、組織；但已有動畫與口語說明後，若再加入文字敘述 ，動畫與文字敘述將會在經由視覺通道時產生衝突，學習者可能因花較多注意 於文字敘述，而忽略了圖像所呈現的效果，反之亦然，且學習者會嘗試比較動 畫、口語說明及文字敘述之間的連結性，耗費更多的認知資源去學習，反而降 低有意義學習的機會。 但這個原則並不表示我們完全不能將螢幕上的文字和口語說明一起呈現， 必須視情況而定，當呈現的速度比較慢或是沒有圖片同時出現時，螢幕上的文 字是可以呈現的，如重點提示、演講……等。本研究的內容設計以「講述」、 「圖形」及「重要的簡述文字」搭配呈現。 運用上述的 2、3、4、5 四點，本研究在教材設計上，盡量安排圖形的出現搭配口 語引導，僅在呈現重點概念時，就近在圖形周邊輔以文字說明，降低學習者搜尋、比 對訊息的可能性，減輕工作記憶區的運作負擔。 6、連貫原則（Coherence Principle） 連貫意指訊息中元素間的結構關係。當教學目標與主題確立後，無關的資 料及訊息被排除在教學呈現內容外時，學習者的學習成效優於無關的資料及訊 息被納入時的學習成效。近幾年來教育的方向趨向創新、活潑及美化以吸引學 口述文字 印刷文字 圖片 多媒體 呈現方式 聽覺 視覺 感官 記憶 選擇 文字 選擇 影像 聲音 圖像 圖 2-3 印刷文字與圖像都經視覺管道 資料來源：修改自 Mayer（2008）

習者的興趣，但若加入的元件活潑、有趣卻與主要訊息不相關，則學習者提高 的興趣僅限於那些元件上，對學習沒有幫助，如此只會造成學習的負擔及傷害 。Mayer（2008）指出無關的資料或訊息將造成： （1）在工作記憶區中競爭認知資源。 （2）將學習者從重要的資料或訊息中分散注意力。 （3）分裂組織中的資料或訊息處理。 （4）可能使學習者繞著不適當主題組織資料或訊息。 因此，在本研究的教學設計上，背景底色皆設為全白，畫面中沒有無相關 的圖像或圖示，且主要訊息呈現盡量於畫面中央，儘管畫面較單調，但對學習 者的注意力集中也較有成效。 7、個人化原則（Personalization Principle） 採用電腦呈現教學內容的學習環境中，教學者採用口語對話（

conversational style）的方式進行教學，學習成效會比正式（formal style ）方式進行教學更好；當錄製聲音時以真人發音的接受度也較電腦發音為佳； 在口語敘述上用禮貌的語氣優於命令式語氣。這是 Mayer（2008）考慮到學習 者在主動學習過程中，受到教學者言語、態度可能影響學習者的學習動機，進 而增進認知的原理，所提出的建議。本研究過程中，教學者將以經過設計之教 材作為和學生溝通的平台，由教學者不斷提出問題，引導學習者思考，並由學 習者進行自主操作教材發現答案，增進學習成效。 8、分割原則（Segmenting Principle） 口述文字 字幕 圖片 多媒體 呈現方式 聽覺 視覺 感官 記憶 選擇 文字 選擇 影像 聲音 圖像 圖 2-4 字幕與圖像都經視覺管道 資料來源：修改自 Mayer（2008）

面對組織複雜、內容龐大的教材主題時，分析並拆解其概念成數個段落， 每次上課只教授 1~3 個觀念或步驟，會比將主題內容一次完整呈現更有學習效 果。人的有限容量假設已說明人類在每個獨立通道的一次訊息處理量是有限的 （Baddeley, 1992; Chandler & Sweller, 1991），當學習者的工作記憶區已 累積足夠的訊息，便需要整合成段落概念，才能達成有效學習。 因此，本研究設計便將主題內容分成四個部分，每次上課只教授兩個部分 ，給學生較充裕的時間選擇、組織訊息，形成概念。 9、事先訓練原則（Pretraining Principle） 接收訊息前，先讓學習者知道主要概念的名稱與特徵，再進行內容教學， 其學習成效將優於完全不認識學習內容的，就直接切入內容教學的學習成效。 此原則類似預習的效果，先讓學習者對學習內容產生認識，當學習者在主動學 習過程中，遇到或接觸到相同的名詞或特徵時，自然會提高注意力，加強學習 印象。本研究在設計每個畫面上皆清楚標示該選項要傳達的內容名稱，教學者 也會在授課前先複誦標題，並概略說明其意義，讓學習者對內容有初步印象再 進行教學。

