第五章 結論與建議
第三節 未來研究方向
本研究以教材設計為主軸，將簡易二次函數圖形單元主題以 GeoGebra 動態幾何呈 現的教學設計，配合多媒體教材設計原理進行實驗教學，所得到的結論對數學教學是 有幫助的。因此，考慮未來進一步的研究，提出以下建議：
1、GeoGebra 動態幾何呈現輔助教學並非適用於所有課程，但應可在教師專業判斷
下，選擇相同類似的單元，如：二元一次方程式的圖形、線型函數圖形…等，
使用 GeoGebra 動態幾何呈現輔助教學，檢視其學習成效與認知診斷評量上的 表現是否也如本研究所觀察到的現象。
2、本研究考慮不影響學校教學進度，故教學實驗僅設計部分單元主題，進行兩節 課的實驗教學，實驗時間尚短，因此長時間的 GeoGebra 動態幾何呈現輔助教 學的學習成效仍待研究。
3、GeoGebra 動態幾何呈現的教學設計對低、中學業能力的學生，在數學學習成效 上有顯著差異，而其未來學習相關概念時，如二項式、指對數函數圖形…等，
是否也能有相同的效果，應可再進一步的探究。
4、在教學過程中，研究者發現當學生在使用教師設計的 GeoGebra 動態幾何呈現 之教材時，常面臨到的挑戰不是數學知識的運用，而是操作上的困難，特別是 滑桿、按鈕位置的掌握，與整體圖形的放大及縮小，雖然已註記操作說明，也 使按鈕顏色明顯，然而這些都可能造成學習上的干擾。所以，如何在設計此類 動態幾何課程時，減低學生的學習負擔與干擾，應可再進一步針對 GeoGebra 做探究。
參考文獻
中文部份
王文卿(2009)。DINA 模式與 G-DINA 模式參數估計比較。國立台中教育大學教育測驗統 計所碩士論文。
全任重(1996)。圓規，直尺與 Cabri-geometre。數學傳播，20(1)。
吳長憶(2009)。GeoGebra 電腦輔助教學於國三函數課程成效之研究。中華大學應用數 學所碩士論文。
余酈惠(2003)。高雄市高職學生運用 GSP 軟體學習三角函數成效之研究。國立高雄師 範大學數學所碩士論文。
林保平(1995)。在動態、互動、可操作的電腦環境下探討 ax+by=n 之非負整數解。科 學教育研究與發展，1，40-49。
林保平(1997)。動態幾何教學的電腦輔助教材研究，八五年度國科會研究計畫報告，
計畫編號：85-2511-S-113-004，台北市立師院。
林保平(2000)。動態的勾股定理—電腦輔助教學環境，科學教育，210，12-23。
林星秀(2001)。高雄市國二函數課程 GSP 輔助教學成效之研究。國立高雄師範大學數 學所碩士論文。
胡瑞明(2001)。用 CAL 探討五專生學習與二次函數相關數學概念之研究。科學教育學 刊，9(4)，401-416 頁。
涂金堂(2003)。認知診斷評量的探究。南師學報，37(2)，67-97。
教育部，國民中小學九年一貫課程綱要，教育部，台北市，2003 年。
陳英娥(1992)。電腦輔助教學在國中數學科學習成效之研究。國立高雄師範大學數學 教育所碩士論文。
陳亭宇(2010)。DINA 模式與 G-DINA 模式參數不變性探討。國立台中教育大學教育測驗 統計所碩士論文。
蔡志仁(2000)。動態連結多重表徵視窗環境下橢圓學習之研究。國立臺灣師範大學數 學所碩士論文。
賴明裕(2008)。從設計國一函數線上學習課程來探討自學成效。國立交通大學理學院 網路學習學程碩士論文。
謝哲仁(2001)。動態電腦幾何教學建構之研究。美和教育學報，19，199-211。
謝豐瑞、陳材河(1993)。國中生函數概念認知發展及教學之研究(II)。行政院國家科
學委員會研究報告，計畫編號：NSC82-0111-S003-013。
顏啟麟、羅昭強(1993)：國中生函數概念認知發展及教學之研究(II)。行政院國家科 學委員會研究報告。計劃編號：NSC82-0111-S003-013。
英文部份
Baddeley, A.D. (1992). “Is working memory working?＂ Quarterly Journal of Experimental Psychology, 44A(1), 1-31.
