第 一 節 研究背景與動機
「怎麼辦？學生不懂標準式的意義，化簡也有問題，那怎麼學函數與圖形之間的 關係呢？」這是筆者在現今國中教育現場時常聽到數學教師在二次函數教學過程中所 提出的問題，反應出在二次函數這個銜接代數（文字）與幾何（圖形）兩大數學系統 的學習單元中，有相當多學生感到困難，而大多數的學生對函數的認識都停留在抽象 符號的代數觀念，忽略了函數在坐標幾何上的意義（林星秀，2001），使得函數概念 的形成無法全面而完整，因而可能在往後的函數學習歷程產生學習上的困難。
「這次二次函數的教具又是掛圖和投影片，每次貼完圖就花了很多時間，又無法 隨意移動變換，怎麼沒有更好的教具能使用？」對於非線性的二次函數圖形，「畫圖
」無疑是教師教學過程中的一大挑戰，而在數學學習過程中，當教師能協助學生以圖 像表徵方式建立新知識時，學生能深入思考並記住相關知識，學習成就會提高（
Marzano, Pickering, & Pollock, 2001），雖然有許多教師與課程設計者都已投入開 發二次函數教具的行列，但使用實體教具仍有許多限制，因此對於如何更佳地呈現函 數圖形，也一直是筆者不斷努力尋求改進的一個環節。
在「九年一貫正式綱要」（2003）的基本理念與實施要點中提出：演算能力、抽 象能力及推論能力的培養是數學教育的主軸。而 Brian（1998）表示數學課程就是圍繞 著變數與函數。因此函數概念在中學階段，正是數學學習的核心單元，從常數、未知 數到變數等概念的轉變，由靜態思維到運動思維、由離散到連續、由運算進入關係，
並且在運算式、符號、圖表之間多重表徵的轉換（賴明裕，2008）。但這麼重要的單 元，卻由全國青少年函數概念發展研究（2003）指出：「我國國中學生對於函數的圖 形表徵，和幾何圖形與函數之圖形的判別能力均明顯不足，建議教師在教學時應培養 學生這兩方面的能力。」。
由此看來，函數概念的多面向表徵，是造成學生學習困難的主要原因。然而以靜 態的課本教材及傳統教學現場來看，遇到函數圖形呈現較為複雜，或是圖形的平移、
伸縮時，總覺得黑板上徒手繪製的圖形不夠完美且費時，無法動態的將圖形的變化呈 現出來，同時更可能因圖形的誤差造成學生理解上的困難。所以，Nation Council of
Teachers of Mathematics（NCTM, 2000）在「Principles and Standards for School Mathematics」中指出：「利用電腦及計算器繪製函數圖形，並觀察當參數改 變時，圖形的變動關係，有助於函數概念的理解。」Rahim（2000）也由「A
Classroom Use of the Geometer＇s Sketchpad in a Mathematics Pre-Service Teacher Education Program」研究中：「參加研習的教師對於將來在數學教學中使用 動態幾何軟體從存疑到充滿自信，他們同意可運用動態幾何軟體於幾何、代數和三角 學的教學中。」。
為此，筆者研究過眾多網路上可用的資訊教材後，發現儘管教學者嘗試利用簡報 軟體設計許多動畫來說明教材中圖形的轉換過程，但讓學生在認知上形成一個圖形連 續變動的概念仍有困難，更重要的是無法讓學習者隨心所欲地進行各項圖形的變換與 操作，由學習者達到主動探索、觀察並歸納教材中呈現的表徵概念，最後只能倚賴公 式出現後才開始產生概念而達到學習效果。此時，GeoGebra 動態幾何軟體的連續動態 圖形呈現特性便可讓學生在教師的引導下，觀察、歸納出圖形變換與函數概念之間的 連結。
GeoGebra 是由 Markus 在 Salzburg 大學針對學校數學教育所研發的軟體，國中數 學的相關圖形均能輕易畫出，操作方式和 GSP 及 Graphmatica 相似，但在其功能與特 性，GeoGebra 較 GSP 在教學上擁有更多優勢，GeoGebra 具有尺規作圖、紀錄作圖過程 等，能將函數概念以動態圖形的方式呈現，可讓學生的學習藉著觀察、猜想的過程，
加強函數在坐標平面上所代表的圖形表徵。加上過去有關動態幾何系統輔助教學的研 究大多使用 GSP 設計課程，而比較兩者的優劣之後，發現 GeoGebra 在使用上較 GSP 容 易上手，而且是免費軟體，學生可自行於網站下載安裝，很值得推廣讓國中生學習，
故本研究擬使用 GeoGebra 軟體來設計一個可供學生觀察、檢驗與歸納的學習環境，幫 助學生理解二次函數圖形的變換，並加深其對二次函數圖形變換的印象，期能改善學 生的學習態度並提昇學生的學習成效。
第 二 節 研究目的
國內現有的幾篇動態幾何融入二次函數教學研究中（陳英娥，1992；林星秀，
2001；胡瑞明，2001；吳長憶，2009），其研究的成果大多著重在探究傳統教學與資