第 二 節 動態幾何系統 GeoGebra

數學概念包括一系列有意義的情境、由基本關係組成的不變性以及用表徵形式呈 現的符號（Vergnaud, 1987），說明了數學的學習，涵蓋了數值的、代數的、圖形的 極與意的各種表徵的交互應用（Kaput, 1992）。而電腦視窗環境可同時包含文字、圖 形、靜態畫面、動態畫面等訊息，只要在適當的設計下，將數學概念以這些表徵形式 來呈現，使得數學概念的基本關係外顯出來，不同表徵間的變化情形用連結的方式同 時變化，並在視窗中展現多重表徵間的連結（蔡志仁，2000）。 函數觀念，特別是圖形部份，受限於過去工具的功能，其呈現方是是靜態的抽象 符號，少有直觀的（intuitive）、數值的（numerical）動態想法（謝哲仁，2001） 。而電腦提供了強大的計算與繪圖能力，使個體可運用真實數據進行模擬或建模（ modeling）的活動，並可直接操弄數學物件與關係，以連結真實經驗與數學形式（ Balacheff & Kaput, 1996）。因此，動態幾何是一個允許使用者建構、操作幾何基本 圖形的工具視窗環境（全任重，1996；林保平，1998），加上度量、計算器與函數運

算的功能，隨著動態幾何軟體工具和教學觀念的發展，幾何和代數的教學可以從比較 直觀的、動態的圖形著手（林保平，2000）。 以下將介紹動態幾何軟體的功能與特質，以做為本研究 GeoGebra 動態幾何呈現教 學設計的重要參考。 1、符合尺規作圖原理（Euclidean constructions） 動態幾何軟體中所提供的繪圖工具，仿照直尺或圓規的作圖方法，可容易 地製作出精確的幾何圖形，如：畫點、直線、圓、圓弧、平行線、垂直線、角 平分線…等，同時線與線、線與圓或圓與圓皆可立即產生交點，並能利用這些 基本功能的組合，繪製較複雜的幾何圖形。這些作圖工具均依照幾何定義設計 ，因此圖形精確適合幾何教學（林保平，1997）。 2、圖形可操作，具幾何變換功能 由動態幾何軟體工具所製成的圖形整體或其構成部份，皆可在視窗內利用 滑鼠指標直接依作圖時的定義移動其位置或改變形狀，也可利用軟體提供的幾 何變換（Geometric Transformation）功能，選出變換的基準，如：平移向量 、鏡射軸、旋轉或相似中心、縮放的比例、旋轉的角度等，再做平移、旋轉、 鏡射、相似等幾何變換。而其幾何作圖及圖形可操作及變換的功能，是動態幾 何軟體能成為臆測、探索幾何性質工具的原因之一（Rahim, 2000） 3、提供解析幾何（Analytic Geometry）的坐標系統 動態幾何軟體提供直角坐標與極坐標平面，可用定點坐標描點，或使用度 量工具求得任意點的坐標、距離長度、斜率等，並可畫多項式函數、三角函數 、指數函數與對數函數等函數圖形。 4、動態連續變化及不變性 動態係指圖形及數值可以做連續的變動，當圖形或其某一構成元素改變位 置、形狀或被變換時，其改變過程是漸進及連續的。不只圖形的最後形態呈現 出來，其改變過程的圖形也會不間斷地呈現出來，因此學習者看到的是一個連 續的變動過程，使學生能觀察圖形的連續變換，並由度量工具之輔助來發現幾 何的不變性質（invariant）（林保平，1997）。 5、同時具手動操作及自動化功能 動態幾何軟體具拉曳（dragging）及動態模擬（animate）功能，透過適 當設計，程式可自動呈現動態過程，也可手動操作，控制速度，方便觀察、比

較與臆測。在手動操作不易精準時，如重合或疊合兩圖形，可透過設計動作按 鈕使電腦自動操作，增加準確度（林保平，1995）。學習者可隨心所欲操控程 式，依個人差異建構概念。 6、動態互動、視覺化、情境化及數值化，並結合圖像和文字的多重表徵視窗環境 動態幾何軟體的互動係指圖形的變動或函數式參數的變動，將帶動函數式 或圖形作相對應的變動，而其坐標也會隨著點位置之改變而改變。視窗中可同 時呈現（1）文字模式（text mode）－問題情境的呈現，（2）數值模式（ numerical mode）－探索函數、參數、測量值等各種可能數值的變化，（3） 圖形模式（graphical mode）－對應數值變動的圖形變化。各模式之間是動態 連結的，也就是學習者可以改變文字模式的數值，其相關的數值及圖形模式就 會快速地更動。把圖形的意涵從被動層次提升至較為主動的層次，並可透過連 結的設定及程式的設計達到課程間的橫向連結（謝哲仁，2001）。 傳統教材靜態的文字、圖形陳述時不易導引出探索的情境，因此不容意引導學生 主動式的學習（余酈惠，2002）。妥善運用各種學習理論與教學設計，配合動態幾何 軟體的特性與功能，可營造出讓學生透過圖形概念連結基本函數概念、探測與驗證教 材內容，發現數學結果的變動與不變性，經歷知識建構的過程與成果。因此，許多動 態幾何軟體相繼被開發出來，本研究採用的 GeoGebra 便是常見且廣泛被使用的動態幾 何軟體。

GeoGebra 由任教於 Florida Atlantic University 的 Markus Hohenwarter 為數學 數學教育所研發的數學軟體。其開發精神為 Markus 主張的 KISS 原則（Keep it Simple and Short），目標在於整合代數與幾何兩大系統。一方面來看，GeoGebra 是 一套動態幾何系統，可用點、向量、線段、直線或圓錐曲線等工具來繪圖，當數值改 變時，相對應的函數或方程式圖形也隨之改變；另一方面來看，可直接輸入方程式和 坐標，由軟體進行數字、向量、點坐標的運算，並可求出函數的微分與積分，還可用 來算方程式的根或函數的極值。這種可直接做代數運算的功能，讓 GeoGebra 成為可處 理幾何圖形的電腦代數系統。