Balacheff, N. & Kaput, J. J.(1996). Computer-Based Learning Environments in Mathematics. In A. J. Bishop, & K. Clements, C. Keitel, J. Kilpatick, &
C. Laborde (Eds.), International Handbook of Mathematics Education, 469-501. Dordrecht: Kluwer Academic.
Brian, R. (1998). Computer-Intensive Algebra and Students` Conceptual
Knowledge of Functions. Journal for Research in Mathematics Education, 29(1), 21-40.
Chandler, P. & Sweller, J. (1991). “Cognitive Load Theory and The Format of Instruction,＂ Cognitive and Instruction, 8, 293-332.
Clark, R. C. & Mayer, R. E. (2008). E-Learning and the science of instruction: proven guidelines for consumers and designers of multimedia learning (2nd ed.). San Francisco: Pfeiffer.
de la Torre, J. & Douglas, J. (2004). Higher-order latent trait models for cognitive diagnosis. Psychometrika, 69(3), 333-353.
de la Torre, J. (2009). A cognitive diagnosis model for cognitively based multiple-choice options. Applied Psychological Measurement, 33(3), 163-183.
Doignon, J.P. & Falmagne, J.C. (1999). Knowledge spaces. New York:
Springer.
Doornik, J. A. (2003). Object-oriented matrix programming using Ox (Version 3.1). [Computer software]. London, England: Timberlake Consultants Press.
Fischer, G. H. (1973). The linear logistic test model as an instrument in
educational research. Acta Psychologica, 37, 59-374.
Hartz, S. (2002). A Bayesian framework for the Unified Model for assessing cognitive abilities: blending theory with practice. Unpublished
doctoral thesis, University of Illinois at Urbana-Champain.
Hartz, S. Roussos, L. & Stout, W. (2002). Skills diagnosis: Theory and practice [User manual for Arpeggio software]. Princeton, NJ:
Educational Testing Service.
Janvier, C. (1987). Problem of Representation in the teaching and learning of mathematics. Hillsdale, NJ, England: Erlbaum.
Junker, B. & Sijtsma, K. (2001). Cognitive assessment models with few assumptions, and connections with nonparametric item response theory.
Applied Psychological Measurement, 25(3), 258-272.
Kaput,J.J. (1985). Representation and problem solving: Methodological issues related to modeling. In E. Silver (Ed.), Teaching and Learning Mathematical Problem Solving: Multiple Research Perspectives, 381-398.
Hillsdale, NJ, England: Erlbaum.
Kaput J. J. (1992). Technology and Mathematics Education. In D.
Grouws(Eds.). Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning, 515-556. Reston, VA: NCTM.
Maris, E. (1999). Estimating multiple classification latent class models.
Psychometrika, 64(2), 187-212.
Marzano, R., Pickering, D., & Pollock, J. (2001). Classroom instruction that works. Association for Supervision and Curriculum Development:
Alexandria, VA: Association for Supervision and Curriculum Development.
Matz, M.(1982). Towards a process model for high school algebra errors. In D. Sleeman, & J.S.Brown(Eds.), Intelligent tutoring systems, 25-50.
London: Academic Press.
Mayer, R. E. (2001). Multimedia Learning. New York: Cambridge University press.
Nation Council of Teachers of Mathematics (2000). Principles and Standards
for School Mathematics. Reston, VA：NCTM.
Paivio, A. (1986). Mental Representations: A Dual Coding Approach. Oxford.
England: Oxford University Press.
Rahim, M. H. (2000). A Classroom Use of the Geometer＇s Sketchpad in a Mathematics Pre-Service Teacher Education program , In A. Rogerson (Ed.), Proceedings of The International Conference on Mathematics Education into the 21st Century: Mathematics For Living.
Schoenfeld(1987). Learning： The microgenetic analysis of one student's evolving understanding of a complex subject matter domain. To appear in Glaser, R. (Ed.).Advances in instructional Psychology(v.4). Hillsdale, NJ, England: Erlbaum.