訊融入教學後的教學成效差異，此種強調常模參照與總結性評量的方式，往往只能測 量到受試者目前的學習表現程度，而無法探究深藏在實際操作表現之下的心智運作歷 程，無法對教師教學、學生學習提供充分且有效的訊息。因數學知識的建構是一段複 雜的學習歷程，並非「會」與「不會」的二分法，所以評量的目的，除了測量出學習 者的學習現況外，同時也應該提供學習者學習成敗的診斷訊息，以利教學者根據診斷 訊息，進行有效的補救教學（涂金堂，2003）。
為此，Nichols（1994）即主張傳統評量理論無法提供有效的訊息，讓教師對學生 的錯誤學習進行診斷的評量，因此，他提倡將認知科學（cognitive science）與心理 計量學（psychometrics）結合，發展新的診斷評量方法，以幫助教學目標的達成。這 種新的診斷評量方法，稱為認知診斷評量（cognitively diagnostic assessment（
CDA））。這種認知診斷評量可以透過受試者對試題的作答反應組型，而推論出其認知 歷程與知識結構的可能狀態，顯現出學生是否精熟某種技能的訊息。而這些額外的訊 息可以幫助學生或老師更加瞭解分數所代表的涵義，以及哪一類的學習可以增進學習 成效（Sheehan, 1997）。
故本研究在針對國中數學領域二次函數課程而發展的 GeoGebra 動態幾何軟體輔助 教學設計中，以準實驗的研究方式探討在此主動探究學習的教學設計下，學生能不能 夠對國中的二次函數課程有更清楚的瞭解，跳脫死背、多練的傳統學習方式，進而統 整出一個由抽象而直覺的整體概念，以及探究個別學習與教學設計間的互動情況。並 依據認知診斷評量的方式，深究使用動態幾何軟體輔助教學之後，學生在哪些概念、
技能更容易達到精熟。
因此，本研究運用三種教學模式「GeoGebra 輔助教學模式」、「一般資訊融入教 學模式」及「一般傳統教學模式」，比較國二學生對於學習簡易二次函數圖形課程之 學習成效及認知診斷評量之訊息，以便作為將來在國中階段發展 GeoGebra 輔助教學之 參考。
基於上述研究動機，本研究以簡易二次函數圖形為例，探討 GeoGebra 輔助教學模 式對不同學業成就學生，在學習成效與認知診斷評量的表現。研究目的敘述如下：
1、探討不同教學設計對不同學業能力學生在簡易二次函數圖形課程上的學習成效 影響。
2、探討不同教學設計對不同學業能力學生在三種層次問題表現上的影響。
3、探討不同教學設計對不同學業能力學生在學習簡易二次函數圖形課程後認知診
斷評量的影響。
第 三 節 研究問題
根據上述研究目的，本研究欲探討的問題如下：
（一）不同教學設計對不同學業能力學生（高、中、低）在簡易二次函數圖形課 程上的學習成效是否有顯著的影響？
1、GeoGebra 輔助教學模式對學習成效是否有影響？
2、GeoGebra 輔助教學模式對不同學業能力學生在學習成效上是否有影響？
（二）不同教學設計對不同學業能力學生（高、中、低）在三種層次問題表現上 是否有顯著的影響？
1、在基礎題型上，GeoGebra 輔助教學模式與學業能力對學習成效是否有影 響？
2、在擴展題型上，GeoGebra 輔助教學模式與學業能力對學習成效是否有影 響？
3、在高層次題型上，GeoGebra 輔助教學模式與學業能力對學習成效是否有 影響？
（三）不同教學設計對學生在學習簡易二次函數圖形課程後的認知診斷評量是否 有顯著的影響？
第 四 節 名辭解釋
為便利討論分析，茲針對本研究所使用的一些特定名詞，加以說明如下：
1、簡易二次函數
函數的定義是，對於任意給定的一個 x 值，都恰有一個y值與它相對應，
則我們說y是 x 的函數。一般所稱二次函數為現今國中數學第六冊第一章所提 及的內容，亦即形如y=ax2+bx+c（a≠0）之函數，但本研究所謂之簡易二 次函數，僅限於第一節「簡易二次函數圖形」中所提及的簡易二次函數，如
c ax
y= 2+ （a≠0）。
2、GeoGebra 動態幾何軟體
GeoGebra 是一套免費並且多平台的動態數學教育軟體，結合幾何、代數 和微積分，並曾獲得多項國際性的大獎，包括歐洲及德國教育軟體大獎。
3、學業能力
本研究所指的學業能力，為學生在八年級上學期三次段考數學平均成績，
在受試學生中先依實驗組、對照組分成三組，各組再依段考數學平均成績由低 至高排列，取前 27％為低學業能力組，後 27％為高學業能力組，其餘為中學 業能力組。
4、學習成效
經過實驗教學之後，學生能應用知識解決問題的能力。本研究以自編二次 函數圖形單元階段性成就測驗之後測分數表示。在「函數學習成就測驗」的得 分越高，表示學生的數學學習成效越高；反之則越低。
第 五 節 研究限制
本研究是以國中九年級下學期簡易二次函數圖形課程為教材設計的範圍，採準實
本研究是以國中九年級下學期簡易二次函數圖形課程為教材設計的範圍，採準實