檢視過去動態幾何系統輔助教學的研究大多使用 GSP（Geometry Sketch Pad）進 行實驗，故以下比較 GSP 與 GeoGebra 的功能性與相關資料，如表 2-1。

表 2-1 GSP 及 GeoGebra 對照比較表 資料來源：修改自吳長憶（2008） 項目 GSP GeoGebra A 價格 校園版 50000 元 個人版 6000 元 學生版 1600 元 免費 自行至網站下載 B 繪圖 工具 基本的線及圓作圖 有較多的繪圖工具如： 半圓，切線，中垂線，角平分 線，過 5 點的圓錐曲線等 C 輸入 方程式 畫函數方程式的圖形步驟較繁 雜難記 有輸入欄位可用，能快速的輸 入函數方程式或繪圖指令 D 相關 書籍 資源 中文書如： 聯經出版社：國中幾何動動動 ；各教科書出版社所提供的教 學光碟及範例 網站如： 師大陳創義教授，宜蘭高中官 長壽等有豐富的範例檔案 中文書： 各教科書出版社所提供的教學 光碟及範例 網站： 錦和高中數學教學網 GeoGebraWiKi ： 任 何 人 均 可 上 傳提供檔案，分享教育資源 E 輸出為 網頁 轉換為 JavaSketchPad，但對於 某些繪圖指令不支援 GeoGebra 是以 Java 語言設計的 ，100％可轉換為網頁，可跨平 台及作業系統 F 文字 工具 可加入簡單文字 可在圖形上加入文字及數學符 號（支援 Latex 語法，可顯示 2 、 3 1 ，根號及分數） 基於以上比較，GeoGebra 在使用上較 GSP 容易操作，而且是免費軟體，學生可自 行於網站上下載安裝，值得推廣，故本研究採用 GeoGebra 設計動態幾何呈現的教學內 容以進行實驗。

第 三 節 認知診斷評量

傳統測驗的結果常是一些測驗分數的集合，這些驗測分數反映了學生經過測驗後 答對與答錯的題數，這分數可以提供一種可靠且穩定的訊息來將學生按一定的順序排 列在某個潛在變量的連續量尺上。在古典測量理論（Classical Test Theory（CTT）

）下，這種潛在變量是真分數。而在試題反應理論（Item Response Theory（IRT）） 中，這種潛在變量是潛在特質。透過這些訊息函數可以將學生的能力在團體中所佔的 相對位置明確地表示出來，但這傳統測驗的評量設計卻無法從受試者的作答反應組型 中，顯現出學生是否經熟某種技能的訊息，進而幫助學生或老師更加了解分數所代表 的涵義，並進行更有效率的學習（Sheehan, 1997）。 近幾年來，國內教育界對學習成效的評量，以從單一紙筆測驗逐漸轉變為多元化 的評量方式。雖然多元化評量的實施，提供了較廣域的評量內容，較多樣的評量方法 ，並且創造了較真實與公平的評量情境（王文卿，2009）。然而檢視目前所推行的多 元評量，卻未能透過評量歷程，提供老師足夠的訊息，用來診斷學習者的學習成敗。 因此，Nichols（1994）即主張將認知科學（cognitive science）與心理計量學（ psychometrics）結合，發展新的診斷評量方法，以幫助教學目標的達成。這種新的診 斷評量方法，稱為認知診斷評量（cognitively diagnostic assessment（CDA））。 Nichols（1994）認為認知診斷評量的測驗編製必須以心理學所發展的理論為基礎 ，如此才能編製一份可以反映受試者知識狀態的測驗，進而達成認知診斷評量所追求 的目標。因此，他提出編製以心理學為導向的認知診斷測驗，須經歷五個重要的編製 歷程，今整理如表 2-2。 表 2-2 發展以心理學為導向的認知診斷測驗之五個編製步驟（Nichols, 1994） 步驟一 實質理論的建構 實質理論關注於描述知識與技能的模式或理論的發展，這些知 識與技能被假定在認知表現時所產生的，而測量的試題必須能 描述個體表現時的知識與技能。 步驟二 設計的選擇 在這個步驟，測驗的編製者必須選擇觀察與測量設計，選擇的 標準必須以步驟一的實質理論為基礎，所建構的試題必須能預 測受試者所可能產生的特定知識與技能。其建構測量的程序是 一種測量設計的操作化過程。 步驟三 測驗管理 測驗管理包括測驗內容的每個部分：試題的形式、反應的種類 、計分的工具、施測的環境等。 步驟四 反應計分 這個步驟的目標是根據受試者的反應組型，給予某個數值，並 將其反應組型與實質理論所建構的策略或錯誤規則相連結。 步驟五 設計修正 設計修正是一個蒐集支持模式或理論的過程，即透過證據的蒐 集，可以獲知理論是被支持或被挑戰的。在這個步驟，測驗施