Sheehan, K. M. (1997). A tree-based approach to proficiency scaling and diagnostic assessment. Journal of Educational Measurement, 34, 333-352.
Tatsuoka, K. K. (1983). Rule space: An approach for dealing with
misconception based on item response theory. Journal of Educational Measurement, 20, 345-354.
Tatsuoka, K. K. (1985). A probabilistic model for diagnosing misconceptions by the pattern classification approach. Journal of Educational
Statistics, 10, 55-73.
Vergnaud, G. (1987). Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics. Edited by Claude Janvier: Lawrence Erlbaum, Hillsdale, NJ, 227-232.
Yerushalmy, M., & Gafni, R.(1992). Syntactic manipulations and semantic interpretation in algebra: The effect of graphic representation.
Learning and Instruction, 2, 303-319.
Zaslavsky, O. (1997). Conceptual Obstacles in the learning of quadratic functions. Focuson learning Problems in Mathematics, 19(1), 20-42.
附錄一：
【教材內容】課程學習單
簡易二次函數的圖形
班級 座號 姓名 函數複習：
※線型函數：i. 函數：y= ，圖形為一 。 b
ii. 函數：y=ax+b(a≠0)，圖形為一 。 ▲ 請畫出y= x2 +1的圖形。
※二次函數：形如y=ax2 +bx+c(a≠0)，自變數x最高次數為二次。
▲ 如：y=x2、y=−2x2 −3、y=5x2 +2x−1
※二次函數的圖形：一次函數在坐標平面上所畫出的圖形為一直線，而二次函數在坐 標平面上繪畫出怎樣的圖形？
▲ 請畫出y=x2的圖形。
步驟一：先選x值，再求出對應的 y 值。 (至少 組) 步驟二：將每一個數對所對應的點描到坐標平面上。
步驟三：用 把各點連接起來，即得圖形。
y
o x x
y
y
o x x -2 -1 0 1 2
y
▲ 請畫出y=−x2的圖形。
▲ 請在下圖畫出 2 2 1x
y= 的圖形，並將 2 2 1x
y=− 的圖形完成。
▲ 觀察上面的二次函數圖形，我們稱為 圖形。
※頂點、對稱軸：
▲ 觀察右圖y=x2的圖形，這是一個線對稱圖形，對稱軸是 ， 而對稱軸與圖形的交點為 ，即稱為圖形的頂點，也是整個 圖形的最 點(高或低)。
:
Ex 2
2 1x
y=− 圖形的對稱軸為 ，頂點 為整個圖形的 最 點(高或低)。
x y
O x -2 -1 0 1 2
y
x -2 -1 0 1 2 y
y
o x
x2
y=
y
o 2x
2 1x y=−
※開口方向：
▲ y=x2與y=−x2的圖形差異為 不同。
y=x2的開口方向 ，其x 項係數2 a 0。 y=−x2的開口方向 ，其x 項係數2 a 0。
◎結論： x 項係數2 a＞0 ⇒ 圖形開口向 (上或下)。
x 項係數2 a＜0 ⇒ 圖形開口向 (上或下)。
Ex: ○1 y=1 x.7 2開口向 。 ○2 2 2 3x
y=− 開口向 。
※開口大小：
▲ 觀察 2 2 1x
y= 、y= x2與y=2x2三個圖形，共同處為：