測的結果將用來修正實質理論的建構。

透過上述五個步驟所編製而成的認知診斷測驗，比傳統測驗的編製歷程更強調須 以心理學研究成果的實質理論為編製試題的依據，同時對於試題也都特別經過周詳的 設計，以期能從受試者答題反應組型中，推論受試者可能具備的知識結構狀態（涂金 堂，2003）。而為了達到認知診斷評量的目標，de la Torre（2009）表示認知診斷模 型（cognitive diagnosis models（CDMs））是可以被使用來判斷受試者在心理計量 學模式上的優缺點，且其分數型態也是可以有效測量受試者學習狀態與進步情形。 認知診斷模型是一個以概念為主的診斷策略，診斷受試者是否精熟某些概念，因 此，受試者的各項概念表現可簡單地分類成精熟（mastery）與不精熟（non-mastery ）的二元計分，利用y 來表示第_i i個受試者對應到 J 個試題的二元精熟分數（binary mastery scores）向量，並假設y 的組型是一個獨立的統計向量，以i

{

i i ik

}

ik α α α α = ₁, ₂,_L, 表示，例如：K =3，而受試者α_i =（1,1,0），表示第i個受試者 精熟第 1 個與第 2 個概念，對第 3 個概念則不夠精熟。所以，每個概念都可以對應到 精熟與不精熟，整個反應組型便會有 k 2 個可能情況。下列列出K =3時，所有可能的 8 種反應組型。 （0,0,0）、（1,0,0）、（0,1,0）、（0,0,1）、（1,1,0）、（1,0,1）、（ 0,1,1）、（1,1,1） 因此，為了能夠清楚表示試題和概念之間的關係，許多認知診斷模型在導入模型 時，需要建立一個由數值 0 與 1 所組成的 Q 矩陣（Q-matrix），來當作概念影響試題 答對率的對照表（Tatsuoka, 1985）。Q 矩陣表示一個題庫中的試題所需的特定概念， 如有 J 個試題與K個概念，則 Q 矩陣的大小為J× ，Q 矩陣內的元素表示為第 j 個試K 題是否須具備概念 k ，其定義如下。 ⎩ ⎨ ⎧ = 0 1 jk Q 由上可知，每一個試題正好就是 Q 矩陣中的一列，舉例來說，我們假設 Q 矩陣如 下： ，第 j 個試題需要第 k 個概念 ，其他 ，其中 j=1LJ ，k=1LK

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 0011 1000 0101 1010 Q 我們可以發現試題一需要概念 1 與 3，試題二需要概念 2 與 4，試題三則只需要概 念 1，依此類推。而 Q 矩陣通常是由學科專家（subject matter experts）所建立的。 除了決定每個試題所需要的概念之外，學科專家也必須決定概念的精熟將如何影響受 試者作答的機率，答對試題的機率提高了，是否代表需要具備更多精熟的技能？透過 不同機率的設計就衍生出不同的認知診斷模型了。

認知診斷模型可分為潛在特質模型（latent trait model）和潛在分類模型（ latent class model）兩大類。其中，比較具有代表性的是以 Fischer（1973）的線性 邏輯潛在特質模型（Linear Logistic Trait Model（LLTM））為基礎的潛在特質模型 ，和以 Tatsuoka（1983）的規則空間模型（Rule Space Model（RSM））為基礎的潛在 分類模型。兩大類模型中，潛在分類模型主要用來分析受試者的作答過程，進而探討 受試者的潛在知識結構，對於觀察受試者具有何種潛在能力、認知缺陷，或在測驗中 的典型錯誤分類最具特色。

近幾年來，潛在分類模型以發展出相當多的模型，包括規則空間模型、統一模型 （unified model）、融合模型（fusion model ; Hartz , 2002 ; Hartz, Roussos, & Stout, 2002）、DINA 模型、NIDA 模型（Noisy Input, Deterministic“and＂Gate model; Maris, 1999）以及 G-DINA 模型……等。其中，DINA 模型採用了較簡單的模型 定義，僅涉及「粗心」和「猜測」兩參數，為許多認知診斷與評估方法的基礎（ Doignon & Falmagne, 1999; Tatsuoka, 1985）；而 G-DINA 模型為 DINA 模型的一般 化模型，且在樣本數較小時，G-DINA 模型較 DINA 模型更確實完成估計（王文卿，2009 ；陳亭宇，2010）。因此，本研究將以 G-DINA 模型為基礎，診斷受試者經過實驗教學 後對於知識概念的精熟程度。為能了解 G-DINA 模型的內涵，以下將透過 DINA 模型的 介紹來探討 G-DINA 模型。

一、DINA 模型

DINA 模型創建與流行開始於 Junker & Sijtsma（2001）的研究，適用於二 元計分項目來進行認知診斷評量的測驗。此模型假設受試者如具備解答該試題所 需的認知屬性，即能答對該試題，但答對試題的機率又會受到粗心（slip）和猜 測（guess）兩個試題參數的影響。因此，我們可以透過公式

∏

∏

= = = = K k Q ik Q k ik ij jk jk 1 : ₁ α α η 代表受試者是否具備答對某試題所需要的概念，而 DINA 模 型的公式如下。 ) 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 | 1 ( ij ij j j ij ij s g Y P = η = = − η −η 其中，

∏

∏

= = = = K k Q ik Q k ik ij jk jk 1 : 1 α α η ) 1 | 0 ( = = = ij ij j PY s η ) 0 | 1 ( = = = ij ij j PY g η 其中， Y_ij：第i個受試者在第 j 題試題的反應組型。 s_j：受試者具備回答第 j 題試題所需要的認知屬性，但卻因粗心而答 錯該題的機率。 g_j：受試者不具備回答第 j 題試題所需要的認知屬性，但卻因猜測而 答對該題的機率。 α_ik：第i個受試者在第 k 個認知屬性的有無，如具備該屬性其值為 1 ，若無則為 0。 η ：受試者是否具備答對第 j 題試題所需要的概念，如全部具備其_ij 值為 1，反之，若受試者缺少一個答對第 j 題試題所需要的概念 ，其值為 0。 從 DINA 模型的定義中可知該模型將受試者分為兩類，一類是掌握了答對試 題所具備的全部認知屬性，另一類則是缺少了某個必要的認知屬性，而使其答對 的機率降低，即使答對也會被歸類於猜測的機率。 假設數值ηij =1，表示受試者i已經具備試題 j 的各個認知屬性；數值ηij =0 ，表示受試者i至少還缺少答對試題 j 的某一個認知屬性。但在現實情況下，受 試者i具備試題 j 的認知屬性，卻可能因為粗心寫錯而降低sj =P(Yij =0|ηij =1)， 又可能因為猜測答對而提升g_j =P(Y_ij =1|η_ij =0)。因此，在理想狀態下，粗心和 猜測值皆為 0，代表沒有學生是粗心寫錯或猜測答對的。如圖 2-5 所示。

圖 2-5 受試者對試題 j 的反應程序圖（de la Torre, 2009）

綜合以上所述，DINA 模型是一個非常簡單且容易解釋的模型，因為它對每個 試題只考慮兩個參數（粗心機率s_j、猜測機率g_j），所以它有非常好的模型適 配（de la Torre & Douglas, 2004），也被廣泛地應用在測驗的許多方面。

二、G-DINA 模型

G-DINA 模型為 DINA 模型的一般化模型，由 de la Torre（2008）提出，模型如下 方程式所示。

∑ ∑

∏

∑

> − = = + + + = * ' * * * ' ' * ₁ 1 12 1 0 * ) ( j j j j j K k k K K k lk K j lk lk jkk K k jk lk j ij P α δ δ α δ α α δ α L 其中， 0 j δ ：第 j題的截距。 jk δ ：對α_k的主要影響。 ' jkk δ ：對α_k與α_k'的交互影響。 * 12 K_j j L δ ：由α_k到α_k'的交互影響。 當δ_j0與 ₁₂ * j K j L δ 不為 0，而其他δ_jk與δ_jkk'均為 0 時，就是 DINA 模型。由此可知，

DINA 模型是 G-DINA 模型的特例，而 G-DINA 模型針對試題的認知屬性間彼此交互影響做 了詳盡的估計。

de la Torre 對於 G-DINA 模型的程式碼是使用 Ox（Doornik, 2003）程式編寫的， 該程式在 5.1 版提供可以編寫程式碼與執行環境的 OxEdit 編輯器，使用上更為便利。在 程式執行後又提供 G-DINA 的參數估計與標準誤，還有認知屬性的後驗分配與受試者分配 情形。其執行畫面如圖 2-6。 ) , , , ( _{i1 i2 ik} ik α α α α = _{L Qjk =(Qj1,Qj2,L,Qjk)} ij η 0 1 j g 1−s_j ij Y

圖 2-6 Ox 程式執行 G-DINA 模型畫面

第 四 節 二次函數相關研究

在數學教育中，函數是台灣學生從國中到大學都必須要學習的數學概念（謝豐瑞 、陳材河，1997），國外亦有許多學者（ Janvier, 1987； Kaput, 1985； Schoenfeld, 1987； Yerushalmy, 1992）針對學生在二次函數所學各種表徵以及相互 之間的轉換概念進行研究。函數概念的建立，最早在國小階段就有初步的認識，國中 階段對於相關名詞和定義給予完備的介紹。在現行的九年一貫正式綱要課程中，學生 在學習線性函數及求解二次方程式的問題後，才能進行二次函數的學習。以下整理有 關二次函數的教材地位分析，如圖 2-7。