頂點皆為 ，對稱軸皆為 ，開口方向皆向 。 圖形形狀唯一不同處為：開口 不同。
其大小順序為 。 ＊想一想：函數的哪個部分影響圖形開口大小？ 。 如何影響？ 係數越大⇒ 開口越 。
▲ 觀察 2 2 1x
y=− 、y=−x2與y=−2x2三個圖形，其開口大小順序：
。 ＊想一想：係數越大⇒ 開口越 。
◎結論：x 項係數2 a的絕對值越大⇒ 開口越 。 x 項係數2 a的絕對值越小⇒ 開口越 。
:
Ex 請以代號寫出下列函數的開口大小順序：
2 2 :y 1x
A = 、 2
2 :y 1x
B =− 、C:y=−x2、 2 3 :y 4x
D =
。
※上下移動：
▲ 根據y=x2的圖形，請畫出y= x2 +1的圖形。
▲ 觀察y= x2 +1的圖形，與y=x2的圖形有何相同與不同之處？
相同： 。
不同：相同的x值代入， y 值須加 。其頂點由(0,0)→( , ) 。 ⇒ y= x2+1的圖形為y=x2的圖形向 移動 單位。
▲ y= x2 −3的圖形為y= x2的圖形向 移動 單位，
頂點由 ( , ) →( , ) 。
▲ y= x− 2+2的圖形為y= x− 2 −2的圖形向 移動 單位，
頂點由 ( , ) →( , ) 。 Ex:
2
2−5
= x
y 為y= x2 −1的圖形向 移動 單位，
頂點由 ( , ) →( , ) 。
y
o x x -2 -1 0 1 2
y
附錄二：
【（實驗組）GeoGebra 輔助教學】教學內容及教材分析
（實驗組）線型函數
教材分析 複習舊有經驗。
能力指標與 分年細目表
A-4-11 能在坐標平面上，畫出一次函數或二元一次方程式的圖形
。
7-a-12 能在直角坐標平面上描繪常數函數及一次函數的圖形。
7-a-13 能在直角坐標平面上描繪二元一次方程式的圖形。
多媒體設計原則
1.空間接近原則：函數式與x、y坐標對應表位於同一畫面。
2.通道原則：出現圖形或文字時，搭配口語講解。
3.連貫原則：畫面簡潔，減少不必要的圖像。
（實驗組）繪製簡易二次函數圖形
教材分析 延續舊有經驗，推展到二次函數，並加強注意在（0,0）到（1,1
）這區間的圖形變化。了解二次函數的圖形為圓滑曲線。
能力指標與 分年細目表
A-4-18 能理解二次函數圖形的線對稱性，求出其線對稱軸以及最 高點或最低點，並應用來畫出坐標平面上二次函數的圖形
。
9-a-01 能理解二次函數的意義。
9-a-02 能描繪二次函數的圖形。
多媒體設計原則
1.空間接近原則：函數式與x、y坐標對應表位於同一畫面。
2.通道原則：出現圖形或文字時，搭配口語講解。
3.連貫原則：畫面簡潔，減少不必要的圖像。
（實驗組）觀察簡易二次函數圖形開口方向、頂點、對稱軸
教材分析
二次函數的圖形為線對稱圖形，對稱點會通過頂點（最高或最低 點）。了解二次函數圖形用平方項係數判斷開口方向，頂點為函 數值（y 值）的最大值或最小值位置，並判斷對稱軸。
能力指標與 分年細目表
A-4-18 能理解二次函數圖形的線對稱性，求出其線對稱軸以及最 高點或最低點，並應用來畫出坐標平面上二次函數的圖形
。
9-a-01 能理解二次函數的意義。
9-a-02 能描繪二次函數的圖形。
9-a-03 能計算二次函數的最大值或最小值。
多媒體設計原則
1.空間接近原則：出現的文字都接近該強調的位置區域。
2.時間接近原則：畫面轉換配合學生回答出現。
3.通道原則：出現圖形或文字時，搭配口語講解。
4.連貫原則：畫面簡潔，減少不必要的圖像。
（實驗組）比較簡易二次函數的開口大小
教材分析 給定平方項係數不同的三個二次函數，利用繪圖觀察出平方項係 數與圖形開口大小之間的關係。
能力指標與 分年細目表
A-4-18 能理解二次函數圖形的線對稱性，求出其線對稱軸以及最 高點或最低點，並應用來畫出坐標平面上二次函數的圖形
。
9-a-01 能理解二次函數的意義。
多媒體設計原則
1.空間接近原則：出現的文字都接近該強調的位置區域。
2.時間接近原則：畫面轉換配合學生回答出現。
3.通道原則：出現圖形或文字時，搭配口語講解。
4.重複原則：轉換畫面時，搭配口語說明，減少多餘文字出現。
5.連貫原則：畫面簡潔，減少不必要的圖像。
（實驗組）簡易二次函數圖形的上下移動