圖 2-7 二次函數課程地位圖 根據這樣的教學順序歷程，Matz（1982）認為大部分代數的錯誤來自於學習者對 於該問題特徵膚淺的先備知識，Zaslavsky（1997）認為先學習線型函數與二次方程式 後，再學習二次函數的教學順序會妨礙二次函數的學習。 由 Zaslavsky（1997）的研究發現學生在學習二次函數時，最常發生阻礙概念發展 的障礙有： 1、以視覺上所看到的圖形解釋幾何圖形 學生在學習二次函數時，只考慮到函數中可以看到的圖形部份，而未考慮 到所呈現的圖形只是整個函數圖形的一部份；同時認為二次函數的圖形有兩條 垂直的漸近線，但事實上沒有漸近線的存在，所有x值都可存在於拋物線中。 2、二次函數與二次方程式關係的錯誤類推 因為學生先學習二次方程式再學習二次函數，已至於混淆兩者的關係，例 如y=x2−2x+3與y=3x2 −6x+9兩個函數中，因函數各項係數成倍數關係， 所以學生容易視兩個函數為相同函數。 3、二次函數與線型函數關係的錯誤類推 已習教材 以符號代表數 直角坐標平面 線型函數 一元一次方程式 二元一次方程式 二次函數 1、簡易二次函數圖形 （1）繪製簡易二次函數圖形 （2）簡易二次函數的開口方 向、頂點、對稱軸 （3）比較簡易二次函數圖形 的開口大小 （4）簡易二次函數圖形的移 動與翻轉 2、配方法與二次函數圖形 3、二次函數的最大值與最小 值 未來發展 多項函數 圓錐曲線 （高中） 微積分 （大學）

例如線型函數中任三點皆為共線，學生將之推廣到二次函數的拋物線中， 認為拋物線可經過三個共線的點，因而導致以兩點來估計二次函數的斜率進而 計算函數的參數。 4、不了解二次函數的代數形式可能會轉變 學生在學習二次函數的過程中，代數與幾何圖形表徵之間成功的轉換，將 是促進函數概念有效學習的策略。 其他有關函數概念學習困難方面的研究，Dreyfus ＆ Eisenberg（1982）指出學 生通常不了解變數的概念和函數符號 f（x）。而顏啟麟、羅昭強（1993）指出造成函 數學習困難的原因之一，是函數概念把幾何和代數兩個似乎不相關的數學概念連結在 一起。因此，若能將視覺化的函數圖形表徵和代數符號表徵作緊密的連結，將可以使 學生對函數的概念有更深入的了解。

第三章 研究方法

本章分為五節說明研究的方法與步驟，第一節－研究流程，第二節－研究對象， 第三節－研究設計，第四節－研究工具，第五節－資料分析方法。

第 一 節 研究流程

本研究流程如圖 3-1 所示： 閱讀相關文獻 確定研究主題 文獻探討 編訂 GeoGebra 教材 編製前後測、延後測 預試 試題施測（前測） 實施 GeoGebra 教學 試題施測（後測） 訪談實驗組學生 資料收集與分析 結論與討論、撰寫論文 評估 修正 正式教材 相 關 理 論 蒐 集 與 探 討 試題施測（延後測）

第 二 節 研究對象

本研究的教學者為本文執筆者，有 5 年的國中數學教學經驗，受測學生為桃園市 區某國中學生，該校共有 108 班（七年級 34 班、八年級 39 班、九年級 35 班），屬於 桃園縣大型學校，其學生來源多數為跨區就讀，除各年級已成立美術班與體育班各一 班，其餘學生分班方式皆依入學時新生能力測驗成績採 S 型分配常態編班。而參與本 研究的學生分為預試樣本及正式施測樣本。 一、預試樣本： 為使編制的試題在本研究中更具客觀性及準確性，於該校以方便抽樣挑選三個常 態編班的九年級學生共 97 人為預試試卷施測對象，以作為正式試卷的參考、準備。 二、正式施測樣本： 為求適用於較一般的情形，本研究的正式施測樣本挑選該校常態分班中的三個班 級參與實驗，以下採甲、乙、丙班作為區分。 甲班 32 人為實驗組，乙班 31 人、丙班 32 人為控制組，三班皆非研究者任教的班 級，故為避免學生的新奇效應影響研究結果，研究者提前到三班代課一週，進行校內 進度課程教學。另外為了解學生的起點行為，將比較甲、乙、丙三班 99 學年度上學期 三次段考數學平均成績，且考慮到數學成績較高的班級安排為實驗組可能造成實驗結 果的影響因素，本研究將數學平均成績較低的甲班安排為實驗組，乙、丙兩班安排為 控制組，如下表 3-1。 表 3-1 甲乙丙三組三次段考成績平均數與標準差摘要表 個數 平均數 標準差 甲（實驗組） 32 63.84 20.886 乙（控制組） 31 67.48 23.422 丙（控制組） 32 68.52 19.598 表 3-2 甲乙丙三組三次段考平均成績單因子變異數分析檢定摘要表 平方和 自由度 平均平方和 F 顯著性 組間 384.744 2 192.372 .423 .657 組內 41887.203 92 455.296 總和 42271.947 94

由表 3-2 顯示，三組的段考平均成績單因子變異數分析檢定顯著性 P＝0.657＞ 0.05，表示三組受試者在上學期三次段考平均成績無顯著差異，視為三組受試者數學 先備能力相同。而為了觀察不同層次學生的表現，將實驗組與控制組的三次段考平均 成績加以分群，得到高、中、低三個學業能力群組，各班分別對三個學業能力群組進 行單因子變異數分析檢定，實驗組甲、控制組乙與丙之高、中、低學業能力分組段考 平均成績顯著性皆為 P＝0.000＜0.05，顯示實驗組與控制組之高、中、低學業能力分 組之間的段考平均成績均達顯著差異。在經過 Scheffe 多重比較，得知差異在高、中 ，高、低，中、低之間都有存在，故此分類方式確實可做為實驗組與控制組配對比較 的參考。以下列出三組之學業能力分組的單因子變異數分析檢定分析摘要表與多重比 較摘要表，如表 3-3。 表 3-3 三組高中低能力分組段考平均成績單因子變異數分析檢定摘要表 平方和 自由度 平均平方和 F 顯著性 組間 10007.589 2 5003.795 76.428 .000 組內 1898.653 29 65.471 甲（實驗組） 總和 11906.242 31 組間 13719.215 2 6859.607 70.136 .000 組內 2738.527 28 97.805 乙（控制組） 總和 16457.742 30 組間 10287.012 2 5143.506 46.092 .000 組內 3236.206 29 111.593 丙（控制組） 總和 13523.219 31 表 3-4 三組高中低能力分組段考平均成績 Scheffe 多重比較摘要表 95% 信賴區間 依變數 （I）分 組 （J）分 組 平均差異 （I-J） 標準誤 顯著性 _{下界 上界} 中能力 16.5278* 3.4570 .000 7.609 25.446 甲（實驗組） 高能力 低能力 46.3333* 3.8143 .000 36.493 56.173 中能力 15.8583* 4.3297 .004 4.667 27.049 乙（控制組） 高能力 低能力 56.0625* 4.9448 .000 43.282 68.843 中能力 21.0159* 4.5133 .000 9.372 32.659 丙（控制組） 高能力 低能力 47.6667* 4.9798 .000 34.820 60.514 *. 平均差異在 0.05 水準是顯著的。

第 三 節 研究設計

本節將分別說明研究法的選擇、研究架構、研究變項與假設及實驗流程。 一、研究法的選擇 本研究因考量到無法隨機分派受試者到各個研究班級，又受限於時間、電腦教室 的排課使用，且最不影響到實驗班級的教學進度，故以方便抽樣挑選八年級三個班級 ，以下用甲、乙、丙標記做區別，一班為實驗組，兩班為控制組，採用不等組前後測 設計的準實驗研究法，實驗設計分組表如下表 3-5。 表 3-5 實驗設計分組表 學業成就 教學設計 班級 高能力 中能力 低能力 合計 人數 實驗組－GeoGebra 甲班 9 14 9 32 控制組－簡報教學 乙班 8 15 8 31 控制組－傳統教學 丙班 9 14 9 32 合計人數 26 43 26 95 對內在效度而言，本研究有實驗組、控制組三組可供比較，學習成就皆施以前測 、後測，可了解三組的條件是否整齊。若兩組的前測分數一致，可說成熟、測驗與工 具等主要的影響力皆已受到控制，實驗處理發生影響即可肯定。 二、研究架構 本研究根據研究動機與目的，規劃之研究架構如圖 3-2 所示： 教學設計 自變項 GeoGebra 一般簡報 傳統教學 學業能力 高能力 中能力 低能力 學習成就測驗 認知診斷評量 依變項 控制變項 教學時間 教學內容 測量工具與時間

三、研究變項 （一）控制變項： 1、起點行為 由受測學生 99 學年度上學期三次段考數學平均成績之單因子變異 數分析檢定可知其數學能力無顯著差異，且簡易二次函數的圖形相關內 容非受測學生該學期進度內課程，可排除現今學生課外超前補習的效應 ，故起點行相同。 2、授課教師 本研究三組受試樣本班級之授課教師皆為研究者一人，皆非原任課 教師，故研究者提前一週到三組代課，減低學生的新奇感。而授課教師 具有多年教學經驗，能掌握課堂教學進度及時間。 3、授課時數 均為兩堂課，每堂課 45 分鐘，各組皆在一天之內完成實驗。 4、教材內容 三組上課的主題單元皆為國中三年級第六冊第一章第一節簡易二次 函數圖形課程。 5、測量工具 三組在教學實驗後所做的函數學習成就測驗與認知診斷評量，其題 目內容、施測時間、給分標準皆相同。 （二）自變項： 1、教材設計方式 共有 GeoGebra 動態幾何輔助教學、一般圖文簡報教學與一般傳統 課堂教學三種教學模式。 GeoGebra 輔助教學：考慮多媒體教材設計原則，使教學訊息有可選 擇性、隨意性或預先安排地呈現，並保留教 學訊息的連續動態性供學生探索觀察，且可 由學生自行操作教材內容，增加互動性。 一般圖文簡報教學：考慮部分多媒體教材設計原則，但每張投影片 內容多採一次呈現或循序呈現教材內容方式， 利用滑鼠及口頭說明指引學生瀏覽。

一般傳統課堂教學：以板書、掛圖呈現教材內容，由教師解說、學 生聽講的傳統解說式教學進行課程。 2、學業能力分組 將各組受測學生分成低學業能力、中學業能力及高學業能力三組， 依 99 學年度上學期三次段考數學平均成績為分組依據，分數由低到高 排列，取前 27％作為低學業能力組，後 27％為高學業能力組，其餘為 中學業能力組，人數如表 3-5，各組之間的單因子變異數分析檢定摘要 表如下表 3-6。 表 3-6 高中低三組段考平均成績單因子變異數分析檢定摘要表 平方和 自由度 平均平方和 F 顯著性 組間 46.963 2 23.481 1.103 .349 組內 489.653 23 21.289 高能力 總和 536.615 25 組間 562.868 2 281.434 2.109 .249 組內 1735.737 40 133.393 中能力 總和 2298.605 42 組間 335.667 2 167.833 .683 .515 組內 5647.997 23 245.565 低能力 總和 5983.663 25 從以上表格可知，各班高、中、低三個能力分組的段考成績顯著性 皆大於 0.05，表示各組高、中、低三組平均成績均無顯著差異，在數學 起點行為上的比較可視為情況相同。 3、授課環境 隨著教材設計方式不同，實驗組將在該國中的電腦教室進行實驗教 學，電腦教室配備有電腦 40 台，均可正常使用，超過學生人數，故每 位學生都能自己操作一台電腦，其作業系統皆為 Windows Xp。 另外兩組控制組班級都在原班教室上課，因教育部提倡教室 e 化， 實施「班班有單槍」政策，故各班級教室內皆有單槍、大螢幕投影設備 可供教師課堂授課使用。

（三）依變項： 1、學習成就測驗（後測與延後測） 前測成績顯示學生對教學內容尚未學習過，再經過不同教材設計的 實驗教學後，觀察三組學生的學習成就測驗（後測與延後測）成績來評 估其學習成效。 2、認知診斷評量 經過學習後，學生對於學習成就測驗中隱含的六項認知技能之精熟 程度。 四、實驗流程 本研究進行教學實驗時間為受試學生八年級下學期期初（2 月），在實驗進行 前先對受測學生作簡易二次函數課程內容的前測，以了解學生的先備知識。 另進行實驗教學前，皆告知所有受測學生此課程是作為多媒體教學研究之實 驗課程，並先行講解課程流程，請受測學生認真聽講及作答，上課、測驗成績結 果都會做為任課教師平時成績的參考，藉此避免受測學生得知自己為實驗組或控 制組，而改進其學習表現效果產生霍桑效應。 全部實驗課程進行兩節課，每節課為 45 分鐘，每組實驗課程皆在同一天內完 成，且實驗教材內容分成四個主題，每節課進行兩個主題的教學，在每節課結束 前實施該階段內容之學習成就測驗（後測），課程流程如圖 3-3 所示。 而本研究亦想探討 GeoGebra 動態幾何輔助教學對學習者是否能順利儲存新知 識於長期記憶區，故在後測結束四周後，三組受試樣本皆未再接觸「簡易二次函 繪製簡易二次函數圖形 （18 分鐘） 圖形的 開口、頂點、對稱軸 （18 分鐘） 測驗 （5 分鐘） 第一節 比較圖形開口大小 （17 分鐘） 判斷圖形的上下移動 （17 分鐘） 測驗 （10 分鐘） 第二節 圖 3-3 課程流程圖

數圖形」之相關概念的情況下，以後測之題型稍做修改，再對三組受試樣本施以 延後測，觀察知識概念保留的狀況。

第 四 節 研究工具

一、實驗教材製作 本研究將以國中數學「簡易二次函數圖形」為教材設計範圍，此單元為銜接 代數（文字表徵）與幾何（圖像表徵）的內容，函數在國高中數學課程中又具有 舉足輕重的地位，期盼透過本研究可以協助學生正確、有效地認識函數概念，為 將來的學習穩固基礎。課程內容分為四個部份教學，將其能力指標、活動目標整 理成表 3-7。 表 3-7 教學主題與內容目標 主題 能力指標與分年細目 教學活動目標 第一部分： 繪製簡易二次函 數圖形 A-4-18 能理解二次函數圖形的線對稱性， 求出其線對稱軸以及最高點或最低 點，並應用來畫出坐標平面上二次 函數的圖形 9-a-01 能理解二次函數的意義 9-a-02 能描繪二次函數的圖形 能以描點方式繪製 2 ax y= 的圖形，了解 其圖形為拋物線 第二部分： 觀察簡易二次函 數圖形開口方向 、頂點、對稱軸 A-4-18 能理解二次函數圖形的線對稱性， 求出其線對稱軸以及最高點或最低 點，並應用來畫出坐標平面上二次 函數的圖形 9-a-02 能描繪二次函數的圖形 察覺形如 2 ax y= 二次 函數圖形的各種特性 （開口方向、最高點 、最低點與對稱軸） 第三部分： 比較簡易二次函 數圖形的開口大 小 A-4-18 能理解二次函數圖形的線對稱性， 求出其線對稱軸以及最高點或最低 點，並應用來畫出坐標平面上二次 函數的圖形 9-a-02 能描繪二次函數的圖形 能透過 a 的不同，發 現 2 ax y= 圖形的改變 第四部分： 簡易二次函數圖 形的上下移動 A-4-18 能理解二次函數圖形的線對稱性， 求出其線對稱軸以及最高點或最低 點，並應用來畫出坐標平面上二次 函數的圖形 9-a-02 能描繪二次函數的圖形 9-a-03 能計算二次函數的最大值或最小值 能描繪形如y=ax2+c 的二次函數圖形，並 了解其圖形可由 2 ax y= 的圖形上下移 動而得